第二章 直线和圆的方程 5大考点汇总与跟踪训练（含解析）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 第二章 直线和圆的方程 5大考点汇总与跟踪训练（含解析）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 261.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-15 07:10:08 | ||
图片预览
文档简介
第二章直线和圆的方程5大考点汇总与跟踪训练-2025-2026学年高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册
5大考点汇总
考点一：直线的倾斜角与斜率
考点二：直线的方程
考点三：直线的交点坐标与距离公式
考点四：圆的方程
考点五：直线与圆、圆与圆的位置关系
跟踪训练
考点一：直线的倾斜角与斜率
1．（2024秋 新疆期末）直线的倾斜角量（ ）
A．60° B．120° C．150° D．30°
2．（2025春 长沙期末）经过两点A（2，m），B（﹣m，4）的直线l的倾斜角为135°，则m的值为（ ）
A．﹣2 B．1 C．3 D．4
3．（2024秋 合肥期末）已知直线l：，则直线l的斜率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025春 南京校级期末）已知直线l的方程为xsinαy﹣1＝0，α∈R，则直线l的倾斜角范围是（ ）
A． B．
C． D．
考点二：直线的方程
5．（2024秋 宁城县期末）已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（2，0），B（4，2），C（1，3）．
（1）求过点C且与直线AB平行的直线的方程；
（2）求BC边上的高所在直线的方程．
6．（2025 昭通校级开学）已知△ABC的三个顶点是A（2，3），B（1，2），C（4，﹣4）．
（1）若直线l1过点C，且点A，B到直线l1的距离相等，求直线l1的方程；
（2）若直线l2过点A，且与x轴、y轴的正半轴分别交于P、Q两点，O为坐标原点，求三角形OPQ面积取最小值时直线l2的方程．
7．（2025 芝罘区校级开学）已知△ABC的顶点C（5，1），边AC上的中线BM所在直线的方程为2x﹣y﹣5＝0，边BC上的高AH所在直线的方程为x﹣2y﹣5＝0．求：
（1）顶点B的坐标；
（2）直线AB的方程．
8．（2024秋 石嘴山校级期末）已知直线l：y＝kx﹣2k+1（k∈R）．
（1）若直线l不经过第二象限，求k的取值范围．
（2）若直线l与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，当△AOB的面积为时（O为坐标原点），求此时相应的直线l的方程．
考点三：直线的交点坐标与距离公式
9．（2025春 杨浦区校级月考）已知直线l：kx﹣y+1+2k＝0（k∈R）．
（1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（2）已知P（1，5），若点P到直线l的距离为d，求d最大时直线l的一般式方程．
10．（2024秋 邛崃市校级期末）已知A（1，3），B（5，7）．
（1）求线段AB垂直平分线所在直线方程；
（2）若直线l过（﹣1，0），且A、B到直线l距离相等，求l方程．
11．（2024秋 海门区期末）已知点A（4，0），B（0，4），直线l：mx﹣y+1﹣m＝0（m∈R）．
（1）若l与线段AB有交点，直接写出m的取值范围；
（2）若m＞0，设l与直线AB及x轴分别交于C，D两点，求△ACD面积的最小值．
12．（2024秋 东莞市校级月考）已知点P（﹣2，﹣1），直线l：（1+3λ）x+（1+λ）y﹣2﹣4λ＝0（λ为任意实数）过定点A．
（1）求定点A的坐标．
（2）直线m经过点P，且点A到直线m的距离为3，求直线m的方程．
（3）点B在直线x﹣2y+3＝0上运动，求|BP|﹣|BA|的最大值．
考点四：圆的方程
13．（2024秋 颍州区校级期末）已知△ABC的三个顶点分别为A（0，0），B（1，1），C（4，2）．
（1）求边BC所在直线的方程；
（2）若AC的中点为D，求边AC的垂直平分线l的方程；
（3）求△ABC的外接圆的方程．
14．（2024秋 湖南期末）已知△ABC的三个顶点分别为A（0，1），B（1，2），C（4，3）．
（1）求△ABC的面积；
（2）求△ABC的外接圆M的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．
15．（2024秋 乐山期末）已知圆C的方程为x2+y2﹣6x﹣2y+9＝0．
（1）求圆C关于直线l：x﹣y＝0对称的圆的方程；
（2）若点P（x，y）在圆C上运动，求x2+y2的最大值和最小值．
16．（2024秋 榆林期末）设，圆Q的圆心在x轴的正半轴上，且过A，B，C，D中的三个点．
（1）求圆Q的方程；
（2）若圆Q上存在两个不同的点P，使得PA2+PC2＝2λ成立，求实数λ的取值范围．
考点五：直线与圆、圆与圆的位置关系
17．（2024秋 新邵县期末）已知圆C的方程为x2+y2＝1．
（1）求过点P（1，2）且与圆C相切的直线l的方程；
（2）直线m过点P（1，2），且与圆C交于A，B两点，当△AOB是等腰直角三角形时，求直线m的方程．
18．（2024秋 深圳校级期末）已知圆C：（x﹣1）2+（y+1）2＝4．
（1）过点P（3，2）向圆C作切线l，求切线l的方程；
（2）若Q为直线m：3x﹣4y+8＝0上的动点，过Q向圆C作切线，切点为M，求|QM|的最小值．
19．（2025春 镇海区校级期末）在平面直角坐标系中．点A（2，4），B（6，2），直线l1：x+y﹣4＝0，l2：（m﹣1）x+y+2m+2＝0，m∈R．圆C经过A，B两点，且圆心C在直线l1上．
（1）求圆C的方程；
（2）当直线l2与圆C相切时，求实数m的值．
（3）若直线l2与圆C相交于D，E两点，当m变化时，是否存在一个定点P，使得|DP| |EP|为定值？若存在，求出一个P的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（2025春 普陀区校级期末）已知过点A（﹣1，0）的直线l与圆C：x2+（y﹣3）2＝4相交于P、Q两点，直线m：x+3y+6＝0．
（1）当时，求直线l的方程；
（2）设T为直线m上的动点，过T作圆C的两条切线TG、TH，切点分别为G、H，求四边形TGCH面积的最小值；
（3）是否存在直线l，使得向量与共线？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由．
第二章直线和圆的方程5大考点汇总与跟踪训练-2025-2026学年高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册
1．（2024秋 新疆期末）直线的倾斜角量（ ）
A．60° B．120° C．150° D．30°
【解答】解：直线的斜率为，设直线的倾斜角为θ，且0°≤θ＜180°，
可得tanθ，可得θ＝60°．
所以直线的倾斜角是60°．
故选：A．
2．（2025春 长沙期末）经过两点A（2，m），B（﹣m，4）的直线l的倾斜角为135°，则m的值为（ ）
A．﹣2 B．1 C．3 D．4
【解答】解：经过两点A（2，m），B（﹣m，4）的直线l的斜率为，
又直线l的倾斜角为135°，
所以，解得m＝1．
故选：B．
3．（2024秋 合肥期末）已知直线l：，则直线l的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由题设，直线可化为，
故其斜率为．
故选：C．
4．（2025春 南京校级期末）已知直线l的方程为xsinαy﹣1＝0，α∈R，则直线l的倾斜角范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：由直线l的方程为xsinαy﹣1＝0，α∈R，
化为yxsinα，
由﹣1≤sinα≤1，
设直线l的倾斜角为φ，
则tanφsinα∈[，]，且0≤φ＜π，
所以0≤φ或φ＜π；
即直线l的倾斜角范围是[0，]∪[，π）．
故选：B．
5．（2024秋 宁城县期末）已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（2，0），B（4，2），C（1，3）．
（1）求过点C且与直线AB平行的直线的方程；
（2）求BC边上的高所在直线的方程．
【解答】（1）由A（2，0），B（4，2）可知，
故所求直线的方程为y﹣3＝x﹣1，
即x﹣y+2＝0．
（2）B（4，2），C（1，3），
则，
则所求直线的斜率为3，
所求直线过点A（2，0），
故所求直线的方程为y＝3（x﹣2），
即3x﹣y﹣6＝0．
6．（2025 昭通校级开学）已知△ABC的三个顶点是A（2，3），B（1，2），C（4，﹣4）．
（1）若直线l1过点C，且点A，B到直线l1的距离相等，求直线l1的方程；
（2）若直线l2过点A，且与x轴、y轴的正半轴分别交于P、Q两点，O为坐标原点，求三角形OPQ面积取最小值时直线l2的方程．
【解答】解：（1）因为点A，B到直线l1的距离相等，所以直线l1与AB平行或通过AB的中点，
①当直线l1通过AB的中点，
所以，
所以l1的方程为，即13x+5y﹣32＝0．
②当直线l1与AB平行，
因为，且l1过点C，
所以l1方程为y+4＝x﹣4，即x﹣y﹣8＝0；
综上：直线l1的方程为x﹣y﹣8＝0或13x+5y﹣32＝0．
（2）由题意设P（a，0），Q（0，b），其中a，b为正数，可设直线l2的方程为，
因为直线l2过点A（2，3），所以，
由基本不等式可得，
所以，
当且仅当即时，ab取得最小值24，
所以△OPQ面积，
所以当a＝4，b＝6时，△OPQ面积最小，
此时直线l2的方程为，即3x+2y﹣12＝0．
7．（2025 芝罘区校级开学）已知△ABC的顶点C（5，1），边AC上的中线BM所在直线的方程为2x﹣y﹣5＝0，边BC上的高AH所在直线的方程为x﹣2y﹣5＝0．求：
（1）顶点B的坐标；
（2）直线AB的方程．
【解答】解：（1）根据点B在直线BM：2x﹣y﹣5＝0上，设B（m，2m﹣5），
可得BC的斜率k2，
解得m＝4，所以点B的坐标为（4，3）；
（2）根据点A在直线AH：x﹣2y﹣5＝0上，设A（2n+5，n），
可得AC中点M的坐标为（n+5，），
由M在直线BM上，得2（n+5）5＝0，解得n＝﹣3，所以A点的坐标为（﹣1，﹣3）．
因此，直线AB的方程为，
即6x﹣5y﹣9＝0．
8．（2024秋 石嘴山校级期末）已知直线l：y＝kx﹣2k+1（k∈R）．
（1）若直线l不经过第二象限，求k的取值范围．
（2）若直线l与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，当△AOB的面积为时（O为坐标原点），求此时相应的直线l的方程．
【解答】解：（1）由题意可知直线l：y＝kx﹣2k+1（k∈R），即y＝k（x﹣2）+1，可知直线l过定点（2，1），
当直线l过原点时，得，结合直线l不经过第二象限，可知当，即k的取值范围是；
（2）由（1）知直线l过定点（2，1），若l交两坐标轴于正半轴，则k＜0，
∵直线l：y＝kx﹣2k+1与x轴、y轴正半轴的交点分别是，
∴，
当k＜0时，S△AOB，即：4k2+5k+1＝0，
∴k＝﹣1或，可得直线l的方程为y＝﹣x+3或．
9．（2025春 杨浦区校级月考）已知直线l：kx﹣y+1+2k＝0（k∈R）．
（1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（2）已知P（1，5），若点P到直线l的距离为d，求d最大时直线l的一般式方程．
【解答】解：（1）直线l：kx﹣y+1+2k＝0化为k（x+2）﹣y+1＝0，因此直线l恒过定点M（﹣2，1），
若直线l不经过第四象限，则k≥0．即k∈[0，+∞）．
（2）由（1）知直线l恒过定点M（﹣2，1），
当且仅当PM⊥l时，d取得最大值，此时直线PM的斜率，
因此直线l的斜率，直线l的方程为，即3x+4y+2＝0，
∴直线l的一般式方程为3x+4y+2＝0．
10．（2024秋 邛崃市校级期末）已知A（1，3），B（5，7）．
（1）求线段AB垂直平分线所在直线方程；
（2）若直线l过（﹣1，0），且A、B到直线l距离相等，求l方程．
【解答】解：（1）∵A（1，3），B（5，7），故线段AB的中点为C（3，5），直线AB的斜率为1，
故线段AB垂直平分线所在直线方程为y﹣5＝﹣1（x﹣3），即x+y﹣8＝0．
（2）由于直线l过（﹣1，0），且A、B到直线l距离相等，
故有直线l和线段AB平行或经过线段AB的中点为C（3，5）．
当直线l和线段AB平行时，方程为y﹣0＝1×（x+1），即x﹣y+1＝0．
当直线l经过线段AB的中点为C（3，5）时，方程为，即5x﹣4y+5＝0．
11．（2024秋 海门区期末）已知点A（4，0），B（0，4），直线l：mx﹣y+1﹣m＝0（m∈R）．
（1）若l与线段AB有交点，直接写出m的取值范围；
（2）若m＞0，设l与直线AB及x轴分别交于C，D两点，求△ACD面积的最小值．
【解答】解：（1）直线l：mx﹣y+1﹣m＝0可化为m（x﹣1）+（﹣y+1）＝0，
可知直线l经过直线x﹣1＝0与﹣y+1＝0的交点M（1，1）．
由A（4，0）、B（0，4），可得kAM，kBM3，
直线l与线段AB有公共点，且在线段AB上存在点N（1，3）使直线l⊥x轴，
可知直线l的斜率m满足：m≤﹣3或m，即m的取值范围为（﹣∞，﹣3]∪[，+∞）．
（2）求得直线AB：x+y﹣4＝0，联立，可得交点．
直线l：mx﹣y+1﹣m＝0交x轴于点，
因为m＞0，所以点C在第一象限且在x＝1右侧，点D在x＝1左侧，
所以△ACD的面积，
设t＝3m+1，t＞1，可得，
当t＝4，即m＝1时，△ACD的面积S的最小值为4．
12．（2024秋 东莞市校级月考）已知点P（﹣2，﹣1），直线l：（1+3λ）x+（1+λ）y﹣2﹣4λ＝0（λ为任意实数）过定点A．
（1）求定点A的坐标．
（2）直线m经过点P，且点A到直线m的距离为3，求直线m的方程．
（3）点B在直线x﹣2y+3＝0上运动，求|BP|﹣|BA|的最大值．
【解答】解：（1）由l：（1+3λ）x+（1+λ）y﹣2﹣4λ＝0得（x+y﹣2）+（3x+y﹣4）λ＝0，
令，解得x＝y＝1，故A（1，1）；
（2）若直线m无斜率，则m方程为x＝﹣2，此时A（1，1）到x＝﹣2的距离为3，符合题意，
若直线m有斜率，设m方程为y＝k（x+2）﹣1，此时A（1，1）到m的距离为，解得，
故直线方程为，
综上，直线方程为和x＝﹣2，
（3）由于A，P在直线x﹣2y+3＝0的同一侧，
故|BP|﹣|BA|≤|AP|，当且仅当P，A，B三点共线时取到等号，
故，
故|BP|﹣|BA|最大值为．
13．（2024秋 颍州区校级期末）已知△ABC的三个顶点分别为A（0，0），B（1，1），C（4，2）．
（1）求边BC所在直线的方程；
（2）若AC的中点为D，求边AC的垂直平分线l的方程；
（3）求△ABC的外接圆的方程．
【解答】解：△ABC的三个顶点分别为A（0，0），B（1，1），C（4，2）．
（1）由两点式可得BC边所在直线的方程为，
即BC边所在直线的方程x﹣3y+2＝0；
（2）AC的中点为D（2，1），
又，所以AC边的垂直平分线l的斜率为﹣2，
所以l的方程为y﹣1＝﹣2（x﹣2），即2x+y﹣5＝0．
（3）设△ABC的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
则，解得，
所以△ABC的外接圆的方程为x2+y2﹣8x+6y＝0．
14．（2024秋 湖南期末）已知△ABC的三个顶点分别为A（0，1），B（1，2），C（4，3）．
（1）求△ABC的面积；
（2）求△ABC的外接圆M的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．
【解答】解：（1）由题意△ABC的三个顶点分别为A（0，1），B（1，2），C（4，3），
可得，
边AB所在直线l的方程为，即x﹣y+1＝0，
点C（4，3）到直线l：x﹣y+1＝0的距离为，
所以．
（2）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
由题意得∴D＝﹣8，E＝4，F＝﹣5，
∴所求圆的方程为x2+y2﹣8x+4y﹣5＝0，
即（x﹣4）2+（y+2）2＝25，
∴所求圆的圆心坐标是（4，﹣2），半径r＝5．
15．（2024秋 乐山期末）已知圆C的方程为x2+y2﹣6x﹣2y+9＝0．
（1）求圆C关于直线l：x﹣y＝0对称的圆的方程；
（2）若点P（x，y）在圆C上运动，求x2+y2的最大值和最小值．
【解答】解：（1）圆C的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1，所以其圆心为（3，1），半径为1，
因为圆心（3，1）关于x﹣y＝0对称的点为（1，3），
所以圆C关于直线l：x﹣y＝0对称的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2＝1；
（2）x2+y2表示圆上的点P到原点的距离的平方．
因为圆心到原点的距离为，
所以x2+y2的最大值为，最小值为．
16．（2024秋 榆林期末）设，圆Q的圆心在x轴的正半轴上，且过A，B，C，D中的三个点．
（1）求圆Q的方程；
（2）若圆Q上存在两个不同的点P，使得PA2+PC2＝2λ成立，求实数λ的取值范围．
【解答】解：（1）若圆Q经过A，C，则圆心必在AC的垂直平分线x＝﹣1上，不合题意；
根据题意得圆Q只能过点A，B，D三点，
线段AB的垂直平分线的方程为，
线段AD的垂直平分线的方程为y＝0，
联立方程组，
解得，
所以圆心为（2，0），半径为2，圆Q的方程为（x﹣2）2+y2＝4．
（2）设P（x，y），因为PA2+PC2＝2λ，
所以，
化简得，所以λ＞4，
根据题意有，
解得；
故实数λ的取值范围为（）．
17．（2024秋 新邵县期末）已知圆C的方程为x2+y2＝1．
（1）求过点P（1，2）且与圆C相切的直线l的方程；
（2）直线m过点P（1，2），且与圆C交于A，B两点，当△AOB是等腰直角三角形时，求直线m的方程．
【解答】解：（1）当直线斜率不存在时，x＝1显然与x2+y2＝1相切；
当直线斜率存在时，可设l：y＝k（x﹣1）+2，由几何关系可得，
解得，
故，即3x﹣4y+5＝0，
故过点P（1，2）且与圆C相切的直线l的方程为x＝1或3x﹣4y+5＝0；
（2）设m：y＝k1（x﹣1）+2，可设AB中点为D，
因为△AOB是等腰直角三角形，
所以，
即圆心到直线距离，
解得k1＝1或7，
故直线m：y＝（x﹣1）+2或y＝7（x﹣1）+2，
即x﹣y+1＝0或7x﹣y﹣5＝0．
18．（2024秋 深圳校级期末）已知圆C：（x﹣1）2+（y+1）2＝4．
（1）过点P（3，2）向圆C作切线l，求切线l的方程；
（2）若Q为直线m：3x﹣4y+8＝0上的动点，过Q向圆C作切线，切点为M，求|QM|的最小值．
【解答】解：（1）切线l的斜率不存在时，x＝3满足条件．
切线l的斜率存在时，设方程为y﹣2＝k（x﹣3），即kx﹣y+2﹣3k＝0，
圆心C（1，﹣1）到切线l的距离2，解得k，可得切线方程为：5x﹣12y+9＝0，
综上可得切线l的方程为：x＝3，或5x﹣12y+9＝0．
（2）当CQ⊥m时，|QM|取得最小值，此时|CQ|3，
∴|QM|min．
19．（2025春 镇海区校级期末）在平面直角坐标系中．点A（2，4），B（6，2），直线l1：x+y﹣4＝0，l2：（m﹣1）x+y+2m+2＝0，m∈R．圆C经过A，B两点，且圆心C在直线l1上．
（1）求圆C的方程；
（2）当直线l2与圆C相切时，求实数m的值．
（3）若直线l2与圆C相交于D，E两点，当m变化时，是否存在一个定点P，使得|DP| |EP|为定值？若存在，求出一个P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）点A（2，4），B（6，2），直线l1：x+y﹣4＝0，圆C经过A，B两点，且圆心C在直线l1上．设圆心坐标为 C（a，b），
∵圆心C在直线l1：x+y﹣4＝0上，
则b＝4﹣a，
∴，
两边平方后得（a﹣2）2+（b﹣4）2＝（a﹣6）2+（b﹣2）2，
整理得2a﹣b﹣5＝0，又b＝4﹣a，解得a＝3，b＝1，∴圆心为C（3，1），
圆的半径，
∴圆的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2＝10；
（2）∵l2：（m﹣1）x+y+2m+2＝0，
由题意可得 的距离为，
∴，
两边平方，化简得3m2+4m﹣4＝0，解得或m＝﹣2；
（3）直线l2的方程为（m﹣1）x+y+2m+2＝0，
即m（x+2）﹣x+y+2＝0，
由，解得x＝﹣2，y＝﹣4，∴直线l2经过定点M（﹣2，﹣4），
又（﹣2﹣3）2+（﹣4﹣1）2＞10，∴点M（﹣2，﹣4）在圆外，
设过M（﹣2，4）的直线与圆的切点为N，
则有|MN|2＝|MD||ME|，又，
∴|MD||ME|＝|MN|2＝40，
∴当P为定点M（﹣2，﹣4）时，|DP| |EP|为定值40．
20．（2025春 普陀区校级期末）已知过点A（﹣1，0）的直线l与圆C：x2+（y﹣3）2＝4相交于P、Q两点，直线m：x+3y+6＝0．
（1）当时，求直线l的方程；
（2）设T为直线m上的动点，过T作圆C的两条切线TG、TH，切点分别为G、H，求四边形TGCH面积的最小值；
（3）是否存在直线l，使得向量与共线？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由．
【解答】（1）（解法一）设直线l的方程为x＝my﹣1，
∵，∴，则由，解得m＝0或，
故直线l的方程为x＝﹣1或4x﹣3y+4＝0；
（解法二）设弦PQ的中点为M，
①当直线l的斜率不存在时，易知x＝﹣1符合题意．
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x+1），即kx﹣y+k＝0，
∵，∴，则由，
得，此时直线l的方程为：4x﹣3y+4＝0，
故直线l的方程为x＝﹣1或4x﹣3y+4＝0；
（2）（解法一）由于TG、TH为圆C的两条切线，
所以，
又，而|CT|的最小值为点C到直线m的距离d，
所以，
故四边形TGCH面积的最小值为；
（解法二） （前两步同解法一）
设点T的坐标为（x，y），则，
，
所以当时，，
故四边形TGCH面积的最小值为；
（3）设直线l的方程为x＝my﹣1，P（x1，y1）、Q（x2，y2），
由，可得（m2+1）y2﹣（2m+6）y+6＝0，
可得Δ＝（2m+6）2﹣4（m2+1）×6，
所以，所以，
则，所以
又A（﹣1，0），C（0，3），所以，
若向量与共线，则，
由，可得2m+6＝18m﹣6，解得，
当时，，
所以存在直线l，使得向量与共线，
直线l的方程为，即4x﹣3y+4＝0．
5大考点汇总
考点一：直线的倾斜角与斜率
考点二：直线的方程
考点三：直线的交点坐标与距离公式
考点四：圆的方程
考点五：直线与圆、圆与圆的位置关系
跟踪训练
考点一：直线的倾斜角与斜率
1．（2024秋 新疆期末）直线的倾斜角量（ ）
A．60° B．120° C．150° D．30°
2．（2025春 长沙期末）经过两点A（2，m），B（﹣m，4）的直线l的倾斜角为135°，则m的值为（ ）
A．﹣2 B．1 C．3 D．4
3．（2024秋 合肥期末）已知直线l：，则直线l的斜率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025春 南京校级期末）已知直线l的方程为xsinαy﹣1＝0，α∈R，则直线l的倾斜角范围是（ ）
A． B．
C． D．
考点二：直线的方程
5．（2024秋 宁城县期末）已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（2，0），B（4，2），C（1，3）．
（1）求过点C且与直线AB平行的直线的方程；
（2）求BC边上的高所在直线的方程．
6．（2025 昭通校级开学）已知△ABC的三个顶点是A（2，3），B（1，2），C（4，﹣4）．
（1）若直线l1过点C，且点A，B到直线l1的距离相等，求直线l1的方程；
（2）若直线l2过点A，且与x轴、y轴的正半轴分别交于P、Q两点，O为坐标原点，求三角形OPQ面积取最小值时直线l2的方程．
7．（2025 芝罘区校级开学）已知△ABC的顶点C（5，1），边AC上的中线BM所在直线的方程为2x﹣y﹣5＝0，边BC上的高AH所在直线的方程为x﹣2y﹣5＝0．求：
（1）顶点B的坐标；
（2）直线AB的方程．
8．（2024秋 石嘴山校级期末）已知直线l：y＝kx﹣2k+1（k∈R）．
（1）若直线l不经过第二象限，求k的取值范围．
（2）若直线l与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，当△AOB的面积为时（O为坐标原点），求此时相应的直线l的方程．
考点三：直线的交点坐标与距离公式
9．（2025春 杨浦区校级月考）已知直线l：kx﹣y+1+2k＝0（k∈R）．
（1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（2）已知P（1，5），若点P到直线l的距离为d，求d最大时直线l的一般式方程．
10．（2024秋 邛崃市校级期末）已知A（1，3），B（5，7）．
（1）求线段AB垂直平分线所在直线方程；
（2）若直线l过（﹣1，0），且A、B到直线l距离相等，求l方程．
11．（2024秋 海门区期末）已知点A（4，0），B（0，4），直线l：mx﹣y+1﹣m＝0（m∈R）．
（1）若l与线段AB有交点，直接写出m的取值范围；
（2）若m＞0，设l与直线AB及x轴分别交于C，D两点，求△ACD面积的最小值．
12．（2024秋 东莞市校级月考）已知点P（﹣2，﹣1），直线l：（1+3λ）x+（1+λ）y﹣2﹣4λ＝0（λ为任意实数）过定点A．
（1）求定点A的坐标．
（2）直线m经过点P，且点A到直线m的距离为3，求直线m的方程．
（3）点B在直线x﹣2y+3＝0上运动，求|BP|﹣|BA|的最大值．
考点四：圆的方程
13．（2024秋 颍州区校级期末）已知△ABC的三个顶点分别为A（0，0），B（1，1），C（4，2）．
（1）求边BC所在直线的方程；
（2）若AC的中点为D，求边AC的垂直平分线l的方程；
（3）求△ABC的外接圆的方程．
14．（2024秋 湖南期末）已知△ABC的三个顶点分别为A（0，1），B（1，2），C（4，3）．
（1）求△ABC的面积；
（2）求△ABC的外接圆M的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．
15．（2024秋 乐山期末）已知圆C的方程为x2+y2﹣6x﹣2y+9＝0．
（1）求圆C关于直线l：x﹣y＝0对称的圆的方程；
（2）若点P（x，y）在圆C上运动，求x2+y2的最大值和最小值．
16．（2024秋 榆林期末）设，圆Q的圆心在x轴的正半轴上，且过A，B，C，D中的三个点．
（1）求圆Q的方程；
（2）若圆Q上存在两个不同的点P，使得PA2+PC2＝2λ成立，求实数λ的取值范围．
考点五：直线与圆、圆与圆的位置关系
17．（2024秋 新邵县期末）已知圆C的方程为x2+y2＝1．
（1）求过点P（1，2）且与圆C相切的直线l的方程；
（2）直线m过点P（1，2），且与圆C交于A，B两点，当△AOB是等腰直角三角形时，求直线m的方程．
18．（2024秋 深圳校级期末）已知圆C：（x﹣1）2+（y+1）2＝4．
（1）过点P（3，2）向圆C作切线l，求切线l的方程；
（2）若Q为直线m：3x﹣4y+8＝0上的动点，过Q向圆C作切线，切点为M，求|QM|的最小值．
19．（2025春 镇海区校级期末）在平面直角坐标系中．点A（2，4），B（6，2），直线l1：x+y﹣4＝0，l2：（m﹣1）x+y+2m+2＝0，m∈R．圆C经过A，B两点，且圆心C在直线l1上．
（1）求圆C的方程；
（2）当直线l2与圆C相切时，求实数m的值．
（3）若直线l2与圆C相交于D，E两点，当m变化时，是否存在一个定点P，使得|DP| |EP|为定值？若存在，求出一个P的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（2025春 普陀区校级期末）已知过点A（﹣1，0）的直线l与圆C：x2+（y﹣3）2＝4相交于P、Q两点，直线m：x+3y+6＝0．
（1）当时，求直线l的方程；
（2）设T为直线m上的动点，过T作圆C的两条切线TG、TH，切点分别为G、H，求四边形TGCH面积的最小值；
（3）是否存在直线l，使得向量与共线？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由．
第二章直线和圆的方程5大考点汇总与跟踪训练-2025-2026学年高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册
1．（2024秋 新疆期末）直线的倾斜角量（ ）
A．60° B．120° C．150° D．30°
【解答】解：直线的斜率为，设直线的倾斜角为θ，且0°≤θ＜180°，
可得tanθ，可得θ＝60°．
所以直线的倾斜角是60°．
故选：A．
2．（2025春 长沙期末）经过两点A（2，m），B（﹣m，4）的直线l的倾斜角为135°，则m的值为（ ）
A．﹣2 B．1 C．3 D．4
【解答】解：经过两点A（2，m），B（﹣m，4）的直线l的斜率为，
又直线l的倾斜角为135°，
所以，解得m＝1．
故选：B．
3．（2024秋 合肥期末）已知直线l：，则直线l的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由题设，直线可化为，
故其斜率为．
故选：C．
4．（2025春 南京校级期末）已知直线l的方程为xsinαy﹣1＝0，α∈R，则直线l的倾斜角范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：由直线l的方程为xsinαy﹣1＝0，α∈R，
化为yxsinα，
由﹣1≤sinα≤1，
设直线l的倾斜角为φ，
则tanφsinα∈[，]，且0≤φ＜π，
所以0≤φ或φ＜π；
即直线l的倾斜角范围是[0，]∪[，π）．
故选：B．
5．（2024秋 宁城县期末）已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（2，0），B（4，2），C（1，3）．
（1）求过点C且与直线AB平行的直线的方程；
（2）求BC边上的高所在直线的方程．
【解答】（1）由A（2，0），B（4，2）可知，
故所求直线的方程为y﹣3＝x﹣1，
即x﹣y+2＝0．
（2）B（4，2），C（1，3），
则，
则所求直线的斜率为3，
所求直线过点A（2，0），
故所求直线的方程为y＝3（x﹣2），
即3x﹣y﹣6＝0．
6．（2025 昭通校级开学）已知△ABC的三个顶点是A（2，3），B（1，2），C（4，﹣4）．
（1）若直线l1过点C，且点A，B到直线l1的距离相等，求直线l1的方程；
（2）若直线l2过点A，且与x轴、y轴的正半轴分别交于P、Q两点，O为坐标原点，求三角形OPQ面积取最小值时直线l2的方程．
【解答】解：（1）因为点A，B到直线l1的距离相等，所以直线l1与AB平行或通过AB的中点，
①当直线l1通过AB的中点，
所以，
所以l1的方程为，即13x+5y﹣32＝0．
②当直线l1与AB平行，
因为，且l1过点C，
所以l1方程为y+4＝x﹣4，即x﹣y﹣8＝0；
综上：直线l1的方程为x﹣y﹣8＝0或13x+5y﹣32＝0．
（2）由题意设P（a，0），Q（0，b），其中a，b为正数，可设直线l2的方程为，
因为直线l2过点A（2，3），所以，
由基本不等式可得，
所以，
当且仅当即时，ab取得最小值24，
所以△OPQ面积，
所以当a＝4，b＝6时，△OPQ面积最小，
此时直线l2的方程为，即3x+2y﹣12＝0．
7．（2025 芝罘区校级开学）已知△ABC的顶点C（5，1），边AC上的中线BM所在直线的方程为2x﹣y﹣5＝0，边BC上的高AH所在直线的方程为x﹣2y﹣5＝0．求：
（1）顶点B的坐标；
（2）直线AB的方程．
【解答】解：（1）根据点B在直线BM：2x﹣y﹣5＝0上，设B（m，2m﹣5），
可得BC的斜率k2，
解得m＝4，所以点B的坐标为（4，3）；
（2）根据点A在直线AH：x﹣2y﹣5＝0上，设A（2n+5，n），
可得AC中点M的坐标为（n+5，），
由M在直线BM上，得2（n+5）5＝0，解得n＝﹣3，所以A点的坐标为（﹣1，﹣3）．
因此，直线AB的方程为，
即6x﹣5y﹣9＝0．
8．（2024秋 石嘴山校级期末）已知直线l：y＝kx﹣2k+1（k∈R）．
（1）若直线l不经过第二象限，求k的取值范围．
（2）若直线l与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，当△AOB的面积为时（O为坐标原点），求此时相应的直线l的方程．
【解答】解：（1）由题意可知直线l：y＝kx﹣2k+1（k∈R），即y＝k（x﹣2）+1，可知直线l过定点（2，1），
当直线l过原点时，得，结合直线l不经过第二象限，可知当，即k的取值范围是；
（2）由（1）知直线l过定点（2，1），若l交两坐标轴于正半轴，则k＜0，
∵直线l：y＝kx﹣2k+1与x轴、y轴正半轴的交点分别是，
∴，
当k＜0时，S△AOB，即：4k2+5k+1＝0，
∴k＝﹣1或，可得直线l的方程为y＝﹣x+3或．
9．（2025春 杨浦区校级月考）已知直线l：kx﹣y+1+2k＝0（k∈R）．
（1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（2）已知P（1，5），若点P到直线l的距离为d，求d最大时直线l的一般式方程．
【解答】解：（1）直线l：kx﹣y+1+2k＝0化为k（x+2）﹣y+1＝0，因此直线l恒过定点M（﹣2，1），
若直线l不经过第四象限，则k≥0．即k∈[0，+∞）．
（2）由（1）知直线l恒过定点M（﹣2，1），
当且仅当PM⊥l时，d取得最大值，此时直线PM的斜率，
因此直线l的斜率，直线l的方程为，即3x+4y+2＝0，
∴直线l的一般式方程为3x+4y+2＝0．
10．（2024秋 邛崃市校级期末）已知A（1，3），B（5，7）．
（1）求线段AB垂直平分线所在直线方程；
（2）若直线l过（﹣1，0），且A、B到直线l距离相等，求l方程．
【解答】解：（1）∵A（1，3），B（5，7），故线段AB的中点为C（3，5），直线AB的斜率为1，
故线段AB垂直平分线所在直线方程为y﹣5＝﹣1（x﹣3），即x+y﹣8＝0．
（2）由于直线l过（﹣1，0），且A、B到直线l距离相等，
故有直线l和线段AB平行或经过线段AB的中点为C（3，5）．
当直线l和线段AB平行时，方程为y﹣0＝1×（x+1），即x﹣y+1＝0．
当直线l经过线段AB的中点为C（3，5）时，方程为，即5x﹣4y+5＝0．
11．（2024秋 海门区期末）已知点A（4，0），B（0，4），直线l：mx﹣y+1﹣m＝0（m∈R）．
（1）若l与线段AB有交点，直接写出m的取值范围；
（2）若m＞0，设l与直线AB及x轴分别交于C，D两点，求△ACD面积的最小值．
【解答】解：（1）直线l：mx﹣y+1﹣m＝0可化为m（x﹣1）+（﹣y+1）＝0，
可知直线l经过直线x﹣1＝0与﹣y+1＝0的交点M（1，1）．
由A（4，0）、B（0，4），可得kAM，kBM3，
直线l与线段AB有公共点，且在线段AB上存在点N（1，3）使直线l⊥x轴，
可知直线l的斜率m满足：m≤﹣3或m，即m的取值范围为（﹣∞，﹣3]∪[，+∞）．
（2）求得直线AB：x+y﹣4＝0，联立，可得交点．
直线l：mx﹣y+1﹣m＝0交x轴于点，
因为m＞0，所以点C在第一象限且在x＝1右侧，点D在x＝1左侧，
所以△ACD的面积，
设t＝3m+1，t＞1，可得，
当t＝4，即m＝1时，△ACD的面积S的最小值为4．
12．（2024秋 东莞市校级月考）已知点P（﹣2，﹣1），直线l：（1+3λ）x+（1+λ）y﹣2﹣4λ＝0（λ为任意实数）过定点A．
（1）求定点A的坐标．
（2）直线m经过点P，且点A到直线m的距离为3，求直线m的方程．
（3）点B在直线x﹣2y+3＝0上运动，求|BP|﹣|BA|的最大值．
【解答】解：（1）由l：（1+3λ）x+（1+λ）y﹣2﹣4λ＝0得（x+y﹣2）+（3x+y﹣4）λ＝0，
令，解得x＝y＝1，故A（1，1）；
（2）若直线m无斜率，则m方程为x＝﹣2，此时A（1，1）到x＝﹣2的距离为3，符合题意，
若直线m有斜率，设m方程为y＝k（x+2）﹣1，此时A（1，1）到m的距离为，解得，
故直线方程为，
综上，直线方程为和x＝﹣2，
（3）由于A，P在直线x﹣2y+3＝0的同一侧，
故|BP|﹣|BA|≤|AP|，当且仅当P，A，B三点共线时取到等号，
故，
故|BP|﹣|BA|最大值为．
13．（2024秋 颍州区校级期末）已知△ABC的三个顶点分别为A（0，0），B（1，1），C（4，2）．
（1）求边BC所在直线的方程；
（2）若AC的中点为D，求边AC的垂直平分线l的方程；
（3）求△ABC的外接圆的方程．
【解答】解：△ABC的三个顶点分别为A（0，0），B（1，1），C（4，2）．
（1）由两点式可得BC边所在直线的方程为，
即BC边所在直线的方程x﹣3y+2＝0；
（2）AC的中点为D（2，1），
又，所以AC边的垂直平分线l的斜率为﹣2，
所以l的方程为y﹣1＝﹣2（x﹣2），即2x+y﹣5＝0．
（3）设△ABC的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
则，解得，
所以△ABC的外接圆的方程为x2+y2﹣8x+6y＝0．
14．（2024秋 湖南期末）已知△ABC的三个顶点分别为A（0，1），B（1，2），C（4，3）．
（1）求△ABC的面积；
（2）求△ABC的外接圆M的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．
【解答】解：（1）由题意△ABC的三个顶点分别为A（0，1），B（1，2），C（4，3），
可得，
边AB所在直线l的方程为，即x﹣y+1＝0，
点C（4，3）到直线l：x﹣y+1＝0的距离为，
所以．
（2）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
由题意得∴D＝﹣8，E＝4，F＝﹣5，
∴所求圆的方程为x2+y2﹣8x+4y﹣5＝0，
即（x﹣4）2+（y+2）2＝25，
∴所求圆的圆心坐标是（4，﹣2），半径r＝5．
15．（2024秋 乐山期末）已知圆C的方程为x2+y2﹣6x﹣2y+9＝0．
（1）求圆C关于直线l：x﹣y＝0对称的圆的方程；
（2）若点P（x，y）在圆C上运动，求x2+y2的最大值和最小值．
【解答】解：（1）圆C的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1，所以其圆心为（3，1），半径为1，
因为圆心（3，1）关于x﹣y＝0对称的点为（1，3），
所以圆C关于直线l：x﹣y＝0对称的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2＝1；
（2）x2+y2表示圆上的点P到原点的距离的平方．
因为圆心到原点的距离为，
所以x2+y2的最大值为，最小值为．
16．（2024秋 榆林期末）设，圆Q的圆心在x轴的正半轴上，且过A，B，C，D中的三个点．
（1）求圆Q的方程；
（2）若圆Q上存在两个不同的点P，使得PA2+PC2＝2λ成立，求实数λ的取值范围．
【解答】解：（1）若圆Q经过A，C，则圆心必在AC的垂直平分线x＝﹣1上，不合题意；
根据题意得圆Q只能过点A，B，D三点，
线段AB的垂直平分线的方程为，
线段AD的垂直平分线的方程为y＝0，
联立方程组，
解得，
所以圆心为（2，0），半径为2，圆Q的方程为（x﹣2）2+y2＝4．
（2）设P（x，y），因为PA2+PC2＝2λ，
所以，
化简得，所以λ＞4，
根据题意有，
解得；
故实数λ的取值范围为（）．
17．（2024秋 新邵县期末）已知圆C的方程为x2+y2＝1．
（1）求过点P（1，2）且与圆C相切的直线l的方程；
（2）直线m过点P（1，2），且与圆C交于A，B两点，当△AOB是等腰直角三角形时，求直线m的方程．
【解答】解：（1）当直线斜率不存在时，x＝1显然与x2+y2＝1相切；
当直线斜率存在时，可设l：y＝k（x﹣1）+2，由几何关系可得，
解得，
故，即3x﹣4y+5＝0，
故过点P（1，2）且与圆C相切的直线l的方程为x＝1或3x﹣4y+5＝0；
（2）设m：y＝k1（x﹣1）+2，可设AB中点为D，
因为△AOB是等腰直角三角形，
所以，
即圆心到直线距离，
解得k1＝1或7，
故直线m：y＝（x﹣1）+2或y＝7（x﹣1）+2，
即x﹣y+1＝0或7x﹣y﹣5＝0．
18．（2024秋 深圳校级期末）已知圆C：（x﹣1）2+（y+1）2＝4．
（1）过点P（3，2）向圆C作切线l，求切线l的方程；
（2）若Q为直线m：3x﹣4y+8＝0上的动点，过Q向圆C作切线，切点为M，求|QM|的最小值．
【解答】解：（1）切线l的斜率不存在时，x＝3满足条件．
切线l的斜率存在时，设方程为y﹣2＝k（x﹣3），即kx﹣y+2﹣3k＝0，
圆心C（1，﹣1）到切线l的距离2，解得k，可得切线方程为：5x﹣12y+9＝0，
综上可得切线l的方程为：x＝3，或5x﹣12y+9＝0．
（2）当CQ⊥m时，|QM|取得最小值，此时|CQ|3，
∴|QM|min．
19．（2025春 镇海区校级期末）在平面直角坐标系中．点A（2，4），B（6，2），直线l1：x+y﹣4＝0，l2：（m﹣1）x+y+2m+2＝0，m∈R．圆C经过A，B两点，且圆心C在直线l1上．
（1）求圆C的方程；
（2）当直线l2与圆C相切时，求实数m的值．
（3）若直线l2与圆C相交于D，E两点，当m变化时，是否存在一个定点P，使得|DP| |EP|为定值？若存在，求出一个P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）点A（2，4），B（6，2），直线l1：x+y﹣4＝0，圆C经过A，B两点，且圆心C在直线l1上．设圆心坐标为 C（a，b），
∵圆心C在直线l1：x+y﹣4＝0上，
则b＝4﹣a，
∴，
两边平方后得（a﹣2）2+（b﹣4）2＝（a﹣6）2+（b﹣2）2，
整理得2a﹣b﹣5＝0，又b＝4﹣a，解得a＝3，b＝1，∴圆心为C（3，1），
圆的半径，
∴圆的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2＝10；
（2）∵l2：（m﹣1）x+y+2m+2＝0，
由题意可得 的距离为，
∴，
两边平方，化简得3m2+4m﹣4＝0，解得或m＝﹣2；
（3）直线l2的方程为（m﹣1）x+y+2m+2＝0，
即m（x+2）﹣x+y+2＝0，
由，解得x＝﹣2，y＝﹣4，∴直线l2经过定点M（﹣2，﹣4），
又（﹣2﹣3）2+（﹣4﹣1）2＞10，∴点M（﹣2，﹣4）在圆外，
设过M（﹣2，4）的直线与圆的切点为N，
则有|MN|2＝|MD||ME|，又，
∴|MD||ME|＝|MN|2＝40，
∴当P为定点M（﹣2，﹣4）时，|DP| |EP|为定值40．
20．（2025春 普陀区校级期末）已知过点A（﹣1，0）的直线l与圆C：x2+（y﹣3）2＝4相交于P、Q两点，直线m：x+3y+6＝0．
（1）当时，求直线l的方程；
（2）设T为直线m上的动点，过T作圆C的两条切线TG、TH，切点分别为G、H，求四边形TGCH面积的最小值；
（3）是否存在直线l，使得向量与共线？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由．
【解答】（1）（解法一）设直线l的方程为x＝my﹣1，
∵，∴，则由，解得m＝0或，
故直线l的方程为x＝﹣1或4x﹣3y+4＝0；
（解法二）设弦PQ的中点为M，
①当直线l的斜率不存在时，易知x＝﹣1符合题意．
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x+1），即kx﹣y+k＝0，
∵，∴，则由，
得，此时直线l的方程为：4x﹣3y+4＝0，
故直线l的方程为x＝﹣1或4x﹣3y+4＝0；
（2）（解法一）由于TG、TH为圆C的两条切线，
所以，
又，而|CT|的最小值为点C到直线m的距离d，
所以，
故四边形TGCH面积的最小值为；
（解法二） （前两步同解法一）
设点T的坐标为（x，y），则，
，
所以当时，，
故四边形TGCH面积的最小值为；
（3）设直线l的方程为x＝my﹣1，P（x1，y1）、Q（x2，y2），
由，可得（m2+1）y2﹣（2m+6）y+6＝0，
可得Δ＝（2m+6）2﹣4（m2+1）×6，
所以，所以，
则，所以
又A（﹣1，0），C（0，3），所以，
若向量与共线，则，
由，可得2m+6＝18m﹣6，解得，
当时，，
所以存在直线l，使得向量与共线，
直线l的方程为，即4x﹣3y+4＝0．