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6.2 向量基本定理与向量的坐标
6.2.2 直线上向量的坐标及其运算
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 课堂评价
◆ 备课素材
【学习目标】
1.了解直线上向量的坐标的概念,能够表示直线上向量的坐标；
2.理解直线上向量的运算与坐标的关系,并能进行正确的运算.
知识点一 直线上向量的坐标
1.给定一条直线以及这条直线上一个单位向量，对于直线上任意一个向量 ，
一定存在唯一的实数，使得，则称为向量 的______.
2.若直线上向量的坐标为，则____，而且：当时，的方向与 的
方向______；当时，是零向量；当时，的方向与 的方向______.
坐标
相同
相反
知识点二 直线上向量的运算与坐标的关系
文字语言 符号语言
直线上两个 向量相等 直线上两个向量相等的充要 条件是它们的坐标______ 设， ，
则
直线上求两 个向量的和 直线上两个向量和的坐标等 于两个向量的坐标的____ 设， ，
则 ___________
数轴上两点 间的距离 设, ，则
数轴上的中 点坐标公式 设，，是线段
的中点，则 ______
相等
和
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）直线上向量的坐标是,则 . ( )
√
（2）已知数轴上点的坐标为3,向量的坐标为5,则点的坐标为 .
( )
×
[解析] 设点的坐标为，为坐标原点，则的坐标为，又点 的坐标为3,
所以的坐标为3，因为，所以的坐标为 ，所以
.
（3）,,,是数轴上任意四点，则 的坐标为0. ( )
√
探究点一 直线上向量的坐标
例1（1） 如图，求出直线上向量， 的坐标.
解：因为的始点在原点，所以由的终点坐标可知 的坐标为3.
因为，所以的坐标为 .
（2）已知是直线上的一个单位向量，向量与都是直线 上的向量，分别在
下列条件下写出与 的坐标：
解：由直线上向量的坐标的定义可得：
①， ;
向量的坐标为2，向量的坐标为 .
②， .
解： 向量的坐标为0，向量的坐标为 .
变式 如图所示，点，，，，均在直线上，向量 为单位向量，则
向量， 的坐标分别是( )
D
A.3,2 B.2,4 C.4, D.2,
[解析] 由题意可得，的坐标为，的坐标为 .故选D.
［素养小结］
直线（数轴）上向量的坐标等于终点的坐标减去始点的坐标，如果向量的始点
在原点，那么向量的终点对应的数就是该向量的坐标.
探究点二 直线上向量的坐标运算
例2 （多选题）在数轴上有，，三点，其中点， 的坐标分别是2和
，且满足，则点 的坐标可以是( )
BD
A. B. C. D.
[解析] 设点的坐标为.若点在线段上，则， ，因
为，所以，解得.
若点在点 左侧，则，，因为，所以
，解得.易知点不可能在点右侧.
综上，点的坐标为或.故选 .
［素养小结］
直线上向量的运算的关键是搞清楚直线上每个点的坐标及表达向量的有向线段
的始点和终点.
探究点三 数轴上两点间的距离、中点坐标
例3 设数轴上两点，的坐标分别为 ，3，求：
（1）向量的坐标以及与 的距离；
解：，的坐标分别为，3，的坐标为,,即 ，
两点之间的距离为4.
（2）线段 中点的坐标.
解：设线段中点的坐标为,则,即线段 中点的坐标为1.
变式 已知数轴上的点，， .
（1）若点是线段的一个三等分点，求 的值；
解:因为点是线段 的一个三等分点，
所以或 .
因为，， ，
所以或 ，
所以或 .
（2）求 的最小值.
解:因为，当且仅当与 同向时取等号，
所以当时， 取得最小值5.
［素养小结］
数轴上向量的坐标的求法：先求出（或寻找已知）相应点的坐标，再计算向量
的坐标.求数轴上向量长度的方法：先求数轴上向量的坐标，再根据距离公式求
长度.
注意：首先利用数轴上点的坐标，计算出两点所对应向量的坐标，特别要注意
向量坐标运算公式的顺序.
1.如图所示，向量， 的坐标分别是( )
C
A.，2 B.，4 C.2， D.2，2
[解析] 由题可知，，,,所以向量， 的坐标分别是2，
.故选C.
2.已知数轴上两点，，则的坐标与 分别是( )
B
A.,3 B.3,3 C.3， D. ,6
[解析] 的坐标为， .故选B.
3.（多选题）已知数轴上三点，，，若点的坐标为2， 的坐标为5，
，则 的中点坐标可能为( )
AD
A.1 B.2 C. D.
[解析] 由，的坐标为5，可得点A的坐标为，由 ，可得点C的
坐标为5或，所以的中点坐标为或.故选 .
4.已知是直线上的一个单位向量，则直线上的向量， 的坐标分别是
_______.
，
[解析] 由直线上向量的坐标的定义知，，的坐标分别是， .
5.已知数轴上，两点的坐标分别为，，则 对应的坐标为
_____，___；若点也在该数轴上，且对应的坐标为，则点 对应的
坐标是____.
7
[解析] 由数轴上，两点的坐标分别为， ，
得对应的坐标为 ，
.
设点对应的坐标是 ，
因为对应的坐标为，所以 ，
故点对应的坐标是 .
1.直线上向量的坐标的两种求法
（1）将向量用单位向量表示出来.
（2）将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标.
2.直线上向量的坐标运算
（1）应用数轴上向量的坐标公式时，要特别注意用终点坐标减去始点坐标，
不要记混.
（2）将向量知识与解析几何知识结合在一起，将数轴上向量的坐标与数轴
上点的坐标、数轴上向量的坐标公式与解析几何中的公式进行类比，以达到系
统记忆和运用的目的.
例（1） 在数轴上，，，若，则 ______.
3或1
[解析] 由题意得，即 ，或 .
（2）设数轴上两点，的坐标分别为2， ，求：
①向量的坐标，以及点与点 间的距离；
解：设为坐标原点，由题意得的坐标为2，的坐标为 ，又因为
，所以的坐标为，则 .
②线段 的中点的坐标.
解：设线段的中点的坐标为，则 .6.2.2 直线上向量的坐标及其运算
【课前预习】
知识点一
1.坐标 2.|x| 相同 相反
知识点二
相等 和 (x1+x2)e
诊断分析
(1)√ (2)× (3)√ [解析] (2)设点B的坐标为x0,O为坐标原点,则的坐标为x0,又点A的坐标为3,所以的坐标为3,因为=-,所以的坐标为x0-3=5,所以x0=8.
【课中探究】
例1 解:(1)因为a的始点在原点,所以由a的终点坐标可知a的坐标为3.
因为b=-a,所以b的坐标为-2.
(2)由直线上向量的坐标的定义可得:
①向量a的坐标为2,向量b的坐标为-3.
②向量a的坐标为0,向量b的坐标为.
变式 D [解析] 由题意可得,的坐标为4-2=2,的坐标为-2-2=-4.故选D.
例2 BD [解析] 设点N的坐标为x.若点N在线段MP上,则MN=2-x,NP=x+3,因为MN=3NP,所以2-x=3(x+3),解得x=-.若点N在点P左侧,则MN=2-x,NP=-3-x,因为MN=3NP,所以2-x=3(-3-x),解得x=-.易知点N不可能在点M右侧.综上,点N的坐标为-或-.故选BD.
例3 解:(1)∵A,B的坐标分别为-1,3,∴的坐标为3-(-1)=4,∴||=4,即A,B两点之间的距离为4.
(2)设线段AB中点的坐标为x,则x==1,即线段AB中点的坐标为1.
变式 解:(1)因为点A是线段BC的一个三等分点,
所以=3或=.
因为A(-2),B(x),C(3),
所以3-x=3×[3-(-2)]或3-x=×[3-(-2)],
所以x=-12或x=-.
(2)因为||+||≥|+|=||=5,当且仅当与同向时取等号,
所以当x∈[-2,3]时,||+||取得最小值5.
【课堂评价】
1.C [解析] 由题可知A(-2),O(0),B(4),C(2),所以向量,的坐标分别是2,-2.故选C.
2.B [解析] 的坐标为-1-(-4)=3,||=3.故选B.
3.AD [解析] 由B(2),的坐标为5,可得点A的坐标为-3,由BC=3,可得点C的坐标为5或-1,所以AC的中点坐标为=1或=-2.故选AD.
4.-, [解析] 由直线上向量的坐标的定义知,-e,e的坐标分别是-,.
5.-7 7 -3 [解析] 由数轴上A,B两点的坐标分别为x1=-2,x2=5,
得对应的坐标为x1-x2=-2-5=-7,
AB=|x2-x1|=|5-(-2)|=7.
设点P对应的坐标是x,
因为对应的坐标为x-x2=x-5=-8,所以x=-3,
故点P对应的坐标是-3.6.2.2 直线上向量的坐标及其运算
【学习目标】
1.了解直线上向量的坐标的概念,能够表示直线上向量的坐标;
2.理解直线上向量的运算与坐标的关系,并能进行正确的运算.
◆ 知识点一 直线上向量的坐标
1.给定一条直线l以及这条直线上一个单位向量e,对于直线l上任意一个向量a,一定存在唯一的实数x,使得a=xe,则x称为向量a的 .
2.若直线上向量a的坐标为x,则|a|= ,而且:当x>0时,a的方向与e的方向 ;当x=0时,a是零向量;当x<0时,a的方向与e的方向 .
◆ 知识点二 直线上向量的运算与坐标的关系
文字语言 符号语言
直线上两个向量相等 直线上两个向量相等的充要条件是它们的坐标 设a=x1e,b=x2e, 则a=b x1=x2
直线上求两个向量的和 直线上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的 设a=x1e,b=x2e, 则a+b=
数轴上两点间的距离 设A(x1),B(x2),则AB=||=|x2-x1|
数轴上的中点坐标公式 设A(x1),B(x2),M(x)是线段AB的中点,则x=
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)直线l上向量a的坐标是x,则|a|=|x|.( )
(2)已知数轴上点A的坐标为3,向量的坐标为5,则点B的坐标为-2. ( )
(3)A,B,C,D是数轴上任意四点,则+++的坐标为0. ( )
◆ 探究点一 直线上向量的坐标
例1 (1)如图,求出直线上向量a,b的坐标.
(2)已知e是直线l上的一个单位向量,向量a与b都是直线l上的向量,分别在下列条件下写出a与b的坐标:
①a=2e,b=-3e;②a=0,b=e.
变式 如图所示,点O,A,B,C,D均在直线l上,向量为单位向量,则向量,的坐标分别是 ( )
A.3,2 B.2,4
C.4,-2 D.2,-4
[素养小结]
直线(数轴)上向量的坐标等于终点的坐标减去始点的坐标,如果向量的始点在原点,那么向量的终点对应的数就是该向量的坐标.
◆ 探究点二 直线上向量的坐标运算
例2 (多选题)在数轴上有M,N,P三点,其中点M,P的坐标分别是2和-3,且满足MN=3NP,则点N的坐标可以是 ( )
A. B.- C.- D.-
[素养小结]
直线上向量的运算的关键是搞清楚直线上每个点的坐标及表达向量的有向线段的始点和终点.
◆ 探究点三 数轴上两点间的距离、中点坐标
例3 设数轴上两点A,B的坐标分别为-1,3,求:
(1)向量的坐标以及A与B的距离;
(2)线段AB中点的坐标.
变式 已知数轴上的点A(-2),B(x),C(3).
(1)若点A是线段BC的一个三等分点,求x的值;
(2)求||+||的最小值.
[素养小结]
数轴上向量的坐标的求法:先求出(或寻找已知)相应点的坐标,再计算向量的坐标.求数轴上向量长度的方法:先求数轴上向量的坐标,再根据距离公式求长度.
注意:首先利用数轴上点的坐标,计算出两点所对应向量的坐标,特别要注意向量坐标运算公式的顺序.
1.如图所示,向量,的坐标分别是( )
A.-3,2 B.-3,4
C.2,-2 D.2,2
2.已知数轴上两点A(-4),B(-1),则的坐标与||分别是 ( )
A.-3,3 B.3,3
C.3,-3 D.-6,6
3.(多选题)已知数轴上三点A,B,C,若点B的坐标为2,的坐标为5,BC=3,则AC的中点坐标可能为 ( )
A.1 B.2 C.-1 D.-2
4.已知e是直线l上的一个单位向量,则直线l上的向量-e,e的坐标分别是 .
5.已知数轴上A,B两点的坐标分别为x1=-2,x2=5,则对应的坐标为 ,AB= ;若点P也在该数轴上,且对应的坐标为-8,则点P对应的坐标是 . 6.2.2 直线上向量的坐标及其运算
1.C [解析] 由题可知4a-5b的坐标为4×(-5)-5×2=-30,此向量的模为|-30|=30.故选C.
2.D [解析] 2a+3b的坐标为2×5+3×(-3)=1.故选D.
3.A [解析] 设M(x1),N(x2),因为P(5),的坐标为2,的坐标为8,所以解得故点N的坐标为11.故选A.
4.C [解析] 因为2a+3b的坐标为2×3+3×(-6)=-12,所以|2a+3b|=12.故选C.
5.D [解析] ∵||=|xN-(-3)|=4,∴xN-(-3)=±4,解得xN=1或xN=-7.故选D.
6.A [解析] 由=-2e,得点A的坐标为-2,又点B的坐标为6,所以线段AB的中点坐标为=2.
7.D [解析] 因为4a+3b=-a,所以a=-b,又向量b的坐标为6,所以向量a的坐标为-×6=-,所以a-b的坐标是×-×6=-.故选D.
8.BCD [解析] 由题意知,|e|=1,|a|=|x|,b=ye,a+b=xe+ye=(x+y)e,所以a+b的坐标为x+y.故选BCD.
9.BD [解析] 因为a=-e,b=e,所以|a|=,|b|=,|a||b|=1,故D正确;b=-×=-a,故A错误,B正确;a+b=e=-e,则a+b的坐标为-,故C错误.故选BD.
10.-3或3 [解析] 若a与e同向,则a的坐标为3;若a与e反向,则a的坐标为-3.
11.2a-b-2 [解析] 设点C的坐标为x,则x-a=a-2,可得x=2a-2,所以的坐标为2a-2-b,即2a-b-2.
12.0 4 [解析] 因为a=2e,b=-2e,所以a+b=0,|a|+|b|=2+2=4.
13.解:由题意得,a,b的坐标分别为,-,
则|a|=,|b|=,a+b的坐标为+=-,
2a-3b的坐标为2×-3×=,故|a+b|=,|2a-3b|=.
14.解:设a,b,c的坐标分别是x,y,z.
因为向量4a-3b,3a+c的坐标分别为1,-3,且|a+c|=1,
所以解得或
所以a,b,c的坐标分别是-2,-3,3或-1,-,0.
15.D [解析] 由题意知||=4,故点P在点A的左边或点B的右边,设点P的坐标为xP.当点P在点A的左边时,-1-xP+3-xP=6,解得xP=-2;当点P在点B的右边时,xP-3+xP-(-1)=6,解得xP=4.综上所述,点P的坐标为-2或4.故选D.
16.解:(1)因为||=6,所以|d-(-2)|=6,解得d=4或d=-8.
(2)证明:因为的坐标为c+4,的坐标为d+4,
所以c+4=-3(d+4),即c=-3d-16.
因为3的坐标为3(d-c)=3d-3c=3d-3(-3d-16)=12d+48,
-4的坐标为-4(c+4)=-4c-16=-4(-3d-16)-16=12d+48,
所以3=-4.6.2.2 直线上向量的坐标及其运算
一、选择题
1.直线上向量a,b的坐标分别是-5,2,则向量4a-5b的坐标和模分别是 ( )
A.30,-30 B.-1,1
C.-30,30 D.-9,9
2.已知直线上向量a的坐标为5,向量b的坐标为-3,则2a+3b的坐标为 ( )
A.19 B.17
C.9 D.1
3.已知M,P,N都是数轴上的点,P(5),且的坐标为2,的坐标为8,则点N的坐标为( )
A.11 B.-11
C.3 D.-3
4.已知直线上向量a的坐标为3,向量b的坐标为-6,则|2a+3b|为 ( )
A.3 B.6
C.12 D.24
5.已知数轴上两点M,N,且||=4.若点M的坐标为-3,则点N的坐标为 ( )
A.1 B.2
C.-7 D.1或-7
6.在数轴上,已知=-2e(e为与数轴正方向同向的单位向量,O为坐标原点),且点B的坐标为6,则线段AB的中点坐标为 ( )
A.2 B.4
C.-3 D.-2
7.已知a,b是直线l上的两个向量,4a+3b=-a,且向量b的坐标为6,则向量a-b的坐标为 ( )
A. - B. C. D.-
8.(多选题)若e是直线l上的一个单位向量,这条直线上的向量a,b的坐标分别为x,y,则下列说法正确的是 ( )
A.|a|=x
B.b=ye
C.a+b的坐标为x+y
D.|e|=1
9.(多选题)已知e是直线l上的一个单位向量,a与b都是直线l上的向量,且a=-e,b=e,则下列说法正确的是 ( )
A.a=-b
B.b=-a
C.a+b的坐标为0
D.|a||b|=1
二、填空题
10.已知e是直线l上的一个单位向量,直线l上的向量a满足|a|=3,则向量a的坐标为 .
11.在数轴上,点A,B的坐标分别为a,b,的坐标为a-2,则的坐标为 .
12.已知e是直线l上的一个单位向量,a与b都是直线l上的向量,且a=2e,b=-2e,则a+b= ,|a|+|b|= .
三、解答题
13.已知e是直线l上的一个单位向量,a与b都是直线l上的向量,且a=e,b=-e,求|a|,|b|,|a+b|,|2a-3b|.
14.已知a,b,c是直线l上的向量,向量4a-3b,3a+c的坐标分别为1,-3,且|a+c|=1,求a,b,c的坐标.
15.数轴上点A,B的坐标分别为-1,3,若P是数轴上一点,且||+||=6,则点P的坐标为( )
A.-3 B.-3或5
C.-2 D.-2或4
16.已知数轴上点A,B,C,D的坐标分别是-4,-2,c,d.
(1)若||=6,求d的值;
(2)若=-3,求证:3=-4.
