第三章 椭圆、双曲线的标准方程和几何性质 基础练（含答案）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 第三章 椭圆、双曲线的标准方程和几何性质 基础练（含答案）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 27.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-15 07:11:23 | ||
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文档简介
椭圆、双曲线的标准方程和几何性质基础练
一、单选题：本大题共9小题，共45分。
1.椭圆C：的长轴长、短轴长、焦点坐标依次为
A. 8，4， B. 8，4，
C. 4，2， D. 4，2，
2.若双曲线方程为，则它的右焦点坐标为( )
A. B. C. D.
3.下列四个椭圆中，形状最扁的是
A. B. C. D.
4.直线与椭圆的位置关系是( )
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法判断
5.“直线与双曲线有唯一公共点”是“直线与双曲线相切”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知定点，，则在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是( )
A. B.
C. D.
7.椭圆且与直线交于M，N两点，原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是
A. B. C. D.
8.已知双曲线的左、右焦点分别是，，过的直线l与双曲线相交于A，B两点，则满足的直线l有
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
9.设，是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且，则的面积等于
A. B. C. 24 D. 48
二、多选题：本大题共3小题，共18分。
10.已知点M，N是双曲线C：上不同的两点，则
A. 当M，N分别位于双曲线的两支时，直线MN的斜率
B. 当M，N均位于双曲线的右支上时，直线MN的斜率
C. 线段MN的中点可能是
D. 线段MN的中点可能是
11.已知，两点，若直线上存在点P，使，同时存在点Q，使，则称该直线为“一箭双雕线”，给出下列直线，其中为“一箭双雕线”的是
A. B. C. D.
12.多选已知曲线C：，下列说法正确的是( )
A. 若，则C为双曲线
B. 若且，则C为焦点在x轴上的椭圆
C. 若，，则C不可能表示圆
D. 若，，则C为两条直线
三、填空题：本大题共2小题，共10分。
13.已知点P在椭圆方程上，点A坐标为，则的取值范围为 .
14.已知P为椭圆上一点，M，N分别为圆和圆上的点，则的最小值为 ，最大值为 .
四、解答题：本大题共1小题，共12分。
15.设，分别是椭圆E：的左、右焦点，过点的直线交椭圆E于A，B两点，
若，的周长为16，求；
若，求椭圆E的离心率．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】椭圆C：，即，所以椭圆的长轴长为8，短轴长为4，焦点坐标为
2.【答案】B
【解析】略
3.【答案】A
【解析】已知，根据选项中的椭圆的方程，可得的值满足， 因为椭圆的离心率越大，椭圆的形状越扁， 所以这四个椭圆中，椭圆的离心率最大，故其形状最扁．
4.【答案】A
【解析】略
5.【答案】B
【解析】略
6.【答案】A
【解析】略
7.【答案】A
【解析】联立得，直线与椭圆交于两点，设，，MN的中点，则，所以
8.【答案】C
【解析】略
9.【答案】C
【解析】根据题意和双曲线的定义知，，， 所以，， 所以，所以， 所以
10.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查了双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系及其应用，是难题.
结合双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系及其应用逐一分析各选项可得答案.
【解答】
解：双曲线渐近线为，当M，N分别位于双曲线的两支时，直线MN较渐近线更平缓，故kMN，
当M，N均位于双曲线的右支上时，直线MN较渐近线更陡，故kMN，
所以A对B错;
记，，中点，由M，N是双曲线C上的点，有两式
相减可得，
当时，有MNMN，
对于C，MN，与双曲线方程联立可知直线MN与方程无交点，故C错;
对于D，，MN，故此时M，N分别位于双曲线的左右两支，故D正确.
故选：
11.【答案】AB
【解析】，，，Q在以A，B为焦点的双曲线上，且点P在双曲线的右半支上，点Q在双曲线的左半支上，的渐近线方程为的斜率且恒过点，与交于两点，且两点分别位于左右两支，符合题意，A正确． 当时，，符合题意，B正确． 若为双曲线的渐近线，则其与双曲线无交点，不符合题意，C错误．的斜率且恒过坐标原点，与无交点，不符合题意，D错误．
12.【答案】AB
【解析】略
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的标准方程，考查距离的计算，解题的关键是转化为二次函数，利用配方法求解．
设出点P的坐标，求出，利用椭圆的方程，转化为二次函数，利用配方法，即可求得结论．
【解答】
解：设，则，
又在椭圆 ，
，其中，
关于x的二次函数，开口向上，它的对称轴是，
根据二次函数的性质，
可知：当时，取得最小值；当时，取得最大值
所以，的取值范围是，
故答案为：
14.【答案】7 ； 13
【解析】【分析】
本题考查了椭圆的定义及标准方程，圆的标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
由题意可得椭圆的左右焦点分别为圆的圆心与圆的圆心，利用圆的性质及椭圆的定义即可得出结果．
【解答】
解：由椭圆可得，，，
所以椭圆的左、右焦点分别为，
所以，
圆的圆心与半径分别为：，；
圆的圆心与半径分别为：，
，
故答案为：7；
15.【答案】解由，，
得，
因为的周长为16，所以由椭圆定义可得，
，故
设，，则，
由椭圆定义可得，
在中，由余弦定理可得，
即，
化简可得，而，
故
于是有，
因此，可得，
故为等腰直角三角形．
从而，所以椭圆E的离心率
【解析】略
一、单选题：本大题共9小题，共45分。
1.椭圆C：的长轴长、短轴长、焦点坐标依次为
A. 8，4， B. 8，4，
C. 4，2， D. 4，2，
2.若双曲线方程为，则它的右焦点坐标为( )
A. B. C. D.
3.下列四个椭圆中，形状最扁的是
A. B. C. D.
4.直线与椭圆的位置关系是( )
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法判断
5.“直线与双曲线有唯一公共点”是“直线与双曲线相切”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知定点，，则在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是( )
A. B.
C. D.
7.椭圆且与直线交于M，N两点，原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是
A. B. C. D.
8.已知双曲线的左、右焦点分别是，，过的直线l与双曲线相交于A，B两点，则满足的直线l有
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
9.设，是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且，则的面积等于
A. B. C. 24 D. 48
二、多选题：本大题共3小题，共18分。
10.已知点M，N是双曲线C：上不同的两点，则
A. 当M，N分别位于双曲线的两支时，直线MN的斜率
B. 当M，N均位于双曲线的右支上时，直线MN的斜率
C. 线段MN的中点可能是
D. 线段MN的中点可能是
11.已知，两点，若直线上存在点P，使，同时存在点Q，使，则称该直线为“一箭双雕线”，给出下列直线，其中为“一箭双雕线”的是
A. B. C. D.
12.多选已知曲线C：，下列说法正确的是( )
A. 若，则C为双曲线
B. 若且，则C为焦点在x轴上的椭圆
C. 若，，则C不可能表示圆
D. 若，，则C为两条直线
三、填空题：本大题共2小题，共10分。
13.已知点P在椭圆方程上，点A坐标为，则的取值范围为 .
14.已知P为椭圆上一点，M，N分别为圆和圆上的点，则的最小值为 ，最大值为 .
四、解答题：本大题共1小题，共12分。
15.设，分别是椭圆E：的左、右焦点，过点的直线交椭圆E于A，B两点，
若，的周长为16，求；
若，求椭圆E的离心率．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】椭圆C：，即，所以椭圆的长轴长为8，短轴长为4，焦点坐标为
2.【答案】B
【解析】略
3.【答案】A
【解析】已知，根据选项中的椭圆的方程，可得的值满足， 因为椭圆的离心率越大，椭圆的形状越扁， 所以这四个椭圆中，椭圆的离心率最大，故其形状最扁．
4.【答案】A
【解析】略
5.【答案】B
【解析】略
6.【答案】A
【解析】略
7.【答案】A
【解析】联立得，直线与椭圆交于两点，设，，MN的中点，则，所以
8.【答案】C
【解析】略
9.【答案】C
【解析】根据题意和双曲线的定义知，，， 所以，， 所以，所以， 所以
10.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查了双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系及其应用，是难题.
结合双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系及其应用逐一分析各选项可得答案.
【解答】
解：双曲线渐近线为，当M，N分别位于双曲线的两支时，直线MN较渐近线更平缓，故kMN，
当M，N均位于双曲线的右支上时，直线MN较渐近线更陡，故kMN，
所以A对B错;
记，，中点，由M，N是双曲线C上的点，有两式
相减可得，
当时，有MNMN，
对于C，MN，与双曲线方程联立可知直线MN与方程无交点，故C错;
对于D，，MN，故此时M，N分别位于双曲线的左右两支，故D正确.
故选：
11.【答案】AB
【解析】，，，Q在以A，B为焦点的双曲线上，且点P在双曲线的右半支上，点Q在双曲线的左半支上，的渐近线方程为的斜率且恒过点，与交于两点，且两点分别位于左右两支，符合题意，A正确． 当时，，符合题意，B正确． 若为双曲线的渐近线，则其与双曲线无交点，不符合题意，C错误．的斜率且恒过坐标原点，与无交点，不符合题意，D错误．
12.【答案】AB
【解析】略
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的标准方程，考查距离的计算，解题的关键是转化为二次函数，利用配方法求解．
设出点P的坐标，求出，利用椭圆的方程，转化为二次函数，利用配方法，即可求得结论．
【解答】
解：设，则，
又在椭圆 ，
，其中，
关于x的二次函数，开口向上，它的对称轴是，
根据二次函数的性质，
可知：当时，取得最小值；当时，取得最大值
所以，的取值范围是，
故答案为：
14.【答案】7 ； 13
【解析】【分析】
本题考查了椭圆的定义及标准方程，圆的标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
由题意可得椭圆的左右焦点分别为圆的圆心与圆的圆心，利用圆的性质及椭圆的定义即可得出结果．
【解答】
解：由椭圆可得，，，
所以椭圆的左、右焦点分别为，
所以，
圆的圆心与半径分别为：，；
圆的圆心与半径分别为：，
，
故答案为：7；
15.【答案】解由，，
得，
因为的周长为16，所以由椭圆定义可得，
，故
设，，则，
由椭圆定义可得，
在中，由余弦定理可得，
即，
化简可得，而，
故
于是有，
因此，可得，
故为等腰直角三角形．
从而，所以椭圆E的离心率
【解析】略