3.1.1 函数的概念
知识点1 函数的概念
1.函数的概念
概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素 对应关系 y=f(x)，x∈A
定义域 x的取值范围A
值域 与x的值相对应的y值的集合{f(x)|x∈A}
2.具体函数的定义域和值域
(1)一次函数y=ax+b(a≠0)的定义域为R，值域为R.
(2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的定义域为R，当a>0时，值域是；当a<0时， 值域是.
(3)反比例函数y=(k≠0)的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}.
3.同一个函数的判断
判断两个函数为同一个函数的注意点：
(1)判断两个函数是否为同一个函数，就是看两函数的定义域和对应关系是否相同，若两者都相同，则为同一个函数，若定义域和对应关系有一个不相同就不是同一个函数.
(2) 若两个函数为同一个函数，则它们的值域一定相同，反之则不然，即若两函数的定义域与值域都相同，则它们也不一定是同一个函数.
(3)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的.
(4)在化简解析式时，必须是等价变形.
注意点：
(1)A，B是非空的实数集，定义域是A，值域是集合B的子集.
(2)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性.
(3)“y=f(x)”是数学符号之一，体现变量y与变量x的对应关系，不表示y等于f与x的乘积.其中的f表示对应关系，f(x)可以是解析式的形式，也可以是图象或表格的形式.
(4)函数三要素：定义域、对应关系与值域.
知识点2 区间的概念
设a，b∈R，且a定义 名称 区间 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
{x|a{x|a≤x{x|a{x|x≥a} [a，+∞)
{x|x>a} (a，+∞)
{x|x≤b} (-∞，b]
{x|x特别地：实数集R可以用区间表示为(-∞，+∞)，“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”.
注意点：
(1)区间是实数集的一种表示形式，集合的运算仍然成立，但因为区间的左端点必须小于右端点，所以区间只能表示连续的数集.
(2)区间的开闭是由端点值能否取到来决定的，所以区间的开闭不能混淆，这要求我们用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别.
(3)“∞”是一个符号，而不是一个数.
知识点3 抽象函数与复合函数
1.抽象函数的定义：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数．
2.复合函数的定义
如果函数的定义域为，函数的定义域为，值域为，那么当 时，称函数为与在上的复合函数，其中叫作中间变量，叫作内层函数，叫作外层函数．
【注】由复合函数的定义可知，内层函数的值域是外层函数的定义域或定义域的真子集，外层函数的定义域和内层函数的值域共同确定了复合函数的定义域．
3.抽象函数或复合函数的定义域
（1）函数的定义域是指的取值所组成的集合；
（2）函数的定义域是指的取值范围，而不是的取值范围．
（3）同一对应法则下，括号内的取值范围相同，即，，三个函数中的，，的取值范围相同．
（4）已知函数的定义域为，求的定义域，其实质是已知的取值范围（值域）为，求的取值范围；
（5）已知的定义域为，求的定义域,其实质是已知中的的取值范围为，求的取值范围（值域），此范围就是的定义域．
1.函数关系的判断
(1)判断一个对应关系是否为函数的方法
(2)判断图形是否为函数关系的步骤
①任取一条垂直于x轴的直线l；
②在定义域内平行移动直线l；
③若直线l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.
2.求函数的定义域与值
(1)求定义域的依据：分式的分母不为0，偶次根式的被开方数非负，0次幂的底数不为0等，如果解析式中含有多个式子，则定义域是使得各式子都有意义的数的集合.另外，在实际问题中函数的定义域，要考虑实际意义.
(2)函数的定义域一定要用集合或区间的形式表示.
(3)函数求值的方法
①已知f(x)的表达式求f(a)(a在定义域之内)的值时，只需用a替换表达式中的x即得.
②已知f(x)与g(x) 求f(g(a))的值，应遵循由内往外的原则，即先计算g(a)的值，再将该值作为f(x)的自变量去替换表达式中的x进行求解.
(3)抽象函数的定义域
①若函数f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域即为不等式a≤g(x)≤b的解集.
②若函数f(g(x))的定义域为[c，d]，则f(x)的定义域即为g(x)在[c，d]上的值域.
3.求简单函数的值域的方法
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到.
(2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法.
(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域.
(4)换元法：对于一些无理函数(如y=ax±b±)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域.
题型一 函数关系的判断
1．下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（ ）
A．，对应关系
B．，对应关系
C．，对应关系
D．，对应关系
2．下列图象中，可以表示函数的为（ ）
A．B．C． D．
3．下列曲线中，不是函数的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若，，下列对应关系或关系式是集合A到B的函数的有（ ）
A．，，f：；
B．，，f：；
C．，，f：
D．A与B的对应关系如图所示：
5．已知集合且，集合且，下列图象能作为集合到集合的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
题型二 区间的定义与表示
6．下列叙述正确的是（ ）
A．用区间可表示为
B．用区间可表示为
C．用集合可表示为
D．用集合可表示为
7．已知区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．用区间表示集合 .
9．若为一确定区间，则a的取值范围是 ．
10．用区间表示下列数集.
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)或.
题型三 具体函数的而定义域
11．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
12．函数的定义域为（ ）
A．或 B．或
C． D．
13．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
14．下列函数中，定义域为的是（ ）
A． B．
C． D．
15．函数的定义域为 ．
题型四 抽象函数的定义域
16．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
17．已知函数的定义域是，则函数的定义域是 .
18．（1）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ；
（2）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
19．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 .
20．（1）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ；
（2）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
题型五 具体函数的函数值计算
21．已知函数，则（ ）
A．15 B．7 C．4 D．0
22．已知，则（ ）
A．31 B．17 C．15 D．7
23．若函数，则 ．
24．已知，则 ．
25．已知定义在上的函数满足，则 ， ．
题型六 抽象函数的函数值计算
26．已知定义在上的函数满足，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．-2
27．已知函数对任意x，都满足，且，则（ ）．
A．8 B．10 C．12 D．14
28．设函数的定义域为，若，则 ．
29．设定义在R上的函数满足，则= ．
30．已知函数的定义域为，且，，则 ．
题型七 已知函数值求参数
31．已知函数，.
(1)求；
(2)若，求的值.
32．已知函数，且，则（ ）
A． B．3 C． D．17
33．已知函数，，则（ ）
A．或3 B．1或3 C． D．3
34．如图，表示从集合到集合的函数，若，则的值为 ．
35．若函数和分别由下表给出：
1 2 3 4
2 3 4 1
1 2 3 4
2 1 4 3
满足的值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
题型八 简单函数的值域
36．求下列函数的值域：
(1)；
(2)．
(3)．
37．下列函数的定义域与值域相同的是（ ）
A． B．
C． D．
38．下列函数中值域为的是（ ）
A． B．
C． D．
39．函数的值域 ．
40．求下列函数的值域：
(1)，；
(2)；
(3)，；
(4)．
题型九 同一函数的判断
41．下列函数中，与函数是同一个函数的是（ ）
A． B．
C． D．
42．下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
43．下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
44．以下各组函数中，不是同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
45．下列四组函数中表示同一个函数的是（ ）
A． B．
C． D．
题型十 复杂函数的值域
46．下列函数中，值域是的是（ ）．
A． B．（）
C．（） D．
47．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
48．已知函数，则的值域为 .
49．求函数的值域．
50．求函数的值域.
题型十一 已知值域求定义域
51．已知函数的值域为，则的定义域不可能是（ ）
A． B． C． D．
52．已知定义域为D的函数其值域为，则定义域D可能是（ ）
A． B． C． D．
53．定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可能为（ ）
A． B． C． D．
54．若函数的值域是，则此函数的定义域为 .
55．已知函数 的值域为，则的定义域可以是3.1.1 函数的概念
知识点1 函数的概念
1.函数的概念
概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素 对应关系 y=f(x)，x∈A
定义域 x的取值范围A
值域 与x的值相对应的y值的集合{f(x)|x∈A}
2.具体函数的定义域和值域
(1)一次函数y=ax+b(a≠0)的定义域为R，值域为R.
(2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的定义域为R，当a>0时，值域是；当a<0时， 值域是.
(3)反比例函数y=(k≠0)的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}.
3.同一个函数的判断
判断两个函数为同一个函数的注意点：
(1)判断两个函数是否为同一个函数，就是看两函数的定义域和对应关系是否相同，若两者都相同，则为同一个函数，若定义域和对应关系有一个不相同就不是同一个函数.
(2) 若两个函数为同一个函数，则它们的值域一定相同，反之则不然，即若两函数的定义域与值域都相同，则它们也不一定是同一个函数.
(3)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的.
(4)在化简解析式时，必须是等价变形.
注意点：
(1)A，B是非空的实数集，定义域是A，值域是集合B的子集.
(2)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性.
(3)“y=f(x)”是数学符号之一，体现变量y与变量x的对应关系，不表示y等于f与x的乘积.其中的f表示对应关系，f(x)可以是解析式的形式，也可以是图象或表格的形式.
(4)函数三要素：定义域、对应关系与值域.
知识点2 区间的概念
设a，b∈R，且a定义 名称 区间 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
{x|a{x|a≤x{x|a{x|x≥a} [a，+∞)
{x|x>a} (a，+∞)
{x|x≤b} (-∞，b]
{x|x特别地：实数集R可以用区间表示为(-∞，+∞)，“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”.
注意点：
(1)区间是实数集的一种表示形式，集合的运算仍然成立，但因为区间的左端点必须小于右端点，所以区间只能表示连续的数集.
(2)区间的开闭是由端点值能否取到来决定的，所以区间的开闭不能混淆，这要求我们用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别.
(3)“∞”是一个符号，而不是一个数.
知识点3 抽象函数与复合函数
1.抽象函数的定义：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数．
2.复合函数的定义
如果函数的定义域为，函数的定义域为，值域为，那么当 时，称函数为与在上的复合函数，其中叫作中间变量，叫作内层函数，叫作外层函数．
【注】由复合函数的定义可知，内层函数的值域是外层函数的定义域或定义域的真子集，外层函数的定义域和内层函数的值域共同确定了复合函数的定义域．
3.抽象函数或复合函数的定义域
（1）函数的定义域是指的取值所组成的集合；
（2）函数的定义域是指的取值范围，而不是的取值范围．
（3）同一对应法则下，括号内的取值范围相同，即，，三个函数中的，，的取值范围相同．
（4）已知函数的定义域为，求的定义域，其实质是已知的取值范围（值域）为，求的取值范围；
（5）已知的定义域为，求的定义域,其实质是已知中的的取值范围为，求的取值范围（值域），此范围就是的定义域．
1.函数关系的判断
(1)判断一个对应关系是否为函数的方法
(2)判断图形是否为函数关系的步骤
①任取一条垂直于x轴的直线l；
②在定义域内平行移动直线l；
③若直线l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.
2.求函数的定义域与值
(1)求定义域的依据：分式的分母不为0，偶次根式的被开方数非负，0次幂的底数不为0等，如果解析式中含有多个式子，则定义域是使得各式子都有意义的数的集合.另外，在实际问题中函数的定义域，要考虑实际意义.
(2)函数的定义域一定要用集合或区间的形式表示.
(3)函数求值的方法
①已知f(x)的表达式求f(a)(a在定义域之内)的值时，只需用a替换表达式中的x即得.
②已知f(x)与g(x) 求f(g(a))的值，应遵循由内往外的原则，即先计算g(a)的值，再将该值作为f(x)的自变量去替换表达式中的x进行求解.
(3)抽象函数的定义域
①若函数f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域即为不等式a≤g(x)≤b的解集.
②若函数f(g(x))的定义域为[c，d]，则f(x)的定义域即为g(x)在[c，d]上的值域.
3.求简单函数的值域的方法
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到.
(2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法.
(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域.
(4)换元法：对于一些无理函数(如y=ax±b±)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域.
题型一 函数关系的判断
1．下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（ ）
A．，对应关系
B．，对应关系
C．，对应关系
D．，对应关系
【答案】B
【分析】根据函数的定义逐一判断即可.
【详解】对于A，因为，但是没有意义，故A错误；
对于B，因为对于任意一个实数，都有唯一确定的实数与其对应，符合函数的定义，故B正确；
对于C，显然，此时，有两个不同的实数与之对应，不满足唯一性，故C错误；
对于D，因为集合是自然数集，，但是，所以不是的函数，故D错误．
故选：B.
2．下列图象中，可以表示函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的定义判断.
【详解】选项A，C，D的函数图象中存在，对应多个不同的函数值，故不可以表示函数，故B正确.
故选：B.
3．下列曲线中，不是函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的定义逐项分析即可判断.
【详解】对于A，对于变量的每一个值，变量不是唯一的值与它对应，故y不是x的函数，符合题意；
对于B，对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，故y是x的函数，不符合题意；
对于C，对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，故y是x的函数，不符合题意；
对于D，对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，故y是x的函数，不符合题意；
故选：A.
4．若，，下列对应关系或关系式是集合A到B的函数的有（ ）
A．，，f：；
B．，，f：；
C．，，f：
D．A与B的对应关系如图所示：
【答案】AD
【分析】根据函数的定义逐项判断即可.
【详解】对于A，由于实数包含所有的整数，故A中的每个元素在B中都有唯一的元素与之对应，符合函数的定义，故A正确；
对于B，当在A中取非整数的元素时，在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义，故B错误；
对于C，若取，则有，从而有2个和一个对应，不符合函数的定义，故C错误；
对于D，由图可知对于A中的所有元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应，符合函数的定义，故D正确.
故选：AD.
5．已知集合且，集合且，下列图象能作为集合到集合的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】依次判断选项中函数图像对应的定义域是否为且，且每一个自变量是否都有唯一确定的值在集合且中与之对应，或者根据已知判断图象与轴的相对位置关系、图象是否连续得出结论即可.
【详解】解法一：图A中函数是集合且到且的函数，故A错误；
图B中函数是集合且到且的函数，故B错误；
图C中函数是集合且到且的函数，故C正确；
图D中函数是集合且到且的函数，故D正确；
故选：CD．
解法二：图A中函数图象与轴有交点，设交点为，当时按照图中对应关系对应函数值0，而，故选项A错误；
图B中函数图象在区间上是连续的，所以函数在处有意义，即在定义域内，而，故选项B错误；而CD中的函数的定义域和值域均符合题设要求，
故选：CD．
题型二 区间的定义与表示
6．下列叙述正确的是（ ）
A．用区间可表示为
B．用区间可表示为
C．用集合可表示为
D．用集合可表示为
【答案】D
【分析】根据区间的概念逐项判断即可．
【详解】对于选项A，用区间可表示为，故A错误；
对于选项B，用区间可表示为，故B错误；
对于选项C，用集合可表示为，故C错误；
对于选项D，用集合可表示为，故D正确．
故选：D．
7．已知区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据区间的定义，即可列式求解.
【详解】根据区间的定义，可知，得.
故选：A
8．用区间表示集合 .
【答案】
【分析】利用区间的定义即可求解.
【详解】集合的区间表示为.
故答案为：.
9．若为一确定区间，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】因为为确定区间，所以右端点大于左端点，列出不等式求解a的取值范围.
【详解】根据区间表示数集的方法原则可知，，解得，
所以a的取值范围是,
故答案为：.
10．用区间表示下列数集.
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)或.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】根据集合与区间的关系求得正确答案.
【详解】（1）集合为，对应区间为.
（2）集合为，对应区间为.
（3）集合为，对应区间为.
（4）集合为，对应区间为.
（5）集合为或，对应区间为.
题型三 具体函数的而定义域
11．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据根式函数和分式函数的定义域求法求解.
【详解】由解得且，
所以的定义域为.
故选：D
12．函数的定义域为（ ）
A．或 B．或
C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根号下非负结合分式不等式的解法可求函数的定义域.
【详解】由，可得，
即，解得，
即函数的定义域为，
故选：C．
13．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数有意义，列出不等式组即可.
【详解】由题可得且，则且，
故函数的定义域为.
故选：B.
14．下列函数中，定义域为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由具体函数的定义域求法即可解答.
【详解】函数的定义域为，A正确；
由知的定义域为，B错误；
对于C，D，易知的定义域为，C，D错误．
故选：A.
15．函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】根据函数特征得到不等式组，求出定义域.
【详解】由，解得，且．
所以的定义域为．
故答案为：
题型四 抽象函数的定义域
16．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先求出的定义域，再结合，从而可求解.
【详解】由函数的定义域为，
有意义，则得，解得，
有意义，需满足且，即且，
所以函数的定义域为.
故选：B.
17．已知函数的定义域是，则函数的定义域是 .
【答案】
【分析】根据抽象函数定义域的意义列出不等式，求解即得.
【详解】由题意可得，解得.
故答案为：
18．（1）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ；
（2）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】（1）由的定义域可得到，进而求解即可得到的定义域；
（2）设，先根据的定义域求得的定义域，进而即可求出的定义域．
【详解】（1）设．
因为的定义域为，
所以要使有意义，必须，解得，
所以的定义域为，即的定义域为．
（2）设，考查函数．
因为的定义域为，
所以，得，
所以的定义域为．
设，要使有意义，
必有，解得．
故的定义域为．
故答案为：；．
19．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 .
【答案】
【分析】根据复合函数及抽象函数的定义域求法结合条件即得.
【详解】函数的定义域为，即，则，
所以函数的定义域为．
对于函数，需满足，解得，
即函数的定义域为．
故答案为：．
20．（1）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ；
（2）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】（1）根据抽象函数定义域的解法，列出不等式求解即可；
（2）先求出的范围，可得的定义域，然后根据抽象函数定义域的解法，列出不等式求解的定义域．
【详解】（1）函数的定义域为，
由，解得，
所以函数的定义域为．
（2）函数的定义域为，
则，可得的定义域为．
由，即且，
即且，解得或．
所以函数的定义域为．
题型五 具体函数的函数值计算
21．已知函数，则（ ）
A．15 B．7 C．4 D．0
【答案】B
【分析】代入运算得解.
【详解】.
故选：B.
22．已知，则（ ）
A．31 B．17 C．15 D．7
【答案】A
【分析】令，求出，然后代入解析式中即可求出的值.
【详解】令，则，
得．
故选：A．
23．若函数，则 ．
【答案】3
【分析】将 代入函数表达式即可得到答案.
【详解】将 代入函数表达式：
.
故答案为：3
24．已知，则 ．
【答案】15
【分析】令，即，即可得．
【详解】令，即，得．
故答案为：15．
25．已知定义在上的函数满足，则 ， ．
【答案】 1
【详解】因为，令，得，所以．令，得①，令，得②，，得，解得．
题型六 抽象函数的函数值计算
26．已知定义在上的函数满足，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．-2
【答案】A
【分析】通过赋值法先求出，继而求得.
【详解】由得，
令，则，得；
令，则，得；
令，则，得.
故选：A.
27．已知函数对任意x，都满足，且，则（ ）．
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】C
【分析】令可求出，令、可求出.
【详解】令，则，
令，，则．
故选：C
28．设函数的定义域为，若，则 ．
【答案】
【分析】令得，再令得，最后令，利用赋值法即可求解.
【详解】令，则，即，可得；
令，则，即，可得；
令，可得.
故答案为：.
29．设定义在R上的函数满足，则= ．
【答案】3
【分析】由已知条件确定函数周期，即可求解.
【详解】由可得
所以，所以的周期为6，
所以
故答案为：3
30．已知函数的定义域为，且，，则 ．
【答案】2
【分析】取特殊值，取，代入题干关系式即可得结果.
【详解】由，取可得，又，所以．
故答案为：
题型七 已知函数值求参数
31．已知函数，.
(1)求；
(2)若，求的值.
【答案】(1)0
(2)
【分析】（1）根据解析式直接求值即可得到结果；
（2）根据已知条件解方程即可得到结果.
【详解】（1）
（2）因为，所以，所以
32．已知函数，且，则（ ）
A． B．3 C． D．17
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用赋值法代入计算得解.
【详解】函数，令，则，而，
所以.
故选：B
33．已知函数，，则（ ）
A．或3 B．1或3 C． D．3
【答案】D
【分析】根据题意，再用计算即可.
【详解】令，解得，则，则．
故选：D.
34．如图，表示从集合到集合的函数，若，则的值为 ．
【答案】1或2
【分析】根据图中所给对应关系，直接判断即可.
【详解】由图可知，，，，，
若，则或.
故答案为：或.
35．若函数和分别由下表给出：
1 2 3 4
2 3 4 1
1 2 3 4
2 1 4 3
满足的值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】从外到内逐步求值．
【详解】根据题意，，
则，所以.
故选：B
题型八 简单函数的值域
36．求下列函数的值域：
(1)；
(2)．
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由基本不等式求解即可；
（2）设，结合二次函数的性质求解即可；
（3）利用分离常数法求解即可.
【详解】（1），
当且仅当，即时取等号，
所以函数的值域为．
（2）设，，则，
所以，
所以函数的值域为．
（3），
则，所以函数的值域为．
【点睛】方法点晴：（1）观察法，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”观察函数的值域．
（2）配方法．求形如的函数的值域可用配方法，但要注意的取值范围．
（3）分离常数法．形如的函数常用分离常数法求值域，转化过程为，其值域是．
（4）换元法．形如的函数常用换元法求值域，即先令，求出，并注明的取值范围，再代入上式将表示成关于的二次函数，最后用配方法求值域．
（5）均值不等式法．若函数解析式中某些元素直接或间接（通过配凑、拆项等）满足均值不等式的应用条件，则可利用均值不等式求最值，进而可得函数的值域．
37．下列函数的定义域与值域相同的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分别求出各函数的定义域和值域，逐一判断即可.
【详解】函数的定义域和值域都为R，A正确；
的定义域为，值域为，B错误；
的定义域为R，值域为，C错误；
的定义域为R，值域为，D错误.
故选：A
38．下列函数中值域为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】求出各选项中的函数值域，即可判断得解．
【详解】对于A，函数的定义域为，值域也为，A正确；
对于B，函数，值域为，B正确；
对于C，函数的定义域为，值域为，C错误；
对于D，函数的定义域为R，值域为，D错误．
故选：AB．
39．函数的值域 ．
【答案】
【分析】根据二次函数的性质求解即可.
【详解】函数的对称轴为，开口向下，
且时，；时，；时，，
则函数的最小值为0，最大值为4，
所以的值域为.
故答案为：.
40．求下列函数的值域：
(1)，；
(2)；
(3)，；
(4)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】（1）根据给定的自变量值求出函数值即可.
（2）利用二次根式的意义求出值域.
（3）利用二次函数的性质求出值域.
（4）利用分式函数，结合分离常数的思想求出值域.
【详解】（1），且，则．
所以函数的值域为.
（2）函数的定义域为，由，得，
所以的值域为.
（3）函数图象的对称轴为，而，
当时，，当时，，
所以函数的值域为．
（4）函数的定义域为，
，
所以函数的值域为．
题型九 同一函数的判断
41．下列函数中，与函数是同一个函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据同一函数定义可知两函数定义域相同、化简后的解析式相同，逐个选项判断即可.
【详解】函数的定义域为，对应关系为
的定义域为，但对应关系不同，A错误；
，且定义域为，因为定义域与对应关系均相同，所以为同一函数，B正确；
的定义域为，C错误；
的定义域为，即或，D错误．
故选：B.
42．下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】C
【分析】函数相等的充要条件是对应法则、定义域相同，由此逐一判断各个选项即可得解.
【详解】对于A，与的定义域分别为，故A错误；
对于B，与的定义域分别为，故B错误；
对于C，与的定义域都是，且，故C正确；
对于D，与的定义域分别为，故D错误.
故选：C.
43．下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】D
【分析】函数相等的充要条件是对应法则、定义域相同，由此逐一判断各个选项即可得解.
【详解】对于A，由函数可得，解得，
则其定义域为；
由函数可得，解得，则其定义域为．
两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故A错误．
对于B，函数的定义域为，函数的定义域为，
两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故B错误．
对于C，函数的定义域为，
函数的定义域为，
两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故C错误．
对于D，函数的定义域为，
函数的定义域为，
定义域与对应法则均相同，因此是同一个函数，故D正确．
故选：D.
44．以下各组函数中，不是同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】对于选项B，C，D中两个函数的定义域相同，对应法则相同，故均为同一函数，而对于A选项，两个函数对应法则不同，故两个函数不是同一函数.
【详解】对于A选项，两个函数的定义域相同，
，两者的函数解析式不相同，故两者不是同一函数；
对于B，，两个函数的定义域和对应法则相同，
故得到两个函数是同一函数；
对于C，两个函数的定义域相同为，
且对应法则相同，故得到两个函数是同一函数；
对于D，两个函数定义域相同，，
对应法则相同，故两个函数是同一函数.
故选：A.
45．下列四组函数中表示同一个函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】比较两个函数的定义域和解析式是否相等，判断即可。
【详解】对于A：的定义域为的定义域为，A中两个函数不表示同一个函数；
对于B：两个函数的对应关系不一致，中两个函数不表示同一个函数；
对于C：与，解析式相同，且两个函数的定义域均为，中两个函数表示同一个函数；
对于D：两个函数的定义域不一致，中两个函数不表示同一个函数；
故答案为：C。
【点睛】考查同一个函数的判断方法
题型十 复杂函数的值域
46．下列函数中，值域是的是（ ）．
A． B．（）
C．（） D．
【答案】D
【分析】分别求出各函数的值域即可.
【详解】因为，所以函数值域为，故A错误；
因为时，，故B错误；
因为时，函数的值域为集合，不是区间．故C错误；
因为，所以函数的值域为，故D正确.
故选：D．
47．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令，，可得，利用函数单调性求值域.
【详解】令，，则，
所以函数，函数在上单调递增，
时，有最小值，
所以函数的值域为.
故选：C
48．已知函数，则的值域为 .
【答案】
【分析】令，求得，结合基本不等式，求得，进而求得函数的值域，得到答案.
【详解】由函数，可得且，解得，
又由，则，可得，
因为，则，
当且仅当时，即时，等号成立，所以，可得，
所以函数的值域是.
故答案为：.
49．求函数的值域．
【答案】.
【分析】根据给定条件，利用绝对值的三角不等式列式求出值域.
【详解】函数的定义域为R，
由，当且仅当时取等号，
因此，
所以函数的值域是.
50．求函数的值域.
【答案】
【分析】利用两点间的距离公式将问题转化为动点到，两点的距离之差最小或最大．
【详解】，
问题转化为动点到，两点的距离之差最小或最大.
当A，B，P三点共线，且点位于点和点之间时距离之差最小，
所以；
当点P的横坐标x趋向于负无穷大时，直线趋近于重合，此时接近于，
即距离之差的最大值趋近于5，
所以，
函数的值域为：.
题型十一 已知值域求定义域
51．已知函数的值域为，则的定义域不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的值域为结合二次函数的对称性可求出相应的定义域.
【详解】令，解得，令，解得，
由函数的图象关于轴对称的性质，得的定义域可能为，或，则BCD可能；
而，的定义域不可能是，A不可能.
故选：A
52．已知定义域为D的函数其值域为，则定义域D可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】先作出函数图象；再利用数形结合思想，注意区间端点，即可得出答案.
【详解】先作出函数在R上的图象，如图所示：
结合函数图象可知当函数值域为时，选项A、D正确.
故选：AD.
53．定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】作出函数的图象，求出的最大值和最小值，即可得解.
【详解】，
当时，若，即，解得或；
当时，若，即，解得或，此时.
所以，，作出函数的图象如下图所示：
因为函数在区间上的值域为，则当时，区间的长度取最小值；
当时，区间的长度取最大值.
所以，区间的长度的取值范围是.
故选：BC.
54．若函数的值域是，则此函数的定义域为 .
【答案】
【分析】分类讨论分两种情况解不等式即可.
【详解】当时，，∴；
当时，，∴，∴.
故答案为：.
55．已知函数 的值域为，则的定义域可以是
【答案】（答案不唯一）
【分析】解分式不等式得到范围，写出符合题意的定义域即可.
【详解】令，解得或，
则的定义域可以是，
故答案为：（答案不唯一）.
