(共35张PPT)
6.2 向量基本定理与向量的坐标
6.2.1 向量基本定理
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 课堂评价
◆ 备课素材
【学习目标】
1.理解两向量共线的含义,并能用共线向量基本定理解决简单的几何问题；
2.知道平面向量基本定理的含义和基底的含义；
3.会用平面向量基本定理,用基底表示向量.
知识点一 共线向量基本定理
1.如果且,则存在唯一的实数 ，使得________.
2.如果，，是三个不同的点，则它们共线的充要条件是：存在实数 ，使
得__________.
知识点二 平面向量基本定理
1.如果平面内两个向量与不共线，则对该平面内任意一个向量 ,存在唯一的
实数对，使得 _________.
平面内不共线的两个向量与组成该平面上向量的一组______，记为{, }，
此时如果,则称为在基底{, }下的分解式.
基底
2.当,不共线时，若，则且 .
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若向量与共线，则一定存在实数 ，使得 .( )
×
（2）一个平面内只有一组不共线的向量可作为该平面上向量的基底.( )
×
（3）若，是同一平面内的两个不共线向量，则（， 为实数）
可以表示该平面内的所有向量.( )
√
（4）若，则， .( )
×
探究点一 共线向量基本定理
例1 设,是两个不共线的非零向量，记, ,
，那么当实数为何值时，,, 三点共线？
解：,, ,
, .
,, 三点共线,
存在实数 ,使得,即 .
,不共线,解得
故当时,,, 三点共线.
变式（1） 已知点在线段上，且,,则 ( )
C
A. B.3 C. D.
[解析] 点C在线段上，且 ,
,,即 ,
.故选C.
（2）在梯形中，且，点在边 上，若
，则实数 ( )
D
A. B. C. D.
[解析] 设 ,则
.因为,所以, ,可得
.故选D.
［素养小结］
共线向量基本定理包含两个方面：（1）如何判断两个向量共线；（2）两个向
量共线存在一个关系式，而且这个关系式在一定条件下是唯一的.
探究点二 用基底表示向量
例2 如图所示，四边形是以, 为邻边的平行四
边形，为对角线的交点，,, ,
,试以,为一组基底表示,, .
解：因为 ，
所以 .
因为 ,所以
，
所以 .
变式（1） [2023·黑龙江齐齐哈尔高一期中]设{, }是平面上向量的一组基
底，则下列不能作为一组基底的是( )
C
A.和 B.和
C.和 D.和
[解析] 对于A，假设存在实数，使得，则 方程组无
解，，不共线，可以作为一组基底；
对于B，假设存在实数 ，使得，则方程组无解，
， 不共线，可以作为一组基底；
对于C， ，和共线，不能作
为一组基底；
对于D，假设存在实数 ，使得，则方程组无解，
， 不共线，可以作为一组基底.故选C.
（2）（多选题）如图，,，线段 与
交于点，记, ，则( )
AD
A. B.
C. D.
[解析] 由题得.设 ，则
，.因为 ，所
以存在实数,使，则即 .
同理，，因为，所以存在实数 ,使得
，则
即，所以,，故.故选 .
［素养小结］
用基底表示向量时，首先要选择一组合适的基底；在求解过程中要合理利用平
面向量基本定理、共线向量基本定理、三角形法则、平行四边形法则等.
探究点三 平面向量基本定理的应用
例3（1） 在四边形中，，设 .若
,则 ( )
C
A. B. C. D.
[解析] 设,,, ,
,又, ,即
.故选C.
（2）如图，在中，为线段上靠近点 的三等分
点，点在上,且，则实数 的
值为( )
D
A.1 B. C. D.
[解析]
.因为
为线段上靠近点A的三等分点，所以,因为点在 上，
所以,B,三点共线，所以，解得 .故选D.
变式 如图，在梯形中，，，, 分
别是,的中点，与相交于点 .
（1）用基底{,}表示, ；
解：由已知得，， ，
.
（2）若,，求 的值.
解： ，
， ，
又， .
是的中点， ，
，，即 ，
，
又,.故 .
［素养小结］
理解平面向量的参数方程式时要注意 中的三个向量共始
点,左边向量的系数是1,右边两个向量的系数之和为1,也可以结合向量加法的平
行四边形法则进行理解.
拓展 （多选题）[2023·河南驻马店高一期末] 如图，，分别在线段 ，
上，是线段的中点，是线段的中点，，与 交于点
，则 ( )
CD
A. B. C. D.
[解析]设=λ,=μ.因为F是线段EH的中点,所以=(+)=+,
由=2,可得 .设
，则解得 .设
.设，由C为的中点可知，
则 将 代入可得，即 ，故C正确.
由题得，
，,
设，则 ，
即解得故，故D正确.故选 .
1.已知向量， 不共线，则下列向量不能作为一组基底的是( )
C
A.与 B.与
C.与 D.与
[解析] 对于A，假设存在实数 ，使得，则 方程组无解，
即不存在实数 使得，即与 不共线，故A中向量可以作
为一组基底；
对于B，假设存在实数 ，使得，则 方程组无解，即
不存在实数 使得，即与 不共线，
故B中向量可以作为一组基底；
对于C，假设存在实数 ，使得，则解得
，所以 与共线，故C中向量不能作为一组基底；
对于D，假设存在实数 ，使得，则方程组无解，
即不存在实数 使得，即与 不共线，故D中向
量可以作为一组基底. 故选C.
2.已知是所在平面内的一点，，则点 必在( )
B
A.内部 B.直线上 C.直线上 D.直线 上
[解析] ,， ，
，，即与共线， 点一定在直线 上.故选B.
3.如图所示，在正六边形中，设,， 为
的中点，则 ( )
C
A. B. C. D.
[解析] .故选C.
4.[2024·辽宁大连高一期末]在中，若 ,
，则 ( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由，得，所以 ，则
，故解得 故选A.
5.如图，在中，，为线段 上
的动点，且，则 的最小值为
____.
32
[解析] 因为，所以，因为 ，所以
.
因为,,三点共线，所以，, ，
所以 ，
当且仅当，即时取等号，所以 的最小值是32.
1.对共线向量基本定理两个方面的说明
（1）“若，则”中没有的要求，当， 时，对任意的
实数 都能使 .
（2）“若且，则存在唯一实数 ，使得”中必须有 ，否
则时 不唯一，时， 不存在.
2.共线向量基本定理的相关结论
（1）若存在两个不全为0的实数 ， 使得，那么与 为共线向量.
（2）与非零向量同方向的的单位向量 .
（3）与非零向量 共线的单位向量有2个.
3.对平面向量基本定理的理解
（1）平面向量基本定理包括两个方面的内容，一是存在性，二是唯一性.
（2）平面向量基本定理是后面所学的平面向量正交分解的理论依据.
（3）若，两个向量不共线，则向量与， 共面，等价于存在唯一的一对实
数，，使得 .
（4）由平面向量基本定理知，平面内的任一向量都可用基底表示出来.因而可
以简化向量的个数.
（5）基底不唯一，同一平面内可以有不同的基底，且基底不能共线（零向量不
可以作为基底中的向量）.同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的.
（6）要学会由特殊到一般的思维方法，熟练应用基底表示向量是列式运算的关键.
4.平面向量基本定理的应用
应用平面向量基本定理解决平面几何问题时，关键是选取不共线的一组向量作
为基底，利用这组基底把相关量表示出来，再解决.
例 如图，在平行四边形中，是 的中点，
与交于点，求证：为线段 的一个三等分点.
证明：设,,则 ,
所以 .
由题意知，点，，与，， 分别共线，
所以存在实数 , ,使得, ,
所以, .
因为，所以 .
因为与 不共线，所以 解得
所以，所以为线段（靠近点 ）的一个三等分点.6.2 向量基本定理与向量的坐标
6.2.1 向量基本定理
【课前预习】
知识点一
1.b=λa 2.=λ
知识点二
1.xa+yb 基底
诊断分析
(1)× (2)× (3)√ (4)×
【课中探究】
例1 解:∵=a,=tb(t∈R),=(a+b),
∴=-=tb-a,=-=(a+b)-a=b-a.
∵A,B,C三点共线,
∴存在实数λ,使得=λ,即tb-a=λ.
∵a,b不共线,∴解得
故当t=时,A,B,C三点共线.
变式 (1)C (2)D [解析] (1)∵点C在线段AB上,且=,∴==(+)=(-),∴=-,即=-3,∴λ=-3.故选C.
(2)设=μ,则=+=+μ=+μ(-)=-μ+μ(+)=+μ.因为=+λ,所以1-μ=,λ=μ,可得λ=μ=.故选D.
例2 解:因为===(-)=(a-b),
所以=+=b+a-b=a+b.
因为==,所以=+=+==(+)=(a+b)=a+b,
所以=-=a+b-a-b=a-b.
变式 (1)C (2)AD [解析] (1)对于A,假设存在实数m,使得e2=m(e1+e2),则方程组无解,∴e2,e1+e2不共线,可以作为一组基底;对于B,假设存在实数n,使得e1=n(e1-e2),则方程组无解,∴e1,e1-e2不共线,可以作为一组基底;对于C,∵2e1-4e2=-2(-e1+2e2),
∴2e1-4e2和-e1+2e2共线,不能作为一组基底;对于D,假设存在实数t,使得e1+2e2=t(2e1+e2),则方程组无解,∴e1+2e2,2e1+e2不共线,可以作为一组基底.故选C.
(2)由题得=+=a-b.设=xa+yb,则=+=a+yb,=+=-a+b.因为∥,所以存在实数m,使=m,则即x-=-y.同理=xa+b,=a-b,因为∥,所以存在实数n,使得=n,则
即y-=-x,所以x=,y=,故=a+b.故选AD.
例3 (1)C (2)D [解析] (1)设=k,∵AB∥CD,∴=k,k>0,∵=+=k+=λ+μ,∴又λ+μ=,∴k=,即=.故选C.
(2)=+=+(-)=m+.因为N为线段AC上靠近点A的三等分点,所以=m+,因为点P在BN上,所以P,B,N三点共线,所以m+=1,解得m=.故选D.
变式 解:(1)由已知得,=(+),==,
∴=+=(+)+=+.
(2)∵FE=DC=AB,∴=4=,=4=,
又=λ,∴λ=.∵F是BD的中点,=,
∴=,=,即=,∴=+==,
又=μ,∴μ=.故λ+μ=.
拓展 CD [解析] 设=λ,=μ.因为F是线段EH的中点,所以=(+)=+,由=2,可得=.设=t=t(+)=t=t+(-)=+,则解得λ=2μ.设=m+(1-m)=mλ+(1-m)μ.设=n,由C为AD的中点可知=(+),则将λ=2μ代入可得m=,即=+,故C正确.由题得=+=(+),=+=μ+,=μ,设=x+y,则(+)=x(μ+)+yμ,即解得故=+,故D正确.故选CD.
【课堂评价】
1.C [解析] 对于A,假设存在实数λ,使得a+b=λ(-a),则方程组无解,即不存在实数λ使得a+b=λ(-a),即-a与a+b不共线,故A中向量可以作为一组基底;对于B,假设存在实数μ,使得a+b=μ(2a+b),则方程组无解,即不存在实数μ使得a+b=μ(2a+b),即a+b与2a+b不共线,故B中向量可以作为一组基底;对于C,假设存在实数m,使得2a-5b=m(-4a+10b),则解得m=-,所以2a-5b与-4a+10b共线,故C中向量不能作为一组基底;对于D,假设存在实数n,使得2a+b=n(a+2b),则方程组无解,即不存在实数n使得2a+b=n(a+2b),即2a+b与a+2b不共线,故D中向量可以作为一组基底.故选C.
2.B [解析] ∵=-,=λ+,∴-=λ+,∴-=λ,∴∥,即与共线,∴点P一定在直线AC上.故选B.
3.C [解析] =+=2+=2(+)+(-)=2(a+b)+(-b)=2a+2b-b=2a+b.故选C.
4.A [解析] 由=m,得=+=,所以=,则=+=+=+(-)=+=+λ,故解得故选A.
5.32 [解析] 因为=,所以=,因为=x+y,所以=x+3y.
因为A,D,E三点共线,所以x+3y=1,x>0,y>0,
所以+=·(x+3y)=20++≥20+2=20+12=32,
当且仅当=,即x=y=时取等号,所以+的最小值是32.6.2 向量基本定理与向量的坐标
6.2.1 向量基本定理
【学习目标】
1.理解两向量共线的含义,并能用共线向量基本定理解决简单的几何问题;
2.知道平面向量基本定理的含义和基底的含义;
3.会用平面向量基本定理,用基底表示向量.
◆ 知识点一 共线向量基本定理
1.如果a≠0且b∥a,则存在唯一的实数λ,使得 .
2.如果A,B,C是三个不同的点,则它们共线的充要条件是:存在实数λ,使得 .
◆ 知识点二 平面向量基本定理
1.如果平面内两个向量a与b不共线,则对该平面内任意一个向量c,存在唯一的实数对(x,y),使得c= .
平面内不共线的两个向量a与b组成该平面上向量的一组 ,记为{a,b},此时如果c=xa+yb,则称xa+yb为c在基底{a,b}下的分解式.
2.当a,b不共线时,若xa+yb=ua+vb,则x=u且y=v.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若向量a与b共线,则一定存在实数λ,使得b=λa. ( )
(2)一个平面内只有一组不共线的向量可作为该平面上向量的基底. ( )
(3)若e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,则λ1e1+λ2e2(λ1,λ2为实数)可以表示该平面内的所有向量. ( )
(4)若ae1+be2=ce1+de2(a,b,c,d∈R),则a=c,b=d. ( )
◆ 探究点一 共线向量基本定理
例1 设a,b是两个不共线的非零向量,记=a,=tb(t∈R),=(a+b),那么当实数t为何值时,A,B,C三点共线
变式 (1)已知点C在线段AB上,且=,=λ,则λ= ( )
A. B.3
C.-3 D.-
(2)在梯形ABCD中,AB∥CD且AB=3CD,点P在边BC上,若=+λ,则实数λ=( )
A. B.
C. D.
[素养小结]
共线向量基本定理包含两个方面:(1)如何判断两个向量共线;(2)两个向量共线存在一个关系式,而且这个关系式在一定条件下是唯一的.
◆ 探究点二 用基底表示向量
例2 如图所示,四边形OADB是以OA,OB为邻边的平行四边形,C为对角线的交点,=a,=b,BM=BC,CN=CD,试以{a,b}为一组基底表示,,.
变式 (1)[2023·黑龙江齐齐哈尔高一期中] 设{e1,e2}是平面上向量的一组基底,则下列不能作为一组基底的是 ( )
A.e2和e1+e2
B.e1和e1-e2
C.2e1-4e2和-e1+2e2
D.e1+2e2和2e1+e2
(2)(多选题)如图,=2,=3,线段BD与CE交于点F,记=a,=b,则 ( )
A.=a-b B.=-a+b
C.=a+b D.=a+b
[素养小结]
用基底表示向量时,首先要选择一组合适的基底;在求解过程中要合理利用平面向量基本定理、共线向量基本定理、三角形法则、平行四边形法则等.
◆ 探究点三 平面向量基本定理的应用
例3 (1)在四边形ABCD中,AB∥CD,设=λ+μ(λ,μ∈R).若λ+μ=,则=( )
A. B. C. D.
(2) 如图,在△ABC中,N为线段AC上靠近点A的三等分点,点P在BN上,且=+,则实数m的值为( )
A.1 B. C. D.
变式 如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=AB=2,E,F分别是BC,BD的中点,AE与BD相交于点G.
(1)用基底{,}表示,;
(2)若=λ,=μ,求λ+μ的值.
[素养小结]
理解平面向量的参数方程式时要注意=(1-t)+t中的三个向量共始点,左边向量的系数是1,右边两个向量的系数之和为1,也可以结合向量加法的平行四边形法则进行理解.
拓展 (多选题)[2023·河南驻马店高一期末] 如图,E,H分别在线段PA,PD上,C是线段AD的中点,F是线段EH的中点,=2,PC与EH交于点G,则= ( )
A.+ B.+
C.+ D.+
1.已知向量a,b不共线,则下列向量不能作为一组基底的是 ( )
A.-a与a+b
B.a+b与2a+b
C.2a-5b与-4a+10b
D.2a+b与a+2b
2.已知P是△ABC所在平面内的一点,=λ+,则点P必在 ( )
A.△ABC内部 B.直线AC上
C.直线AB上 D.直线BC上
3.如图所示,在正六边形ABCDEF中,设=a,=b,M为CD的中点,则=( )
A.2a+b B.2a+b
C.2a+b D.2a+2b
4.[2024·辽宁大连高一期末] 在△ABC中,若=m(m≠0),=+λ,则λ= ( )
A. B. C.- D.-
5.如图,在△ABC中,=,E为线段AD上的动点,且=x+y,则+的最小值为 . 6.2 向量基本定理与向量的坐标
6.2.1 向量基本定理
1.C [解析] 对于C,-2e1-4e2=-2(e1+2e2),则向量e1+2e2与-2e1-4e2共线,不能作为一组基底.故选C.
2.B [解析] 如图,由题得=+=+=+,故选B.
3.C [解析] ∵2+=0,∴2(-)+-=0,∴=2-.故选C.
4.D [解析] 连接OD,OC,DC,因为AB是圆O的直径,点C,D是半圆弧的两个三等分点,所以∠AOC=∠COD=∠BOD=60°.因为OA=OC=OD=AB,所以△AOC,△COD是等边三角形,所以四边形AODC是菱形,所以=+=+=a+b.故选D.
5.C [解析] 在矩形ABCD中,AB=3,AC=5,利用勾股定理可得AD=4.∵e1=,e2=,∴=3e1,==4e2,∴=+=3e1+4e2,∴x=3,y=4,故x+y=7.故选C.
6.C [解析] ∵=4,∴=,又=-,∴=(-)=-,∴r=s=,∴s+r=.故选C.
7.B [解析] ∵D是AB的中点,∴=(+),又=2,∴=-(+),∴=+=-(+)+=-,=+=-(+)+μ=-+.∵E,O,F三点共线,∴=λ,即解得故选B.
8.BCD [解析] 对于A,由题意得=+=++=++=-++=-+,故A错误;对于B,=+=-+=+,故B正确;对于C,=+=+=+=+,故C正确;对于D,+=-+++=2,故D正确.故选BCD.
9.BCD [解析] 在A中,=(+)==+,故A错误;在B中,=+=+,故B正确;在C中,∵=2-,∴-=-,即=,
∴点M在CB的延长线上,故C正确;在D中,设=,=,则=4m+4n,∵m+n=,∴4m+4n=1,∴M,G,F三点共线,又=,∴点M到BC的距离为点A到BC的距离的,∴△ABC的面积是△MBC面积的倍.故选BCD.
10.2a-2b [解析] 设c=λa+μb,则-2e1+4e2=λ(e1+e2)+μ(2e1-e2)=(λ+2μ)e1+(λ-μ)e2,所以解得故c=2a-2b.
11.- [解析] 因为BD=DC,AE=2EC,所以=+=-=(-)-=-+,所以x=-,y=.
12.2 [解析] 由题知,=(+)=(m+n),∵O,M,N三点共线,∴m+n=1,∴m+n=2.
13.解:(1)因为D为BC的中点,所以=+,又M为BD的中点,所以=+=+=+.
(2)由=2,=λ,=μ(λ,μ>0),得=,=,所以===+=+,因为E,F,G三点共线,所以+=1,则λ+μ=(λ+μ)=++≥+2=,当且仅当=,即λ=μ=时取等号,所以λ+μ的最小值为.
14.解:如图,
过点P作PM∥AC与AB交于M,过点P作PN∥AB与AC交于N,则=+,所以=λ,=μ.
过点P作PG⊥AC于点G,过点B作BH⊥AC于点H.因为=,所以=,
又因为△PNG∽△BAH,所以==,即=,所以λ=.过点P作PD⊥AB于点D,过点C作CE⊥AB于点E.因为=,所以=,又因为△DMP∽△EAC,所以==,即=,所以μ=.
15.B [解析] 若=λ+μ,且点P在△ABC内部(不含边界),则0<λ+μ<1.反之不成立,例如当λ=-,μ=时,P在△ABC外部.故“0<λ+μ<1”是“点P在△ABC内(不含边界)”的必要不充分条件,故选B.
16.解:(1)由=a,=b,=2,=3,可得=-=-=b-a,=+=+=+(-)=+=a+b.
(2)因为A,O,E三点共线,所以存在实数λ,使得=λ=λ=a+b.因为B,O,D三点共线,所以存在实数μ,使得=μ,所以-=μ,则=+μ=a+μ=(1-μ)a+b,所以a+b=(1-μ)a+b,因为a,b不共线,所以解得所以=,=,所以=,=6.
[点拨] 求解线段比值问题,通常将线段写成向量的形式,再将不同线段用同一组基底进行线性表示,然后讨论各线性表达式之间的倍数关系,进而获得线段之间的比值.6.2 向量基本定理与向量的坐标
6.2.1 向量基本定理
一、选择题
1.设e1,e2是不共线的两个非零向量,则下列四组向量不能作为一组基底的是 ( )
A.e1与e1+2e2
B.e1+2e2与3e1-e2
C.e1+2e2与-2e1-4e2
D.3e1-e2与4e2-e1
2.[2024·辽宁大连高一期末] 在平行四边形ABCD中,=,=3,则 ( )
A.=+
B.=+
C.=-
D.=-
3.已知O,A,B,C为同一平面内的四个点,若2+=0,则向量= ( )
A.- B.-+
C.2- D.--2
4.如图所示,已知AB是圆O的直径,点C,D是半圆弧的两个三等分点,设=a,=b,则= ( )
A.a-b B.a-b
C.a+b D.a+b
5.在矩形ABCD中,AB=3,AC=5,e1=,e2=,若=xe1+ye2,则x+y的值为 ( )
A.2 B. 8 C.7 D. 4
6.在△ABC中,点D在CB的延长线上,且=4=r-s,则s+r等于 ( )
A.1 B. C. D.3
7.如图,在△ABC中,D是AB的中点,O是CD上一点,且=2,过点O作一条直线与边AC,BC分别相交于点E,F,若=,=μ,则实数μ的值为( )
A. B.
C. D.
8.(多选题)[2023·广东佛山高一期末] 如图,在平行四边形ABCD中,E为CD的中点,=,则 ( )
A.=-
B.=+
C.=+
D.+=2
9.(多选题)在梯形ABCD中,=2,=2,则下列结论正确的是 ( )
A.=+
B.=+
C.若=2-,则点M在CB的延长线上
D.若=m+n,且m+n=,则△ABC的面积是△MBC面积的倍
二、填空题
10.已知a=e1+e2,b=2e1-e2,c=-2e1+4e2(e1,e2是同一平面内的两个不共线向量),则c= (用a,b表示).
11.如图, 在△ABC中,点D,E分别在BC,AC上,且BD=DC,AE=2EC.若=x+y,则x= ,y= .
12.在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N.若=m,=n,则m+n= .
三、解答题
13.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线.
(1)取BD的中点M,试用和表示;
(2)若G是AD上一点,且=2,直线EF过点G,交AB于点E,交AC于点F,若=λ,=μ(λ,μ>0),求λ+μ的最小值.
14.已知△ABC内一点P满足=λ+μ,若△PAB的面积与△ABC的面积之比为1∶3,△PAC的面积与△ABC的面积之比为1∶4,求实数λ,μ的值.
15.已知点A,B,C不共线,λ,μ为实数,=λ+μ,则“0<λ+μ<1”是“点P在△ABC内(不含边界)”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
★16.[2023·宁夏银川高一期末] 如图所示,在△ABC中,=a,=b,=2,=3.
(1)试用向量a,b表示,;
(2)若AE交BD于点O,求及的值.
