2.5直线与圆、圆与圆的位置关系
（秋季讲义 2019人教版）
知识要点一 直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系 相离 相切 相交
图形
代数意义
交点个数 0 1 2
联立直线与圆方程后得到关于的一元二次方程
例题讲解
专题一 直线与圆位置关系的判断
（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
（25-26高三上·广西柳州·开学考试）直线与圆的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定的
（2024·北京海淀·三模）已知直线和圆，则“”是“存在唯一的k使得直线与相切”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【巩固练习】
1．（25-26高三上·广西·开学考试）已知直线：与圆：，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切
C．相交 D．不确定
2.（2026高三·全国·专题练习）已知圆和直线的位置关系是（ ）
A．相交、相切或相离 B．相交或相切 C．相交 D．相切
3.（2023高三·全国·专题练习）已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.则以下几个命题正确的有（ ）
A．直线l恒过定点(3，1)
B．直线l与圆C相切
C．直线l与圆C恒相交
D．直线l与圆C相离
专题二 根据直线与圆位置求参
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ．
（24-25高二下·安徽铜陵·阶段练习）若直线：与曲线：有两个不同的交点，则实数的取值范围是 .
（2025高二·全国·专题练习）已知两定点，，若直线上的一点满足，则实数的取值范围是 ．
【巩固练习】
1. （2025·辽宁·二模）已知直线与圆相切，则正实数的值为（ ）
A． B． C． D．
2. （24-25高二上·江苏南通·阶段练习）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3. （2025高三·全国·专题练习）已知直线l：与圆C：相切，且l关于x轴对称的直线与圆C有2个交点，则 ．
专题三 圆到直线距离为定值的点个数
（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（25-26高三上·广东潮州·开学考试）“”是“圆上恰有2个点到直线的距离为1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【巩固练习】
（25-26高三上·云南昆明·阶段练习）已知点和直线，圆，圆上到点A的距离等于到直线l的距离的点恰有两个，则r的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
知识要点二 直线与圆相切
一、求圆的切线方程
(1) 定点在圆上：过圆上一点与圆相切的直线有一条
求切线方程：先求切点与圆心连线的斜率，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方程.如果或不存在，则由图形可直接得切线方程.
重要结论：
经过圆上一点的切线方程为
经过圆上一点的切线方程为
经过圆上一点的切线方程为
(2) 定点在圆外：过圆外一点与圆相切的直线有二条
求切线方程
几何法（主要方法）：设出切线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出未知数的值.
代数法：设出切线的方程，利用，求出未知数的值.
二、求切线长
过圆外一点作圆的切线，切点为A，则切线长
例题讲解
专题四 求圆的切线方程及条数
（2006·重庆·高考真题）过坐标原点且与圆相切的直线方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
（24-25高三下·上海·阶段练习）已知为圆上一点，过点的圆的切线的方程为 .
（25-26高三上·湖北·开学考试）与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．6条
（24-25高二上·河北廊坊·期末）一条光线从点射出，经直线反射后，与圆：相切，则反射后光线所在直线的斜率为（ ）
A． B． C．±3 D．
【巩固练习】
1.（24-25高二下·河南鹤壁·期末）过点可以作圆的切线的条数为（ ）
A． B． C． D．无数条
2.（2024高三·全国·专题练习）一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
3. （24-25高三上·福建福州·期末）过直线上一点作圆的两条切线，当直线关于直线对称时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
专题五 圆的两切线夹角
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1 B． C． D．
（2025·江苏苏州·三模）已知点是直线上的动点，过点引圆的两条切线，，，为切点，当的最大值为时，的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【巩固练习】
1. （2025·山西晋中·模拟预测）若过点且与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
2.（2025·山东·模拟预测）已知圆，直线.若过直线上任意一点都能作圆的两条切线，切点为P，Q，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3.（2025高三·全国·专题练习）过直线l：上一点P作圆M：的两条切线，切点分别为A，B，若的最大值为，则（ ）
A． B． C． D．
专题六 圆的切点弦及切线长
（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆的圆心为，且经过点，过点作圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ）
A． B．
C． D．
（2025高三·全国·专题练习）已知点在直线上运动，过点作圆的切线，切点为.求证：直线过定点.
（25-26高二上·全国·单元测试）过点作圆的两条切线，设切点分别为A，B，则 ．
（24-25高二上·广东肇庆·期末）已知圆和圆，过圆上任意一点作圆的两条切线，设两切点分别为、，则（ ）
A．线段的最小值为
B．线段的最大值为
C．当直线与圆相切时，原点到直线的距离为
D．当直线平分圆的周长时，原点到直线的距离为
【巩固练习】
1. （25-26高二上·全国·课后作业）过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 ．
2.（24-25高二下·上海松江·阶段练习）过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为A，B．则的最小值为 ．
3.（24-25高三下·山东·开学考试）已知圆，点为直线与轴的交点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，直线与交于点，则（ ）
A．若直线与圆相切，则 B．时，四边形的面积为
C．的取值范围为 D．已知点，则为定值
4. （2025高三·全国·专题练习）如图1，已知圆，过原点作此圆的切线，切点为．又过原点任作一直线，交圆于两点，交直线于点．设，求证：．
5. （2025·甘肃张掖·模拟预测）如图，圆，为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，切点分别为、，则线段长度的最小值为 .
知识要点三 直线与圆相交
直线与圆相交弦长
设直线l的方程为，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种：
几何法(推荐)：半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：.
代数法
将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为.
①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.
②联立直线与圆的方程，方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，弦长或.
圆的过定点的弦长的最值问题
过圆内定点与圆相交的直线，交于，两点
当直线过圆心时，即由点与圆心点确定直线，弦长取最大值
当直线与所在直线垂直时，弦长取最小值
三、与圆有关的数形结合的最值问题
（1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；
（2）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；也可以考虑用圆的参数方程，借助三角函数来求最值.
（3）形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题；
例题讲解
专题七 与圆相关的弦长与面积
（2022·天津·高考真题）若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ．
（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
（2020·全国I卷·高考真题）已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
（2025·云南·模拟预测）已知直线与圆相交于A、B两点，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
（2025·江苏南通·三模）已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．10
【巩固练习】
1.（24-25高二下·四川凉山·期末）若直线被圆截得的弦长为，则（ ）
A． B． C．2 D．
2. （25-26高三上·湖北·开学考试）已知直线，圆，直线与圆交于两点，则弦长的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．2
3.（2025高三·全国·专题练习）设，圆M：．若动直线：与圆M交于点A，C，动直线：与圆M交于点B，D，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
4.（2025·安徽马鞍山·模拟预测）已知直线与圆交于A，B两点，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5. （2025·山西吕梁·三模）已知点M为圆与y轴负半轴的交点，直线与圆O交于A，B两点，则面积的最大值为（ ）
A．3 B． C．4 D．
专题八 数形结合求最值
（2023·全国乙卷·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．7
（2025高三·全国·专题练习）若，求下列各式的取值范围
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【巩固练习】
1. （24-25高二上·重庆·期末）动直线与动直线相交于点，则的最小值为 ．
2.（2025高三·全国·专题练习）当变化时，不在直线上的点构成区域，是区域内的任意一点，则的取值范围是 ．
3. （2025高三·全国·专题练习）点是曲线上的动点，求下列各式的取值范围．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
4．（25-26高二上·全国·单元测试）已知实数x，y满足方程，则的最大值为 ，的取值范围是 ．
专题九 直线与圆的位置关系综合题
（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
（25-26高三上·四川成都·开学考试）已知圆C：和直线l：，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线l被圆截得的弦长为
B．当时，圆上到直线的距离为1的点有3个
C．存在实数，使得直线与圆相切
D．若直线与圆相交，则实数的取值范围为
（2025·云南·三模）已知点，，点P在圆上运动，则（ ）
A．直线AB与圆C相离 B．的面积的最小值为
C．的最大值为6 D．当最小时，
（2024·山东·二模）已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过定点 B．直线与圆相交
C．当直线平分圆时， D．当点到直线距离最大值时，
【巩固练习】
1.（24-25高二上·湖南·阶段练习）已知直线：，圆：，以下正确的是（ ）
A．与圆不一定存在公共点
B．圆心到的最大距离为
C．当与圆相交时，
D．当时，圆上有三个点到的距离为
2. （2025高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，，动点P满足，记点P的轨迹为曲线C，则（ ）
A．C的方程为
B．若直线与C有公共点，则k的取值范围是
C．当O，A，P三点不共线时，若，则射线PD平分
D．过C外一点作C的切线，切点分别为M，N，则直线MN过定点
3. （24-25高二上·安徽宣城·期末）已知圆和直线，点P在直线l上运动，直线、分别与圆C相切于点，则下列说法正确的是（ ）
A．切线长的最小值为
B．四边形面积的最小值为4
C．当最小时，弦所在的直线方程为
D．弦所在直线必过定点
4. （25-26高三上·江苏南京·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆O：，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若圆O上恰有3个点到直线的距离为2，则
B．直线与圆交于点A，B，若，则
C．点P在直线上运动，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A、B，则点M到直线AB的距离的最大值为2
D．过点M的直线与圆交于A、B，若，则AB的长为
知识要点四 圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系
两圆相交，由两个公共点；
两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点
两圆相离，包括外离与内含，没有公共点外离
圆与圆的位置关系的判定方法
几何法：利用圆心距和两圆半径比较大小，设圆与圆的圆心距为，则有
位置关系 关系式 图示 公切线条数
外离 四条
外切 三条
相交 两条
内切 一条
内含 无
代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断.
当>0时，两圆有两个公共点，相交；
当=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；
当<0时，两圆无公共点，包括内含与外离.
求两圆公切线
求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法，求出公切线方程
四、两圆相交弦长
（1）公共弦所在的直线方程
若圆与圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程为
（2）公共弦长的求法
①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.
②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.
圆系方程
若圆与圆相交于A，B两点，则过A，B两点的圆系方程为
例题讲解
专题十 判断圆与圆的位置关系及公切线条数
（2025·四川绵阳·模拟预测）已知直线与圆相切，则圆和圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
（24-25高二下·云南曲靖·期末）若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
（24-25高三下·辽宁·期中）圆与圆的公切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【巩固练习】
1．（25-26高三上·黑龙江绥化·开学考试）圆与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
2. （24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若圆与圆有且仅有三条公切线， ．
3. （25-26高二上·全国·课后作业）已知与有且只有两条公切线，则实数的取值范围是 ．
专题十一 求两圆的公切线
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．
（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径分别为，若两圆的一条公切线的方程为 ，则（ ）
A． B．2 C． D．3
【巩固练习】
1.（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）与圆和圆都相切的直线方程可能为（ ）
A． B．
C． D．
2.（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（）
A． B．
C． D．
专题十二 两圆的公共弦
（24-25高二下·安徽阜阳·期末）圆与圆的公共弦长为，则的值为（ ）
A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4
（25-26高二上·全国·单元测试）圆和圆的交点为A，B，则有（ ）
A．公共弦AB所在直线的方程为
B．公共弦AB所在直线的方程为
C．公共弦AB的长为
D．若P为圆上一动点，则P到直线AB的距离的最大值为
（25-26高二上·全国·单元测试）若圆，圆的两交点分别为A，B，则（ ）
A． B． C． D．
（2025·安徽·模拟预测）已知圆与圆交于两点，若点在直线上，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
（2025高三·全国·专题练习）求过两圆，的交点，且过坐标原点的圆的方程．
【巩固练习】
1.（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆，圆．则下列选项正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．当圆和圆有三条公切线时，若P，Q分别是圆上的动点，则
C．若圆和圆共有2条公切线，则
D．当时，圆与圆相交弦的弦长为
2．（2025高二·全国·专题练习）（多选）已知圆和圆相交于两点，则下列说法中正确的是（ ）
A．两圆有两条公切线
B．直线的方程为
C．线段的长为
D．过点，的圆系方程可以记为
3.（2025·山东烟台·三模）若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（ ）．
A．5 B． C． D．102.5直线与圆、圆与圆的位置关系
（秋季讲义 2019人教版）
知识要点一 直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系 相离 相切 相交
图形
代数意义
交点个数 0 1 2
联立直线与圆方程后得到关于的一元二次方程
例题讲解
专题一 直线与圆位置关系的判断
（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】ABD
【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.
【详解】圆心到直线l的距离，
若点在圆C上，则，所以，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点在圆C内，则，所以，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点在圆C外，则，所以，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点在直线l上，则即，
所以，直线l与圆C相切，故D正确.
故选：ABD.
（25-26高三上·广西柳州·开学考试）直线与圆的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定的
【答案】C
【分析】由圆心到直线的距离和半径的大小关系即可判断.
【详解】由，
可知：圆心，半径为，
圆心到直线的距离，
所以直线与圆的位置关系为相离，
故选：C
（2024·北京海淀·三模）已知直线和圆，则“”是“存在唯一的k使得直线与相切”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先由，点到直线距离公式列出方程，求出此时，充分性成立；求出所过定点，再由存在唯一k使得直线l与相切”，得到或定点在圆上，得到方程，求出相应的答案，必要性不成立.
【详解】时，到的距离为，
故，解得，
满足存在唯一k使得直线l与相切”，充分性成立，
经过定点，
若，，若，此时直线，
直线与相切，另一条切线斜率不存在，
故满足存在唯一k使得直线l与相切”，
当在上，满足存在唯一k使得直线l与相切，
故，
又，解得，必要性不成立，
故“”是“存在唯一k使得直线l与相切”的充分不必要条件.
故选：A
【巩固练习】
1．（25-26高三上·广西·开学考试）已知直线：与圆：，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切
C．相交 D．不确定
【答案】C
【分析】根据题意可得直线过定点，判断点在圆内，可判断直线与圆相交.
【详解】由题意可得直线：过定点.
因为，所以点在圆内，
则直线与圆相交.
故选：C.
2.（2026高三·全国·专题练习）已知圆和直线的位置关系是（ ）
A．相交、相切或相离 B．相交或相切 C．相交 D．相切
【答案】C
【分析】方法一：分析可知直线过定点，且点在圆内，即可得结果；方法二：求圆心到直线的距离，进而判断位置关系.
【详解】圆，即，圆心为，半径为．
方法一：直线，即，可知直线过定点．
且，则点在圆内，所以直线与圆相交；
方法二：圆心到直线的距离为
，
所以直线与圆相交．
故选：C．
3.（2023高三·全国·专题练习）已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.则以下几个命题正确的有（ ）
A．直线l恒过定点(3，1)
B．直线l与圆C相切
C．直线l与圆C恒相交
D．直线l与圆C相离
【答案】AC
【分析】求出直线所过的定点，确定点在圆内，从而确定直线与圆的位置关系.
【详解】将直线l的方程整理为x＋y－4＋m(2x＋y－7)＝0，
由解得：
则无论m为何值，直线l过定点(3，1)，
因为，所以点在圆内，
故直线l与圆C恒相交，故AC正确.
故选：AC
专题二 根据直线与圆位置求参
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先求出点关于对称点的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；
【详解】解：关于对称的点的坐标为，在直线上，
所以所在直线即为直线，所以直线为，即；
圆，圆心，半径，
依题意圆心到直线的距离，
即，解得，即；
故答案为：
（24-25高二下·安徽铜陵·阶段练习）若直线：与曲线：有两个不同的交点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题可知直线过定点，曲线表示以为圆心，半径为1的圆的上半部分，因为有两个交点，所以先求出当直线与圆相切时切线的斜率，再根据图像可得斜率的取值范围.
【详解】直线可化为所以直线过定点A.
曲线可变形整理为由下图所示：
设直线与圆相切时的斜率为直线过点且与圆有两个交点时的斜率为由图可知，当直线与曲线由两个不同交点时，斜率满足
由圆心到直线的距离为解得
所以
故答案为：.
（2025高二·全国·专题练习）已知两定点，，若直线上的一点满足，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先根据两点距离公式列出等式，然后化简，确定点的轨迹方程，进而根据直线与圆的位置关系求出的取值范围.
【详解】设，因为，所以，
化简得，此即为点的轨迹方程．
由于点在直线上，也在圆上，因此直线与圆至少有一个公共点．
所以圆心到直线的距离，解得，所以或．
故答案为： .
【巩固练习】
1. （2025·辽宁·二模）已知直线与圆相切，则正实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用圆心到直线的距离等于圆的半径，可求出正实数的值.
【详解】因为，则圆的圆心为，半径为，
因为直线与圆相切，
所以，.
故选：A.
2. （24-25高二上·江苏南通·阶段练习）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据直线所过的定点，结合直线与圆的切线性质，利用数形结合思想进行求解即可.
【详解】直线即，恒过定点，
曲线即表示以点为圆心，半径为1，
且位于直线上方的半圆（包括点，），
当直线经过点时，与曲线有两个不同的交点，此时，直线记为；
当与半圆相切时，由，得，切线记为，
分析可知当时，与曲线有两个不同的交点，即实数k的取值范围是.
故选：B.
3. （2025高三·全国·专题练习）已知直线l：与圆C：相切，且l关于x轴对称的直线与圆C有2个交点，则 ．
【答案】
【分析】利用直线与圆相切可求得或，分类讨论，利用直线关于轴对称的直线有两个交点可求得.
【详解】由圆C：得圆心，半径为，
由点到直线的距离可得圆心到直线的距离，
即，解得或．
当时，直线：，
圆：，则直线关于轴对称的直线为：．
因为圆心到直线的距离，
所以直线与圆有2个交点，满足题意；
当时，直线：，圆：，
则直线关于轴对称的直线为：，
因为圆心到直线的距离，
所以直线与圆没有交点，不满足题意，舍去；综上，．
故答案为：．
专题三 圆到直线距离为定值的点个数
（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论.
【详解】由题意，
在圆中，圆心，半径为，
到直线的距离为的点有且仅有 个，
∵圆心到直线的距离为：，
故由图可知，
当时，
圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于；
当时，
圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于；
当则的取值范围为时，
圆上有且仅有两个点到直线的距离等于.
故选：B.
（25-26高三上·广东潮州·开学考试）“”是“圆上恰有2个点到直线的距离为1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出与直线平行且到直线的距离为1的直线方程，再求出圆心到这两条直线距离，进而利用直线与圆的位置关系确定范围，最后利用充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】如图所示：
设与直线平行且到直线的距离为1的直线方程为，
则，解得或，
圆心到直线的距离为，
圆心到直线的距离为，
由图可知，圆与直线相交，与直线相离，则，
所以“”是“圆上恰有2个点到直线的距离为”的必要不充分条件，B正确.
故选：B
【巩固练习】
（25-26高三上·云南昆明·阶段练习）已知点和直线，圆，圆上到点A的距离等于到直线l的距离的点恰有两个，则r的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设圆上点，根据题意得到方程，化简得，，代入圆方程，解得，由解得，当时，对应的点只有1个，不合题意，当时，对应的点有2个，满足要求.
【详解】设圆上点，则有，化简得，
因为，所以，代入圆方程得，解得，
其中舍去，故，
又，即，解得，
当时，，此时，解得，即对应的点只有1个，不合题意，
当时，，此时，故对应的点有2个，满足要求.
故选：B
知识要点二 直线与圆相切
一、求圆的切线方程
(1) 定点在圆上：过圆上一点与圆相切的直线有一条
求切线方程：先求切点与圆心连线的斜率，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方程.如果或不存在，则由图形可直接得切线方程.
重要结论：
经过圆上一点的切线方程为
经过圆上一点的切线方程为
经过圆上一点的切线方程为
(2) 定点在圆外：过圆外一点与圆相切的直线有二条
求切线方程
几何法（主要方法）：设出切线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出未知数的值.
代数法：设出切线的方程，利用，求出未知数的值.
二、求切线长
过圆外一点作圆的切线，切点为A，则切线长
例题讲解
专题四 求圆的切线方程及条数
（2006·重庆·高考真题）过坐标原点且与圆相切的直线方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【分析】求出圆心及半径，分直线斜率不存在和存在两种情况，当斜率存在时，可设切线方程为，由直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，列出方程，解得即可得出答案.
【详解】解：化为标准方程，即得圆心和半径，
当切线斜率不存在时，切线方程为，此时，圆心到切线的距离为，不符题意，故舍去；
当斜率存在时，设过坐标原点的切线方程为，即，
∴线心距，平方去分母得，解得或，∴所求的切线方程为或，
故选：A.
（24-25高三下·上海·阶段练习）已知为圆上一点，过点的圆的切线的方程为 .
【答案】
【分析】根据题意，求得则，得到切线的斜率为，且，结合直线的点斜式方程，即可求解.
【详解】由圆，可得圆心坐标为，则，
则过点的圆的切线的斜率为，且
所以过点的圆的切线的切线方程为，
即，即.
故答案为：.
（25-26高三上·湖北·开学考试）与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．6条
【答案】B
【分析】分类讨论，①当直线不经过原点时，设截距为，②当直线经过原点时，设直线方程为.
【详解】因为直线在两坐标轴上截距相等，所以
①当直线不经过原点时，设截距为，.
则直线过点，那么直线斜率为.
所以直线方程为.
因为该直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径.
即，化简得，求解得或（舍去）.
此情况下有一条直线符合题意，直线方程为.
②当直线经过原点时，设直线方程为，即.
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径.
即，化简得，求解得.
此情况下有两条直线符合题意，直线方程为.
综上，共有3条直线符合题目要求.
故选：B.
（24-25高二上·河北廊坊·期末）一条光线从点射出，经直线反射后，与圆：相切，则反射后光线所在直线的斜率为（ ）
A． B． C．±3 D．
【答案】A
【分析】求出点关于直线的对称点，结合光的反射定律求出过作圆的切线斜率即可.
【详解】依题意，点关于直线的对称点，由光的反射定律知，反射光线必过点，
而圆：的圆心，半径1，
显然过点的圆的切线斜率存在，设切线方程为，即，
由，得，所以.
故选：A
【巩固练习】
1.（24-25高二下·河南鹤壁·期末）过点可以作圆的切线的条数为（ ）
A． B． C． D．无数条
【答案】B
【分析】判断点与圆的位置关系，即可得出结论.
【详解】因为，故点在圆上，所以因此过点只能作一条圆的切线.
故选：B.
2.（2024高三·全国·专题练习）一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】D
【分析】根据反射光线的反向延长线过点可设反射光线所在直线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径可求直线的斜率.
【详解】
由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点，
设反射光线所在直线方程为：，即：.
∵反射光线与圆相切，
∴圆心到直线的距离等于半径，即，
整理得，解得：或.
故选：D．
3. （24-25高三上·福建福州·期末）过直线上一点作圆的两条切线，当直线关于直线对称时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据直线和圆的位置关系、两直线的交点等知识即可求出点的坐标.
【详解】由圆的圆心为，
由图知，当直线关于直线对称时，与直线垂直.
(理由：设直线切圆于点，易得平分，
又直线关于直线对称，故直线平分的邻补角，故可得)
故直线的方程为，即，
由解得：，即点的坐标为.
故选：B.
专题五 圆的两切线夹角
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.
【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，
因为，则，
可得，
则，
，
即为钝角，
所以；
法二：圆的圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，连接，
可得，则，
因为
且，则，
即，解得，
即为钝角，则，
且为锐角，所以；
方法三：圆的圆心，半径，
若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为，即，
则，整理得，且
设两切线斜率分别为，则，
可得，
所以，即，可得，
则，
且，则，解得.
故选：B.
（2025·江苏苏州·三模）已知点是直线上的动点，过点引圆的两条切线，，，为切点，当的最大值为时，的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【分析】当时最小，最小，求出最小值即得的值.
【详解】
如图，
当的最大值为时，，
当时，最小时，最大.
由题得，
所以，则；
故选：A.
【巩固练习】
1. （2025·山西晋中·模拟预测）若过点且与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意有半径且与圆心的距离，结合及二倍角余弦公式求.
【详解】由，则圆心，半径，
所以与圆心的距离，
所以，则.
故选：B
2.（2025·山东·模拟预测）已知圆，直线.若过直线上任意一点都能作圆的两条切线，切点为P，Q，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题意得圆心到直线l的距离，解该不等式即可得解.
【详解】因为圆的半径为，
且过直线上任意一点都能作圆的两条切线，切点为P，Q，且，
所以圆心到直线l的距离，解得或，
故实数的取值范围是.
故选：D
3.（2025高三·全国·专题练习）过直线l：上一点P作圆M：的两条切线，切点分别为A，B，若的最大值为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据最大有且圆心到直线l的距离最短，利用圆的切线性质得，再应用点线距离公式列方程求参数值.
【详解】当时，圆心到直线l的距离最短，最大，
因为的最大值为，
在，中，，，所以，
当最大时，圆心M到直线l的距离为4，即，解得（舍）或．
故选：C
专题六 圆的切点弦及切线长
（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆的圆心为，且经过点，过点作圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意求得其中一个切点的坐标，并求出的斜率即可求解.
【详解】由题意，圆的半径为圆的标准方程为．
当斜率不存在时，过点的直线为，与圆相切于点．
由圆的切线的性质可知，，
直线AB的方程为，即．
故选：A.
（2025高三·全国·专题练习）已知点在直线上运动，过点作圆的切线，切点为.求证：直线过定点.
【答案】证明见解析
【分析】设点，根据题意得到和的关系式，并推导出四点共圆，求出该圆的方程，与所在的另一个圆的方程联立，即可得到所在直线的方程，最后求解定点即可.
【详解】设点，则，，
由过点作圆的切线，切点为可知，，
可得四点共圆，为该圆直径，
该圆圆心为中点，半径长为，
因此四点确定的圆的方程为，
即，，
又因为也在圆上，联立可得，
从而圆的切点弦所在直线的方程为，
变形得，得，即，
联立方程，解得，
故直线过定点，定点坐标为.
（25-26高二上·全国·单元测试）过点作圆的两条切线，设切点分别为A，B，则 ．
【答案】/
【分析】先确定圆的圆心坐标和半径，根据图形上的几何关系和等面积法求出.
【详解】，即，故圆心为，半径为．
如图，连接，因为，所以，
故切线长．
连接，由（等面积法），
解得．
故答案为：.
（24-25高二上·广东肇庆·期末）已知圆和圆，过圆上任意一点作圆的两条切线，设两切点分别为、，则（ ）
A．线段的最小值为
B．线段的最大值为
C．当直线与圆相切时，原点到直线的距离为
D．当直线平分圆的周长时，原点到直线的距离为
【答案】AD
【分析】根据圆的切线的几何性质可求得，确定，可求得的取值范围，即可判断AB；当直线与圆相切时，设直线的方程，利用和圆相切可得，继而求得原点到直线的距离，判断C；当直线平分圆的周长时, 直线过点，设直线方程，可得，由此求得原点到直线的距离，判断D.
【详解】如图示：、，
根据直角三角形的等面积方法可得，，
因为，，即，
故，故A正确，B错误；
当直线与圆相切时，由题意可知的斜率存在，
故设的方程为，则有 ，即，
即或，
设原点到直线的距离为，则，
当时， ；当时，，故C错误；
当直线平分圆的周长时，即直线过点,
则直线斜率存在，设直线方程为，即 ，
则 ，即，则，
故原点到直线的距离为,则 ，故D正确.
故选：AD.
【点睛】结论点睛：若点是半径为的圆外的一点，则点到圆的上一点的距离的取值范围是.
【巩固练习】
1. （25-26高二上·全国·课后作业）过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 ．
【答案】
【分析】弦即为点所对应的切点弦，可采用“留一代一”法直接写出方程；也可根据先求出直线AB斜率，再求方程.
【详解】 方法一：直接在一般式方程里用“留一代一”：需注意“Ey”要代成“”，切点弦所在直线方程为，整理得．
方法二：将方程化为标准形式得，根据“留一代一”可知，所求切点弦所在直线方程为，即．
方法三：将方程化为标准形式得，观察圆的方程和点坐标可知，
过点且与圆相切的两条直线中，有一条斜率不存在，此时切线方程为，
将代入圆的方程中得，故此直线与圆相切于点．
由圆的切线的性质可知，，．
又直线过点，直线的方程为，即．
故答案为：．
2.（24-25高二下·上海松江·阶段练习）过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为A，B．则的最小值为 ．
【答案】
【分析】圆的圆心为，结合等面积法可知，由此可知只需求的最小值即可，结合点到直线的距离公式即可得解.
【详解】设圆的圆心为，半径为1，
由切线长定理可得，
又因为，，则，所以，
所以，则四边形面积为，
所以，
当的长最小时，弦长最小，
而的最小值为圆心到直线的距离，
所以，所以．
故答案为：.
3.（24-25高三下·山东·开学考试）已知圆，点为直线与轴的交点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，直线与交于点，则（ ）
A．若直线与圆相切，则 B．时，四边形的面积为
C．的取值范围为 D．已知点，则为定值
【答案】ACD
【分析】选项A：利用圆心到直线的距离等于半径，计算可得；
选项B：利用求出长，根据相切得到的四边形面积，等于两个全等的直角三角形面积和，计算可得；
选项C：利用求出长，在直角中，表示出，进而利用倍角公式求出，最后利用数量积公式计算可得；
选项D：利用四点共圆，且为此圆直径，求出此圆方程，再利用作差，求出相交弦所在直线方程，判断出过定点，利用判断出在以为圆心的圆上；选项D也可以利用圆极点极线性质，通过坐标，直接写出方程，进而求解.
【详解】解：圆转化为标准方程为，,在直角中，；
对于A:若直线与圆相切，圆心到直线的距离，解得，所以A正确;
对于B:当时，，，，
四边形的面积，所以B错误;
对于C:
，
因为，所以，
由对勾函数在上单调递增，所以，所以C正确;
对于D:方法一：当时，存在与轴的交点，，，
所以四点共圆，且为此圆直径，圆心为，半径为，
此圆方程为：，
因为是此圆与圆的相交弦，故直线方程为两圆方程作差，
即，化简得：，
所以直线AB经过定点,
因为，所以，因为在直线AB上，所以，
即点在以为直径的圆上，因为，，所以圆心恰为点，半径为，
因为点在该圆上，所以为定值，所以D正确.
方法二：利用圆的极点极线性质，当时，存在与轴的交点，切点所在直线AB的方程为，化简得，所以直线AB经过定点,
因为，所以，因为在直线AB上，所以，
即点在以为直径的圆上，因为，，所以圆心恰为点，半径为，
因为点在该圆上，所以为定值，所以D正确.
故选：ACD.
【点睛】此题考查的是圆切线相关问题：
（1）直线与圆相切的判断方法：圆心到直线距离等于半径；
（2）通过勾股定理，求切线长；
（3）通过直角三角形和余弦的倍角公式，利用表示张角的余弦值；
（4）利用四点共圆或极点极线性质，求切点弦所在直线方程；
（5）极点极线性质：当在圆外时，过作圆的两条切线，两个切点所在直线方程为：.
4. （2025高三·全国·专题练习）如图1，已知圆，过原点作此圆的切线，切点为．又过原点任作一直线，交圆于两点，交直线于点．设，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】由题意设，直线，将线段长度转化为坐标和斜率的关系，再结合韦达定理和圆的切点弦性质，即可得证.
【详解】证明：设，直线，
将直线方程代入圆方程，得，
整理得．
则，
又，
则等价于．
左边．
设切点,则由，
可得，
又，即，
两式相减，得，
所以过切点的直线的方程为，
求方程组的解，得，
故，从而．
综上，证得．
5. （2025·甘肃张掖·模拟预测）如图，圆，为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，切点分别为、，则线段长度的最小值为 .
【答案】
【分析】推导出，利用等面积法可得，分析可知，当的长度最小，只需使线段的长度最小，可知当时，取最小值，结合点到直线的距离公式可求得的最小值.
【详解】由切线长定理可得，
又因为，，则，所以，，
所以，，
则四边形的面积为，所以.
在中，，代入整理得，
要使线段的长度最小，只需使线段的长度最小，
而是圆心到直线上任意一点的距离，
故当且仅当时，即为圆心到直线的距离时，最小，
此时，则.
故答案为：.
知识要点三 直线与圆相交
直线与圆相交弦长
设直线l的方程为，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种：
几何法(推荐)：半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：.
代数法
将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为.
①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.
②联立直线与圆的方程，方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，弦长或.
圆的过定点的弦长的最值问题
过圆内定点与圆相交的直线，交于，两点
当直线过圆心时，即由点与圆心点确定直线，弦长取最大值
当直线与所在直线垂直时，弦长取最小值
三、与圆有关的数形结合的最值问题
（1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；
（2）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；也可以考虑用圆的参数方程，借助三角函数来求最值.
（3）形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题；
例题讲解
专题七 与圆相关的弦长与面积
（2022·天津·高考真题）若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ．
【答案】
【分析】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于的等式，即可解得的值.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离为，
由勾股定理可得，因为，解得.
故答案为：.
（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】根据题意，由条件可得直线过定点，从而可得当时，的最小，结合勾股定理代入计算，即可求解.
【详解】因为直线，即，令，
则，所以直线过定点，设，
将圆化为标准式为，
所以圆心，半径，
当时，的最小，
此时.
故选：C
（2020·全国I卷·高考真题）已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据 可知，当直线时，最小，求出以 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程．
【详解】圆的方程可化为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离．
依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ，
当直线时，， ，此时最小．
∴即 ，由解得， ．
所以以为直径的圆的方程为，即 ，
两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．
故选：D.
【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．
（2025·云南·模拟预测）已知直线与圆相交于A、B两点，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】利用几何法先求圆心到直线的距离，由即可求解.
【详解】由题意有圆心到直线的距离为，
所以，
又解得.
故选：C.
（2025·江苏南通·三模）已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．10
【答案】B
【分析】确定直线所过的定点，再求出圆心到该定点的距离，进而确定圆心到直线距离的取值范围，最后根据三角形面积公式求出面积的最大值.
【详解】直线过定点，圆，
易知
设到距离为，
，
当时，.
故选:B．
【巩固练习】
1.（24-25高二下·四川凉山·期末）若直线被圆截得的弦长为，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】根据圆的方程求出圆心和半径，再根据直线截圆弦长公式求解参数的值.
【详解】因为圆，所以圆心为，半径为.
设圆心到直线距离为：.
因为直线与圆截得的弦长为.
所以.
解得：.
故选：.
2. （25-26高三上·湖北·开学考试）已知直线，圆，直线与圆交于两点，则弦长的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．2
【答案】D
【分析】根据直线方程确定其所过的定点，再判断定点与圆的位置关系，结合直线与圆相交弦长最小时定点与圆心所在直线与垂直，最后应用几何法求弦长.
【详解】由题设即，
令得，所以直线过定点，
而即，
所以，即定点在圆内，且圆心为，半径为3，
所以定点与圆心的距离，
要使最小，即定点与圆心所在直线与垂直，此时.
故选：D
3.（2025高三·全国·专题练习）设，圆M：．若动直线：与圆M交于点A，C，动直线：与圆M交于点B，D，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可知，经过定点且互相垂直，再由圆的弦长公式得，再用基本不等式即可得最大值.
【详解】由题知圆M的方程为，圆心，半径．
可化为，可知经过定点，同理可得也经过定点.
又，所以，即，经过定点且互相垂直，如图，
设AC和BD中点分别为F，G，可知四边形EFMG为矩形．
设，则，结合，，
可得，所以,
，
当且仅当，即时取等号．
综上所述，当时，取得最大值．
故选：B.
4.（2025·安徽马鞍山·模拟预测）已知直线与圆交于A，B两点，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由计算可得弦心距，进而可得，根据充分条件与必要条件判断即可.
【详解】由直线与圆交于A，B两点可得，
即弦心距，
又因，解得，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
5. （2025·山西吕梁·三模）已知点M为圆与y轴负半轴的交点，直线与圆O交于A，B两点，则面积的最大值为（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】注意到直线过点C，将直线与圆方程联立，设，则面积为，然后由韦达定理可得面积关于k的表达式，据此可得答案.
【详解】注意到直线过点C，将直线方程与联立，
可得，其判别式为，
设，则.
又，，
则
，
当且仅当时取等号.
故选：B
专题八 数形结合求最值
（2023·全国乙卷·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．7
【答案】C
【分析】法一：令，利用判别式法即可；法二：通过整理得，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可.
【详解】法一：令，则，
代入原式化简得，
因为存在实数，则，即，
化简得，解得，
故 的最大值是，
法二：，整理得，
令，，其中，
则，
，所以，则，即时，取得最大值，
法三：由可得，
设，则圆心到直线的距离，
解得
故选：C.
（2025高三·全国·专题练习）若，求下列各式的取值范围
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1），由几何意义得表示圆弧上的点到距离的平方减1，利用图象求最值即可求解；
（2）令，易得与圆弧边界相交时取得最小值，相切时取得最大值，利用圆心到直线的距离等于半径求解即可；
（3）由得几何意义，表示圆弧上的点与点的斜率，结合图象求解即可；
（4）由，而表示圆弧上的点与点的斜率，结合图象得到的范围即可求解.
【详解】（1）根据题意，表示以为圆心，半径为1的圆弧，
，表示圆弧上的点到距离的平方减1，
又，，
所以的最大值为，最小值为，
故的取值范围为.
（2）令，
当直线与圆弧交于点时取得最小值；
当直线与圆弧相切，即圆心到直线距离，
解得或（舍），此时，
所以的取值范围为.
（3）表示圆弧上的点与点的斜率，
根据图像可知斜率最小为，最大为，
所以的取值范围为.
（4），
而表示圆弧上的点与点的斜率，
根据图像可知斜率最小值为，
当直线与圆弧相切时取得最大值，设，
圆心到直线的距离，解得或（舍），
所以的取值范围为.
【巩固练习】
1. （24-25高二上·重庆·期末）动直线与动直线相交于点，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】由题意可知，动直线经过定点，
动直线经过定点，
因为两直线，始终垂直，点C是两条直线的交点，
所以有，所以点C的轨迹方程是，
所求可以看成点C与点连线的斜率，
如图象，求出过M点的切线斜率即可，设切线为，即.
根据相切的条件构造方程，即,解得.
可得最小值为．
故答案为：.
2.（2025高三·全国·专题练习）当变化时，不在直线上的点构成区域，是区域内的任意一点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】将方程整理为，知方程无根；当时，利用可得所求区域，将所求式子化为与夹角余弦值，通过确定向量夹角的范围可确定所求式子的范围；当时，知满足题意，代入可得式子的值；综合两种情况可得结果.
【详解】将直线方程转化为：，
区域表示不在直线上的点构成的集合，
方程无实数根；
①当时，，整理得：，
即在以为圆心，为半径的圆的内部.
令，则，，，
设与夹角为，则，
又直线与圆相切于点，且，
，；
②当时，直线方程为，令，解得：，
当时，必有取值，则当时，只有不在直线上.
此时；
综上所述： 的取值范围为.
故答案为：.
3. （2025高三·全国·专题练习）点是曲线上的动点，求下列各式的取值范围．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）（2）（3）（4）根据目标式的几何意义，结合图形，利用圆的性质求解即可.
【详解】（1）点在以为圆心，为半径的半圆上，记，
表示点到点的距离平方减1，如图1．
因为，
，所以．
（2）设直线，为直线在轴上的截距，如图2．
圆心到直线的距离为，解得．
当过点时，有，结合图象可知．
（3）令，表示过点和的直线斜率，
将点代入，得．
又由，得．
圆心到直线的距离为1，即，即，
化简并整理得．
解得．
由图3可知，取，故．
（4）如图4，令，化简得，即．
表示过点和的直线斜率加2，
由得．
令，即，
由得，
化简并整理得，解得．
由图4可知，故．
4．（25-26高二上·全国·单元测试）已知实数x，y满足方程，则的最大值为 ，的取值范围是 ．
【答案】
【分析】可化为，此方程表示圆心为，半径为1的圆，表示该圆上的点与原点的连线的斜率，表示圆上的点到直线的距离，从而由直线与圆的位置关系即可求解.
【详解】方法一 可化为，此方程表示圆心为，半径为1的圆．
设，则直线与圆有公共点（将所求问题转化为直线与圆有公共点进行求解是解题的关键），
所以，解得，所以的最大值为．
表示圆上的点到直线的距离，
因为圆心到直线的距离为，
所以，即．
方法二 可化为，此方程表示圆心为，半径为1的圆，
所以可以看作是圆：上一点与原点连线的斜率，
如图所示，OA，OB与圆分别相切于A，B，所以，连接MA，OM，
所以，所以，
所以圆上一点与原点连线的斜率的最大值为．设
所以
且，
所以．
故答案为：，.
专题九 直线与圆的位置关系综合题
（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
【答案】ACD
【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.
【详解】圆的圆心为，半径为，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：
当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD选项正确.
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是.
（25-26高三上·四川成都·开学考试）已知圆C：和直线l：，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线l被圆截得的弦长为
B．当时，圆上到直线的距离为1的点有3个
C．存在实数，使得直线与圆相切
D．若直线与圆相交，则实数的取值范围为
【答案】ACD
【分析】对于A，利用弦长公式，直接求出弦长，即可求解；对于B，由选项A知圆心到直线的距离为，从而有，，数形结合，即可求解；对于C和D，利用直线与圆的位置关系，即可求解.
【详解】由得，所以圆的圆心为，半径为，
对于A，当时，直线l：，圆心到直线的距离为，
所以直线l被圆截得的弦长为，故A正确，
对于B，由选项A知圆心到直线的距离为，又，
则，，
所以由图可知，圆上到直线的距离为1的点有个，故B错误，
对于C，由，得到，解得或，
所以当或时，圆心到直线的距离等于半径，
即存在实数，使得直线与圆相切，所以C正确，
对于D，因为直线与圆相交，则，整理得到，
解得，所以D正确，
故选：ACD.
（2025·云南·三模）已知点，，点P在圆上运动，则（ ）
A．直线AB与圆C相离 B．的面积的最小值为
C．的最大值为6 D．当最小时，
【答案】ACD
【分析】求得直线AB的方程为，得到圆心C到直线AB的距离，可判定A正确；由，点P到直线AB的距离的最小值为，结合三角形的面积公式，可判定B错误；根据，可判定C正确；当最小时，得到直线PB与圆C相切，结合切线长公式，可判定D正确.
【详解】对于A中，由点，，点P在圆上运动，
则圆心为，半径为2，直线AB的方程为，
则圆心C到直线AB的距离，所以直线AB与圆C相离，所以A正确；
对于B中，因为，点P到直线AB的距离的最小值为，
则面积的最小值为，所以B错误；
对于C中，由，所以C正确；
对于D中，当最小时，直线PB与圆C相切，此时，所以D正确.
故选：ACD．
（2024·山东·二模）已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过定点 B．直线与圆相交
C．当直线平分圆时， D．当点到直线距离最大值时，
【答案】ACD
【分析】对于A，将直线方程变形即可进一步判断；对于B，举反例即可判断；对于C，将圆心坐标代入直线方程即可验算参数；对于D，当点到直线距离最大值时，有，结合它们的斜率关系即可判断.
【详解】对于A，即，令，有，所以直线恒过定点，故A正确；
对于B，圆的圆心、半径为，
点到直线的距离为，
从而，
取，则此时有，故B错误；
对于C，当直线平分圆时，有点在直线上，
也就是说有成立，解得，故C正确；
对于D，点到直线距离满足，等号成立当且仅当，
而的斜率为，
所以当等号成立时有，解得，故D正确.
故选：ACD.
【巩固练习】
1.（24-25高二上·湖南·阶段练习）已知直线：，圆：，以下正确的是（ ）
A．与圆不一定存在公共点
B．圆心到的最大距离为
C．当与圆相交时，
D．当时，圆上有三个点到的距离为
【答案】ABD
【分析】对A，根据直线与圆的位置关系，求圆心到直线的距离判断；对于B，由于直线恒过定点，所以当时，圆心到直线的距离最大，从而可求出其最大值；对C，根据直线与圆的位置关系求解判断；对D，求出圆心到直线的距离，进而判断.
【详解】对于A，圆心到直线的距离为，
当，即，解得或，此时直线与圆相离，没有公共点，故A正确；
对于B，因为直线，即，所以直线过定点，
当时，圆心到直线的距离最大，最大值为，故B正确；
对于C，当直线与圆相交时，则，解得，故C错误；
对于D，当时，直线，圆心到直线的距离为，
所以圆上有三个点到直线的距离为，故D正确.
故选：ABD.
2. （2025高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，，动点P满足，记点P的轨迹为曲线C，则（ ）
A．C的方程为
B．若直线与C有公共点，则k的取值范围是
C．当O，A，P三点不共线时，若，则射线PD平分
D．过C外一点作C的切线，切点分别为M，N，则直线MN过定点
【答案】ACD
【分析】设，根据条件列出方程化简可判断A，利用圆心到直线的距离列出不等式求解判断B， 根据角平分线定理计算即可判断C，利用切线的切点在圆上，求出圆的方程，根据切点为两圆的交点，两圆方程作差求出切点所在直线方程即可判断D.
【详解】设，
由，得，即，
故A正确；
圆心为，半径为，直线与C有公共点，则圆心到直线的距离，
解得或，故B错误；
如图，
当O，A，P三点不共线时，，
则，，，则，
所以，所以射线PD平分，故C正确；
如图，
设，因为，，所以M，N在以CE为直径的圆上．
CE中点为，所以CD为直径的圆方程为，
即，
与C方程相减得直线MN的方程为，
令，，解得，，
则直线MN过定点，故D正确．
故选：ACD
3. （24-25高二上·安徽宣城·期末）已知圆和直线，点P在直线l上运动，直线、分别与圆C相切于点，则下列说法正确的是（ ）
A．切线长的最小值为
B．四边形面积的最小值为4
C．当最小时，弦所在的直线方程为
D．弦所在直线必过定点
【答案】BD
【分析】根据圆的标准方程得出圆心为，半径为2，由圆切线的性质及勾股定理得，再根据点到直线的距离公式得出，即可判断A；结合A的结论得出即可判断B；结合A的结论，根据两直线交点，中点公式及点斜式方程求得弦所在的直线方程，即可判断C；设，得出以为直径的圆的方程，与圆方程相减即可得出弦所在直线方程，进而求得定点，即可判断D．
【详解】对于A，圆的圆心为，半径为2，
由题意可得，
所以，
，
所以，故A错误；
对于B，，
所以四边形面积的最小值为4，故B正确；
对于C，当最小时，，则直线的斜率为，
又，所以直线的斜率为，
的直线方程为，即，
由，解得，，即，
因为当最小时，，所以为等腰直角三角形，
所以中点即为中点，
因为的中点为，所以弦的中点为，
所以弦所在的直线方程为，即，故C错误；
对于D，设，
则以为直径的圆的方程为，
展开得①，
圆C的方程为，即②，
①②得弦所在直线方程为，即，
令，解得，
所以弦所在直线必过定点，故D正确；
故选：BD．
4. （25-26高三上·江苏南京·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆O：，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若圆O上恰有3个点到直线的距离为2，则
B．直线与圆交于点A，B，若，则
C．点P在直线上运动，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A、B，则点M到直线AB的距离的最大值为2
D．过点M的直线与圆交于A、B，若，则AB的长为
【答案】ACD
【分析】分析可知圆心到直线的距离为2，根据点到直线的距离公式求出的值，即可判断选项A；利用几何法，根据弦长和勾股定理即可求出圆心到直线的距离，再根据点到直线的距离公式求出的值，即可判断选项B；设，根据题意先表示出切点弦的方程，确定直线过定点，求出，即为所求点到直线距离的最大值，即可判断选项C；利用直线的参数方程求弦长，即可判断选项D.
【详解】因为圆O上恰有3个点到直线的距离为2，
所以圆心到直线的距离为2，所以，解得或，故选项A正确；
因为直线与圆交于点A，B，且，所以圆心到直线的距离为：.
所以，解得，故选项B错误；
如图：
设，则（*）.
由切线性质可知：，，所以，，，四点共圆，为直径.
以为直径的圆的方程为：，即.
与圆相减得：，即两圆公共弦所在的直线方程为：.
将（*）代入可得：，即.
令，解得，即直线过定点.
所以点M到直线AB的距离的最大值为线段的长度（此时），
因为，故选项C正确；
如图：
设直线的参数方程为：（为参数），将其代入圆的方程得：
，化简得：.
设，对应的参数分别为：，，则.
因为，所以，所以，即，所以.
又，故选项D正确.
故选：ACD.
知识要点四 圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系
两圆相交，由两个公共点；
两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点
两圆相离，包括外离与内含，没有公共点外离
圆与圆的位置关系的判定方法
几何法：利用圆心距和两圆半径比较大小，设圆与圆的圆心距为，则有
位置关系 关系式 图示 公切线条数
外离 四条
外切 三条
相交 两条
内切 一条
内含 无
代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断.
当>0时，两圆有两个公共点，相交；
当=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；
当<0时，两圆无公共点，包括内含与外离.
求两圆公切线
求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法，求出公切线方程
四、两圆相交弦长
（1）公共弦所在的直线方程
若圆与圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程为
（2）公共弦长的求法
①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.
②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.
圆系方程
若圆与圆相交于A，B两点，则过A，B两点的圆系方程为
例题讲解
专题十 判断圆与圆的位置关系及公切线条数
（2025·四川绵阳·模拟预测）已知直线与圆相切，则圆和圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
【答案】C
【分析】由直线与圆相切求出，进而判断两圆位置关系.
【详解】圆的圆心，半径，
由直线与圆相切，得，解得，
圆的圆心，半径，
而，所以圆和圆相交.
故选：C
（24-25高二下·云南曲靖·期末）若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据两圆的公切线数量得出两点间距离范围，再结合一元二次不等式求解即可.
【详解】因为圆：与圆：有且仅有2条公切线，
所以圆：与圆：相交，
所以，
所以或.
故选:D.
（24-25高三下·辽宁·期中）圆与圆的公切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】计算圆心距，判断两圆位置关系后即可得公切线条数.
【详解】圆的方程等价于，
所以圆是以为圆心，为半径的圆，
圆 是以为圆心，为半径的圆，
所以圆，圆的圆心距为，
圆，圆半径之和为，
即圆心距等于两半径之和，因此两圆外切，
所以圆，圆有3条公切线．
故选：C
【巩固练习】
1．（25-26高三上·黑龙江绥化·开学考试）圆与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
【答案】B
【分析】根据圆心距与半径和差的关系判断两圆的位置关系.
【详解】对于圆，圆心为，半径；
对于圆，圆心为，半径.
两圆圆心距，又，
所以，所以两圆外切.
故选：B
2. （24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若圆与圆有且仅有三条公切线， ．
【答案】
【分析】根据条件直接求出两圆的圆心和半径，再利用两圆的位置关系，即可求解.
【详解】易知圆的圆心为，半径为，
由，得到，
则，即，圆的圆心为，半径为，
因为圆与圆有且仅有三条公切线，所以圆与圆外切，
则，即，解得，
故答案为：.
3. （25-26高二上·全国·课后作业）已知与有且只有两条公切线，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题可得两圆相交，据此可得答案.
【详解】得的圆心，半径．
将化为标准方程得，
易知的圆心，半径．
又两圆只有两条公切线，故两圆相交，即，显然，
则，即，
解得．
故答案为：.
专题十一 求两圆的公切线
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．
【答案】或或
【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.
【详解】[方法一]：
显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为，
于是，
故①，于是或，
再结合①解得或或，
所以直线方程有三条，分别为，，
填一条即可
[方法二]：
设圆的圆心，半径为，
圆的圆心，半径，
则，因此两圆外切，
由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意；
又由方程和相减可得方程，
即为过两圆公共切点的切线方程，
又易知两圆圆心所在直线OC的方程为，
直线OC与直线的交点为，
设过该点的直线为，则，解得，
从而该切线的方程为填一条即可
[方法三]：
圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l时，因为，所以，设方程为
O到l的距离，解得，所以l的方程为，
当切线为m时，设直线方程为，其中，，
由题意，解得，
当切线为n时，易知切线方程为，
故答案为：或或.
（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径分别为，若两圆的一条公切线的方程为 ，则（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【分析】设两圆心，由圆心到切线距离等于半径求出，再结合求出即可计算.
【详解】两圆的一条公切线的方程为 即过点，
不妨设两圆心，则，
则，，
则，故.
故选：D
【巩固练习】
1.（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）与圆和圆都相切的直线方程可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】先明确两圆位置关系，从而根据两圆位置关系明确公切线的情况，再根据公切线特征情况分情况直接计算求解即可.
【详解】由题知，两圆半径，
所以，
故圆、外切， 则两圆有三条公切线，如图，
的中点为两圆外切切点，
当公切线过的中点，且与垂直时，
因为，所以公切线的方程为，即；
当公切线与平行，且到公切线的距离为时，
设公切线的方程为，
所以，解得或，
所以公切线的方程为或．
综上所述，公切线的方程为或或.
故选：BCD．
2.（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】通过计算可知两个圆内切，故两圆相减得到的方程即为所求.
【详解】圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为
所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程，
所以
整理得，
故选：.
专题十二 两圆的公共弦
（24-25高二下·安徽阜阳·期末）圆与圆的公共弦长为，则的值为（ ）
A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4
【答案】B
【分析】利用圆的方程求得公共弦所在直线方程，由点到直线的距离公式，求得弦心距，根据弦长公式建立方程，求得参数，结合圆的方程成立条件检验，可得答案.
【详解】两圆方程作差可得，即公共弦所在直线方程为，
由圆，则圆心，半径，
点到公共弦所在直线的距离，
公共弦长为，则，解得或，
由圆，整理可得，
则，所以或.
故选：B.
（25-26高二上·全国·单元测试）圆和圆的交点为A，B，则有（ ）
A．公共弦AB所在直线的方程为
B．公共弦AB所在直线的方程为
C．公共弦AB的长为
D．若P为圆上一动点，则P到直线AB的距离的最大值为
【答案】AD
【分析】两圆的方程作差可知公共弦AB所在直线的方程，由此可判断AB，利用点到直线距离以及半径及勾股定理可以计算公共弦长，从而可以判断C，数形结合找到P到直线AB的距离最大的情况即可判断D.
【详解】由两圆的方程作差可知公共弦AB所在直线的方程为，即；故A正确，B错误，
由，
易知，半径，
则点到直线的距离，
故弦长；故C正确，
当，并在如图所示位置时，
P到直线AB的距离最大，为；
故选：AD.
（25-26高二上·全国·单元测试）若圆，圆的两交点分别为A，B，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】方法一：求得相交弦方程，由圆的圆心为，半径为2即可求解；方法二：联立两圆的方程把两点坐标求出来即可.
【详解】方法一 将两圆的方程作差，可得，即直线AB的方程为，圆的圆心为，半径为2，
则到直线的距离为，故．
方法二 联立解得或
所以．
故选：B.
（2025·安徽·模拟预测）已知圆与圆交于两点，若点在直线上，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】两圆方程相减可得直线的方程，代入点，可得的关系式，利用函数单调性可求答案.
【详解】两圆方程相减得，，令，则.
由两圆相交知，，解得，
又，则，易得在上单调递增，
且，所以.
故选：A.
（2025高三·全国·专题练习）求过两圆，的交点，且过坐标原点的圆的方程．
【答案】
【分析】设过圆两交点的圆为，利用过原点求得，可求圆的方程.
【详解】设过圆两交点的圆方程为，
因为圆过原点，所以，得，
所以．
所以圆的方程为．
【点睛】方法点睛：过两圆交点的圆（公共弦）系方程为．当时，方程为两圆公共弦所在直线方程（等幂线）．
【巩固练习】
1.（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆，圆．则下列选项正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．当圆和圆有三条公切线时，若P，Q分别是圆上的动点，则
C．若圆和圆共有2条公切线，则
D．当时，圆与圆相交弦的弦长为
【答案】ABD
【分析】根据圆的方程确定圆心，可求出直线的方程，即可判断A；根据圆和圆外切求出a的值，数形结合，可判断B；根据两圆公切线条数判断两圆相交，列不等式求解判断C；求出两圆的公共弦方程，即可求得两圆的公共弦长，判断D.
【详解】对于A，由圆，，
可知，故直线的方程为，
即，即得直线恒过定点，A正确；
对于B，即，
当圆和圆有三条公切线时，圆和圆外切，则，
解得，
当时，如图示，当共线时,；
同理求得当时，，B正确；
对于C，若圆和圆共有2条公切线，则两圆相交，
则，即，解得，C错误
对于D，当时，两圆相交，
，，
将两方程相减可得公共弦方程，
则到的距离为，
则圆与圆相交弦的弦长为，D正确，
故选：ABD.
2．（2025高二·全国·专题练习）（多选）已知圆和圆相交于两点，则下列说法中正确的是（ ）
A．两圆有两条公切线
B．直线的方程为
C．线段的长为
D．过点，的圆系方程可以记为
【答案】ABC
【分析】选项A根据两圆相交于两点，故存在两条公切线；选项B根据两圆的方程相减得出直线的方程；选项C根据点到直线距离公式求出圆心到的距离d，再根据勾股定理求出的长度；选项D根据，将圆系方程变形为标准方程，通过恒成立，证明圆系方程真实存在，但此圆系中不包含圆.
【详解】因为圆和圆：相交于，两点，
所以两圆有两条公切线，故A正确．
圆和圆的方程相减得，
所以直线的方程为，故B正确．
圆心到直线的距离为，所以线段的长为：
，故C正确．
因为，，所以，恒成立，
即过，两点的圆的方程可化为，
而恒成立，
所以方程表示圆系，
但此圆系不包括圆，故D不正确．
故选：ABC．
3.（2025·山东烟台·三模）若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（ ）．
A．5 B． C． D．10
【答案】A
【分析】由两个圆的方程求出，再求出，利用可得答案.
【详解】，，，
由，解得，或，
则，
因为，所以四边形的面积为.
故选：A.
