6.2.2第1课时空间直角坐标系及其线性运算的坐标表示 同步练习（含解析）-2024-2025学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

6.2.2　空间向量的坐标表示
第1课时　空间直角坐标系及其线性运算的坐标表示
一、基础达标
1.已知i,j,k分别是空间直角坐标系O-xyz中x轴、y轴、z轴的正方向上的单位向量,且=-i+j-k,则点B的坐标是(　　)
A.(-1,1,-1) B.(-i,j,-k)
C.(1,-1,-1) D.不确定
2.如图,正方体OABC-O1A1B1C1的棱长为2,E∈B1B,且EB=2EB1,则=(　　)
A.(2,2,1) B.(2,2,2)
C.(2,2,) D.(2,2,)
3.若向量a=(2,0,-1),向量b=(0,1,-2),则2a-b=(　　)
A.(-4,1,0) B.(-4,1,-4)
C.(4,-1,0) D.(4,-1,-4)
4.已知向量a=(-2,-1,2),b=(-1,1,2),c=(x,2,2),若向量c与向量a,b共面,则实数x的值为(　　)
A.1 B. C.- D.-1
5.(多选题)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=4,AA1=3,以直线DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Dxyz,则下列结论中正确的是(　　)
A.点A关于直线DD1对称的点为(-4,0,0)
B.点C1关于点B对称的点为(8,5,-3)
C.点B1的坐标为(3,5,4)
D.点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0)
6.已知向量a=(1,2,-3),b=(-2,λ,6),若a与b共线,则λ=　　　.
7.已知=(1,-1,1),=(2,0,-1),点P在线段AB上,且AP=2PB,则向量的坐标为　　　　　.
8.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为棱BB1,DC的中点,建立如图所示的空间直角坐标系.写出向量的坐标.
二、能力提升
9.已知空间向量a=(1,2,-3),则向量a在坐标平面yOz上的投影向量是(　　)
A.(0,2,3) B.(0,2,-3)
C.(1,2,0) D.(1,2,-3)
10.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(1,3,λ),若a,b,c三个向量不能构成空间的一个基底,则实数λ的值为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
11.已知空间四点A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),D(x,-1,3)共面,则x的值为(　　)
A.4 B.1 C.10 D.11
12.在三棱锥P-ABC中,∠ABC=90°,PB⊥平面ABC,AB=BC=PB=1,M,N分别是PC,AC的中点,建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz,则向量的坐标为　　　　　.
13.已知向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(2,1,-1),则p在基底{2a,b,-c}下的坐标为　　　　,在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为　　　　.
14.如图,在正四棱锥 P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,O是AC与BD的交点,PO=1,M是PC的中点.设=a,=b,=c.
(1)用向量a,b,c表示;
(2)在如图所示的空间直角坐标系中,求的坐标.
三、拓展探究
15.定义一个集合Ω,集合中的元素是空间内的点集,任取P1,P2,P3∈Ω,存在不全为0的实数λ1,λ2,λ3,使得λ1+λ2+λ3=0.已知(1,0,0)∈Ω,则(0,0,1) Ω的充分条件是(　　)
A.(0,0,0)∈Ω B.(-1,0,0)∈Ω
C.(0,1,0)∈Ω D.(0,0,-1)∈Ω
16.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2).
(1)若,求点D的坐标;
(2)请问是否存在实数α,β,使得=α+β成立 若存在,求出α,β的值;若不存在,说明理由.
参考答案
1.A
2.D　依题意,EB=2EB1,所以EB=×2=,所以=(2,2,).故选D.
3.C　因为向量a=(2,0,-1),向量b=(0,1,-2),所以2a-b=2(2,0,-1)-(0,1,-2)=(4,-1,0).故选C.
4.C　若向量c与向量a,b共面,a,b不共线,
则c=λa+μb,
即(x,2,2)=(-2λ-μ,-λ+μ,2λ+2μ),
故解得故选C.
5.ABD　由图可得A(4,0,0),则点A关于直线DD1对称的点为(-4,0,0),故A正确;由于C1(0,5,3),B(4,5,0),所以点C1关于点B对称的点为(8,5,-3),故B正确;点B1的坐标为(4,5,3),故C不正确;由于点C(0,5,0),则点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0),故D正确.故选ABD.
6.-4　向量a=(1,2,-3),b=(-2,λ,6),若a与b共线,则有,解得λ=-4.故答案为-4.
7.(,-)　因为点P在线段AB上,且AP=2PB,所以=2,所以=2(),得.因为=(1,-1,1),=(2,0,-1),所以(1,-1,1)+(2,0,-1)=(,-,-),所以=(,-,-)-(1,-1,1)=(,-).故答案为(,-).
8.解 根据题意可得D(0,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),B1(2,2,2),A1(2,0,2),又E,F分别为棱BB1,DC的中点,可得E(2,2,1),F(0,1,0),利用向量坐标运算法则可得=(0,1,0)-(2,2,1)=(-2,-1,-1),即=(-2,-1,-1);=(0,1,0)-(2,2,2)=(-2,-1,-2),即=(-2,-1,-2);=(2,2,1)-(2,0,2)=(0,2,-1),即=(0,2,-1).所以=(-2,-1,-1),=(-2,-1,-2),=(0,2,-1).
9.B　根据空间中点的坐标确定方法知,空间向量a=(1,2,-3)在坐标平面yOz上的投影坐标的横坐标为0,纵坐标与竖坐标不变.所以空间向量a=(1,2,-3)在坐标平面yOz上的投影向量是(0,2,-3).故选B.
10.A　若a,b,c三个向量不能构成空间向量的一个基底,则a,b,c共面,则存在x,y∈R,使得c=xa+yb (1,3,λ)=(2x-y,4y-x,3x-2y),则解得所以实数λ的值为1.故选A.
11.D　=(-2,2,-2),=(-1,6,-8),=(x-4,-2,0).
因为A,B,C,D四点共面,所以共面.
所以存在实数λ,μ,使=λ+μ,
即(x-4,-2,0)=(-2λ-μ,2λ+6μ,-2λ-8μ),
所以解得故选D.
12.(,0,-)　由图可知,P(0,0,1),A(1,0,0),则=(1,0,-1),又M,N分别是PC,AC的中点,则MN是△CAP的中位线,故MN∥PA,且MN=PA,于是=(,0,-).故答案为(,0,-).
13.(1,1,1)　　由题意知,p=2a+b-c,
则向量p在基底{2a,b,-c}下的坐标为(1,1,1).
设向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(x,y,z),则
p=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc,
又∵p=2a+b-c,
∴解得x=,y=,z=-1,
∴p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为.
14.解 (1))=)==-a+b+c.
(2)a==(1,0,0),b==(0,1,0).
∵A(0,0,0),O,P,
∴c=,
∴=-a+b+c=-(1,0,0)+(0,1,0)+.
15.C　由题意知这三个向量共面,即这三个向量不能构成空间的一个基底,对于A,由空间直角坐标系易知(0,0,0),(1,0,0),(0,0,1)三个向量共面,则当(0,0,0),(1,0,0)∈Ω无法推出(0,0,1) Ω,故A错误;对于B,由空间直角坐标系易知(-1,0,0),(1,0,0),(0,0,1)三个向量共面,则当(-1,0,0),(1,0,0)∈Ω无法推出(0,0,1) Ω,故B错误;对于C,由空间直角坐标系易知(1,0,0),(0,0,1),(0,1,0)三个向量不共面,可构成空间的一个基底,则由(1,0,0),(0,1,0)∈Ω能推出(0,0,1) Ω,故C正确;对于D,由空间直角坐标系易知(1,0,0),(0,0,1),(0,0,-1)三个向量共面,则当(0,0,-1),(1,0,0)∈Ω无法推出(0,0,1) Ω,故D错误.故选C.
16.解 (1)设D(x,y,z),则=(-x,1-y,-z),=(-1,0,2),=(-x,-y,2-z),=(-1,1,0).
因为,
所以存在实数m,n,有
解得即D(-1,1,2).
(2)存在.依题意得=(-1,1,0),=(-1,0,2),=(0,-1,2).假设存在实数α,β,使得=α+β成立,则有(-1,0,2)=α(-1,1,0)+β(0,-1,2)=(-α,α-β,2β),
所以
故存在α=β=1,使得=α+β成立.