滚动习题(六)
1.B [解析] ++=+=.故选B.
2.C [解析] 易知=,故A不正确;+=+=,故B不正确;-=,故C正确;+=2,故D不正确.故选C.
3.B [解析] 因为=+=5a+4b+a+2b=6a+6b,
且A,B,D三点共线,
所以存在实数λ,使得=λ,即a+mb=λ,
则得m=1.故选B.
4.A [解析] 因为2=+,所以-=-,即=,所以点M是AB的中点.故选A.
5.B [解析] ∵+-2=(-)+(-)=+,-==-,∴以AB,AC为邻边的平行四边形的对角线长度相等,∴此四边形为矩形,∴AB⊥AC.故选B.
6.A [解析] 连接BO,易知B,O,D三点共线,设OD与AC的交点为E,
则===×(+)=(++)=+.故选A.
7.BC [解析] 因为+2+3=0,所以++2(+)=2+4=0,即=-2,所以点P为线段EF上靠近点F的三等分点,故A不正确,B正确,C正确;设AB边上的高为h,因为E,F分别为AC,BC的中点,所以S△PAB=S△ABC,S△PAC+S△PBC=S△ABC,又点P为线段EF上靠近点F的三等分点,S△PAC=·PE·h,S△PBC=·PF·h,所以S△PAC=2S△PBC,所以S△PAC=S△ABC,S△PBC=S△ABC,所以S△PAB∶S△PAC∶S△PBC=∶∶=3∶2∶1,故D不正确.故选BC.
8.AC [解析] 由=t+(1-t),可得-=t(-),即=t.
当t=时,=,即点C为线段AB的中点,故A正确;当点C为线段AB的三等分点时,C可能是靠近点B的三等分点也可能是靠近点A的三等分点,故t=或t=,故B错误;因为t∈(0,1)且,同向,所以点C在线段AB上,故C正确;当点C在线段AB的延长线上时,与反向,所以t<0,故D错误.故选AC.
9.a [解析] 2(a+b)-(a+2b)=2a+2b-a-2b=a.
10. [解析] 由=可知四边形ABCD为平行四边形.由||=||=||可知四边形ABCD为菱形,则△ABD为等边三角形,故∠ABC=120°.
菱形的内切圆圆心O在对角线BD的中点处,设内切圆的半径为r,
则r=||sin 60°=,所以内切圆的面积S=πr2=π.
11.3∶4 [解析] 根据题意,
延长MA至点D,延长MB至点E,延长MC至点F,使MD=2MA,ME=3MB,MF=4MC,如图所示.由2+3+4=0,得++=0,所以点M是△DEF的重心,所以S△MDE=S△MEF=S△MFD.设S△MDE=1,则S△MAB=×=,S△MAC=×=,所以S△MAC∶S△MAB=∶=3∶4.
12.证明: +++-4=(-)+(-)+(-)+(-)=+++,
又因为四边形ABCD为平行四边形,E为AC,BD的中点,所以=-,=-,
所以+++-4=+++=(+)+(+)=0,
所以+++=4.
13.解:(1)=+=+=+(-)=+-=+.
(2)=+=+=+(-)=+-=+=+=++.
14.解:(1)=-=b-a,
=-=+=(b-a)+a=b+a.
(2)证明:因为+=++=+-=a+b-(b-a)=a+b,
=a+b,所以=+,所以M,P,N三点共线.(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
1.++= ( )
A. B.
C. D.
2.如图,四边形ABCD是平行四边形,则下列结论正确的是( )
A.=
B.+=
C.-=
D.+=0
3.[2023·山东滨州高一期末] 已知a和b是两个不共线的向量,若=a+mb,=5a+4b,=-a-2b,且A,B,D三点共线,则实数m的值为( )
A. B.1 C.- D.-1
4.[2023·河南焦作高一期中] 已知向量,(O,A,B三点不共线),若2=+,则点M是 ( )
A.AB的中点 B.AC的中点
C.BC的中点 D.△ABC的重心
5.若O是△ABC所在平面内一点,且满足|-|=|+-2|,则△ABC的形状是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
6.如图,圆O是等边三角形ABC的外接圆,点D为劣弧AC的中点,则= ( )
A.+
B.-
C.+
D.+
二、多项选择题:本大题共2小题,每小题6分,共12分.
7.已知点P为△ABC所在平面内一点,且+2+3=0,若E为AC的中点,F为BC的中点,则下列结论正确的是 ( )
A.向量与可能平行
B.点P在线段EF上
C.||∶||=2∶1
D.S△PAB∶S△PAC∶S△PBC=1∶2∶3
8.[2023·山东临沂高一期末] 已知平面上点O是直线l外一点,A,B是直线l上两定点,点C是直线l上的动点,且满足=t+(1-t),则下列说法正确的是 ( )
A.当t=时,点C为线段AB的中点
B.当点C为线段AB的三等分点时,t=
C.当t∈(0,1)时,点C在线段AB上
D.当点C在线段AB的延长线上时,t>1
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.
9.2(a+b)-(a+2b)= .
10.已知在四边形ABCD中,=且||=||=||=2,则该四边形内切圆的面积是 .
11.点M在△ABC内部,满足2+3+4=0,则S△MAC∶S△MAB= .
四、解答题:本大题共3小题,共43分.
12.(13分)已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于点E,O是任意一点,求证:+++=4.
13.(15分)如图,△ABC的重心为G,AB边的中点为P.在△ABC外任取一点O,作向量,,,,.
(1)试用,表示;
(2)试用,,表示.
14.(15分)[2023·成都七中高一月考] 如图,在△ABC中,=,=.设=a,=b.
(1)用a,b表示,;
(2)若P为△ABC内部一点,且=a+b,求证:M,P,N三点共线.
