课后训—椭圆的几何性质-
日期：2025. 时长：50-60分钟/次
【题组一 由椭圆方程求基本量】
1．已知是椭圆：上一点，，是其左右焦点，则（ ）
A．椭圆的焦距为 B．
C．椭圆的离心率 D．的面积的最大值是
2．已知P为椭圆上的动点，，且，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知椭圆的左、右焦点分别为是上在第二象限内的一点，且，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【题组二 椭圆上点到焦点的距离及最值】
4．已知椭圆的方程为，则椭圆上一点到左焦点的距离最小值为（ ）.
A．8 B．5 C．3 D．2
5．已知椭圆的左焦点为，点在上，点在圆上，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．9 D．11
6．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【题组三 椭圆的离心率】
7．已知椭圆的右顶点与上顶点之间的距离等于焦距，则的离心率为 ．
8．已知椭圆的焦点在圆上，则此椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．已知椭圆的左 右焦点为，左 右顶点为，上 下顶点为，若四边形的面积是四边形的面积的2倍，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10．设椭圆的一个焦点为，为内一点，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题组四 焦点三角形（周长问题）】
11．已知分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，则的周长为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
12．已知点、是椭圆:的左、右焦点，若过焦点的直线交椭圆于A ，B 两点，则的周长为（ ）
A．4 B．9 C． D．12
13．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为．过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长为（ ）
A．4 B． C．8 D．
14．直线与椭圆交于A、B两点，F为椭圆左焦点.则周长最大值是 .
【题组五 焦点三角形（面积问题）】
15．设是椭圆上的一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则的面积为 ，内切圆半径为 .
16．设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
17．设分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，的周长为，且，则的面积为（ ）
A．3 B． C．4 D．
【题组六 焦点三角形（角度问题）】
18．已知椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上一点，若，则（ ）
A． B． C． D．
19．已知椭圆的左 右焦点分别为，点在上但不在坐标轴上，且是等腰三角形，其中一个内角的余弦值为，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8课后训—椭圆的几何性质-
日期：2025. 时长：50-60分钟/次
【题组一 由椭圆方程求基本量】
1．已知是椭圆：上一点，，是其左右焦点，则（ ）
A．椭圆的焦距为 B．
C．椭圆的离心率 D．的面积的最大值是
【答案】C
【分析】根据椭圆的标准方程、计算出焦距、离心率、焦点三角形面积并判断各选项．
【详解】如图：
根据椭圆的标准方程：，得，，所以.
所以：椭圆的焦距为：，故A错；
根据椭圆的定义：，故B错；
椭圆的离心率：，故C正确；
当点为椭圆短轴端点时，的面积最大，为：，故D错.
故选：C
2．已知P为椭圆上的动点，，且，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据椭圆的定义求解．
【详解】P为椭圆上的动点，，且，
P的轨迹是以为焦点的椭圆，且，即，，
所以，
故选：C．
3．已知椭圆的左、右焦点分别为是上在第二象限内的一点，且，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据椭圆的定义和条件求解焦半径，再结合几何关系，即可求解.
【详解】由条件可知，，得，，且
所以，且，
设直线的倾斜角为，则，
所以直线的斜率为.
故选：B
【题组二 椭圆上点到焦点的距离及最值】
4．已知椭圆的方程为，则椭圆上一点到左焦点的距离最小值为（ ）.
A．8 B．5 C．3 D．2
【答案】D
【分析】根据椭圆方程及其性质，即可得点到左焦点的距离最小值.
【详解】由椭圆方程知，椭圆上点到左焦点的距离最小值为.
故选：D
5．已知椭圆的左焦点为，点在上，点在圆上，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．9 D．11
【答案】A
【分析】根据“两点之间，线段最短”可求得的最小值.
【详解】由椭圆，得，∴，
由得，所以圆心，半径为.
设分别与椭圆、圆交于点
则，,
所以，
当且仅当四点共线时取等号
的最小值为.
故选：A.
6．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用椭圆的定义，将转化为，结合图形，得最小值.
【详解】如图，M为椭圆C上任意一点，则，
又因为N为圆E：上任意一点，
，
当且仅当M、N、E、共线且M、N在E、之间时等号成立．
由题意知，，，则，
所以的最小值为.
故选：B．
【点睛】求最值时，可以利用定点，和E，当M、N、E、共线且M、N在E、之间时最短，等于.
【题组三 椭圆的离心率】
7．已知椭圆的右顶点与上顶点之间的距离等于焦距，则的离心率为 ．
【答案】
【分析】由题可得，结合离心率公式化简即可求解.
【详解】设椭圆的半焦距为，
由题可得：，即，化简得：，
所以椭圆的离心率为：，
故答案为：
8．已知椭圆的焦点在圆上，则此椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据椭圆的性质求出焦点坐标，再结合焦点在圆上求出的值，最后根据椭圆离心率公式求出离心率.
【详解】已知椭圆方程，则.
根据椭圆的性质，可得，那么椭圆的焦点坐标为.
因为椭圆的焦点在圆上，将焦点坐标代入圆的方程可得：
即，移项可得.
因为，所以.
由，.
根据椭圆离心率公式，可得.
此椭圆的离心率为.
故选： B.
9．已知椭圆的左 右焦点为，左 右顶点为，上 下顶点为，若四边形的面积是四边形的面积的2倍，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得，计算即可.
【详解】由题意可得，整理得，所以，
所以椭圆的离心率为.
故选：B.
10．设椭圆的一个焦点为，为内一点，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可知，椭圆的左焦点为，利用三角形三边关系求出的取值范围，即可得出椭圆的离心率的取值范围.
【详解】由题意可知，椭圆的左焦点为，由椭圆的定义可得，
，即，解得，
当且仅当为射线与椭圆的交点时，等号成立（此时点与图中的点重合），
又因为，
当且仅当为射线与椭圆的交点时，等号成立（此时点与图中的点重合），
所以，解得，所以，
因此，.
故选：C.
【题组四 焦点三角形（周长问题）】
11．已知分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，则的周长为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【分析】由椭圆的定义求解的周长.
【详解】由题意知：椭圆中，则，
的周长
故选：C
12．已知点、是椭圆:的左、右焦点，若过焦点的直线交椭圆于A ，B 两点，则的周长为（ ）
A．4 B．9 C． D．12
【答案】D
【分析】根据椭圆的定义求解.
【详解】根据椭圆方程可得，则，
由椭圆的定义得，，，
所以的周长为.
故选：D.
13．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为．过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长为（ ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】C
【分析】结合垂直平分线性质可得的周长与的周长相等，再结合椭圆的定义求的周长即可.
【详解】因为为线段的垂直平分线，
根据对称性，，，
所以的周长等于的周长，
利用椭圆的定义得到的周长为 ．
故选：C.
14．直线与椭圆交于A、B两点，F为椭圆左焦点.则周长最大值是 .
【答案】
【分析】根据椭圆定义即可结合三点共线求解.
【详解】由题意可得，
记椭圆右焦点为，则周长
当且仅当直线经过右焦点（不经过左焦点）时取得等号.，
故答案为：
【题组五 焦点三角形（面积问题）】
15．设是椭圆上的一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则的面积为 ，内切圆半径为 .
【答案】 /
【分析】利用椭圆的定义及余弦定理求出，即可求出的面积，再由等面积法求出内切圆的半径．
【详解】由椭圆方程可得，，则，
，，
在中，，
即，解得，
，
设内切圆半径为，的周长为，
所以，解得.
故答案为：；.
【点睛】
16．设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由椭圆标准方程可得，，，根据题意得或，结合图形，利用椭圆的定义求出的三边长，即可求得其面积
【详解】由椭圆：可得，， ，
因为上一点且在第一象限，则
由为等腰三角形，则可得或，
当时，，
此时的面积为：；
当时，，不合题意，舍去.
综上，可得的面积为.
故选：C．
17．设分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，的周长为，且，则的面积为（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】根据椭圆的性质得到，结合求得，由余弦定理求的值，得到三角形面积.
【详解】由椭圆的性质可得，
又∵，∴，又，所以，，由余弦定理可得，即，
∴，C选项正确；
故选：C
【题组六 焦点三角形（角度问题）】
18．已知椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上一点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据椭圆的定义及余弦定理可求得结果.
【详解】由椭圆方程知，，，，则，
由椭圆的定义知，，又，
所以
，
故选：A.
19．已知椭圆的左 右焦点分别为，点在上但不在坐标轴上，且是等腰三角形，其中一个内角的余弦值为，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【分析】，设，由是等腰三角形，利用余弦定理求出，可求的值.
【详解】依题意得，设，
不妨设点在第一象限，若，有，
故或，
解得或，又9，所以.
若，有，同理可得.
此时，，不符合点在第一象限，
所以.
故选：B.
