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6.2 向量基本定理与向量的坐标
6.2.3 平面向量的坐标及其运算
第2课时 向量平行的坐标表示
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 课堂评价
◆ 备课素材
【学习目标】
会用坐标表示平面向量共线的条件,能用向量共线的条件来解决有关向量共
线、直线平行及点共线等问题.
知识点 向量平行的坐标表示
设, .
（1）当时，
（2） .
（3）当时， （即两个向量的相应坐标成比例）.
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若，，且与共线，则 .( )
×
（2）若，，三点共线，则向量，， 都是共线向量.( )
√
（3）若，，且，则与 不共线.( )
√
[解析] 例如a=(1,0),b=(0,0)时,满足a与b共线,但推不出=,故该说法错误.
探究点一 判定向量共线（平行）、三点共线
例1（1） （多选题）下列向量能组成一组基底的是 ( )
BC
A.， B.，
C.， D.，
[解析] ，与 共线，故A中向量不能组成一组基底；
，与 不共线，故B中向量能组成一组基底；
，与 不共线，故C中向量能组成一组基底；
，与共线，故D中向量不能组成一组基底.故选 .
（2）证明下列各组点共线：
①,, ;
证明： ,
.
, ,
又与有公共点，,, 三点共线.
②,, .
证明： ,
.
, ，
又与有公共点,,, 三点共线.
变式（1） 若，，是三个互不相等的实数，则， ，
三点共线的充要条件是______________.
[解析] 因为，，三点共线，所以 ，即
，
所以，所以 ，
所以，所以 .
（2）已知，，，，判断与 是否共线？如果共
线，它们的方向是相同还是相反？
解：， .
方法一： ，
与共线,通过观察可知，和 方向相反.
方法二：，与 共线且方向相反.
［素养小结］
（1）向量共线的判定方法：
①利用共线向量基本定理，由推出 ;
②利用向量共线的坐标表达式 直接求解.
（2）三点共线问题的实质是向量共线问题,两个非零向量共线只需满足方向相
同或相反,两个向量共线与两个向量平行是一致的.
拓展 已知,,,.当向量时,,,, 四点是
否在同一条直线上
解：由已知得, ，
因为,共线,所以,解得 .
①当时,, ,
因为 ,
所以,此时,,三点共线，又,所以当时,,,, 四点在
同一条直线上.
②当时,, ,
因为,所以,, 三点不共线,
所以,,, 四点不在同一条直线上.
探究点二 利用向量共线求参数
例2（1） 已知,,，若,,三点共线，则 ( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由,,，得, ,
因为A,B,C三点共线，所以，即，解得 .
故选A.
（2）若向量,，且,则 ______.
[解析] 因为,，，所以，解得 ，所以
，所以 .
变式（1） 已知向量,,若，， 三点共线，则
实数 ( )
C
A.2 B. C.2或 D. 或1
[解析] 若A，B，C三点共线，则，即 ，化简得
，解得或 .故选C.
（2）已知向量，，若向量与向量 共线，
则 ___.
[解析] ， ，
向量与向量 共
线，，解得 .
［素养小结］
共线向量基本定理是等价的、双向的，而且系数 是唯一的，所以可以利
用系数的唯一性来解决共线中的参数问题.
探究点三 向量共线的应用
例3 已知平面向量，， ，
，，且，， 三点共线.
（1）求 的坐标；
解:因为，，所以与不共线，即与 可以组成平面
向量的一组基底，因为， ，
所以，又，且，， 三点
共线，所以，解得
所以
.
（2）已知，若，，，四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点
的坐标.
解:由（1）知，因为，所以 ，
又，所以 .
因为，，，四点按顺时针顺序构成平行四边形，所以 .
设，则 ，
因为，所以解得所以点的坐标为 .
变式 如图，已知,,，求与的交点
的坐标.
解:设 ,
则, .
因为,,三点共线，所以 ，
所以,解得 ，
所以，所以点的坐标为 .
［素养小结］
利用向量共线解决三点共线问题的关键是选择具有公共点的两个向量并写成
的形式.
1.已知，则与 同向的单位向量的坐标是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由题得，则与同向的单位向量是 ，对应的坐标
是 .故选A.
2.若向量与向量是共线向量,且，则 ( )
C
A. B. C.或 D.或
[解析] 与共线， 存在实数 ，使得，又 ,
，解得，或 .故选C.
3.已知点，，，为坐标原点，若 与
共线，则 ( )
B
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] 由题得，.因为与 共线，
所以，解得 .故选B.
4.已知向量与的方向相反,且,若点的坐标为 ,则
点 的坐标为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 与的方向相反,, .设
,则,解得 故点B的坐标为
.
5.已知向量，，若与共线，则实数 的值为____.
[解析] 因为与共线，所以，解得 .
1.两个向量平行的表示方法
已知， ，
（1）存在实数 ，使得.这是几何运算，体现了向量与 的长度及方向
之间的关系.
（2） .这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要
引入参数“ ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点，
程序化的特征.对于该形式极易写错，如写成或
都是不对的，因此要理解、记熟这一公式，可简记为：纵横交错积相减.
（3）当时， ，即两个向量的相应坐标成比例.通过这种形式较易
记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误.
2.向量平行的坐标表示的应用
两个向量平行的坐标表示的应用，可分为两个方面.
（1）已知两个向量的坐标判定两个向量共线.联系平面几何平行、共线的知识，
可以证明三点共线、直线平行等几何问题.要注意区分向量的共线、平行与几何
中的共线、平行.
（2）已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值.要注意方程思想的
应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据.
3.若，，三点共线，则 ，从而
，即
，显然由 ，也可得到
，或由 ，得到
.当这些条件中有一个成立时，即可得出
，， 三点共线.
例1 已知,,,那么与是否共线 线段与线段 是
否共线
解：, ，
且,，与 共线.
又 线段与线段有公共点 ,
线段与线段 共线.
4.利用向量共线求直线的交点坐标
解：, ，, .
, ，, .
设，则，, .
，，即 .
,,,， ，
，即 .
联立①②，解得，，故点的坐标为, .
例2 在中，，，，，，
与相交于点，求点 的坐标.第2课时 向量平行的坐标表示
【课前预习】
知识点
诊断分析
(1)× (2)√ (3)√ [解析] (1)例如a=(1,0),b=(0,0)时,满足a与b共线,但推不出=,故该说法错误.
【课中探究】
例1 (1)BC [解析] ∵0×(-2)=0×1,∴e1与e2共线,故A中向量不能组成一组基底;∵0×0≠2×,∴e1与e2不共线,故B中向量能组成一组基底;∵3×3≠5×5,∴e1与e2不共线,故C中向量能组成一组基底;∵1×(-6)=3×(-2),∴e1与e2共线,故D中向量不能组成一组基底.故选BC.
(2)证明:①=(-3,-4)-(1,2)=(-3-1,-4-2)=(-4,-6),=(2,3.5)-(-3,-4)=(2+3,3.5+4)=(5,7.5).
∵-4×7.5-(-6)×5=0,∴∥,
又与有公共点B,∴A,B,C三点共线.
②=(0.5,0)-(-1,2)=(0.5+1,0-2)=(1.5,-2),
=(5,-6)-(0.5,0)=(5-0.5,-6-0)=(4.5,-6).
∵1.5×(-6)-(-2)×4.5=0,∴∥,
又与有公共点Q,∴P,Q,R三点共线.
变式 (1)a+b+c=0 [解析] 因为P1(a,a3),P2(b,b3),P3(c,c3)三点共线,所以=λ,即(b-a,b3-a3)=λ(c-a,c3-a3),
所以=,所以b2+ab+a2=c2+ac+a2,
所以b+c=-a,所以a+b+c=0.
(2)解:=(0,4)-(2,1)=(-2,3),=(5,-3)-(1,3)=(4,-6).
方法一:∵(-2)×(-6)-3×4=0,
∴与共线,通过观察可知,和方向相反.
方法二:∵=-2,∴与共线且方向相反.
拓展 解:由已知得=(x,1),=(4,x),
因为,共线,所以x2-4=0,解得x=±2.
①当x=-2时,=(6,-3),=(-2,1),
因为6×1-(-3)×(-2)=0,
所以∥,此时A,B,C三点共线,又∥,所以当x=-2时,A,B,C,D四点在同一条直线上.
②当x=2时,=(-2,1),=(2,1),
因为(-2)×1-1×2=-4≠0,所以A,B,C三点不共线,
所以A,B,C,D四点不在同一条直线上.
例2 (1)A (2)2 [解析] (1)由A(m,0),B(0,1),C(3,-1),得=(-m,1),=(3,-2),
因为A,B,C三点共线,所以∥,即(-m)×(-2)-1×3=0,解得m=.故选A.
(2)因为a=(k,1),b=(3,2),a∥b,所以2k-3=0,解得k=,所以2a+b=(6,4),所以|2a+b|==2.
变式 (1)C (2)2 [解析] (1)若A,B,C三点共线,则∥,即-2×1-x(1-x)=0,化简得x2-x-2=0,解得x=-1或x=2.故选C.
(2)∵a=(1,2),b=(2,3),∴λa+b=(λ,2λ)+(2,3)=(λ+2,2λ+3).∵向量λa+b与向量c=(-4,-7)共线,∴-7(λ+2)+4(2λ+3)=0,解得λ=2.
例3 解:(1)因为e1=(2,-1),e2=(3,-3),所以e1与e2不共线,即e1与e2可以组成平面向量的一组基底,因为=-e1+3e2,=λe1+2e2,
所以=+=(λ-1)e1+5e2,又=-4e1+2e2,且A,C,D三点共线,所以(λ-1)×2=5×(-4),解得λ=-9.
所以=+=-9e1+2e2+(-4e1+2e2)=-13e1+4e2=-13(2,-1)+4(3,-3)=(-14,1).
(2)由(1)知=(-14,1),因为D(2,-1),所以B(16,-2),
又=-e1+3e2=(7,-8),所以A(9,6).
因为A,B,D,E四点按顺时针顺序构成平行四边形,所以=.
设E(x,y),则=(x-9,y-6),
因为=(-14,1),所以解得所以点E的坐标为(-5,7).
变式 解:设=λ=(4λ,4λ),
则=(4λ-4,4λ),=(-2,6).
因为A,P,C三点共线,所以∥,
所以6×(4λ-4)-(-2)×4λ=0,解得λ=,
所以=(3,3),所以点P的坐标为(3,3).
【课堂评价】
1.A [解析] 由题得|a|==2,则与a同向的单位向量是,对应的坐标是.故选A.
2.C [解析] ∵b与a共线,∴存在实数λ,使得b=λ(2,-1),又|b|=3,∴|λ|=3,解得λ=±3,∴b=(6,-3)或(-6,3).故选C.
3.B [解析] 由题得+=(-6,-2),=(,m).因为+与共线,所以-6m-(-2)×=0,解得m=1.故选B.
4.A [解析] ∵与a的方向相反,||=2|a|,∴=-2a=-2(3,-4)=(-6,8).设B(x,y),则=(x+1,y-2),∴解得故点B的坐标为(-7,10).
5.-2 [解析] 因为a与b共线,所以-2(λ+1)-2×1=0,解得λ=-2.第2课时 向量平行的坐标表示
【学习目标】
会用坐标表示平面向量共线的条件,能用向量共线的条件来解决有关向量共线、直线平行及点共线等问题.
◆ 知识点 向量平行的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2).
(1)当a≠0时,a∥b b=λa
(2)a∥b x2y1=x1y2.
(3)当x1y1≠0时,a∥b =(即两个向量的相应坐标成比例).
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a与b共线,则=. ( )
(2)若A,B,C三点共线,则向量,,都是共线向量. ( )
(3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),且x1y2≠x2y1,则a与b不共线. ( )
◆ 探究点一 判定向量共线(平行)、三点共线
例1 (1)(多选题)下列向量能组成一组基底的是 ( )
A.e1=(0,0),e2=(1,-2)
B.e1=(0,2),e2=
C.e1=(3,5),e2=(5,3)
D.e1=(1,3),e2=(-2,-6)
(2)证明下列各组点共线:
①A(1,2),B(-3,-4),C(2,3.5);
②P(-1,2),Q(0.5,0),R(5,-6).
变式 (1)若a,b,c是三个互不相等的实数,则P1(a,a3),P2(b,b3),P3(c,c3)三点共线的充要条件是 .
(2)已知A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3),判断与是否共线 如果共线,它们的方向是相同还是相反
[素养小结]
(1)向量共线的判定方法:
①利用共线向量基本定理,由a=λb(b≠0)推出a∥b;
②利用向量共线的坐标表达式x2y1=x1y2直接求解.
(2)三点共线问题的实质是向量共线问题,两个非零向量共线只需满足方向相同或相反,两个向量共线与两个向量平行是一致的.
拓展 已知A(x,0),B(2x,1),C(2,x),D(6,2x).当向量∥时,A,B,C,D四点是否在同一条直线上
◆ 探究点二 利用向量共线求参数
例2 (1)已知A(m,0),B(0,1),C(3,-1),若A,B,C三点共线,则m= ( )
A. B. C.- D.-
(2)若向量a=(k,1),b=(3,2),且a∥b,则|2a+b|= .
变式 (1)已知向量=(-2,1-x),=(x,1),若A,B,C三点共线,则实数x= ( )
A.2 B.-1
C.2或-1 D.-2或1
(2)已知向量a=(1,2),b=(2,3),若向量λa+b与向量c=(-4,-7)共线,则λ= .
[素养小结]
共线向量基本定理是等价的、双向的,而且系数λ是唯一的,所以可以利用系数的唯一性来解决共线中的参数问题.
◆ 探究点三 向量共线的应用
例3 已知平面向量e1=(2,-1),e2=(3,-3),=-e1+3e2,=λe1+2e2,=-4e1+2e2,且A,C,D三点共线.
(1)求的坐标;
(2)已知D(2,-1),若A,B,D,E四点按顺时针顺序构成平行四边形,求点E的坐标.
变式 如图,已知A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC与OB的交点P的坐标.
[素养小结]
利用向量共线解决三点共线问题的关键是选择具有公共点的两个向量并写成a=λb的形式.
1.已知a=(1,),则与a同向的单位向量的坐标是 ( )
A. B.
C. D.
2.若向量b与向量a=(2,-1)是共线向量,且|b|=3,则b= ( )
A.(6,-3) B.(-6,3)
C.(6,-3)或(-6,3) D.(3,-6)或(-3,6)
3.已知点A(-4,-2),B(-2,0),C(,m),O为坐标原点,若+与共线,则m=( )
A.0 B.1
C.2 D.3
4.已知向量与a=(3,-4)的方向相反,且||=2|a|,若点A的坐标为(-1,2),则点B的坐标为 ( )
A.(-7,10) B.(7,10)
C.(5,-6) D.(-5,6)
5.已知向量a=(λ+1,2),b=(1,-2),若a与b共线,则实数λ的值为 . 第2课时 向量平行的坐标表示
1.D [解析] 因为∥,所以2x2-3x=0,解得x=0或x=.故选D.
2.C [解析] 由题知=(1,a-3),=(2,b-3),
∵A,B,C三点共线,∴∥,∴b-3=2(a-3),即2a-b=3.故选C.
3.D [解析] 由已知得a=-3i+4j=(-3,4),b=-8i-6j=(-8,-6),显然a,b不共线.又|a|==5,|b|==10,所以|a|<|b|.故选D.
4.C [解析] 当k=0时,b=c=0,此时b,c与a平行;若a∥d,则-(k2+1)=k2+1,即k2+1=0,显然k不存在,故a与d不可能平行;当k=±1时,e=0,此时e与a平行.故选C.
5.C [解析] 由已知得AB∥CD,CD=AB,所以=-=(-1,-2).故选C.
6.A [解析] ∵向量=(1,2),=(2,-1),=(1,t),t∈R,∴=(1,2)+(2,-1)=(3,1),=(2,-1)-(1,t)=(1,-1-t),又∥,∴=,解得t=-.故选A.
7.A [解析] 设顶点D的坐标为(x,y).由题意知,=,即(x+2,y-1)=(4,1),则解得故顶点D的坐标为(2,2).故选A.
8.AD [解析] 由题意可得=(3,1)-(2,-1)=(1,2).在A中,a=(-1,-2)=-,满足题意;在D中,a=(-4,-8)=-4,满足题意.B,C中的a与不平行.故选AD.
9.ACD [解析] 对于A,∵=(-1,3),∴||=,
∴与同向的单位向量为,即,故A正确;对于B,设P(x,y),则(x-2,y+1)=2(1-x,2-y),∴解得∴P,故B错误;对于C,∵a=(1,-3)=-,∴a∥,故C正确;对于D,∵=(1,2),=(1,2),∴=,∴OB∥CA且OB=CA,∴四边形OBAC为平行四边形,故D正确.故选ACD.
10.-1或- [解析] 因为m=(-1,3λ+2),n=(-λ,-1-2λ),m∥n,所以2λ+1+λ(3λ+2)=0,即3λ2+4λ+1=0,解得λ=-1或λ=-.
11.- [解析] 由已知得a+b=(-1,x+3),3a+2b=(-1,3x+6).因为a+b与3a+2b共线,所以3+x=3x+6,解得x=-.
12.或 [解析] ∵a=(1,-),∴|a|==2,则与a共线的单位向量为=(1,-)=或-=-(1,-)=.
13.解:因为a=(1,-2),b=(x-1,x2-5x+4),且a∥b,
所以x2-5x+4+2(x-1)=0,整理可得x2-3x+2=0,解得x=1或x=2.
当x=1时,b=(0,0)=0,不符合题意;
当x=2时,b=(2-1,22-5×2+4)=(1,-2),符合题意.
故x=2且b的坐标为(1,-2).
14.解:(1)∵a=mb+nc,∴(3,2)=(-m+4n,2m+n),
则解得
(2)∵(a+kc)∥(2b-a),a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),∴2(3+4k)+5(2+k)=0,
解得k=-.
(3)∵d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),(d-c)∥(a+b),|d-c|=1,
∴解得或
故d=或d=.
15.B [解析] 由已知得a与b不共线,若a∥b,则(2m+3)-3(m-1)=0,解得m=6,∴实数m应满足m≠6.故选B.
16.解:以A为坐标原点,的方向为x轴的正方向,的方向为y轴的正方向,建立平面直角坐标系,如图所示.则A(0,0),C(6,6),F(6,4),E(3,0).设P(x,y),则=(x,y),=(6,4),=(x-3,y),=(3,6).由A,P,F三点共线和C,P,E三点共线,
得解得
∴S四边形APCD=S正方形ABCD-S△AEP-S△CEB=36-×3×3-×3×6=.第2课时 向量平行的坐标表示
一、选择题
1.已知向量=(2,3),=(x,x2),若∥,则x= ( )
A. B.-
C.-或 D.0或
2.若A(2,3),B(3,a),C(4,b)三点共线,则有( )
A.a=3,b=-5 B.a-b+1=0
C.2a-b=3 D.a-2b=0
3.已知i,j是两个正交单位向量,若向量a=-3i+4j,b=-8i-6j,则 ( )
A.|a|>|b| B.a,b方向相同
C.a,b方向相反 D.|a|<|b|
4.设k∈R,则下列向量中与向量a=(1,-1)一定不平行的是 ( )
A.b=(k,k)
B.c=(-k,-k)
C.d=(k2+1,k2+1)
D.e=(k2-1,k2-1)
5.[2023·广东佛山高一期末] 在梯形ABCD中,AB=2BC=2CD=2AD,已知=(2,4),则=( )
A.(2,1) B.(1,2)
C.(-1,-2) D.(-2,-1)
6.已知向量=(1,2),=(2,-1),=(1,t),t∈R,若∥,则实数t的值为 ( )
A.- B.-4 C.4 D.
7.[2023·河南郑州高一期中] 已知 ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别是(-2,1),(-1,3),(3,4),则顶点D的坐标是 ( )
A.(2,2) B.(3,1)
C.(2,-2) D.(3,-1)
8.(多选题)已知两点A(2,-1),B(3,1),与方向相反的向量a可能是 ( )
A.a=(-1,-2) B.a=(9,3)
C.a=(-1,2) D.a=(-4,-8)
9.(多选题)已知O为坐标原点,A(2,-1),B(1,2),则下列说法正确的有 ( )
A.与同向的单位向量为
B.若=2,则点P的坐标为
C.若a=(1,-3),则a∥
D.若C(1,-3),则四边形OBAC为平行四边形
二、填空题
10.已知m=(-1,3λ+2),n=(-λ,-1-2λ),若m∥n,则实数λ的值为 .
11.已知a=(1,x),b=(-2,3),若a+b与3a+2b共线,则x= .
12.[2023·广东东莞高一期末] 已知向量a=(1,-),则与a共线的单位向量为 .
三、解答题
13.已知a∥b,a=(1,-2),非零向量b=(x-1,x2-5x+4),求实数x的值及b的坐标.
14.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).
(1)求满足a=mb+nc的实数m,n;
(2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k;
(3)设d=(x,y)满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|=1,求d.
15.已知向量a=(1,3),b=(m-1,2m+3)在同一平面内,若对于这一平面内的任意向量c,有且只有一对实数λ,μ,使得c=λa+μb,则实数m满足 ( )
A.m≠2 B.m≠6
C.m≠- D.m≠-6
16.已知四边形ABCD是边长为6的正方形,E为AB的中点,点F在边BC上,且BF∶FC=2∶1,AF 与EC相交于点P,求四边形APCD的面积
