2.2 课时1 基本不等式
【基础巩固】
1．设，，且，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
2．当时，的最小值为（ ）
A．3 B．
C． D．
3．已知，设，，则与的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．不确定
4．已知，则的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
5．（多选）已知正实数,满足,下列式子中,最小值为的有（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，则的最小值为__________.
7．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是_________．
8．(1)已知,求的最小值;
(2)若时,求的最大值.
【能力拓展】
9．已知都是正实数，若，则 的最小值为（ ）
A．2 B．4
C．6 D．8
10．若一个三角形的三边长分别为,,,记,则此三角形面积,这是著名的海伦公式,已知的周长为,,则的面积的最大值为__________.
11．设，求的最大值．
【素养提升】
12．（多选）《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为和的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点作于点，则下列推理不正确的是（ ）
A．由图1和图2面积相等得
B．由可得
C．由可得
D．由可得2.2 课时1 基本不等式
【基础巩固】
1．设，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵
∴，（当且仅当，取“=”）
故选：C.
2．当时，的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【解析】由（当且仅当时等号成立），
可得当时，的最小值为.
3．已知，设，，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】A
【解析】，当且仅当时，等号成立，故.
4．已知，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】,当且仅当,即时,取等号.
5．（多选）已知正实数,满足,下列式子中,最小值为的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】∵,,∴,∴,当且仅当时等号成立.
由,得,∴的最大值为,A错误;
,B正确;
,C正确;
,D正确.
6．已知，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】时，，根据均值不等式，
可得：，
当，即时取得等号，
故时，取得最小值是.
7．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【解析】不等式恒成立，
即恒成立，
又，
当且仅当时取等号，
所以，解得．
8．(1)已知,求的最小值;
(2)若时,求的最大值.
【答案】见解析
【解析】(1)由,得,所以,
当且仅当,即时,等号成立,所以的最小值为6;
(2)由,得,当且仅当,即时等号成立,所以的最大值为.
【能力拓展】
9．已知都是正实数，若，则 的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【解析】由可知
（当且仅当时等号成立）
（当且仅当时等号成立）
（当且仅当时等号成立）
以上三个不等式两边同时相乘，可得
（当且仅当时等号成立）.
10．若一个三角形的三边长分别为,,,记,则此三角形面积,这是著名的海伦公式,已知的周长为,,则的面积的最大值为__________.
【答案】
【解析】由题意,,,,由,,则,时取等号,则.
11．设，求的最大值．
【答案】见解析
【解析】设，，且，
所以．
由，得，
∴，当且仅当时，等号成立，
即的最大值为．
【素养提升】
12．（多选）《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为和的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点作于点，则下列推理不正确的是（ ）
A．由图1和图2面积相等得
B．由可得
C．由可得
D．由可得
【答案】ABD
【解析】对于A，由图1和图2面积相等得，所以，故A错误；
对于B，因为，所以，所以，，，
因为，所以，整理得，故B错误；
对于C，因为为斜边的中点，所以，
因为，所以，整理得，故C正确；
对于D，因为，所以，整理得，故D错误.
