(共22张PPT)
6.3 平面向量线性运算的应用
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 课堂评价
◆ 备课素材
【学习目标】
1.会用向量法计算或证明平面几何中的相关问题;
2.会用向量法解决某些简单的物理学中的问题.
知识点 平面向量线性运算的应用
平面向量的线性运算通常可以解决__________和______中的一些问题.
1.向量在平面几何中的应用
（1）证明线线平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的等价条件：
________ ____________ .
（2）求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：
|__________ .
平面几何
物理
（3）要证，，三点共线，只要证明存在唯一实数，使 ，或
若为平面上任一点，则只需要证明存在实数 ， ，使
（其中 ）.
2.向量在物理中的应用
（1）力
力包括大小、方向、作用点三个要素.在不考虑作用点的情况下，可利用向量运
算法则进行计算.
（2）速度
一质点在运动中每一时刻都有一个速度，该速度可以用有向线段表示.
（3）将物理量转化为向量之后，可以按照向量的运算法则进行计算.
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）求力和， 的合力可运用向量加法的平行四边形法则. ( )
√
（2）若向量，分别表示两个力， ，则
.( )
√
（3）在四边形中，若，且，则四边形 的形状
为等腰梯形.( )
√
（4）物理学中的功是一个向量.( )
×
[解析] 功是一个标量,没有方向,不是向量.
探究点一 向量在平面几何中的应用
例1 [2023·江苏镇江高一期中]已知中，点为 所在平面内一点，
则“”是“点为 的重心”的( )
C
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 依题得，
则 是的重心，所以充分性成立；
若是的重心，则 ，可得
,所以必要性成立.
故“”是“点为 的重心”的充要条件.故选C.
变式 [2023·江西九江高一期中] 已知的三个顶点，， 及平面内一
点满足，则点 在( )
D
A.的内部 B.线段上 C.直线上 D. 的外部
[解析] 由题得，如图所示，则四边形 是平行四边形，
所以在 的外部.故选D.
［素养小结］
利用向量解决平面几何问题，主要是针对向量的加法、减法和数乘向量与平面
几何的全等、相似、平行等关系的对应，用以解决与平面几何有关的全等、相
似和平行等问题.
探究点二 向量在物理中的应用
例2 [2024·广东汕头高一期末]设表示“向东走”，表示“向南走 ”，
则 所表示的意义为( )
A
A.向东南走 B.向西南走
C.向东南走 D.向西南走
[解析] 因为表示“向东走”，表示“向南走 ”，所以
表示“向东走，向南走 ”，等价于向东南走
.故选A.
变式 一个质点因受到平面上的三个力，， 的作用而处于平衡状态，
已知，成 角，且，，则 ( )
D
A. B. C. D.
[解析] 因为质点处于平衡状态，所以，所以 ，
所以 .如图，由向量加法的平行四边形法则及平面几何知识求解，
得 故选D.
［素养小结］
向量是既有大小又有方向的量，物理中的很多量也是既有大小又有方向的量，如
位移、力、速度、加速度等，因此，在涉及这些量的运算时可以借助向量来解决.
1.已知作用在点的三个力，，，且 ，
则合力 的终点的坐标为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由题得.设合力 的终
点为，为坐标原点，则 ，所以
.故选A.
2.以,, 为顶点的三角形是( )
C
A.锐角三角形 B.以 为直角的直角三角形
C.以 为直角的等腰直角三角形 D.钝角三角形
[解析] 由题得,, ，则
， ，
，因为,且 ，所以
是以A为直角的等腰直角三角形.故选C.
3.在坐标平面内，一只小蚂蚁的速度，这只蚂蚁从点 处沿直线
移动到点 处所用的时间为( )
B
A.2 B.3 C.4 D.8
[解析] ,,，又 ,
, 所求时间 .故选B.
4.已知为的边的中点，所在平面内有一点 满足
，则 的值为( )
A
A.1 B. C. D.2
[解析] ,是以,为邻边的平行四边形的对角线,为
的中点，为的中点， .故选A.
5.一艘船以的速率沿着与水流方向成 角的方向航行，已知河水流速
的大小为，则经过该船实际航程为___ .
6
[解析] 根据题意， 画出示意图，如图所示， 表示水流速度，表示船在静
水中的速度，则 表示船的实际速度，
因为，， ，所以
，所以，所以实际速度的大小为 ，故实际航
程为
1.用向量法解决几何问题时，要结合几何体本身具有的性质进行求解
例1 （多选题）瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有
这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心
的距离是垂心和重心距离之半”，这就是著名的欧拉线定理.设中，点 ，
， 分别是外心、垂心、重心，则下列结论错误的是( )
CD
A. B.
C.设边的中点为，则 D.
[解析] 如图.
对于A，由欧拉线定理可知，，且，，
三点共线，所以 ,故选项A中结论正确；
对于B， ,所以
，故选项B中结论正确；
对于C，由题得,,所以,因为D为的中点，为 的
重心，所以，又， ，所以，
所以 ，则 ，故选项C中结论错误；
对于D，向量，， 的模相等，方向不同，故选项D中结论错误.故选 .
2.用向量法解决物理问题的一般步骤:
①问题的转化:把物理问题转化成数学问题.
②模型的建立:建立以向量为主体的数学模型.
③参数的获取:求出数学模型的相关解.
④问题的答案:利用建立起来的数学模型,解释和回答相关的物理现象.
解:如图，设表示飞机从地按北偏东 的方向飞行
，表示从地按南偏东 的方向飞行 ，
则飞机飞行的路程指的是 ，两次飞行的位移的
和指的是 .
例2 在某地抗震救灾中，一架飞机从地按北偏东 的方向飞行 到达
地接到受伤人员，然后又从地按南偏东 的方向飞行送往 地医院，
求这架飞机飞行的路程及两次位移的和.
依题意得， .
因为 ， ，所以 ，
所以 ，
其中 ，所以的方向为北偏东 .
故飞机飞行的路程是，两次飞行的位移和的大小为 ，方向为北
偏东 .6.3 平面向量线性运算的应用
【课前预习】
知识点
平面几何 物理
1.(1)b=λa x1y2=x2y1 (2)
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)√ (4)× [解析] (4)功是一个标量,没有方向,不是向量.
【课中探究】
例1 C [解析] 依题得+-3=+++-3=++=0,则G是△ABC的重心,所以充分性成立;若G是△ABC的重心,则++=0,可得++=+++-3=+-3=0,所以必要性成立.故“+-3=0”是“点G为△ABC的重心”的充要条件.故选C.
变式 D [解析] 由题得=-=,如图所示,则四边形PACB是平行四边形,所以P在△ABC的外部.故选D.
例2 A [解析] 因为a表示“向东走10 km”,b表示“向南走5 km”,所以b+a+b=a+2b表示“向东走10 km,向南走10 km”,等价于向东南走10 km.故选A.
变式 D [解析] 因为质点处于平衡状态,所以F1+F2+F3=0,所以F3=-(F1+F2),所以|F3|=|F1+F2|.如图,由向量加法的平行四边形法则及平面几何知识求解,得|F3|=|F1+F2|=2(N).故选D.
【课堂评价】
1.A [解析] 由题得f=f1+f2+f3=(3,4)+(2,-5)+(3,1)=(8,0).设合力f的终点为P(x,y),O为坐标原点,则=+f=(1,1)+(8,0)=(9,1),所以P(9,1).故选A.
2.C [解析] 由题得=(1,4),=(4,-1),=(3,-5),则||==,||==,||==,因为+=,且||=||,所以△ABC是以A为直角的等腰直角三角形.故选C.
3.B [解析] ∵v=(1,2),=(3,6),∴v∥,又|v|==,||==3,∴所求时间t==3.故选B.
4.A [解析] ∵=+,∴PA是以PB,PC为邻边的平行四边形的对角线,∵D为BC的中点,∴D为PA的中点,∴=1.故选A.
5.6 [解析] 根据题意, 画出示意图,如图所示,表示水流速度,表示船在静水中的速度,则表示船的实际速度,因为||=2,||=4,∠AOB=120°,所以∠CBO=60°,所以||=2,所以实际速度的大小为2 km/h,故实际航程为2×=6(km).6.3 平面向量线性运算的应用
【学习目标】
1.会用向量法计算或证明平面几何中的相关问题;
2.会用向量法解决某些简单的物理学中的问题.
◆ 知识点 平面向量线性运算的应用
平面向量的线性运算通常可以解决 和 中的一些问题.
1.向量在平面几何中的应用
(1)证明线线平行问题,包括相似问题,常用向量平行(共线)的等价条件:a∥b(a≠0) (a=(x1,y1),b=(x2,y2)).
(2)求线段的长度或证明线段相等,可以利用向量的线性运算、向量模的公式:|a|= (a=(x,y)).
(3)要证A,B,C三点共线,只要证明存在唯一实数λ≠0,使=λ,或若O为平面上任一点,则只需要证明存在实数λ,μ,使=λ+μ(其中λ+μ=1).
2.向量在物理中的应用
(1)力
力包括大小、方向、作用点三个要素.在不考虑作用点的情况下,可利用向量运算法则进行计算.
(2)速度
一质点在运动中每一时刻都有一个速度,该速度可以用有向线段表示.
(3)将物理量转化为向量之后,可以按照向量的运算法则进行计算.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)求力F1和F2(F1≠0,F2≠0)的合力可运用向量加法的平行四边形法则. ( )
(2)若向量=(2,2),=(-2,3)分别表示两个力F1,F2,则|F1+F2|=5. ( )
(3)在四边形ABCD中,若=,且||=||,则四边形ABCD的形状为等腰梯形.( )
(4)物理学中的功是一个向量. ( )
◆ 探究点一 向量在平面几何中的应用
例1 [2023·江苏镇江高一期中] 已知△ABC中,点G为△ABC所在平面内一点,则“+-3=0”是“点G为△ABC的重心”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
变式 [2023·江西九江高一期中] 已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足+=,则点P在 ( )
A.△ABC的内部 B.线段AB上
C.直线BC上 D.△ABC的外部
[素养小结]
利用向量解决平面几何问题,主要是针对向量的加法、减法和数乘向量与平面几何的全等、相似、平行等关系的对应,用以解决与平面几何有关的全等、相似和平行等问题.
◆ 探究点二 向量在物理中的应用
例2 [2024·广东汕头高一期末] 设a表示“向东走10 km”,b表示“向南走5 km”,则b+a+b所表示的意义为 ( )
A.向东南走10 km
B.向西南走10 km
C.向东南走5 km
D.向西南走5 km
变式 一个质点因受到平面上的三个力F1,F2,F3的作用而处于平衡状态,已知F1,F2成60°角,且|F1|=2 N,|F2|=4 N,则|F3|= ( )
A.6 N B.2 N
C.2 N D.2 N
[素养小结]
向量是既有大小又有方向的量,物理中的很多量也是既有大小又有方向的量,如位移、力、速度、加速度等,因此,在涉及这些量的运算时可以借助向量来解决.
1.已知作用在点A的三个力f1=(3,4),f2=(2,-5),f3=(3,1),且A(1,1),则合力f=f1+f2+f3的终点的坐标为 ( )
A.(9,1) B.(1,9)
C.(9,0) D.(0,9)
2.以A(0,1),B(1,5),C(4,0)为顶点的三角形是 ( )
A.锐角三角形
B.以B为直角的直角三角形
C.以A为直角的等腰直角三角形
D.钝角三角形
3.在坐标平面内,一只小蚂蚁的速度v=(1,2),这只蚂蚁从点A(4,6)处沿直线移动到点B(7,12)处所用的时间为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.8
4.已知D为△ABC的边BC的中点,△ABC所在平面内有一点P满足=+,则的值为 ( )
A.1 B. C. D.2
5.一艘船以4 km/h的速率沿着与水流方向成120°角的方向航行,已知河水流速的大小为2 km/h,则经过 h该船实际航程为 km. 6.3 平面向量线性运算的应用
1.C [解析] 因为速度是既有大小又有方向的量,且v1和v2方向相反,所以由向量的加法法则可知,逆风骑行的速度为v1+v2.故选C.
2.B [解析] 如图,设=F1,=F2,合力F=,则∠AOC=60°,∠OAC=90°,||=10.
在Rt△OAC中,||=||cos∠AOC=5,
所以F1的大小为5 N.故选B.
3.B [解析] 由=,可知AD∥BC,且||<||,所以四边形ABCD是梯形.故选B.
4.B [解析] 若船的航程最短,则船的实际速度v=v1+v2与水流速度v2垂直.作=v1,=v2,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,如图所示.
由题意可知,OC⊥OB,且||=||=|v1|=13,||=|v2|=5,由勾股定理可得|v|=||==12,因此,若船的航程最短,则行驶完全程需要的时间t==0.13(h),故t=0.13×60=7.8(min).故选B.
5.A [解析] 如图所示,
因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB∥CD,所以△ANB∽△MND,则==,所以MN=AM,=-=-(+)=-=-,
故λ=,μ=-,所以λ-μ=+=.
6.A [解析] 延长AM交BC于点G,因为B,G,C三点共线,所以设=λ+(1-λ),因为A,M,G三点共线,所以设=t,则λ+(1-λ)=t,
所以解得又=λ,所以=,所以=,=,所以S△BCM=S△BGM=×S△ABM=S△ABM,所以=3.故选A.
【点睛】 通过构造三点共线求得,,再借助△BCM和△ABM分别与两三角形重叠部分的比从而确定答案.
7.A [解析] 由+2+3=0可得+=-2(+),又因为D,E分别是边AC,BC的中点,所以+=2,+=2,所以2=-4,即=-2,所以O,D,E三点共线,且=,所以E到AC的距离与O到AC的距离的比值为,所以△AEC的面积与△AOC的面积的比值为.故选A.
8.ABC [解析] 根据题意得,=(5,-2),=(8,2),=(3,4),要使四个点能构成平行四边形,则=±或=±或=±.对于A,=(5,-2)=,满足题意;对于B,=(3,4)=,满足题意;对于C,=(-8,-2)=-,满足题意;经过验证可得(6,-1)不满足题意.故选ABC.
9.ABD [解析] A中,由题知AB⊥AD,所以{,}为平面上向量的一组基底,故可以表示平面内任意一个向量,故A正确;
B中,由x+y=1可知O,B,D三点共线,则O在直线BD上,故B正确;
C中,由题得=(+),则=+=(+),
所以=-,故C错误;
D中,由+2+3=0,得3(+)=-=,
设E为BC的中点,所以+=2,则6=,即∥且||=||,如图所示,
所以S△ABC=6S△BOC,故D正确.故选ABD.
10. [解析] 如图,在BC上取点H,使=,连接FH交AC于点M,连接BD交AC于点O,则BD∥FH.在三角形CFH中,G是CM,FE两条中线的交点,则G是三角形CFH的重心,由==,得=,因为O是AC的中点,所以=,所以=,所以λ=.
11.(2-2,2+4) [解析] 由题图可知F1=(1,),F2=(2,2),F3=(-3,3),所以合力F=F1+F2+F3=(2-2,2+4).
12. [解析] 如图所示,以A为坐标原点,建立平面直角坐标系,则=(1,0),=(0,1).设E(1,m),F(n,1),m,n∈[0,1].∵+=x+y,∴(1,m)+(n,1)=x(1,0)+y(0,1),∴1+n=x,m+1=y,
∵x+y=3,∴m+n=1,则||==≥,当且仅当m=n=时取等号.故||的最小值为.
13.解:设=λ,则=-=λ-.∵与共线,∴设=μ,
又=-=-=(+)-=-,
∴λ-=μ=-.
∵,不共线,∴解得
∴=,∴AF∶FB=1∶2.
14.解:由题意可得|a|=|b|=|c|,由于合力作用后做匀速运动,因此a+b+c=0,所以a+c=-b.
作=-b,则平行四边形APCD为菱形,因为||=||=||,所以△PAD为等边三角形,则∠APD=60°,因为||=||,所以∠PAB=∠PBA=30°,同理可得∠PAC=∠PCA=∠PBC=∠PCB=30°,所以∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,因此△ABC为等边三角形.
15.3 [解析] 由|a1-a2|=|a2-a3|=|a3-a1|=2,可将向量a1,a2,a3分别看作是以O为起点,以A,B,C为终点的向量,且△ABC是边长为2的正三角形,O为△ABC的中心.
由对任意的i,j∈{1,2,3},均有|ai-bj|∈{1,},得向量b1,b2,b3是以O为起点,△ABC各边中点E,F,G为终点的向量,则|b1-b2|=|b2-b3|=|b3-b1|=1,所以|b1-b2|+|b2-b3|+|b3-b1|=3.
16.解:如图, 以A为坐标原点,建立平面直角坐标系,
显然EF是AM的中垂线,设AM与EF交于点N,则N是AM的中点,又正方形ABCD的面积为64,所以正方形的边长为8,所以M(8,4),N(4,2).
设E(e,0),则=(8,4),=(4,2),=(e,0),=(4-e,2),由AM⊥EN,得||2+||2=||2,
即(42+22)+[(4-e)2+22]=e2,解得e=5,即||=5.
所以S△AEM=||||=×5×4=10.6.3 平面向量线性运算的应用
一、选择题
1.人骑自行车的速度是v1,风速为v2,则逆风骑行的速度为 ( )
A.v1-v2 B.v2-v1
C.v1+v2 D.|v1|-|v2|
2.已知两个力F1,F2的夹角为90°,它们的合力大小为10 N,合力与F1的夹角为60°,那么F1的大小为 ( )
A.5 N B.5 N
C.10 N D.5 N
3.在四边形ABCD中,若=,则四边形ABCD是 ( )
A.平行四边形 B.梯形
C.矩形 D.菱形
4.[2023·黑龙江哈尔滨三中高一月考] 一条河两岸平行,河的宽度为1560 m,一艘船从河岸边的码头出发,向河对岸航行.已知船的速度v1的大小为|v1|=13 km/h,水流速度v2的大小为|v2|=5 km/h,若船的航程最短,则行驶完全程需要的时间t(单位:min)为 ( )
A.7.2 B.7.8
C.120 D.130
5.已知平行四边形ABCD中,点M为线段CD的中点,AM交BD于点N,若=λ+μ,则λ-μ= ( )
A. B. C.1 D.2
★6.已知M为△ABC所在平面上一点,若=+,则= ( )
A.3 B.8 C. D.
7.如图所示,点O在△ABC内部,D,E分别是边AC,BC的中点,且+2+3=0,则△AEC的面积与△AOC的面积的比值为 ( )
A. B.
C. D.
8.(多选题)已知平行四边形的三个顶点分别为A(-3,0),B(2,-2),C(5,2),则第四个顶点D的坐标可能是 ( )
A.(10,0) B.(0,4)
C.(-6,-4) D.(6,-1)
9.(多选题)[2023·辽宁大连高一期末] 已知四边形ABCD为正方形,O为正方形ABCD所在平面内一点,且=x+y,x,y∈R,则下列说法正确的是 ( )
A.可以表示平面内任意一个向量
B.若x+y=1,则O在直线BD上
C.若x=y=,=,则=-+
D.若+2+3=0,则S△ABC=6S△BOC
二、填空题
10.如图, 在平行四边形ABCD中,点E,F满足=2,=2,EF与AC交于点G,设=λ,则λ= .
11.若一个质点同时受到同一平面内三个力F1,F2,F3的作用,其中|F1|=2 N,方向为北偏东30°;|F2|=4 N,方向为北偏东60°;|F3|=6 N,方向为北偏西30°. 建立如图所示的平面直角坐标系,则合力F= .
12.在边长为1的正方形ABCD中,E,F分别是边BC,DC上的两个动点,+=x+y,若x+y=3,则||的最小值为 .
三、解答题
13.如图,在平行四边形ABCD中,E为对角线BD上一点,且BE∶ED=2∶3,连接CE并延长交AB于点F,求AF∶FB.
14.如图,三个大小相同的力a,b,c作用在同一物体P上,使物体P沿a方向做匀速运动,设=a,=b,=c,试判断△ABC的形状.
15.[2023·上海闵行区高一期末] a1,a2,a3,b1,b2,b3是平面上两两不相等的向量,若|a1-a2|=|a2-a3|=|a3-a1|=2,且对任意的i,j∈{1,2,3},均有|ai-bj|∈{1,},则|bi-b2|+|b2-b3|+|b3-b1|= .
16.如图,四边形ABCD是正方形,M是BC的中点,将正方形折起,使点A与M重合,设折痕为EF,若正方形ABCD的面积为64,求△AEM的面积.
