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6.2 向量基本定理与向量的坐标
6.2.3 平面向量的坐标及其运算
第1课时 平面向量的坐标表示和运算
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 课堂评价
◆ 备课素材
【学习目标】
1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；
2.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘向量运算.
知识点一 平面向量的坐标
1.平面上的两个非零向量与 ，如果它们所在的直线互相______，我们就称向
量与 垂直，记作______.规定，零向量与任意向量都垂直.
2.如果平面向量的基底{,中， ，就称这组基底为__________，在正
交基底下向量的分解称为向量的__________.
3.一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量,，对于平面内的向量 ，
如果，则称为向量 的坐标，记作__________.
4.若,其中为坐标原点,则向量的坐标______就是终点 的坐
标;反过来,终点的______也就是向量 的坐标.
垂直
正交基底
正交分解
坐标
知识点二 平面上向量的运算与坐标的关系
1.向量相等的坐标表示
已知, ，平面上两个向量相等的充要条件是它们的坐标对
应相等，即 _________________.
且
2.向量的线性运算的坐标表示
已知, ，
（1）________________, ________________,即两个向量和（差）
的坐标分别等于这两个向量相应坐标的__________.
和（差）
（2）__________ ,即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原
来向量的相应坐标.
（3）若，是两个实数，则 ______________________，
______________________.
3.向量模的坐标运算
已知,则 __________.
知识点三 平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式
已知,, .
（1）________,________, ________________,即一
个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的______的坐标减去______的坐标.
（2） _______________________，这是平面直角坐标系内两点之
间的距离公式.
（3）设线段的中点为 ，则__________________，这是平面直角坐
标系内的中点坐标公式.
终点
始点
,
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同. ( )
×
（2）当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标. ( )
√
（3）两个向量的差的坐标与两个向量的顺序无关. ( )
×
（4）点的坐标与向量的坐标相同. ( )
×
探究点一 平面向量的正交分解与坐标表示
例1（1） 已知,分别是方向与轴正方向、轴正方向相同的单位向量， 为
原点，设（其中），则点 位于( )
D
A.第一或第二象限 B.第二或第三象限 C.第三象限 D.第四象限
[解析] 由已知得 .因为
， ，所以点A
位于第四象限.故选D.
（2）已知{,}是一组正交基底,且,均为单位向量，向量 的坐标为
_______；坐标为 的向量的正交分解为_____.
[解析] 根据向量的坐标表示，可得向量的坐标为.坐标为
的向量为，即坐标为的向量的正交分解为 .
变式 在直角坐标系中，向量，， 的方向如图
所示，且，， ，分别计算出它们
的坐标.
解：设，则 ，
，， .
设，则 ，
， .
设，则， ，
.
［素养小结］
向量的正交分解就是把一个向量分解成两个互相垂直的向量的和.对向量进行有
效的正交分解有助于向量间的运算.
探究点二 平面上向量的运算与坐标的关系
例2（1） 已知，，则 ( )
C
A. B. C. D.
[解析] 因为，，所以 .故选C.
（2）已知和是两个正交单位向量，，且 ，
则 ( )
B
A.2或3 B.2或4 C.3或5 D.3或4
[解析] 由和是正交单位向量，得， ，则
，所以，解得或 .故选
B.
变式（1） 已知向量，，，则可用与 表示
为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 设，，，则 ，即
解得 .故选A.
（2）已知，，若点满足，则点 的坐标为
____________.
[解析] 设，由，得 ，所以
解得故点的坐标为 .
［素养小结］
（1）向量的坐标表示法,可以使向量运算完全代数化,将数与形紧密地结合起来,
这样许多几何问题就可以转化为我们熟知的向量运算的问题.
（2）如果两个向量是相等向量,那么它们的坐标一定对应相等.当平面向量的起
点在原点时,平面向量的坐标与向量终点的坐标相同.
探究点三 两点间的距离公式及中点坐标公式
例3 已知,为坐标原点，点在直线上，且，若 是线段
的中点，求点的坐标及 的长.
解：设,, , ，
即解得 点的坐标为 .
点是的中点，, ，解得,, 点的坐标为 .
的长为 .
变式 [2023·广东揭阳高一期中]已知点，向量 ，
，点是线段的三等分点，则点 的坐标是( )
C
A. B.
C.或 D.或
[解析] 因为，，所以 ，又因为
点是线段的三等分点，所以或 ，
所以或，即点 的坐标为
或 .故选C.
［素养小结］
由中点坐标公式的计算方法可得三等分点的坐标计算方法：设， ,
设,之间靠近点的三等分点为,靠近点的三等分点为，则 ,
.
探究点四 平面向量坐标运算的应用
例4 如图，在边长为2的正方形中，,分别是, 的中点.
（1）若，求 的值；
解：如图，以为坐标原点，分别以,的方向为,
轴的正方向建立平面直角坐标系，
则,,,, ，
则,, .
由 可得
，
则解得所以 .
（2）若为的中点，与交于点，求证： .
证明：，设 ，
易知,,三点共线，则 ，
即 ，
可得,，即 ，
又,,三点共线，且, ，
所以，解得 ，则 ，
所以，，又，所以 .
变式 已知，，，，且点满足 ，
其中 ， .
（1）若，点在直线上，求实数 ；
解：由题意可知，， ，
若，则 ，
所以，即
则
因为点在直线上，所以 ，解得 .
（2）若，求点的坐标， 满足的关系式.
解：因为，所以 ，即
代入，得消去 得 .
［素养小结］
利用向量便于研究平面和空间里涉及直线和图形的各种问题，平面向量的坐标
运算为用“数”的运算处理“形”的问题搭建了桥梁.
1.已知,，则向量 的坐标是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 因为,，所以 .故选D.
2.如图所示，， 是平面内两个相互垂直的单位向量，则
向量 的坐标为( )
A
A. B.
C.或 D.或
[解析] 因为，所以.又 ，所以
，所以的坐标为 .
3.[2024·陕西西安高一期末]已知向量，，若 ，
则 的取值范围为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由题意知，，所以 ，得
，解得，故实数的取值范围为 .故选B.
4.已知向量，满足，， ，
则 ___.
0
[解析] 设，，则由，得 由
，得解得所以， .
因为，所以
解得所以 .
5.若，且是线段的一个三等分点，则点 的坐标为________
_____.
或
[解析] 由题意知，或，.设 ，则
.
当时，,可得 , ，即；
当时，,可得 , ，即.
综上，点的坐标为或 .
1.平面向量的坐标表示
（1）向量的坐标表示实质上是向量的代数表示，引入向量的坐标表示后，可使
向量运算代数化，将数和形紧密结合起来，从而使许多几何问题的证明转化为
数量运算.
（2）向量 的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，
只与其相对位置有关系.若是表示的有向线段，，的坐标分别为 ，
，则向量的坐标为 .
解：设点，的坐标分别为， ，
由题可得，， ，
.
， ，
和 解得和
点，的坐标分别为和 .
.
例1 已知，，，.求点，和 的坐标.
2.平面向量的坐标运算
准确、熟练掌握向量的加法、减法、数乘的坐标运算公式.牢记公式、细心计算.
例2 设向量，的坐标分别是，，求，, ,
的坐标.
解：
.
.
.6.2.3 平面向量的坐标及其运算
第1课时 平面向量的坐标表示和运算
【课前预习】
知识点一
1.垂直 a⊥b 2.正交基底 正交分解
3.a=(x,y) 4.(x,y) 坐标
知识点二
1.x1=x2且y1=y2
2.(1)(x1+x2,y1+y2) (x1-x2,y1-y2) 和(差) (2)(λx1,λy1) (3)(ux1 +vx2,uy1 +vy2) (ux1 -vx2,uy1 -vy2)
3.
知识点三
(1)(x1,y1) (x2,y2) (x2-x1,y2-y1) 终点 始点
(2) (3)x=,y=
诊断分析
(1)× (2)√ (3)× (4)×
【课中探究】
例1 (1)D (2)(-3,6) -2j [解析] (1)由已知得=(x2+x+1,-(x2-x+1)).因为x2+x+1=+>0,-(x2-x+1)=--<0,所以点A位于第四象限.故选D.
(2)根据向量的坐标表示,可得向量-3i+6j的坐标为(-3,6).坐标为(0,-2)的向量为0i-2j=-2j,即坐标为(0,-2)的向量的正交分解为-2j.
变式 解:设a=(x1,y1),则x1=2×cos 45°=,y1=2×sin 45°=,∴a=(,).
设b=(x2,y2),则x2=-3×cos 60°=-,y2=3×sin 60°=,∴b=.
设c=(x3,y3),则x3=4×cos 30°=2,y3=-4×sin 30°=-2,∴c=(2,-2).
例2 (1)C (2)B [解析] (1)因为A(1,2),B(4,-2), 所以=(3,-4).故选C.
(2)由i和j是正交单位向量,得a=2i+3j=(2,3),b=i+kj=(1,k),则a-b=(1,3-k),所以|a-b|==,解得k=2或k=4.故选B.
变式 (1)A (2)(-1,-12) [解析] (1)设c=xa+yb,x,y∈R,则(7,3)=(2x+y,-x+6y),即解得∴c=3a+b.故选A.
(2)设P(x,y),由=-2,得(x-1,y+2)=-2(1,5),所以解得故点P的坐标为(-1,-12).
例3 解:设P(x1,y1),B(x,y),∵=,
∴(x1,y1)=(6-x1,3-y1),
即解得
∴点P的坐标为(2,1).
∵点P是OB的中点,∴2=,1=,
解得x=4,y=2,∴点B的坐标为(4,2).
∴PB的长为=.
变式 C [解析] 因为=(2,3),=(6,-3),所以=-=(4,-6),又因为点P是线段AB的三等分点,所以==或==,所以=+=或=+=,即点P的坐标为或.故选C.
例4 解:(1)如图,以A为坐标原点,分别以,的方向为x,y轴的正方向建立平面直角坐标系,
则A(0,0),B(2,0),C(2,2),M(2,1),N(1,2),
则=(2,2),=(2,1),=(-1,2).
由=λ+μ可得(2,2)=λ(2,1)+μ(-1,2)=(2λ-μ,λ+2μ),
则解得所以λ+μ=.
(2)证明:F(0,1),设P(x,y),
易知B,P,N三点共线,则=m,即(x-2,y)=m(-1,2),
可得x=2-m,y=2m,即P(2-m,2m),
又C,P,F三点共线,且=(2,1),=(2-m,2m-1),
所以2×(2m-1)-1×(2-m)=0,解得m=,则P,
所以=,||==2,又AB=2,所以AP=AB.
变式 解: (1)由题意可知=(x-2,y-3),=(3,1),=(5,7),
若α=1,则=+β,
所以(x-2,y-3)=(3,1)+β(5,7),即则
因为点P在直线y=x上,所以5+5β=4+7β,解得β=.
(2)因为=α+β,所以(x-2,y-3)=α(3,1)+β(5,7),即
代入α+β=1,得消去β得3x-y=11.
【课堂评价】
1.D [解析] 因为A(3,1),B(2,-1),所以=(-1,-2).故选D.
2.A [解析] 因为a=e1+e2,所以2a=2e1+e2.又b=e1+3e2,所以2a+b=(2e1+e2)+(e1+3e2)=3e1+4e2,所以2a+b的坐标为(3,4).
3.B [解析] 由题意知,2a-b=(-2,-m),所以|2a-b|=≤3,得m2≤5,解得-≤m≤,故实数m的取值范围为[-,].故选B.
4.0 [解析] 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则由2a-b=(0,3),得由a-2b=(-3,0),得解得所以a=(1,2),b=(2,1).因为λa+μb=λ(1,2)+μ(2,1)=(λ+2μ,2λ+μ)=(-1,1),所以解得所以λ+μ=0.
5.(2,2)或 (3,1) [解析] 由题意知,=或=,=(3,-3).设P(x,y),则=(x-1,y-3).当=时,(x-1,y-3)=(3,-3),可得x=2,y=2,即P(2,2);当=时,(x-1,y-3)=(3,-3),可得x=3,y=1,即P(3,1).综上,点P的坐标为(2,2)或(3,1).6.2.3 平面向量的坐标及其运算
第1课时 平面向量的坐标表示和运算
【学习目标】
1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;
2.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘向量运算.
◆ 知识点一 平面向量的坐标
1.平面上的两个非零向量a与b,如果它们所在的直线互相 ,我们就称向量a与b垂直,记作 .规定,零向量与任意向量都垂直.
2.如果平面向量的基底{e1,e2}中,e1⊥e2,就称这组基底为 ,在正交基底下向量的分解称为向量的 .
3.一般地,给定平面内两个相互垂直的单位向量e1,e2,对于平面内的向量a,如果a=xe1+ye2,则称(x,y)为向量a的坐标,记作 .
4.若=xe1+ye2,其中O为坐标原点,则向量的坐标 就是终点A的坐标;反过来,终点A的 也就是向量的坐标.
◆ 知识点二 平面上向量的运算与坐标的关系
1.向量相等的坐标表示
已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),平面上两个向量相等的充要条件是它们的坐标对应相等,即a=b .
2.向量的线性运算的坐标表示
已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),
(1)a+b= ,a-b= ,即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的 .
(2)λa= (λ∈R),即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
(3)若u,v是两个实数,则ua+vb= ,ua-vb= .
3.向量模的坐标运算
已知a=(x,y),则|a|= .
◆ 知识点三 平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式
已知A(x1,y1),B(x2,y2),O(0,0).
(1)= ,= ,=-= ,即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的 的坐标减去 的坐标.
(2)AB=||= ,这是平面直角坐标系内两点之间的距离公式.
(3)设线段AB的中点为M(x,y),则 ,这是平面直角坐标系内的中点坐标公式.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个向量的终点不同,则这两个向量的坐标一定不同. ( )
(2)当向量的始点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐标. ( )
(3)两个向量的差的坐标与两个向量的顺序无关.( )
(4)点的坐标与向量的坐标相同. ( )
◆ 探究点一 平面向量的正交分解与坐标表示
例1 (1)已知i,j分别是方向与x轴正方向、y轴正方向相同的单位向量,O为原点,设=(x2+x+1)i-(x2-x+1)j(其中x∈R),则点A位于 ( )
A.第一或第二象限
B.第二或第三象限
C.第三象限
D.第四象限
(2)已知{i,j}是一组正交基底,且i,j均为单位向量,向量-3i+6j的坐标为 ;坐标为(0,-2)的向量的正交分解为 .
变式 在直角坐标系xOy中,向量a,b,c的方向如图所示,且|a|=2,|b|=3,|c|=4,分别计算出它们的坐标.
[素养小结]
向量的正交分解就是把一个向量分解成两个互相垂直的向量的和.对向量进行有效的正交分解有助于向量间的运算.
◆ 探究点二 平面上向量的运算与坐标的关系
例2 (1)已知A(1,2),B(4,-2), 则=( )
A.(5,0) B.(5,-4)
C.(3,-4) D.(-3,4)
(2)已知i和j是两个正交单位向量,a=2i+3j,b=i+kj且|a-b|=,则k= ( )
A.2或3 B.2或4
C.3或5 D.3或4
变式 (1)已知向量a=(2,-1),b=(1,6),c=(7,3),则c可用a与b表示为 ( )
A.3a+b B.a+3b
C.3a+2b D.3a-b
(2)已知M(1,-2),N(2,3),若点P满足=-2,则点P的坐标为 .
[素养小结]
(1)向量的坐标表示法,可以使向量运算完全代数化,将数与形紧密地结合起来,这样许多几何问题就可以转化为我们熟知的向量运算的问题.
(2)如果两个向量是相等向量,那么它们的坐标一定对应相等.当平面向量的起点在原点时,平面向量的坐标与向量终点的坐标相同.
◆ 探究点三 两点间的距离公式及中点坐标公式
例3 已知A(6,3),O为坐标原点,点P在直线OA上,且=,若P是线段OB的中点,求点B的坐标及PB的长.
变式 [2023·广东揭阳高一期中] 已知点O(0,0),向量=(2,3),=(6,-3),点P是线段AB的三等分点,则点P的坐标是 ( )
A.
B.
C.或
D.或
[素养小结]
由中点坐标公式的计算方法可得三等分点的坐标计算方法:设A(a,b),D(m,k),设A,D之间靠近点A的三等分点为B,靠近点D的三等分点为C,则B,C.
◆ 探究点四 平面向量坐标运算的应用
例4 如图,在边长为2的正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点.
(1)若=λ+μ,求λ+μ的值;
(2)若F为AD的中点,CF与BN交于点P,求证:AP=AB.
变式 已知A(2,3),B(5,4),C(7,10),P(x,y),且点P满足=α+β,其中α,β∈R.
(1)若α=1,点P在直线y=x上,求实数β;
(2)若α+β=1,求点P的坐标x,y满足的关系式.
[素养小结]
利用向量便于研究平面和空间里涉及直线和图形的各种问题,平面向量的坐标运算为用“数”的运算处理“形”的问题搭建了桥梁.
1.已知A(3,1),B(2,-1),则向量的坐标是 ( )
A.(-2,-1) B.(2,1)
C.(1,2) D.(-1,-2)
2.如图所示,e1,e2是平面内两个相互垂直的单位向量,则向量2a+b的坐标为 ( )
A.(3,4)
B.(2,4)
C.(3,4)或(4,3)
D.(4,2)或(2,4)
3.[2024·陕西西安高一期末] 已知向量a=(1,0),b=(4,m),若|2a-b|≤3,则m的取值范围为( )
A.[-,] B.[-,]
C.[-3,3] D.[-5,5]
4.已知向量a,b满足2a-b=(0,3),a-2b=(-3,0),λa+μb=(-1,1),则λ+μ= .
5.若P1(1,3),P2(4,0)且P是线段P1P2的一个三等分点,则点P的坐标为 . 6.2.3 平面向量的坐标及其运算
第1课时 平面向量的坐标表示和运算
1.D [解析] 由题得=(1,4),所以=-=(-1,-6).故选D.
2.A [解析] 因为a=(1,-3),b=(-2,0),所以a+2b=(-3,-3),所以|a+2b|==3.故选A.
3.B [解析] 因为点P是线段AB的中点,所以+=2,设P(x,y),则解得所以点P的坐标是(3,1).故选B.
4.C [解析] ∵向量a=(2,1),b=(x,-2),∴a+b=(2+x,-1),2a-b=(4-x,4).∵|a+b|=|2a-b|,
∴=,解得x=.故选C.
5.A [解析] 令(1,2)+λ(3,4)=(-2,-2)+μ(4,5),得(1+3λ,2+4λ)=(-2+4μ,-2+5μ),所以解得所以M∩N={(-2,-2)}.
6.A [解析] 因为||=2,∠AOC=,所以C(,),又=λ+μ,所以(,)=λ(1,0)+μ(0,1)=(λ,μ),所以λ=μ=,所以λ+μ=2.故选A.
7.C [解析] 方法一:设P(x,y),则=(x-2,y-3).由题得=(3,1),=(5,7),因为=+λ=(3,1)+λ(5,7)=(3+5λ,1+7λ),所以(x-2,y-3)=(3+5λ,1+7λ),所以即因为点P在第四象限,所以解得-1<λ<-,故实数λ的取值范围是.
方法二:由题得=+=++λ=+λ=(5,4)+λ(5,7)=(5+5λ,4+7λ)(O为坐标原点),所以P(5+5λ,4+7λ).因为点P在第四象限,所以解得-1<λ<-,故实数λ的取值范围是.故选C.
8.ACD [解析] 因为A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0),所以=(2,-1),=(-2,1),所以=-,故A正确.+=≠,故B不正确.+=(0,2)=,故C正确.=(-4,0),-2=(0,2)-(4,2)=(-4,0),故D正确.故选ACD.
9.ABC [解析] 设点D的坐标为(x,y).若=,则(5-3,4-2)=(6-x,7-y),解得x=4,y=5,故D(4,5),所以A正确;若=,则(5-3,4-2)=(x-6,y-7),解得x=8,y=9,故D(8,9),所以B正确;若=,则(6-3,7-2)=(5-x,4-y),解得x=2,y=-1,故D(2,-1),所以C正确.故选ABC.
【易错】 点D的位置不确定,需分情况讨论,此题容易讨论不全而漏解.
10. [解析] 由题可知=3,设P(x,y),则=(3,-5),=(x+1,y-10),所以(3,-5)=3(x+1,y-10),即解得故点P的坐标为.
11.(-6,21) [解析] -==(1,5)-(4,3)=(-3,2),因为点Q是AC的中点,所以=,所以=+=(1,5)+(-3,2)=(-2,7).因为=2,所以=+=3=3(-2,7)=(-6,21).
12.(10,-21) [解析] 因为点P在线段AB的延长线上,所以与的方向相反.由||=||,得=-.
设P(x,y),则(x-2,y-3)=-(4-x,-3-y),所以解得故点P的坐标为(10,-21).
13.解:(1)因为四边形ABCD是平行四边形,BD,AC相交于点O,
所以==(+)=(a+b).
因为M为BO的中点,所以=(+)==a+b.
(2)如图,以A为坐标原点,AD所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,由AB=1,AD=2,∠BAD=60°,可求得点C的坐标为,
所以D(2,0),B,因为O为BD的中点,所以O,
又M为BO的中点,所以点M的坐标为.
14.解:(1)由=-=(1,1-x),得||=,
当x=1时,||取得最小值,此时P(1,2),Q(2,2),所以=(1,0).
因为O,P,Q,A四点构成平行四边形,
所以==(1,0)或==(-1,0)或=+=(3,4).
(2)符合题意的点A的坐标为(1,0)或(-1,0)或(3,4),由这三点构成的图形为三角形,其面积为×|1-(-1)|×4=4,故所求面积为4.
15. [解析] 设点D的横坐标为x,则D(x,2).由已知得=(5,-9),=(-1,-11).设=λ=(5λ,-9λ)=(x,-6),=k=(-k,-11k),所以-9λ=-6,解得λ=,则=.由==·=,得=,则k=,所以=.设点E的坐标为(x1,y1),则=(x1,y1-8)=,可得x1=-,y1=-.故点E的坐标为.
16.BC [解析] 建立如图所示的平面直角坐标系,设菱形ABCD的边长为1,P(x,y),则A(0,0),B(1,0),C,D,E,所以=(1,0),=,=(x,y).由=λ+μ,得(x,y)=λ(1,0)+μ=,所以所以λ+μ=x+y.①当点P在AB上时,0≤x≤1,且y=0,所以λ+μ=x+y=x∈[0,1];②当点P在BC(不含点B)上时,设=m,即(x-1,y)=m,化简得y=(x-1),所以λ+μ=x+y=x+3(x-1)=4x-3,因为1第1课时 平面向量的坐标表示和运算
一、选择题
1.已知A(1,3),B(2,7),向量=(0,-2),则= ( )
A.(1,4) B.(-1,-4)
C.(1,6) D.(-1,-6)
2.已知平面向量a=(1,-3),b=(-2,0),则|a+2b|= ( )
A.3 B.3
C.2 D.5
3.已知O为坐标原点,向量=(2,3),=(4,-1),P是线段AB的中点,则点P的坐标是( )
A.(2,-4) B.(3,1)
C.(-2,4 ) D.(6,2)
4.已知向量a=(2,1),b=(x,-2),若|a+b|=|2a-b|,则实数x的值为 ( )
A. B.
C. D.2
5.已知M={a|a=(1,2)+λ(3,4),λ∈R},N={a|a=(-2,-2)+μ(4,5),μ∈R},则M∩N=( )
A.{(-2,-2)} B. {(2,-2)}
C. {(-2,2)} D. {(2,2)}
6.在平面直角坐标系xOy中,已知A(1,0),B(0,1),C为坐标平面内第一象限内的一点,∠AOC=,且||=2,若=λ+μ,则λ+μ等于 ( )
A.2 B.
C.2 D.4
7.已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若第四象限内的点P满足=+λ,则实数λ的取值范围是 ( )
A.(-∞,-1) B.
C. D.
8.(多选题)已知A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0),给出下面四个结论,其中正确的有( )
A.=-
B.+=
C.+=
D.=-2
★9.(多选题)已知A(3,2),B(5,4),C(6,7),则以A,B,C为顶点的平行四边形的另一个顶点D的坐标可以为 ( )
A.(4,5) B.(8,9)
C.(2,-1) D.(3,-1)
二、填空题
10.已知M(2,5),N(-1,10),点P是线段MN上靠近点N的三等分点,则点P的坐标为 .
11.在△ABC中,点P在BC上,且=2,点Q是AC的中点,若=(4,3),=(1,5),则= .
12.[2023·湖北武汉外国语学校高一期末] 已知A(2,3),B(4,-3),点P在线段AB的延长线上,且||=||,则点P的坐标为 .
三、解答题
13.如图,在平行四边形ABCD中,AB=1,AD=2,∠BAD=60°,BD,AC相交于点O,M为BO的中点,设向量=a,=b.
(1)用a,b表示;
(2)建立适当的坐标系,使得点C的坐标为,求点M的坐标.
14.若=(1,2x),=(2,x+1),其中O为坐标原点.当||取最小值时,O,P,Q,A四点构成平行四边形.
(1)求的坐标;
(2)求所有符合题意的点A所构成的平面图形的面积.
15.在△ABC中,A(0,8),B(5,-1),C(-1,-3),在边AB上有一点D,其纵坐标为2,设点E为边AC上的点,且△ADE的面积是△ABC面积的一半,则点E的坐标为 .
16.(多选题)[2023·河北唐山高一期末] 如图,在菱形ABCD中,∠BAD=60°,延长CD至点E,使得DE=CD.动点P从点A出发,沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到点A,若=λ+μ,则 ( )
A.满足λ+μ=1的点P有且只有一个
B.满足λ+μ=2的点P有两个
C.λ+μ存在最小值
D.λ+μ不存在最大值
