(共25张PPT)
6.1 平面向量及其线性运算
6.1.4 数乘向量
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 课堂评价
◆ 备课素材
【学习目标】
1.理解数乘向量的定义及几何意义，了解数乘向量的运算律；
2.会判定向量平行、三点共线.
知识点一 数乘向量的定义
一般地,给定一个实数 与任意一个向量 ，规定它们的乘积是一个向量，记作
，其中：
（1）当且时，的模为，而且 的方向如下：
①当时,与 的方向______;
②当时,与 的方向______.
相同
相反
（2）当或时, ___.
实数 与向量 相乘的运算简称为数乘向量.
知识点二 数乘向量的几何意义
1.数乘向量的结果是一个______，这个向量与原来的向量______________，即
_______.
2.数乘向量的几何意义是，把向量沿着它的方向或反方向____________.
向量
共线（平行）
放大或缩小
知识点三 数乘向量的应用
1.当 , 为实数，为向量时， _______.
2.若存在实数 ，使得________，则 .
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）两个具有公共终点的向量，一定是共线向量.( )
×
[解析] 错误，两向量是否共线要看其方向是否相同或相反，而不是起点或终点
是否相同.
（2）（ 为实数），则 必为零.( )
×
[解析] 错误，当时，不论 为何值， .
（3） ， 为实数，若，则与 共线.( )
×
[解析] 错误，当时，，此时与 可以是任意向量.
探究点一 数乘向量的概念及其几何意义
例1 已知, 是两个非零向量，判断下列各命题的真假，并说明理由.
（1）的方向与的方向相同，且的模是的模的 倍；
解：该命题是真命题.，与 同向.
,的模是的模的 倍.
（2）的方向与的方向相反，且的模是的模的 ；
解：该命题是真命题.，与方向相反，且 .
,与方向相同，且 ,
与的方向相反，且的模是的模的 .
（3）与 是一对相反向量；
解：该命题是假命题.与 是相反向量，
与 是相等向量.
（4）若,不共线，则与 不共线.
解：该命题是假命题.,与 共线.
变式 （多选题）对于非零向量 ，下列说法正确的是( )
ABD
A.的长度是的长度的2倍，且与 的方向相同
B.的长度是的长度的，且与 的方向相反
C.若，则 等于零
D.若，则是与 同向的单位向量
[解析] 对于A，的长度是的长度的2倍，且与 的方向相同，故A正确；
对于B，的长度是的长度的，且与 的方向相反，故B正确；
对于C，若，则等于零向量，故C错误；
对于D，若，则是与 同向的单位向量，故D正确.故选 .
［素养小结］
（1）对于,从数的角度来看: 是实数, 是向量,它们的积仍然是向量;
②由得到或 .
（2）对于,从形的角度来看:①当时,有,表示向量 的
有向线段在原方向或反方向上伸长倍;②当 时,表示向量
的有向线段在原方向或反方向上缩短为原来的 .
注意：实数与向量可以求积,但是不能进行加减运算,如无法运算, 等.
探究点二 向量共线（平行）
例2 已知点在线段的延长线上，且 .
解：如图①，因为点在线段的延长线上，且 ，所以
， .
（1）用 表示 ；
如图②，向量与的方向相同，所以 .
（2）用 表示 .
解： 如图③，向量与的方向相反，所以 .
变式 设是非零向量， 是非零实数，则下列结论正确的是( )
B
A.与的方向相反 B.与 的方向相同
C. D.
[解析] 对于A，当时，与的方向相同，当时，与 的方向相反，
故A不正确；
对于B，显然，故B正确；
对于C，，因为 与1的大小关系不确定，所以与 的大小
关系不确定，故C不正确；
对于D，是向量，而表示向量 的模，两者不能比较大小，故D不正确.
故选B.
［素养小结］
向量共线不同于直线重合，两个向量平行也称为两个向量共线，但两直线平行
却不能判定两直线共线.判断两个向量,是否共线，只需看是否存在实数 ,使
得 .
探究点三 三点共线
例3 已知向量,,判断和 是否共线.
解：因为且与有公共点，所以，， 三点共线，同理可得
，，三点共线，所以，，，四点共线，所以和 共线.
［素养小结］
三点共线的证明是向量共线的应用之一，是数乘向量定义的延伸，利用了向量
共线时，表达向量的有向线段所在直线重合的特殊情况.
1.若点在上，且，则 ( )
B
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以 .
2. ( )
C
A.的化简结果为 B.与向量同向 C.与向量 反向 D.的长度为2
[解析] ，与向量反向，其长度为 .故选C.
3.已知，，，是平面内四点，且 ，则下列向量一定
共线的是( )
B
A.与 B.与 C.与 D.与
[解析] 因为，所以 ，即
，所以与 共线.故选B.
4.已知是内一点，若，，则点 的轨迹一定经
过 的( )
A
A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心
[解析] 表示与同向的单位向量，表示与 同向的单位向量，所以由平
行四边形法则得（起点为A）所在直线平分 ，
又，，所以与同方向，又与 共
起点，所以点也在的平分线上，故点的轨迹一定经过 的内心.故选A.
5.[2023·江苏南通高一期末] 在梯形中，，是 的中点，
，设，则 __.
[解析] 连接，，则，， .
用向量法证明三点共线时，关键是能否找到一个实数 ，使得
（， 为这三点构成的其中任意两个向量）.证明步骤是先证明向量共线，然后
再由两向量有公共点，证得三点共线.
解决与中点相关的问题，要注意到中点分线段为相等两段后成相反向量这一特
点，然后进行适当的变形，使问题得以解决，还要注意重心的性质的应用.
例 在中，是 的重心. 证明：
证明：延长交于点，再延长到点 ，
使.连接， （图略）.
是 的重心，是 的中点，
四边形 是平行四边形, .
又, ,
.6.1.4 数乘向量
【课前预习】
知识点一
(1)①相同 ②相反 (2)0
知识点二
1.向量 共线(平行) λa∥a 2.放大或缩小
知识点三
1.(λμ)a 2.b=λa
诊断分析
(1)× (2)× (3)× [解析] (1)错误,两向量是否共线要看其方向是否相同或相反,而不是起点或终点是否相同.
(2)错误,当a=0时,不论λ为何值,λa=0.
(3)错误,当λ=μ=0时,λa=μb=0,此时a与b可以是任意向量.
【课中探究】
例1 解:(1)该命题是真命题.∵>0,∴a与a同向.
∵|a|=|a|,∴a的模是a的模的倍.
(2)该命题是真命题.∵-3<0,∴-3a与a方向相反,且|-3a|=3|a|.
∵6>0,∴6a与a方向相同,且|6a|=6|a|,
∴-3a与6a的方向相反,且-3a的模是6a的模的.
(3)该命题是假命题.∵a-b与b-a是相反向量,
∴a-b与-(b-a)是相等向量.
(4)该命题是假命题.∵0·a=0,∴0·a与b共线.
变式 ABD [解析] 对于A,2a的长度是a的长度的2倍,且2a与a的方向相同,故A正确;对于B,-的长度是a的长度的,且-与a的方向相反,故B正确;对于C,若λ=0,则λa等于零向量,故C错误;对于D,若λ=,则λa是与a同向的单位向量,故D正确.故选ABD.
例2 解:如图①,因为点C在线段AB的延长线上,且AB∶AC=2∶3,所以AB=2BC,AC=3BC.
(1)如图②,向量与的方向相同,所以=2.
(2)如图③,向量与的方向相反,所以=-3.
变式 B [解析] 对于A,当λ>0时,a与λa的方向相同,当λ<0时,a与λa的方向相反,故A不正确;对于B,显然λ2>0,故B正确;对于C,|-λa|=|λ||a|,因为|λ|与1的大小关系不确定,所以|-λa|与|a|的大小关系不确定,故C不正确;对于D,|λ|a是向量,而|-λa|表示向量-λa的模,两者不能比较大小,故D不正确.故选B.
例3 解:因为=2且AB与BC有公共点B,所以A,B,C三点共线,同理可得A,B,D三点共线,所以A,B,C,D四点共线,所以和共线.
【课堂评价】
1.B [解析] 因为=,所以=.
2.C [解析] 6×=-2a,与向量a反向,其长度为2|a|.故选C.
3.B [解析] 因为++=,所以+++=0,即-2=,所以与共线.故选B.
4.A [解析] 表示与同向的单位向量,表示与同向的单位向量,所以由平行四边形法则得+(起点为A)所在直线平分∠BAC,
又=μ,μ>0,所以与+同方向,又与+共起点,
所以点O也在∠BAC的平分线上,故点O的轨迹一定经过△ABC的内心.故选A.
5. [解析] 连接BD,=(+)=(++)==,则λ=1,μ=,∴+=+=.6.1.4 数乘向量
【学习目标】
1.理解数乘向量的定义及几何意义,了解数乘向量的运算律;
2.会判定向量平行、三点共线.
◆ 知识点一 数乘向量的定义
一般地,给定一个实数λ与任意一个向量a,规定它们的乘积是一个向量,记作λa,其中:
(1)当λ≠0且a≠0时,λa的模为|λ||a|,而且λa的方向如下:
①当λ>0时,与a的方向 ;
②当λ<0时,与a的方向 .
(2)当λ=0或a=0时,λa= .
实数λ与向量a相乘的运算简称为数乘向量.
◆ 知识点二 数乘向量的几何意义
1.数乘向量的结果是一个 ,这个向量与原来的向量 ,即 .
2.数乘向量的几何意义是,把向量沿着它的方向或反方向 .
◆ 知识点三 数乘向量的应用
1.当λ,μ为实数,a为向量时,λ(μ a)= .
2.若存在实数λ,使得 ,则b∥a.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个具有公共终点的向量,一定是共线向量.( )
(2)λa=0(λ为实数),则λ必为零. ( )
(3)λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线.( )
◆ 探究点一 数乘向量的概念及其几何意义
例1 已知a,b是两个非零向量,判断下列各命题的真假,并说明理由.
(1)a的方向与a的方向相同,且a的模是a的模的倍;
(2)-3a的方向与6a的方向相反,且-3a的模是6a的模的;
(3)a-b与-(b-a)是一对相反向量;
(4)若a,b不共线,则0·a与b不共线.
变式 (多选题)对于非零向量a,下列说法正确的是( )
A.2a的长度是a的长度的2倍,且2a与a的方向相同
B.-的长度是a的长度的,且-与a的方向相反
C.若λ=0,则λa等于零
D.若λ=,则λa是与a同向的单位向量
[素养小结]
(1)对于λa(λ∈R),从数的角度来看:①λ是实数,a是向量,它们的积仍然是向量;②由λa=0得到a=0或λ=0.
(2)对于λa(λ≠0,1),从形的角度来看:①当|λ|>1时,有|λa|>|a|,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长|λ|倍;②当|λ|<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的|λ|.
注意:实数与向量可以求积,但是不能进行加减运算,如无法运算λ+a,λ-a等.
◆ 探究点二 向量共线(平行)
例2 已知点C在线段AB的延长线上,且AB∶AC=2∶3.
(1)用 表示;
(2)用 表示.
变式 设a是非零向量,λ是非零实数,则下列结论正确的是 ( )
A.a与λa的方向相反
B.a与λ2a的方向相同
C.|-λa|≥|a|
D.|-λa|≥|λ|a
[素养小结]
向量共线不同于直线重合,两个向量平行也称为两个向量共线,但两直线平行却不能判定两直线共线.判断两个向量a,b是否共线,只需看是否存在实数λ,使得a=λb.
◆ 探究点三 三点共线
例3 已知向量=2,=3,判断和是否共线.
[素养小结]
三点共线的证明是向量共线的应用之一,是数乘向量定义的延伸,利用了向量共线时,表达向量的有向线段所在直线重合的特殊情况.
1.若点M在AB上,且=,则=( )
A.-3 B. C.- D.3
2.6×( )
A.的化简结果为2a B.与向量a同向
C.与向量a反向 D.的长度为2
3.已知P,A,B,C是平面内四点,且++=,则下列向量一定共线的是 ( )
A.与 B.与
C.与 D.与
4.已知O是△ABC内一点,若=μ,μ>0,则点O的轨迹一定经过△ABC的( )
A.内心 B.外心
C.重心 D.垂心
5.[2023·江苏南通高一期末] 在梯形ABCD中,AD∥BC,E是CD的中点,BC=2AD,设=(λ+μ),则+= . 6.1.4 数乘向量
1.D [解析] 因为a与b是共线向量,所以b=ka,又a=2e,所以b=2ke,因为=,所以2k=±3,得k=±,所以b=3e或b=-3e.故选D.
2.D [解析] 与a共线同向的单位向量用a可以表示为a;与a共线反向的单位向量用a可以表示为-a.故选D.
3.B [解析] 当λ≠0时,λa与a共线,若λ>0,则λa与a同向,若λ<0,则λa与a反向.当λa与a共线同向时,λ>0,则λ≠0.所以“λ≠0”是“λa与a共线同向”的必要不充分条件.故选B.
4.A [解析] +=++-=2+-=-+2=-m+2n.故选A.
5.D [解析] |++|=|++|=|+|=2||=2.
6.B [解析] 由=2-,得-=-,所以=,所以B,P,C三点共线,且点P在CB的延长线上.故选B.
7.D [解析] =+=+=++=+++=2-.
8.ABC [解析] 因为与的方向相同,且||=3||,所以=,故A正确;因为与的方向相同,且2||=3||,所以=,故B正确;因为与的方向相反,且2||=3||,所以=-,故C正确;因为与的方向相反,且||=||,所以=-,故D错误.故选ABC.
9.ABC [解析] -==,故A中结论正确;+++=0,故B中结论正确;易知△OCD∽△OBA,所以==,所以=-,所以|+2|=|-|=|0|=0,故C中结论正确;==(+)=(+2),故D中结论不正确.故选ABC.
10.1∶2 [解析] ∵=2,∴点P为边AC上靠近点A的三等分点.设点B到边AC的距离为h,则S△PAB=||·h,S△PBC=||·h,又||∶||=1∶2,∴△PAB与△PBC的面积之比为1∶2.
11.重 3 [解析] 取BC的中点D,如图,
则+=2,因为++=0,所以+2=0,即=2,所以M是△ABC的重心.因为+=2=2×=3,所以m=3.
12.4 [解析] 因为点M是 ABCD的对角线的交点,所以M为AC的中点,所以+=0,即-+-=0,即+=2,同理+=2,所以+++=4,故λ=4.
13.解:如图①,因为点C在线段AB的延长线上,且AB∶AC=2∶3,
所以AB=2BC,AC=3BC.
(1)如图②,向量与的方向相同,所以=2.
(2)如图③,向量与的方向相反,所以=-3.
14.解:∵=+,∴-=-+,
∴=,即P是AB上一个靠近A的三等分点.过点Q作PC的平行线交AB于D,如图.
∵Q是BC的中点,∴QD=PC,且D是PB的中点,则QD=2PM,∴PC=4PM,
∴CM=CP,又=t,∴t=.
15.2∶1 [解析] 设=2,=3,则+2+3=++=0,即O为△ADE的重心.设S△AOC=x,S△BOC=y,则S△AOE=3x,S△EOD=6y,∴3x=6y,故S△AOC∶S△BOC=x∶y=2∶1.
16.解:因为A,B,C三点共线,且=,
所以B,C两点可能在点A的同侧,也可能在点A的异侧.
当B,C两点在点A的同侧时,有=,则AB=BC,
因为向量与的方向相同,所以==-.
当B,C两点在点A的异侧时,有=,则AB=BC,
因为向量与的方向相反,所以=-=6.1.4 数乘向量
一、选择题
1.已知e是非零向量,若a=2e,=,a与b是共线向量,则b= ( )
A.-e或e B.3e
C.-3e D.3e或-3e
2.已知|a|=3,则与a共线的单位向量用a可以表示为 ( )
A.a B.a
C.-a D.a或-a
3.已知a是非零向量,则“λ≠0”是“λa与a共线同向”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.在梯形ABCD中,=2,设=m,=n,则+= ( )
A.-m+2n B.m-2n
C.m-2n D.-m+2n
5.在矩形ABCD中,若||=1,则|++|= ( )
A.1 B.
C. D.2
6.在 △ABC 中,点 P 满足 =2-,则( )
A.点P 不在直线 BC 上
B.点 P 在 CB 的延长线上
C.点P 在线段 BC 上
D.点 P 在 BC 的延长线上
7.[2023·安徽合肥一中高一月考] 在△ABC中,点M是线段BC上靠近B的三等分点,点N是线段AC的中点,则= ( )
A.-+
B.-+
C.-+
D.2-
8.(多选题)如图,设P,Q两点把线段AB三等分,则下列向量表达式正确的是 ( )
A.= B.=
C.=- D.=
9.(多选题)如图,在梯形ABDC中,AB∥CD,AB=2CD,AD与BC相交于点O,则下列结论正确的是 ( )
A.-=
B.+++=0
C.|+2|=0
D.=(+2)
二、填空题
10.设P是△ABC所在平面内的一点,且=2,则△PAB与△PBC的面积之比是 .
11.已知在△ABC中,点M满足++=0,则点M是△ABC的 心.若存在实数m,使得+=m成立,则m的值为 .
12.已知点M是 ABCD的对角线的交点,O为任意一点,且+++=λ,则λ的值为 .
三、解答题
13.已知点C在线段AB的延长线上,且AB∶AC=2∶3.
(1)用表示;
(2)用表示
14.如图,在△ABC中,点P是AB上一点,且=+,Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M,设=t,求t的值.
15.[2024·上海行知中学高一期中] 设O为△ABC内部的一点,且+2+3=0,则△AOC的面积与△BOC的面积之比为 .
16.已知A,B,C三点共线,且=,分别用,表示.
