(共27张PPT)
6.1 平面向量及其线性运算
6.1.3 向量的减法
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 课堂评价
◆ 备课素材
【学习目标】
1.掌握向量减法的运算,并理解其几何意义；
2.理解相反向量的含义,能用相反向量说出向量相减的意义；
3.能将向量的减法运算转化为向量的加法运算.
知识点 向量的减法
1.向量的减法
（1）定义：一般地，平面上任意给定两个向量，，如果向量能够满足
, 则称为向量与 的差，并记作__________. 不难看出,在平面内任取一点,作
, ,作出向量 ,注意到, 因此向量就是向量与的
差（也称为向量与 的差向量）,即 ____.
（2）向量的差的表示：
当与不共线时，求可用下图表示，此时向量，， 正好能构成
一个三角形，因此这种求两向量差的作图方法常称为______________________.
向量减法的三角形法则
2.相反向量
我们规定,与____________________的向量称为的相反向量,记作____ 和___
互为相反向量.零向量的相反向量仍是________.
方向相反、大小相等
零向量
3.任何一个向量与它的相反向量的和等于________.
一个向量减去另一个向量，等于第一个向量加上第二个向量的__________.
零向量
相反向量
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）方向相反的向量就是相反向量.( )
×
[解析] 方向相反且模相等的向量是相反向量.
（2）相反向量一定是共线向量.( )
√
（3）相反向量的模一定相等.( )
√
（4）向量的减法运算可以通过相反向量转化为加法运算.( )
√
探究点一 向量的减法运算
［提问］ 在用三角形法则作向量减法时，使两个向量的______相同，差向
量即由____向量的终点指向______向量的终点.
起点
减
被减
例1（1） 若，， 是一个平面内不同的三点，则下列等式正确的是( )
B
A. B.
C. D.
[解析] 由向量的减法运算知 .
（2）已知，，则 的取值范围是_______.
[解析] 由题得 .
因为，，所以 .
当与同向时，；当与反向时， .
故的取值范围为 .
［素养小结］
在计算向量减法时应注意以下两点：
（1）向量减法有时会借助三角形法则进行运算；
（2）向量减法中，减去一个向量等于加上此向量的相反向量.
探究点二 向量减法的应用
例2（1） [2023·天津武清区杨村一中高一月考]下列各式中不能化简为 的是
( )
D
A. B.
C. D.
[解析] ；
；
；
.故选D.
（2）已知是平行四边形的对角线与的交点，若 ，
，，证明： .
证明：方法一：， ，
所以，即 .
方法二： .
在平行四边形中，， ，
则 ，
所以，即 .
变式 若，，则 ___.
[解析] 设,,以，为邻边作平行四边形 ，如图所示，则
, .
由可知四边形为菱形，， ,
则 ， ，为等边三角形， ，即
.
［素养小结］
此类问题要根据图形的几何性质,运用向量加法的平行四边形法则和向量减法的
三角形法则解题,要特别注意向量的方向以及运算式中向量之间的关系.
拓展 如图所示,，，分别是 的边
，， 的中点，则( )
A
A. B.
C. D.
[解析] 由题可得，，所以 .故
选A.
1.在中，若，，则 ( )
D
A. B. C. D.
[解析] .故选D.
2. ( )
D
A. B. C. D.
[解析] .故选D.
3.如图所示，以为圆心，1为半径的圆上有， 两个动点，
则 的取值范围为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以 的最大值为2，
最小值为0.故选D.
4.（多选题）下列化简结果正确的是( )
ABC
A. B.
C. D.
[解析] 对于A， ，故A正确；
对于B， ，故B正确；
对于C， ，故C正确；
对于D，，故D错误.故选 .
5.已知为等腰直角三角形，且 ，给出下列结论：
① ；
② ；
③ ；
④ .
其中所有正确结论的序号为__________.
①②③④
[解析] 以，为邻边作平行四边形 ，如图所示，由
题意知其为正方形.
，， ，故①
正确；
，， ，故②正确；
，， ，
故③正确；
，
，故④正确.
故所有正确结论的序号为①②③④.
1.向量的减法运算
（1）向量的减法运算与向量的加法运算是互逆运算，可以灵活转化，减去一个
向量等于加上这个向量的相反向量.
（2）对于向量的加减运算，做加法时要首尾相接，如 .做减法时
要保证起点相同，如 .同时，注意交换一个向量的起点和终点，所
得向量与原向量是相反向量.
例1 （多选题）向量 可以写成( )
AD
A. B. C. D.
[解析] 对于A， ，故A正确；
对于B，，故B不正确；
对于C， ，故C不正确；
对于D，，故D正确.故选 .
2.利用已知向量表示其他向量
解此类题目要充分利用平面几何知识，灵活运用平行四边形法则和三角形法则.
要将向量运算的平行四边形法则，三角形法则与向量加减法运算的几何意义相
结合，运算过程中要注意向量的起点与终点.
例2 如图所示，已知一点到平行四边形 的三个顶
点，，的向量分别为，，，试用向量，，
表示 .
解：在中， .
在中， .
又在平行四边形中， .
故，即 .
3.作已知向量的和向量或差向量
（1）求作两个向量的和向量时，要注意向量加法的三角形法则和平行四边形法
则的应用.
（2）求作两个向量的差向量时，有以下两种思路：
①可以转化为向量的加法来进行，如，可以先作，然后作 即可.
②可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连
接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量.
例3 如图所示，已知向量，， 不共线，求作向量
.
解：方法一：在平面内任取一点，作 ， ，
则，再作，连接，则 .
方法二：在平面内任取一点，作， ，
则，再作，连接 ，
则 .6.1.3 向量的减法
【课前预习】
知识点
1.(1)x=a-b (2)向量减法的三角形法则
2.方向相反、大小相等 -a -a 零向量
3.零向量 相反向量
诊断分析
(1)× (2)√ (3)√ (4)√ [解析] (1)方向相反且模相等的向量是相反向量.
【课中探究】
提问 起点 减 被减
例1 (1)B (2)[3,15] [解析] (1)由向量的减法运算知=-.
(2)由题得|||-|||≤|-|≤||+||.
因为||=6,||=9,所以3≤|-|≤15.
当与同向时,|-|=3;当与反向时,|-|=15.
故|-|的取值范围为[3,15].
例2 (1)D [解析] (-)-=++=;-(+)=-0=;-(+)-(+)=-(+)--=--+=;--+=2+≠.故选D.
(2)证明:方法一:c+a=+=+=,+b=+=,所以c+a=+b,即c+a-b=.
方法二:c+a-b=+-=++.
在平行四边形ABCD中,=,=,
则+=+=,
所以c+a-b=+=,即c+a-b=.
变式 2 [解析] 设a=,b=,以OA,OB为邻边作平行四边形OAPB,如图所示,则a+b=,a-b=.
由|a|=|b|=2可知四边形OAPB为菱形,∵|a+b|=2,∴OP=2,
则∠OAP=120°,∴∠AOB=60°,∴△OAB为等边三角形,∴BA=2,即|a-b|=2.
拓展 A [解析] 由题可得=,=,所以++=++=0.故选A.
【课堂评价】
1.D [解析] =-=a-b.故选D.
2.D [解析] +-=-=.故选D.
3.D [解析] 因为|-|=||,所以|-|的最大值为2,最小值为0.故选D.
4.ABC [解析] 对于A,++=-=0,故A正确;对于B,(+)++=+++=,故B正确;对于C,-+=++=0,故C正确;对于D,--=-(+)=-=,故D错误.故选ABC.
5.①②③④ [解析] 以AB,AC为邻边作平行四边形ABDC,如图所示,由题意知其为正方形.
①|+|=||,|-|=||,||=||,故①正确;
②|-|=||,|-|=||,||=||,故②正确;
③|-|=|+|=||,|-|=|+|=||,||=||,故③正确;
④|-|2=||2,|-|2+|-|2=|+|2+|+|2=||2+||2,故④正确.
故所有正确结论的序号为①②③④.6.1.3 向量的减法
【学习目标】
1.掌握向量减法的运算,并理解其几何意义;
2.理解相反向量的含义,能用相反向量说出向量相减的意义;
3.能将向量的减法运算转化为向量的加法运算.
◆ 知识点 向量的减法
1.向量的减法
(1)定义:一般地,平面上任意给定两个向量a,b,如果向量x能够满足b+x=a,则称x为向量a与b的差,并记作 .不难看出,在平面内任取一点O,作=a,=b,作出向量,注意到+=,因此向量就是向量a与b的差(也称为向量a与b的差向量),即-= .
(2)向量的差的表示:
当a与b不共线时,求a-b可用下图表示,此时向量a,b,a-b正好能构成一个三角形,因此这种求两向量差的作图方法常称为 .
2.相反向量
我们规定,与a 的向量称为a的相反向量,记作 .a和 互为相反向量.零向量的相反向量仍是 .
3.任何一个向量与它的相反向量的和等于 .
一个向量减去另一个向量,等于第一个向量加上第二个向量的 .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)方向相反的向量就是相反向量. ( )
(2)相反向量一定是共线向量. ( )
(3)相反向量的模一定相等. ( )
(4)向量的减法运算可以通过相反向量转化为加法运算. ( )
◆ 探究点一 向量的减法运算
[提问] 在用三角形法则作向量减法时,使两个向量的 相同,差向量即由 向量的终点指向 向量的终点.
例1 (1)若O,E,F是一个平面内不同的三点,则下列等式正确的是 ( )
A.=+
B.=-
C.=-+
D.=--
(2)已知||=6,||=9,则|-|的取值范围是 .
[素养小结]
在计算向量减法时应注意以下两点:
(1)向量减法有时会借助三角形法则进行运算;
(2)向量减法中,减去一个向量等于加上此向量的相反向量.
◆ 探究点二 向量减法的应用
例2 (1)[2023·天津武清区杨村一中高一月考] 下列各式中不能化简为的是 ( )
A.(-)-
B.-(+)
C.-(+)-(+)
D.--+
(2)已知O是平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点,若=a,=b,=c,证明:c+a-b=.
变式 若|a|=|b|=2,|a+b|=2,则|a-b|= .
[素养小结]
此类问题要根据图形的几何性质,运用向量加法的平行四边形法则和向量减法的三角形法则解题,要特别注意向量的方向以及运算式中向量之间的关系.
拓展 如图所示,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则 ( )
A.++=0
B.-+=0
C.+-=0
D.--=0
1.在△ABC中,若=a,=b,则=( )
A.a B.a+b
C.b-a D.a-b
2. +-= ( )
A. B.
C. D.
3.如图所示,以O为圆心,1为半径的圆上有A,B两个动点,则|-|的取值范围为( )
A.(0,1) B.[0,1]
C.(0,2) D.[0,2]
4.(多选题)下列化简结果正确的是 ( )
A.++=0
B.(+)++=
C.-+=0
D.--=
5.已知△ABC为等腰直角三角形,且∠A=90°,给出下列结论:
①|+|=|-|;
②|-|=|-|;
③|-|=|-|;
④=+.
其中所有正确结论的序号为 . 6.1.3 向量的减法
1.C [解析] +-=-=-=.故选C.
2.C [解析] 由题得-=-=+=.故选C.
3.A [解析] ∵=-=b-a,∴的相反向量为-(b-a)=a-b.故选A.
4.C [解析] 由+=2可得D为BC的中点,所以-=-=0.故选C.
5.C [解析] 当a与b的方向相同时,|a+b|=|a|+|b|,故A不正确;当a与b的方向相反时,||a|-|b||=|a+b|,故B不正确;易知C正确;|a|+|b|≥|a-b|,故D不正确.故选C.
【点拨】 求解此类问题,考虑两向量方向相同或相反时选项是否正确.当已知的两个向量不共线时,则要借助图形,以已知向量为一组邻边构建三角形或平行四边形.
6.C [解析] 由题得||=|-|.
由|-|≥|||-|||,得||的最小值为|4-7|=3,
由|-|≤||+||,得||的最大值为|4+7|=11,
故||的取值范围是[3,11].故选C.
7.A [解析] 因为+=,-=,+=,|+|=|-|=|+|,所以||=||=||,所以△ABC是等边三角形.故选A.
8.ABC [解析] 对于A,++=-=0,故A正确;对于B,-+-=(+)-(+)=-=0,故B正确;对于C,-+=(+)-=-=0,故C正确;对于D,++-=++=+=2,故D不正确.故选ABC.
9.BCD [解析] 在菱形ABCD中,≠,故A中结论错误;||=||,故B中结论正确;|-|=2||,|+|=2||,故C中结论正确;+=+=-,故D中结论正确.故选BCD.
10.[3,13] [解析] =-.当,同向共线时,||=||-||=3;当,反向共线时,||=||+||=13;当,不共线时,由|||-|||<|-|<||+||,可得3<||<13.综上可得3≤||≤13.
11.8 [解析] 由题得a+b=,a-b=,因为|a+b|=|a-b|,所以||=||,
所以平行四边形ABCD是矩形,
又|a|=6,|b|=2,所以||=||==4,
则a-b-c=--=-+=+=2,故|a-b-c|=8.
12.8 [解析] 如图,延长线段AB,使得AB=BB'.延长线段AD,使得AD=DD',连接BD',B'D',则b+c=,所以a-b-c=a-(b+c)=a-=-=,所以|a-b-c|=||==8.
13.解:(1)(-)-(-)=--+=+(+)+=(+)+(+)=+=0.
(2)(++)-(--)=(+)+-=++=+=0.
14.证明:如图,在等腰直角三角形ABC中,由M是斜边AB的中点,得||=||,||=||.
(1)在△ACM中,=-=a-b,因为||=||,所以|a-b|=|a|.
(2)在△MCB中,==a-b,所以=-=a-b+a=a+(a-b),
又||=||,所以|a+(a-b)|=|b|.
15. [解析] 如图所示,在平行四边形OACB中,连接OC,AB.设=a,=b,则=-=a-b.因为|a|=|b|=|a-b|,
所以OA=OB=BA,所以△OAB为正三角形.设△OAB的边长为1,则|a-b|=||=1,|a+b|=||=2×=,所以==.
16.解:∵-+-=+,-==-,
∴|+|=|-|,
∴以AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等,
∴该平行四边形为矩形,∴AB⊥AC,∴△ABC是直角三角形.6.1.3 向量的减法
一、选择题
1.在平行四边形ABCD中,O是对角线AC和BD的交点,则+-= ( )
A. B.
C. D.
2.[2024·北京西城区高一期末] 如图,在正六边形ABCDEF中,-= ( )
A. B.
C. D.
3.在平行四边形ABCD中,=a,=b,则的相反向量是 ( )
A.a-b B.b-a
C.a+b D.-a-b
4.在△ABC中,+=2,则-=( )
A.2 B.
C.0 D.2
★5.下列各式中,一定正确的是 ( )
A.|a|+|b|>|a+b|
B.|a|-|b|<|a+b|
C.|a|+|b|≥|a+b|
D.|a|+|b|≤|a-b|
6.若||=7,||=4,则||的取值范围是( )
A.[3,7] B.(3,7)
C.[3,11] D.(3,11)
7.[2023·河南驻马店高一期中] 在△ABC中,|+|=|-|=|+|,则△ABC是 ( )
A.等边三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
8.(多选题)化简以下各式,结果为0的有 ( )
A.++
B.-+-
C.-+
D.++-
9.(多选题)对于菱形ABCD,给出下列各式,其中结论正确的为( )
A.=
B.||=||
C.|-|=|+|
D.|+|=|-|
二、填空题
10.若||=8,||=5,则||的取值范围是 .
11.[2023·广东佛山顺德区容山中学高一月考] 在平行四边形ABCD中,=a,=b,=c,且|a+b|=|a-b|,|a|=6,|b|=2,则|a-b-c|= .
12.如图所示,在矩形ABCD中,||=4,||=8.设=a,=b,=c,则|a-b-c|= .
三、解答题
13.化简:
(1)(-)-(-);
(2)(++)-(--).
14.已知△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,M是斜边AB的中点,=a,=b,求证:
(1)|a-b|=|a|;
(2)|a+(a-b)|=|b|.
15.已知a,b是两个非零向量,且|a|=|b|=|a-b|,则= .
16.若O是△ABC所在平面内一点,且满足|-|=|-+-|,试判断△ABC的形状.
