滚动习题(七)
1.A [解析] ∵A,B,∴a==-=.又λ=,∴λa==.
2.D [解析] 易知||=|2-(-1)|=3,故选D.
3.B [解析] 因为=a,=b,所以=a-b,=a+b,所以=-=-=-=a-b.故选B.
4.D [解析] 由题意知F4=-(F1+F2+F3)=-[(-2,-1)+(-3,2)+(4,-3)]=-(-1,-2)=(1,2).故选D.
5.A [解析] 因为a=与b=(-1,2)共线,所以2+y=0,即2x+y=1,则=x+y=x+(1-2x),即-=x(-2),所以=x(-)=x(+),如图,取AC的中点E,则=2x,所以动点M的轨迹必经过△ABC的重心.
6.B [解析] 由2-+3=0,得2(+)=-=.取AC边的中点E,连接OE,则+=2,所以=4,又△OAC与△ABC有相同的底边AC,所以它们的高的比值即为OE与BC的比值,为,所以=.故选B.
7.BC [解析] 对于A,由|a|=|b|不能得出a∥b,故A错误;对于B,由零向量与任意向量平行,可知当|a|=0或|b|=0时,a∥b,故B正确;对于C,因为a=-2b,所以a∥b,故C正确;对于D,单位向量a与b不一定平行,故D错误.故选BC.
8.BD [解析] 因为=,所以=,所以=m+n=m+3n,因为B,P,D三点共线,所以m+3n=1,故A错误;3mn≤=,即mn≤,当且仅当m=3n,即m=,n=时取等号,故mn的最大值为,故B正确;+=(m+3n)=++7≥4+7,当且仅当=时取等号,故+的最小值为4+7,故C错误;m2+9n2=(m+3n)2-6mn=1-6mn≥1-6×=,当且仅当m=,n=时取等号,故m2+9n2的最小值为,故D正确.故选BD.
9.± [解析] 因为3a-λb与λa-2b共线,所以存在唯一实数μ,使得3a-λb=μ(λa-2b),即3a-λb=μλa-2μb,所以可得λ=±.
10. [解析] 由题知+=+,可整理为(-)=(-),即= ,即=,所以=.
11. [解析] 设=γ(0≤γ≤1),
则==(+)=(+γ)=+(-)=+,
所以则λ+μ=,即λ=-μ.由0≤γ≤1,可得0≤≤,则μ∈,
故λ2+μ2=+μ2=2μ2-μ+=2+,当μ=时,λ2+μ2取得最小值.
12.解:(1)因为a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),
所以a+2b-3c=(3,2)+(-2,4)-(12,3)=(-11,3).
(2)由a=xb+yc,得(3,2)=(-x,2x)+(4y,y),
即解得
(3)由题得a+kc=(3,2)+(4k,k)=(4k+3,k+2),2b-a=(-2,4)-(3,2)=(-5,2),
因为(a+kc)∥(2b-a),所以2(4k+3)=-5(k+2),解得k=-,
故实数k的值为-.
13.证明:因为四边形ABCD为平行四边形,所以=+.
设=λ,因为E是AD的中点,所以=2,
故=λ=λ(+)=λ(2+)=2λ+λ.
设=m,即-=m(-),
则=m+(1-m),
所以解得λ=,故=,
同理可得=.
综上可知,R,T为AC的三等分点.
14.解:(1)设=ma+nb,则=-=(m-1)a+nb,
=-=-a+b.
∵A,M,D三点共线,∴与共线,
∴×(m-1)=(-1)×n,即m+2n=1①.
=-=a+nb,=-=-a+b,
∵C,M,B三点共线,∴与共线,
∴×1=×n,∴4m+n=1②.
由①②可得∴=a+b.
(2)证明:易知=-=a+b,=-=-pa+qb.
∵与共线,∴×q-×(-p)=0,即q+p=pq,
又pq≠0,∴+=1.(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
1.已知=a,且A,B,λ=,则λa= ( )
A. B.
C. D.
2.数轴上的两点A,B的坐标分别为-1,2,则A与B之间的距离是 ( )
A.-1 B.2
C.1 D.3
3.在平行四边形ABCD中,设=a,=b,=,=,则= ( )
A.a-b B.a-b
C.a+b D.-a+b
4.已知三个力F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,现在该点处加上一个力F4,则F4=( )
A.(-1,-2) B.(1,-2)
C.(-1,2) D.(1,2)
5.[2023·河北邢台高一期末] 已知△ABC所在平面内的动点M满足=x+y,且向量a=与向量b=(-1,2)共线,则动点M的轨迹必经过△ABC的 ( )
A.重心 B.内心
C.外心 D.垂心
6.已知O为△ABC所在平面内一点,若2-+3=0,则S△AOC∶S△ABC= ( )
A.1∶3 B.1∶4
C.1∶5 D.1∶6
二、多项选择题:本大题共2小题,每小题6分,共12分.
7.(多选题)以下选项中,能使a∥b成立的有 ( )
A.|a|=|b|
B.|a|=0或|b|=0
C.a=-2b
D.a与b都是单位向量
8.在△ABC中,D为边AC上的一点,且满足=,若P为线段BD上的一点,且满足=m+n(m>0,n>0),则下列结论正确的是 ( )
A.m+2n=1
B.mn的最大值为
C.+的最小值为6+4
D.m2+9n2的最小值为
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.
9.已知向量a与b不共线,且3a-λb与λa-2b共线,则实数λ的值为 .
10.若点M是△ABC所在平面内的一点,且满足=+,则线段BM与MC的长度的比值为 .
11.在△ABC中,M为边BC上任意一点,N为AM的中点,且满足=λ+μ,则λ2+μ2的最小值为 .
四、解答题:本大题共3小题,共43分.
12.(13分)已知向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).
(1)求a+2b-3c的值;
(2)若a=xb+yc,求x和y的值;
(3)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k的值.
13.(15分)在 ABCD中,点E,F分别是边AD,DC的中点,BE,BF分别交AC于点R,T.用向量的方法证明:R,T为AC的三等分点,
14.(15分)在△OAB中,=,=,AD与BC交于点M,设=a,=b.
(1)用a,b表示;
(2)过点M的直线交AC于点E,交BD于点F,设=p,=q,求证:+=1.
