(共30张PPT)
6.1 平面向量及其线性运算
6.1.5 向量的线性运算
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 课堂评价
◆ 备课素材
【学习目标】
1.掌握向量加法与数乘向量混合运算的运算律；
2.理解向量线性运算的定义及运算法则；
3.能利用向量的线性运算解决简单问题.
知识点一 向量的加法与数乘向量的混合运算
1.一般地，对于实数 与 ，以及向量，有 .
2.一般地，对于任意实数 ，以及向量与，有 .
知识点二 向量的线性运算
1.向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算.
2.向量的线性运算，总规定要先计算数乘向量，再按从左往右的顺序进行计算，
若有括号，要先算括号内各项.
3.为线段中点的充要条件是（ 为任意一点）.
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）已知实数 与向量,则 也是向量.( )
√
（2）对于实数 与非零向量,向量与向量 方向相反.( )
×
（3） .( )
√
探究点一 向量的线性运算
例1 化简：
（1） ；
解:原式 .
（2） .
解:原式 .
变式 若，其中,, 为已知向量，则未知
向量 _____________.
[解析] 因为
，所以，所以 .
［素养小结］
向量的线性运算类似于多项式的代数运算,实数运算中的去括号、移项、合并同
类项、提取公因式等变形手段在向量的线性运算中也可以使用.
探究点二 向量线性运算的应用
例2 在中，为边上的中线，为的中点，则 ( )
A
A. B. C. D.
[解析] 因为D为的中点，为 的中点，所以
.
变式 （多选题）[2023·湖北武汉高一期中] 如图，在中，点 满足
，当点在线段上移动时，记 ，则( )
BD
A. B.
C.的最小值为2 D.的最小值为
[解析] 由得，又点在线段 上移动，所以
,，则, ，即
,故A错误，B正确；
，当
时，取得最小值，故C错误，D正确.故选 .
［素养小结］
向量的加法和全等、平行，数乘向量和相似之间关系密切，与之有关的平面几
何问题可以考虑利用向量解决.
探究点三 三点共线的判断
［提问］ 若存在不为0的实数 ,使,则,, 三点______.
例3 已知与为非零向量，,,，若 ,
, 三点共线，则 ( )
共线
D
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] 由题意知，, .因为A,B,C三点共线，
所以,共线.设，则所以 ，整
理得 ，故选D.
变式 如图所示，在中，点是点关于点的对称点，点是边 的一
个靠近点 的三等分点.
（1）用向量与表示向量, ；
解： ，
.
（2）若，求证：，， 三点共线.
证明：，与
共线，
又与有公共点，，， 三点共线.
［素养小结］
用向量法证明三点共线时，先证明向量共线，然后由两向量有公共点证得三点共线.
拓展 设点为内一点，且，则 ( )
A
A. B. C. D.
[解析] ，.设D为边 的中点，则
,,,C三点共线，且, .故选A.
1. ( )
D
A. B. C. D.
[解析]
，
故选D.
2.点在线段的延长线上，且，则 等于( )
D
A. B. C. D.
[解析] .
3.[2024·陕西安康中学高一月考]已知平面向量与不共线，向量 ,
，若,,三点共线，则实数 的值为( )
C
A.1 B. C.1或 D.或
[解析] 因为A，B，C三点共线，所以存在不为0的实数 使得 ，则
,，可得所以 ，
整理得，解得或 .故选C.
4.设，为不共线的向量，，， ，
则下列关系式中正确的是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 因为，， ，所以
.故选B.
5.在平行四边形中，在边上，且，为对角线 上的点，
且 ，则( )
B
A.，，三点共线，且 B.，，三点共线，且
C.，，三点共线，且 D.，， 三点不共线
[解析] 四边形为平行四边形，. ，
，， ，
，
，，与 共
线，又，有公共点，，，C三点共线，且 .故选B.
1.用已知向量表示未知向量是用向量解题的基本功，解题时，应注意解题的方
向，尽量把未知向量往已知向量的方向进行转化.要善于利用三角形法则、平行
四边形法则，以及向量线性运算的运算律.当题目中含有平面几何的相关问题时，
可以利用平面几何的性质进行化简.另外，直接表示较困难时，应考虑方程思想
的应用.
例1 正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分
割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以 ，
，，，为顶点的多边形为正五边形，且 ，
则下列说法中正确的是( )
A
A. B.
C. D.
[解析] 对于A， ，故A正确；
对于B， ，故B错误；
对于C， ，故C错误；
对于D，，，故
，故D错误.故选A.
2.注意以下结论的运用
（1）以，为邻边作，且， ，则两条对角线所对应
的向量， .
（2）在中，若为的中点，则
（3）在中，若为的重心，则 .
3.解决三点共线问题的思路
先将三点共线问题转化为两个向量共线，再利用结论“如果存在实数 ，使得
，则 ”求解，最后再由两个向量共线且有公共点，得出三点共线.
例2 如图，该多边形由一个正方形与以该正方形中心为中
心逆时针旋转 后的正方形组合而成，已知向量， ，
则向量 ( )
D
A. B.
C. D.
[解析] 根据题意可得 .如图,由对称性可得
,
,点B,C,,共线，点,, 共线，所以
， ,所以
.故选D.6.1.5 向量的线性运算
【课前预习】
知识点二
诊断分析
(1)√ (2)× (3)√
【课中探究】
例1 解:(1)原式=-=-=a+b-a-b=0.
(2)原式=6a-6b+6c-4a+8b-4c+4a-2c=6a+2b.
变式 a-b+c [解析] 因为2-(c+b-3y)+b=2y-a-c-b+y+b=3y-a+b-c=0,所以3y=a-b+c,所以y=a-b+c.
例2 A [解析] 因为D为BC的中点,E为AD的中点,所以=+=+=×(+)+(-)=-.
变式 BD [解析] 由=得=(+),又点E在线段AD上移动,所以=k=k(+)=k+k,0≤k≤1,则λ=k,μ=k,即λ=u,故A错误,B正确;(λ-2)2+μ2=+=k2-2k+4=(k-2)2+2,当k=1时,(λ-2)2+u2取得最小值,故C错误,D正确.故选BD.
提问 共线
例3 D [解析] 由题意知,=a-2b,=(λ-2)a+(μ+1)b.因为A,B,C三点共线,所以,共线.设=k(k≠0),则所以λ-2=,整理得2λ+μ=3,故选D.
变式 解:(1)=+=--,
=+=+=2+(+)=+.
(2)证明:∵=-=(-)++=+=,∴与共线,
又∵与有公共点C,∴C,D,E三点共线.
拓展 A [解析] ∵2+2+=0,∴2(+)=.设D为边AB的中点,则4=,∴D,P,C三点共线,且||=||,∴S△ABP∶S△ABC=.故选A.
【课堂评价】
1.D [解析] 3(a-7b)-(7a+4b)+2(2a+13b)=3a-21b-7a-4b+4a+26b=b,故选D.
2.D [解析] =-=3-=2.
3.C [解析] 因为A,B,C三点共线,所以存在不为0的实数λ使得=λ,则xa+b=λa+λ(3x-2)b,λ∈R,可得所以x(3x-2)-1=0,整理得3x2-2x-1=0,解得x=1或x=-.故选C.
4.B [解析] 因为=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,所以=++=-8a-2b=2.故选B.
5.B [解析] ∵四边形ABCD为平行四边形,∴=+.∵BE=BA,BF=BD,∴=,=(+),∴=-=(+)-=-+,=-=-=5,∴=5,∴与共线,又,有公共点E,∴E,F,C三点共线,且=.故选B.6.1.5 向量的线性运算
【学习目标】
1.掌握向量加法与数乘向量混合运算的运算律;
2.理解向量线性运算的定义及运算法则;
3.能利用向量的线性运算解决简单问题.
◆ 知识点一 向量的加法与数乘向量的混合运算
1.一般地,对于实数λ与μ,以及向量a,有λa+μa=(λ+μ)a.
2.一般地,对于任意实数λ,以及向量a与b,有λ(a+b)=λa+λb.
◆ 知识点二 向量的线性运算
1.向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算,统称为向量的线性运算.
2.向量的线性运算,总规定要先计算数乘向量,再按从左往右的顺序进行计算,若有括号,要先算括号内各项.
3.M为线段AB中点的充要条件是=(+)(O为任意一点).
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)已知实数λ与向量a,则λa也是向量. ( )
(2)对于实数λ与非零向量a,向量-λa与向量a方向相反. ( )
(3)λ(a-b)=λa-λb. ( )
◆ 探究点一 向量的线性运算
例1 化简:(1)(3a+2b)-a-b-a+;
(2)6(a-b+c)-4(a-2b+c)-2(-2a+c).
变式 若2-(c+b-3y)+b=0,其中a,b,c为已知向量,则未知向量y= .
[素养小结]
向量的线性运算类似于多项式的代数运算,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量的线性运算中也可以使用.
◆ 探究点二 向量线性运算的应用
例2 在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则= ( )
A.- B.-
C.+ D.+
变式 (多选题)[2023·湖北武汉高一期中] 如图,在△ABC中,点D满足=,当点E在线段AD上移动时,记=λ+μ,则 ( )
A.λ=2μ
B.λ=μ
C.(λ-2)2+μ2的最小值为2
D.(λ-2)2+μ2的最小值为
[素养小结]
向量的加法和全等、平行,数乘向量和相似之间关系密切,与之有关的平面几何问题可以考虑利用向量解决.
◆ 探究点三 三点共线的判断
[提问] 若存在不为0的实数λ,使=λ,则A,B,C三点 .
例3 已知a与b为非零向量,=a+b,=2a-b,=λa+μb,若A,B,C三点共线,则2λ+μ= ( )
A.0 B.1
C.2 D.3
变式 如图所示,在△OAB中,点C是点B关于点A的对称点,点D是边OB的一个靠近点B的三等分点.
(1)用向量与表示向量,;
(2)若=,求证:C,D,E三点共线.
[素养小结]
用向量法证明三点共线时,先证明向量共线,然后由两向量有公共点证得三点共线.
拓展 设点P为△ABC内一点,且2+2+=0,则S△ABP∶S△ABC= ( )
A. B.
C. D.
1.3(a-7b)-(7a+4b)+2(2a+13b)= ( )
A.2a B.b
C.0 D.b
2.点C在线段AB的延长线上,且=3,则等于 ( )
A.-2 B.
C.- D.2
3.[2024·陕西安康中学高一月考] 已知平面向量a与b不共线,向量=xa+b,=a+(3x-2)b,若A,B,C三点共线,则实数x的值为( )
A.1 B.-
C.1或- D.-1或
4.设a,b为不共线的向量,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则下列关系式中正确的是( )
A.= B.=2
C.=- D.=-2
5.在平行四边形ABCD中,E在边AB上,且BE=BA,F为对角线BD上的点,且BF=BD,则 ( )
A.E,F,C三点共线,且=
B.E,F,C三点共线,且=
C.E,F,C三点共线,且=
D.E,F,C三点不共线6.1.5 向量的线性运算
1.D [解析] 原式=6a+3b+8a+4b=14a+7b.故选D.
2.C [解析] 由题意得2x-3x+6a=0,所以x=6a.
3.A [解析] 由++=,得+=-=+=,即-=-,则=2,所以C,P,A三点共线.故选A.
4.B [解析] 因为F是AE的中点,所以=,因为E是CD的中点,所以==,所以=-=-=(+)-=-=-+.故选B.
5.B [解析] 由题得=-=-=(+)-=-=+(-)-=-.故选B.
6.B [解析] 由=λ+,得λ=-=+=,所以P,E,T三点共线,所以点P一定在ET边所在的直线上.故选B.
7.D [解析] 因为+3+4=0,所以+=-3(+),设D为AC的中点,E为BC的中点,则有+=2,+=2,所以=-3,所以M,D,E三点共线,且||=3||,所以||=4||,所以点D到BC的距离等于点M到BC的距离的4倍.则S△DBC=4S△MBC=4S1,又D是AC的中点,所以S△ABC=2S△DBC=8S1=S2,所以=8.故选D.
[点拨] 若M是△ABC内一点,且a+b+(a+b)=0,设AC,BC边的中点分别为D,E,则a=-b.
8.BC [解析] 因为A,B,C三点共线,所以∥,所以存在实数μ,使得=μ,即2a+λb=μ[(λ-1)a+b],所以即λ2-λ-2=0,解得λ=-1或λ=2.故选BC.
9.BD [解析] 因为4-3=,所以3-3=-,所以3=,所以C,B,D三点共线,且||=3||,所以B,D中结论一定正确,A中结论不一定正确;由4-3=,得=3-3+=3+,所以C中结论不一定正确.故选BD.
10.-a+b [解析] 原式=a+b-a+b+a=a+b=-a+b.
11. [解析] 由题意可知=2,所以-=2(-),即=-+,
所以x=-,y=1,所以x+y=.
12. [解析] 由4+2+3=0,可得=-(4+2).由=,可得-==(-),所以=+=-(4+2)+=(-)=,又因为||=2,所以||=||=.
13.解:(1)证明:因为=+=4e1+e2+8e1-9e2=12e1-8e2=4(3e1-2e2)=4,
所以与共线.
因为与有公共点B,
所以A,B,D三点共线.
(2)因为2λe1+e2与e1+λe2共线,
所以存在实数μ,使2λe1+e2=μ(e1+λe2).
因为e1,e2不共线,所以
所以λ=±.
(3)假设e1+λe2与λe1+e2共线,则存在实数m,使e1+λe2=m(λe1+e2).
因为e1,e2不共线,所以所以λ=±1.
因为e1+λe2与λe1+e2不共线,所以λ≠±1.
14.证明:因为=,==(+),
所以=-=+-=-①,
=-=-②.由①②可得=3,即∥,
又与有公共点M,所以M,N,C三点共线.
15.AC [解析] ∵=,∴D为BC的中点,
∴=(+),故A正确;∵=2,
∴==(-),∴=+=+(-)=+,故B错误;连接CF,易知S△ABF=S△ACF=3S△AEF,∴=3,
∴S△ACF=S△ABC,又S△ADC=S△ABC,∴S△ACF=S△ADC,∴=,故C正确;=+=+=+(-)=+-=+,故D错误.故选AC.
[点睛] 在向量与三角形结合的问题中,利用向量间的关系可得三角形面积间的关系,反之利用三角形面积间的关系也可得向量间的关系.
16.解:设a=,b=,则a-b=-=.
因为|a|=|b|=|a-b|=1,即||=||=||=1,所以△OAB为等边三角形.
如图,以OA,OB为邻边作平行四边形OADB,设OD与AB交于点E,
则||=2||=2=,
又a+b=+=,
所以|a+b-c|=|-c|=1.设c的起点为O,
可知c的终点C的轨迹是以点D为圆心,半径r=1的圆.
当点C在OD的延长线与圆D的交点C2处时,|c|取得最大值,M=||+r=+1;
当点C在线段OD与圆D的交点C1处时,|c|取得最小值,m=||-r=-1.
故M+m=(+1)+(-1)=2.6.1.5 向量的线性运算
一、选择题
1.化简:3(2a+b)+2(4a+2b)= ( )
A.7a+4b B.14a+4b
C.7a+14b D.14a+7b
2.若2x-3(x-2a)=0,则向量x等于 ( )
A.a B.-6a
C.6a D.-a
3.平面上点P与不共线的三点A,B,C满足++=,则下列结论正确的是 ( )
A.P在直线CA上,且=2
B.P在直线AB上,且=2
C.P在直线BC上,且=2
D.点P为△ABC的重心
4.如图所示,在平行四边形ABCD中,E是CD的中点,F是AE的中点,则= ( )
A.+
B.-+
C.+
D.-+
5.如图,在△ABC中,=3,=,则= ( )
A.+
B.-
C.-
D.-+
6.已知P是△EFT所在平面内的一点,=λ+,λ∈R,则点P一定在 ( )
A.△EFT内部
B.ET边所在的直线上
C.EF边所在的直线上
D.FT边所在的直线上
★7.已知M是△ABC内一点,+3+4=0,记△MBC的面积为S1,△ABC的面积为S2,则= ( )
A.3 B.4
C.6 D.8
8.(多选题)已知平面向量a,b不共线,=2a+λb,=(λ-1)a+b,若A,B,C三点共线,则实数λ的可能取值为 ( )
A.1 B.-1
C.2 D.-2
9.(多选题)已知4-3=,则下列结论一定正确的是 ( )
A.A,B,C,D四点共线
B.C,B,D三点共线
C.||=||
D.||=3||
二、填空题
10.化简:(a+2b)-(5a-2b)+a= .
11.已知P是梯形ABCD外一点,AB∥CD,AB=2CD,若=+x+y,则x+y= .
12.[2023·福建福州高一期中] 在△ABC中,||=2,=,O是△ABC所在平面内一点,4+2+3=0,则||等于 .
三、解答题
13.设e1,e2是两个不共线的向量,=3e1-2e2,=4e1+e2,=8e1-9e2.
(1)求证:A,B,D三点共线;
(2)试确定λ的值,使2λe1+e2和e1+λe2共线;
(3)若e1+λe2与λe1+e2不共线,试求λ的取值范围.
14.如图,在平行四边形ABCD中,点M是AB的中点,点N在BD上,且BN=BD,求证:M,N,C三点共线.
★15.(多选题)如图,在等边三角形ABC中,=,=2,AD与BE交于点F,则下列结论正确的是 ( )
A.=(+)
B.=+
C.=
D.=+
16.已知向量a,b,c满足|a|=|b|=|a-b|=|a+b-c|=1,记|c|的最大值为M,最小值为m,求M+m的值
