第三章圆锥曲线的方程 6大考点汇总与跟踪训练（含解析）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 第三章圆锥曲线的方程 6大考点汇总与跟踪训练（含解析）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 507.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-15 07:12:29 | ||
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文档简介
第三章圆锥曲线的方程6大考点汇总与跟踪训练-2025-2026学年高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册
6大考点汇总
考点一：椭圆及其标准方程
考点二：双曲线及其标准方程
考点三：抛物线及其标准方程
考点四：椭圆的简单几何性质
考点五：双曲线的简单几何性质
考点六：抛物线的简单几何性质
跟踪训练
考点一：椭圆及其标准方程
1．（2024秋 邢台期末）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且过点，则C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024秋 石家庄期末）若椭圆的两焦点为（﹣2，0）和（2，0），且椭圆过点，则椭圆方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024秋 衡水校级期末）与椭圆有相同焦点，且长轴长为的椭圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025春 分宜县期末）中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点（4，0），（0，2）的椭圆的标准方程是（ ）
A．1 B．1
C．1 D．1
考点二：双曲线及其标准方程
5．（2024秋 济宁期末）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A、B两点，若，，则双曲线C的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024秋 南阳期末）已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点O为坐标原点，过F1的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，平分∠F1BC，F1到渐近线的距离为，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023秋 大通县期末）一条渐近线方程为2x+3y＝0，且经过点的双曲线的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024秋 三门峡期末）已知两点M（﹣4，0），N（4，0），若直线上存在点P，使|PM|﹣|PN|＝6，同时存在点Q，使|QN|﹣|QM|＝6，则称该直线为“两全其美线”，给出下列直线，其中为“两全其美线”的是（ ）
A． B．x＝4 C． D．y＝2x
考点三：抛物线及其标准方程
9．（2024秋 七里河区校级期末）点M与点F（4，0）的距离比它到直线l：x+5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是 ．
10．（2024秋 昌吉州期末）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），F为抛物线C的焦点，过点作直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝6，|BF|＝3，则抛物线C的准线方程为 ．
11．（2024春 台江区校级期中）已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P（4，m）到焦点的距离为6．则抛物线C的方程为 ．
12．（2024秋 虹口区校级期中）如图，已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，MN⊥y轴于点N．若四边形CMNF的面积等于28，则E的方程为 ．
考点四：椭圆的简单几何性质
13．（2025 丰台区开学）已知椭圆．
（1）求E的离心率和短轴长；
（2）设O为原点，直线l：y＝m，动点P在椭圆E上，过点O作OP的垂线交直线l于点Q，点O到直线PQ的距离为1，求m的值．
14．（2025春 醴陵市校级期中）设椭圆经过点，其离心率．
（1）求椭圆M的方程；
（2）直线与椭圆M交于A、B两点，求△PAB的面积S△PAB．
15．（2024秋 诸暨市期末）已知椭圆1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），为椭圆上一点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l（不经过B点）交C于P，Q两点，且直线BP和直线BQ的斜率之和为0．
①证明：直线l的斜率为定值，并求出这个定值；
②若，求△PBQ的面积．
16．（2025 丰城市校级开学）已知椭圆过点，短轴长为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点H（m，0），若椭圆C上的点到H的距离的最小值是，求正实数m的值；
（3）椭圆C与y轴的交点为A、B（点A位于点B的上方），直线l：y＝kx+4与椭圆C交于不同的两点M、N．设直线AN与直线BM相交于点G，求|GA|+|GP|的最小值．
考点五：双曲线的简单几何性质
17．（2025秋 江西月考）已知双曲线的左焦点为F（﹣2，0），离心率为2．
（1）求C的方程；
（2）过点F的直线l与C交于A，B两点，与y轴交于点P，且P是BF的中点，求|AB|．
18．（2025秋 长沙月考）已知双曲线的实轴长为2，且焦点到渐近线的距离为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l过双曲线C的焦点，且与双曲线左、右两支分别交于M，N两点，证明：直线l与圆O：x2+y2＝a2相切的充要条件是|MN|＝3．
19．（2025秋 江西月考）已知双曲线C：的右焦点为F，右顶点为A，O为坐标原点，且|OA|＝|AF|＝1．
（1）求C的方程；
（2）过点F的直线l与C的右支交于M，N两点，记C的左顶点为B，证明：BM⊥BN．
20．（2025春 上城区校级期末）已知双曲线C：的右焦点为F（，0），且C的一条渐近线经过点D（，1）．
（1）求C的标准方程；
（2）是否存在过点P（2，1）的直线l与C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P．若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
考点六：抛物线的简单几何性质
21．（2025 雁塔区校级开学）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F（0，1），过点P（﹣2，2）的直线l与抛物线交于A，B两点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）当点P为弦AB的中点时，求直线AB的方程；
（3）求|AF| |BF|的最小值．
22．（2025 衡水校级开学）已知F是抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点，P（x0，2）为抛物线E上一点，且|PF|＝2．
（1）求抛物线E的方程；
（2）设A，B为抛物线E上的两点（不同于点P），直线AP，BP分别与y轴交于M，N两点，且原点O恰为MN的中点．
（i）证明：直线AB过定点；
（ii）若直线AB的斜率大于0，且△OAB的面积为，求直线AB的方程．
23．（2024秋 浉河区校级期末）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（4，y0）（y0＞0）在抛物线C上，且|PF|＝5．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点Q（1，﹣4）的直线与抛物线C交于A，B两点（均与点P不重合），设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，试问k1k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
24．（2024秋 秦州区校级期末）已知O为坐标原点，抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F到准线的距离为1．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）M，N为抛物线C上的两点，若直线MN与y轴垂直，且△OMN为等腰直角三角形，求△OMN的面积．
第三章圆锥曲线的方程6大考点汇总与跟踪训练-2025-2026学年高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册
参考答案与试题解析
1．（2024秋 邢台期末）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且过点，则C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：由题意得b，a＞b＞0，
又离心率e，
解得a＝2，
所以椭圆C的方程为．
故选：A．
2．（2024秋 石家庄期末）若椭圆的两焦点为（﹣2，0）和（2，0），且椭圆过点，则椭圆方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：由题意知，c＝2，焦点在 x 轴上，∴a2＝b2+4，故可设椭圆的方程为 1，
把点代入椭圆的方程可求得 b2＝6，故椭圆的方程为 1，
故选：D．
3．（2024秋 衡水校级期末）与椭圆有相同焦点，且长轴长为的椭圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：椭圆的焦点坐标为，
则所求椭圆的焦点在x轴上，设其方程为，
可得a2﹣b2＝5．
又所求椭圆的长轴长为，即，得a＝2，
∴a2＝20，则b2＝20﹣5＝15，
∴所求椭圆的方程是．
故选：C．
4．（2025春 分宜县期末）中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点（4，0），（0，2）的椭圆的标准方程是（ ）
A．1 B．1
C．1 D．1
【解答】解：设椭圆方程为Ax2+By2＝1，A＞0．B＞0且A≠B，
（4，0），（0，2）代入可得16A＝1，4B＝1，
∴A，B，
∴椭圆的标准方程是1．
故选：D．
5．（2024秋 济宁期末）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A、B两点，若，，则双曲线C的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：已知双曲线，
则，，其渐近线方程为，
又过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A、B两点，且，，
不妨设，
因为，
所以F2B⊥F1B，
可得，
即，
所以x0＝a，，
又因为，
所以A点是F1B的中点，
可得，
又A点在上，
所以，
解得a2＝4，
则双曲线C的标准方程为．
故选：A．
6．（2024秋 南阳期末）已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点O为坐标原点，过F1的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，平分∠F1BC，F1到渐近线的距离为，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点O为坐标原点，过F1的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，平分∠F1BC，F1到渐近线的距离为，
易知△F1AF2 △F1BC，|F1F2|＝2c，|CF2|＝4c，
设|AF1|＝t，则|BF1|＝3t，|AB|＝2t，
由BF2平分，则，
由双曲线定义知|AF2|﹣|AF1|＝t＝2a，|BF1|﹣|BF2|＝2a，
所以|BF2|＝|AF2|＝|AB|＝4a，即∠ABF2＝60°，
在△F1BF2中，化简得，
由a2+b2＝c2得，F1到渐近线的距离为，则，
所以，故双曲线的方程为：．
故选：D．
7．（2023秋 大通县期末）一条渐近线方程为2x+3y＝0，且经过点的双曲线的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：渐近线方程为2x+3y＝0，
则可设双曲线的方程为4x2﹣9y2＝λ，
双曲线过点，
则，
故所求双曲线的标准方程是：．
故选：A．
8．（2024秋 三门峡期末）已知两点M（﹣4，0），N（4，0），若直线上存在点P，使|PM|﹣|PN|＝6，同时存在点Q，使|QN|﹣|QM|＝6，则称该直线为“两全其美线”，给出下列直线，其中为“两全其美线”的是（ ）
A． B．x＝4 C． D．y＝2x
【解答】解：已知两点M（﹣4，0），N（4，0），
得|MN|＝8＞6，
若直线上存在点P，使|PM|﹣|PN|＝6，同时存在点Q，使|QN|﹣|QM|＝6，
得点P的轨迹是以点M，N为焦点，实轴长为6的双曲线右支，方程为，
由|QN|﹣|QM|＝6，得点Q的轨迹是以点M，N为焦点，实轴长为6的双曲线左支，方程为，
直线PQ为“两全其美线”，当且仅当直线PQ与双曲线的两支相交，
对于A，双曲线的渐近线为，直线与双曲线无公共点，A不是；
对于B，直线x＝4与双曲线左支无公共点，B不是；
对于C，由，知直线过双曲线的中心，
且在两条渐近线所夹含焦点的区域，直线与双曲线两支相交，C是；
对于D，由，知直线y＝2x过双曲线的中心，且在两条渐近线所夹含虚轴的区域，
直线y＝2x与双曲线无公共点，D不是．
故选：C．
二．填空题（共4小题）
9．（2024秋 七里河区校级期末）点M与点F（4，0）的距离比它到直线l：x+5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是 y2＝16x ．
【解答】解：依题意可知：点M与点F（4，0）的距离比它到直线l：x+5＝0的距离小1，
转化为点M与点F（4，0）的距离与它到直线l：x+4＝0的距离相等，
满足抛物线的定义，所以P＝8，点M的轨迹方程是y2＝16x
故答案为：y2＝16x
10．（2024秋 昌吉州期末）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），F为抛物线C的焦点，过点作直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝6，|BF|＝3，则抛物线C的准线方程为 x＝﹣2 ．
【解答】解：由过点作直线交抛物线于A，B两点，
可设直线方程为，
联立，消去x可得y2﹣2pmy+p2＝0，Δ＝4p2m2﹣4p2＞0，
则，①
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由抛物线的焦半径公式可得，
即my1＝6，my2＝3，
代入①可得，
由两式相除解得p＝4，
所以抛物线C的准线方程为．
故答案为：x＝﹣2．
11．（2024春 台江区校级期中）已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P（4，m）到焦点的距离为6．则抛物线C的方程为 y2＝8x ．
【解答】解：由题意可设抛物线方程为y2＝2px．
其准线方程为x，根据定义可得46，解得p＝4，
所以抛物线C的方程为y2＝8x．
故答案为：y2＝8x．
12．（2024秋 虹口区校级期中）如图，已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，MN⊥y轴于点N．若四边形CMNF的面积等于28，则E的方程为 y2＝8x ．
【解答】解：已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，
则，
又直线过F且斜率为1，
则直线AB的方程为，
由题意可得：四边形CMNF为梯形，且FC∥NM，
设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），
则，
所以y1+y2＝2p，
所以y0＝p．
作MK⊥x轴于点K，
则|MK|＝p，
因为直线AB的斜率为1，
所以△FMC为等腰直角三角形，
故|FK|＝|MK|＝|KC|＝p，
所以，|FC|＝2p，
所以四边形CMN的面积为，
解得p＝4，
即抛物线的方程为y2＝8x．
故答案为：y2＝8x．
三．解答题（共12小题）
13．（2025 丰台区开学）已知椭圆．
（1）求E的离心率和短轴长；
（2）设O为原点，直线l：y＝m，动点P在椭圆E上，过点O作OP的垂线交直线l于点Q，点O到直线PQ的距离为1，求m的值．
【解答】解：（1）因为椭圆，
所以，b＝1，，
则椭圆E的离心率，短轴长2b＝2；
（2）设P（x0，y0），Q（t，m），
因为点P在椭圆E上，
所以；
因为OP⊥OQ，
所以x0t+y0m＝0，
即，
，，
，
因为点O到直线PQ的距离为1，
所以PQ×1＝OP OQ，
即，
整理得，
因为，
所以，
又，
所以m2＝2．
解得．
14．（2025春 醴陵市校级期中）设椭圆经过点，其离心率．
（1）求椭圆M的方程；
（2）直线与椭圆M交于A、B两点，求△PAB的面积S△PAB．
【解答】解：（1）由题意得，
解得a2＝4，b2＝2，
所以椭圆M的方程为．
（2）由，
得，
Δ＝8+4×4×3＝56＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，
所以．
因为点到AB的距离为，
所以．
15．（2024秋 诸暨市期末）已知椭圆1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），为椭圆上一点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l（不经过B点）交C于P，Q两点，且直线BP和直线BQ的斜率之和为0．
①证明：直线l的斜率为定值，并求出这个定值；
②若，求△PBQ的面积．
【解答】解：（1）设椭圆C的半焦距为c，
因为椭圆C的右焦点为F（1，0），所以c＝1，因为为椭圆C上一点，
由椭圆定义得，，
所以a＝2，b2＝a2﹣c2＝3，
所以椭圆C的方程为；
（2）①证明：由题意可知直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立方程组，
得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，
Δ＝（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，
则，，①
由题意知，kBP+kBQ＝0，
则有，
即，
化简得，
由①可得，，
化简得（2k﹣1）（2k﹣3+2m）＝0，
当2k﹣3+2m＝0时，，
直线l的方程为，此时直线过点，矛盾，
所以，所以直线l的斜率为定值；
②连接BF，因为F（1，0），，所以BF⊥x轴，
由直线BP和直线BQ的斜率之和为0，可得BF平分∠PBQ，
不妨设x1＜x2，
由已知，解得或舍），
所以直线PB的斜率为，直线PB的方程为，即，
所以点P，B关于原点对称，
所以点，
所以直线l的方程为，即，
由①得，所以x2＝2，
所以点Q（2，0），又，
所以，
所以△PBQ的面积为3．
16．（2025 丰城市校级开学）已知椭圆过点，短轴长为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点H（m，0），若椭圆C上的点到H的距离的最小值是，求正实数m的值；
（3）椭圆C与y轴的交点为A、B（点A位于点B的上方），直线l：y＝kx+4与椭圆C交于不同的两点M、N．设直线AN与直线BM相交于点G，求|GA|+|GP|的最小值．
【解答】解：（1）因为椭圆C过点，短轴长为4，
所以，
解得，
则椭圆C的方程为；
（2）设椭圆上任一点为Q（x0，y0），
此时，
则点Q到H的距离为，
因为m＞0，
所以当时，，
解得m＝1，
当时，，
解得，
综上所述，m＝1或；
（3）设N（x1，y1）、M（x2，y2）（y1≠±2，y2≠±2），
联立，消去y并整理得（1+2k2）x2+16kx+24＝0，
此时Δ＞0，
解得，
由韦达定理得，
所以，
因为点N（x1，y1）在椭圆上，
所以，
所以，
即，
易知A（0，2）、B（0，﹣2），
所以，直线AN的方程为，
直线BM的方程为，
两式作商得
，
解得y＝1，
则G在定直线y＝1上，
由图可知，点A、P都在直线y＝1的上方，点A关于直线y＝1的对称点为原点O，
由对称性知|GA|＝|GO|，
所以，
当且仅当G为线段OP与直线y＝1的交点时，即点G的坐标为时等号成立．
故|GA|+|GP|的最小值为．
17．（2025秋 江西月考）已知双曲线的左焦点为F（﹣2，0），离心率为2．
（1）求C的方程；
（2）过点F的直线l与C交于A，B两点，与y轴交于点P，且P是BF的中点，求|AB|．
【解答】解：（1）由已知可得，所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2﹣a2＝4﹣1＝3，
所以C的方程为．
（2）因为P是BF中点，所以点B的横坐标为2，所以B（2，±3），
所以直线l的斜率，方程为l：y＝±（x+2），
由，得39x2﹣36x﹣84＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，
所以|AB|．
18．（2025秋 长沙月考）已知双曲线的实轴长为2，且焦点到渐近线的距离为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l过双曲线C的焦点，且与双曲线左、右两支分别交于M，N两点，证明：直线l与圆O：x2+y2＝a2相切的充要条件是|MN|＝3．
【解答】解：（1）该双曲线的渐近线为，即bx±ay＝0，设焦点为（±c，0），
可得方程组解得
那么双曲线C为．
（2）证明：根据双曲线的对称性，可设直线l为y＝k（x+2），且．
联立双曲线方程可得化简得（3﹣k2）x2﹣4k2x﹣4k2﹣3＝0，
那么根据韦达定理可得，，
从而．
必要性：由|MN|＝3，即，解得，
则直线l的方程为，即．
所以圆心O（0，0）到直线l的距离，则直线l与圆O相切．
充分性：由直线l与圆相切，可得圆心O（0，0）到直线l的距离，则，
故．
所以直线l与圆O：x2+y2＝a2相切的充要条件是|MN|＝3．
19．（2025秋 江西月考）已知双曲线C：的右焦点为F，右顶点为A，O为坐标原点，且|OA|＝|AF|＝1．
（1）求C的方程；
（2）过点F的直线l与C的右支交于M，N两点，记C的左顶点为B，证明：BM⊥BN．
【解答】解：（1）由|OA|＝|AF|，可得a＝c﹣a＝1，即c＝2a＝2，
则b2＝c2﹣a2＝3，
所以C的方程为．
（2）证明：如图：
方法1：由题意知，l的斜率不为0，
可设l的方程为x＝ty+2，M（x1，y1），N（x2，y2）．
由x＝ty+2，x2﹣y23＝1，可得（3t2﹣1）y2+12ty+9＝0，
则3t2﹣1≠0，，．
由题意知B（﹣1，0），则，，
（x1+1）（x2+1）+y1y2＝（ty1+3）（ty2+3）+y1y2
，
所以BM⊥BN．
方法2：若l的斜率不存在，可得M（2，3），N（2，﹣3）．由题意知B（﹣1，0），
则（3，3），（3，﹣3），，则BM⊥BN．
若l的斜率存在，可设l的方程为y＝k（x﹣2），M（x1，y1），N（x2，y2）．
由可得（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣3＝0，
则3﹣k2≠0，，．
，
则 （x1+1）（x2+1）+y1y2＝（x1+1）（x2+1）+k2（x1﹣2）（x2﹣2）
，
所以BM⊥BN．
20．（2025春 上城区校级期末）已知双曲线C：的右焦点为F（，0），且C的一条渐近线经过点D（，1）．
（1）求C的标准方程；
（2）是否存在过点P（2，1）的直线l与C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P．若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）已知双曲线C的右焦点为，
所以a2+b2＝6，①
又双曲线C的一条渐近线经过点，
所以，
整理得a2＝2b2，②
联立①②，解得a2＝4，b2＝2，
所以C的标准方程为；
（2）假设存在符合条件的直线l，
此时直线l的斜率存在，
不妨设直线l的斜率为k，A（x1，y1），B（x2，y2），
此时，，
两式相减得，
因为x1≠x2，x1≠﹣x2，
所以，
又线段AB的中点为P（2，1），
所以x1+x2＝4，y1+y2＝2，
此时，
解得k＝1，
则直线l的方程为y﹣1＝x﹣2，
即y＝x﹣1，
联立，消去y并整理得x2﹣4x+6＝0，
因为Δ＝（﹣4）2﹣4×1×6＜0，
所以方程没有实根，
则假设不成立，
故不存在过点P（2，1）的直线l与C交于A，B两点，使得线段AB的中点为P．
21．（2025 雁塔区校级开学）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F（0，1），过点P（﹣2，2）的直线l与抛物线交于A，B两点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）当点P为弦AB的中点时，求直线AB的方程；
（3）求|AF| |BF|的最小值．
【解答】解：（1）因为抛物线x2＝2py的焦点为F（0，1），所以，即p＝2．
所以抛物线C的方程为x2＝4y．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），显然直线l斜率存在．
设l的方程为y＝k（x+2）+2，联立方程，消去y，整理得x2﹣4kx﹣8k﹣8＝0，
因为点P（﹣2，2）是AB的中点，由x1+x2＝4k＝﹣4，解得k＝﹣1．
所以直线AB的方程为y＝﹣（x+2）+2．即x+y＝0．
（3）由抛物线定义可知|AF|＝y1+1，|BF|＝y2+1．
所以|AF| |BF|＝（y1+1）（y2+1）＝y1y2+（y1+y2）+1，
由（2）知x1+x2＝4k，x1 x2＝﹣8（k+1），
所以y1y24（k+1）2，y1+y2＝k（x1+x2+4）+4＝4k2+4k+4，
所以|AF| |BF|＝4（k+1）2+（42+4k+4）+1＝8k2+12k+9＝8（k+2）2+2，
所以当时，|AF| |BF|取得最小值为．
22．（2025 衡水校级开学）已知F是抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点，P（x0，2）为抛物线E上一点，且|PF|＝2．
（1）求抛物线E的方程；
（2）设A，B为抛物线E上的两点（不同于点P），直线AP，BP分别与y轴交于M，N两点，且原点O恰为MN的中点．
（i）证明：直线AB过定点；
（ii）若直线AB的斜率大于0，且△OAB的面积为，求直线AB的方程．
【解答】解：（1）因为抛物线的焦点为，准线方程为，
且P（x0，2）在抛物线E上，|PF|＝2，根据抛物线定义有，，
又因为P在抛物线上，因此22＝2px0，因此，
消去x0，可得，因此（p﹣2）2＝0，解得p＝2，
因此抛物线E的方程为y2＝4x；
（2）（i）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），
直线AB方程为x＝my+n，联立，得y2﹣4my﹣4n＝0，因此y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4n，
直线AP：，
令x＝0，得M纵坐标；同理N纵坐标，
因O是MN中点，yM+yN＝0，因此，
化简得y1y2+y1+y2＝0，将y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4n代入，得n＝m，
直线AB方程为x＝m（y+1），当y＝﹣1时，x＝0，故直线AB过定点（0，﹣1）；
（ii）设直线AB：y＝kx﹣1（k＞0），联立，得k2x2﹣（2k+4）x+1＝0，
，，
弦长，
根据点到直线的距离公式可知，点O到直线AB距离为，
由可得，，因此，化简得2k4﹣k﹣1＝0，
因式分解得（k﹣1）（2k3+2k2+2k+1）＝0，因k＞0，得k＝1，
因此直线AB方程为x﹣y﹣1＝0．
23．（2024秋 浉河区校级期末）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（4，y0）（y0＞0）在抛物线C上，且|PF|＝5．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点Q（1，﹣4）的直线与抛物线C交于A，B两点（均与点P不重合），设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，试问k1k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）根据抛物线定义可知，
因此，所以p＝2，
因此C的方程为y2＝4x；
（2）是定值，理由如下，
根据p（4，y0）（y0＞0）在抛物线上，所以y0＝4，所以点P（4，4），
显然过Q（1，﹣4）的直线斜率不为0，
因此设直线AB方程为x＝m（y+4）+1，B（x2，y2），A（x1，y1），
由，得y2﹣4my﹣16m﹣4＝0，
根的判别式Δ＝16m2﹣4（﹣16m﹣4）＝16（m2+4m+1）＞0，所以或，
根据韦达定理可得y1y2＝﹣16m﹣4，y1+y2＝4m，
所以，
＝16m2+8m+1，
又因为，，
因此
，
所以k1k2为定值．
24．（2024秋 秦州区校级期末）已知O为坐标原点，抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F到准线的距离为1．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）M，N为抛物线C上的两点，若直线MN与y轴垂直，且△OMN为等腰直角三角形，求△OMN的面积．
【解答】解：（1）由题意得 p＝1，
∴抛物线C的标准方程为x2＝2y；
（2）不妨设M（m，n）（m＞0，n＞0），
由已知结合对称性可得N（﹣m，n），
又△OMN为等腰直角三角形，
∴，解得m＝n＝2．
∴△OMN的面积为S2m×n＝mn＝4．
6大考点汇总
考点一：椭圆及其标准方程
考点二：双曲线及其标准方程
考点三：抛物线及其标准方程
考点四：椭圆的简单几何性质
考点五：双曲线的简单几何性质
考点六：抛物线的简单几何性质
跟踪训练
考点一：椭圆及其标准方程
1．（2024秋 邢台期末）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且过点，则C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024秋 石家庄期末）若椭圆的两焦点为（﹣2，0）和（2，0），且椭圆过点，则椭圆方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024秋 衡水校级期末）与椭圆有相同焦点，且长轴长为的椭圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025春 分宜县期末）中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点（4，0），（0，2）的椭圆的标准方程是（ ）
A．1 B．1
C．1 D．1
考点二：双曲线及其标准方程
5．（2024秋 济宁期末）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A、B两点，若，，则双曲线C的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024秋 南阳期末）已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点O为坐标原点，过F1的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，平分∠F1BC，F1到渐近线的距离为，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023秋 大通县期末）一条渐近线方程为2x+3y＝0，且经过点的双曲线的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024秋 三门峡期末）已知两点M（﹣4，0），N（4，0），若直线上存在点P，使|PM|﹣|PN|＝6，同时存在点Q，使|QN|﹣|QM|＝6，则称该直线为“两全其美线”，给出下列直线，其中为“两全其美线”的是（ ）
A． B．x＝4 C． D．y＝2x
考点三：抛物线及其标准方程
9．（2024秋 七里河区校级期末）点M与点F（4，0）的距离比它到直线l：x+5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是 ．
10．（2024秋 昌吉州期末）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），F为抛物线C的焦点，过点作直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝6，|BF|＝3，则抛物线C的准线方程为 ．
11．（2024春 台江区校级期中）已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P（4，m）到焦点的距离为6．则抛物线C的方程为 ．
12．（2024秋 虹口区校级期中）如图，已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，MN⊥y轴于点N．若四边形CMNF的面积等于28，则E的方程为 ．
考点四：椭圆的简单几何性质
13．（2025 丰台区开学）已知椭圆．
（1）求E的离心率和短轴长；
（2）设O为原点，直线l：y＝m，动点P在椭圆E上，过点O作OP的垂线交直线l于点Q，点O到直线PQ的距离为1，求m的值．
14．（2025春 醴陵市校级期中）设椭圆经过点，其离心率．
（1）求椭圆M的方程；
（2）直线与椭圆M交于A、B两点，求△PAB的面积S△PAB．
15．（2024秋 诸暨市期末）已知椭圆1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），为椭圆上一点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l（不经过B点）交C于P，Q两点，且直线BP和直线BQ的斜率之和为0．
①证明：直线l的斜率为定值，并求出这个定值；
②若，求△PBQ的面积．
16．（2025 丰城市校级开学）已知椭圆过点，短轴长为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点H（m，0），若椭圆C上的点到H的距离的最小值是，求正实数m的值；
（3）椭圆C与y轴的交点为A、B（点A位于点B的上方），直线l：y＝kx+4与椭圆C交于不同的两点M、N．设直线AN与直线BM相交于点G，求|GA|+|GP|的最小值．
考点五：双曲线的简单几何性质
17．（2025秋 江西月考）已知双曲线的左焦点为F（﹣2，0），离心率为2．
（1）求C的方程；
（2）过点F的直线l与C交于A，B两点，与y轴交于点P，且P是BF的中点，求|AB|．
18．（2025秋 长沙月考）已知双曲线的实轴长为2，且焦点到渐近线的距离为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l过双曲线C的焦点，且与双曲线左、右两支分别交于M，N两点，证明：直线l与圆O：x2+y2＝a2相切的充要条件是|MN|＝3．
19．（2025秋 江西月考）已知双曲线C：的右焦点为F，右顶点为A，O为坐标原点，且|OA|＝|AF|＝1．
（1）求C的方程；
（2）过点F的直线l与C的右支交于M，N两点，记C的左顶点为B，证明：BM⊥BN．
20．（2025春 上城区校级期末）已知双曲线C：的右焦点为F（，0），且C的一条渐近线经过点D（，1）．
（1）求C的标准方程；
（2）是否存在过点P（2，1）的直线l与C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P．若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
考点六：抛物线的简单几何性质
21．（2025 雁塔区校级开学）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F（0，1），过点P（﹣2，2）的直线l与抛物线交于A，B两点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）当点P为弦AB的中点时，求直线AB的方程；
（3）求|AF| |BF|的最小值．
22．（2025 衡水校级开学）已知F是抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点，P（x0，2）为抛物线E上一点，且|PF|＝2．
（1）求抛物线E的方程；
（2）设A，B为抛物线E上的两点（不同于点P），直线AP，BP分别与y轴交于M，N两点，且原点O恰为MN的中点．
（i）证明：直线AB过定点；
（ii）若直线AB的斜率大于0，且△OAB的面积为，求直线AB的方程．
23．（2024秋 浉河区校级期末）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（4，y0）（y0＞0）在抛物线C上，且|PF|＝5．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点Q（1，﹣4）的直线与抛物线C交于A，B两点（均与点P不重合），设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，试问k1k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
24．（2024秋 秦州区校级期末）已知O为坐标原点，抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F到准线的距离为1．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）M，N为抛物线C上的两点，若直线MN与y轴垂直，且△OMN为等腰直角三角形，求△OMN的面积．
第三章圆锥曲线的方程6大考点汇总与跟踪训练-2025-2026学年高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册
参考答案与试题解析
1．（2024秋 邢台期末）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且过点，则C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：由题意得b，a＞b＞0，
又离心率e，
解得a＝2，
所以椭圆C的方程为．
故选：A．
2．（2024秋 石家庄期末）若椭圆的两焦点为（﹣2，0）和（2，0），且椭圆过点，则椭圆方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：由题意知，c＝2，焦点在 x 轴上，∴a2＝b2+4，故可设椭圆的方程为 1，
把点代入椭圆的方程可求得 b2＝6，故椭圆的方程为 1，
故选：D．
3．（2024秋 衡水校级期末）与椭圆有相同焦点，且长轴长为的椭圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：椭圆的焦点坐标为，
则所求椭圆的焦点在x轴上，设其方程为，
可得a2﹣b2＝5．
又所求椭圆的长轴长为，即，得a＝2，
∴a2＝20，则b2＝20﹣5＝15，
∴所求椭圆的方程是．
故选：C．
4．（2025春 分宜县期末）中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点（4，0），（0，2）的椭圆的标准方程是（ ）
A．1 B．1
C．1 D．1
【解答】解：设椭圆方程为Ax2+By2＝1，A＞0．B＞0且A≠B，
（4，0），（0，2）代入可得16A＝1，4B＝1，
∴A，B，
∴椭圆的标准方程是1．
故选：D．
5．（2024秋 济宁期末）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A、B两点，若，，则双曲线C的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：已知双曲线，
则，，其渐近线方程为，
又过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A、B两点，且，，
不妨设，
因为，
所以F2B⊥F1B，
可得，
即，
所以x0＝a，，
又因为，
所以A点是F1B的中点，
可得，
又A点在上，
所以，
解得a2＝4，
则双曲线C的标准方程为．
故选：A．
6．（2024秋 南阳期末）已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点O为坐标原点，过F1的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，平分∠F1BC，F1到渐近线的距离为，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点O为坐标原点，过F1的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，平分∠F1BC，F1到渐近线的距离为，
易知△F1AF2 △F1BC，|F1F2|＝2c，|CF2|＝4c，
设|AF1|＝t，则|BF1|＝3t，|AB|＝2t，
由BF2平分，则，
由双曲线定义知|AF2|﹣|AF1|＝t＝2a，|BF1|﹣|BF2|＝2a，
所以|BF2|＝|AF2|＝|AB|＝4a，即∠ABF2＝60°，
在△F1BF2中，化简得，
由a2+b2＝c2得，F1到渐近线的距离为，则，
所以，故双曲线的方程为：．
故选：D．
7．（2023秋 大通县期末）一条渐近线方程为2x+3y＝0，且经过点的双曲线的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：渐近线方程为2x+3y＝0，
则可设双曲线的方程为4x2﹣9y2＝λ，
双曲线过点，
则，
故所求双曲线的标准方程是：．
故选：A．
8．（2024秋 三门峡期末）已知两点M（﹣4，0），N（4，0），若直线上存在点P，使|PM|﹣|PN|＝6，同时存在点Q，使|QN|﹣|QM|＝6，则称该直线为“两全其美线”，给出下列直线，其中为“两全其美线”的是（ ）
A． B．x＝4 C． D．y＝2x
【解答】解：已知两点M（﹣4，0），N（4，0），
得|MN|＝8＞6，
若直线上存在点P，使|PM|﹣|PN|＝6，同时存在点Q，使|QN|﹣|QM|＝6，
得点P的轨迹是以点M，N为焦点，实轴长为6的双曲线右支，方程为，
由|QN|﹣|QM|＝6，得点Q的轨迹是以点M，N为焦点，实轴长为6的双曲线左支，方程为，
直线PQ为“两全其美线”，当且仅当直线PQ与双曲线的两支相交，
对于A，双曲线的渐近线为，直线与双曲线无公共点，A不是；
对于B，直线x＝4与双曲线左支无公共点，B不是；
对于C，由，知直线过双曲线的中心，
且在两条渐近线所夹含焦点的区域，直线与双曲线两支相交，C是；
对于D，由，知直线y＝2x过双曲线的中心，且在两条渐近线所夹含虚轴的区域，
直线y＝2x与双曲线无公共点，D不是．
故选：C．
二．填空题（共4小题）
9．（2024秋 七里河区校级期末）点M与点F（4，0）的距离比它到直线l：x+5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是 y2＝16x ．
【解答】解：依题意可知：点M与点F（4，0）的距离比它到直线l：x+5＝0的距离小1，
转化为点M与点F（4，0）的距离与它到直线l：x+4＝0的距离相等，
满足抛物线的定义，所以P＝8，点M的轨迹方程是y2＝16x
故答案为：y2＝16x
10．（2024秋 昌吉州期末）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），F为抛物线C的焦点，过点作直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝6，|BF|＝3，则抛物线C的准线方程为 x＝﹣2 ．
【解答】解：由过点作直线交抛物线于A，B两点，
可设直线方程为，
联立，消去x可得y2﹣2pmy+p2＝0，Δ＝4p2m2﹣4p2＞0，
则，①
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由抛物线的焦半径公式可得，
即my1＝6，my2＝3，
代入①可得，
由两式相除解得p＝4，
所以抛物线C的准线方程为．
故答案为：x＝﹣2．
11．（2024春 台江区校级期中）已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P（4，m）到焦点的距离为6．则抛物线C的方程为 y2＝8x ．
【解答】解：由题意可设抛物线方程为y2＝2px．
其准线方程为x，根据定义可得46，解得p＝4，
所以抛物线C的方程为y2＝8x．
故答案为：y2＝8x．
12．（2024秋 虹口区校级期中）如图，已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，MN⊥y轴于点N．若四边形CMNF的面积等于28，则E的方程为 y2＝8x ．
【解答】解：已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，
则，
又直线过F且斜率为1，
则直线AB的方程为，
由题意可得：四边形CMNF为梯形，且FC∥NM，
设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），
则，
所以y1+y2＝2p，
所以y0＝p．
作MK⊥x轴于点K，
则|MK|＝p，
因为直线AB的斜率为1，
所以△FMC为等腰直角三角形，
故|FK|＝|MK|＝|KC|＝p，
所以，|FC|＝2p，
所以四边形CMN的面积为，
解得p＝4，
即抛物线的方程为y2＝8x．
故答案为：y2＝8x．
三．解答题（共12小题）
13．（2025 丰台区开学）已知椭圆．
（1）求E的离心率和短轴长；
（2）设O为原点，直线l：y＝m，动点P在椭圆E上，过点O作OP的垂线交直线l于点Q，点O到直线PQ的距离为1，求m的值．
【解答】解：（1）因为椭圆，
所以，b＝1，，
则椭圆E的离心率，短轴长2b＝2；
（2）设P（x0，y0），Q（t，m），
因为点P在椭圆E上，
所以；
因为OP⊥OQ，
所以x0t+y0m＝0，
即，
，，
，
因为点O到直线PQ的距离为1，
所以PQ×1＝OP OQ，
即，
整理得，
因为，
所以，
又，
所以m2＝2．
解得．
14．（2025春 醴陵市校级期中）设椭圆经过点，其离心率．
（1）求椭圆M的方程；
（2）直线与椭圆M交于A、B两点，求△PAB的面积S△PAB．
【解答】解：（1）由题意得，
解得a2＝4，b2＝2，
所以椭圆M的方程为．
（2）由，
得，
Δ＝8+4×4×3＝56＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，
所以．
因为点到AB的距离为，
所以．
15．（2024秋 诸暨市期末）已知椭圆1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），为椭圆上一点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l（不经过B点）交C于P，Q两点，且直线BP和直线BQ的斜率之和为0．
①证明：直线l的斜率为定值，并求出这个定值；
②若，求△PBQ的面积．
【解答】解：（1）设椭圆C的半焦距为c，
因为椭圆C的右焦点为F（1，0），所以c＝1，因为为椭圆C上一点，
由椭圆定义得，，
所以a＝2，b2＝a2﹣c2＝3，
所以椭圆C的方程为；
（2）①证明：由题意可知直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立方程组，
得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，
Δ＝（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，
则，，①
由题意知，kBP+kBQ＝0，
则有，
即，
化简得，
由①可得，，
化简得（2k﹣1）（2k﹣3+2m）＝0，
当2k﹣3+2m＝0时，，
直线l的方程为，此时直线过点，矛盾，
所以，所以直线l的斜率为定值；
②连接BF，因为F（1，0），，所以BF⊥x轴，
由直线BP和直线BQ的斜率之和为0，可得BF平分∠PBQ，
不妨设x1＜x2，
由已知，解得或舍），
所以直线PB的斜率为，直线PB的方程为，即，
所以点P，B关于原点对称，
所以点，
所以直线l的方程为，即，
由①得，所以x2＝2，
所以点Q（2，0），又，
所以，
所以△PBQ的面积为3．
16．（2025 丰城市校级开学）已知椭圆过点，短轴长为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点H（m，0），若椭圆C上的点到H的距离的最小值是，求正实数m的值；
（3）椭圆C与y轴的交点为A、B（点A位于点B的上方），直线l：y＝kx+4与椭圆C交于不同的两点M、N．设直线AN与直线BM相交于点G，求|GA|+|GP|的最小值．
【解答】解：（1）因为椭圆C过点，短轴长为4，
所以，
解得，
则椭圆C的方程为；
（2）设椭圆上任一点为Q（x0，y0），
此时，
则点Q到H的距离为，
因为m＞0，
所以当时，，
解得m＝1，
当时，，
解得，
综上所述，m＝1或；
（3）设N（x1，y1）、M（x2，y2）（y1≠±2，y2≠±2），
联立，消去y并整理得（1+2k2）x2+16kx+24＝0，
此时Δ＞0，
解得，
由韦达定理得，
所以，
因为点N（x1，y1）在椭圆上，
所以，
所以，
即，
易知A（0，2）、B（0，﹣2），
所以，直线AN的方程为，
直线BM的方程为，
两式作商得
，
解得y＝1，
则G在定直线y＝1上，
由图可知，点A、P都在直线y＝1的上方，点A关于直线y＝1的对称点为原点O，
由对称性知|GA|＝|GO|，
所以，
当且仅当G为线段OP与直线y＝1的交点时，即点G的坐标为时等号成立．
故|GA|+|GP|的最小值为．
17．（2025秋 江西月考）已知双曲线的左焦点为F（﹣2，0），离心率为2．
（1）求C的方程；
（2）过点F的直线l与C交于A，B两点，与y轴交于点P，且P是BF的中点，求|AB|．
【解答】解：（1）由已知可得，所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2﹣a2＝4﹣1＝3，
所以C的方程为．
（2）因为P是BF中点，所以点B的横坐标为2，所以B（2，±3），
所以直线l的斜率，方程为l：y＝±（x+2），
由，得39x2﹣36x﹣84＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，
所以|AB|．
18．（2025秋 长沙月考）已知双曲线的实轴长为2，且焦点到渐近线的距离为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l过双曲线C的焦点，且与双曲线左、右两支分别交于M，N两点，证明：直线l与圆O：x2+y2＝a2相切的充要条件是|MN|＝3．
【解答】解：（1）该双曲线的渐近线为，即bx±ay＝0，设焦点为（±c，0），
可得方程组解得
那么双曲线C为．
（2）证明：根据双曲线的对称性，可设直线l为y＝k（x+2），且．
联立双曲线方程可得化简得（3﹣k2）x2﹣4k2x﹣4k2﹣3＝0，
那么根据韦达定理可得，，
从而．
必要性：由|MN|＝3，即，解得，
则直线l的方程为，即．
所以圆心O（0，0）到直线l的距离，则直线l与圆O相切．
充分性：由直线l与圆相切，可得圆心O（0，0）到直线l的距离，则，
故．
所以直线l与圆O：x2+y2＝a2相切的充要条件是|MN|＝3．
19．（2025秋 江西月考）已知双曲线C：的右焦点为F，右顶点为A，O为坐标原点，且|OA|＝|AF|＝1．
（1）求C的方程；
（2）过点F的直线l与C的右支交于M，N两点，记C的左顶点为B，证明：BM⊥BN．
【解答】解：（1）由|OA|＝|AF|，可得a＝c﹣a＝1，即c＝2a＝2，
则b2＝c2﹣a2＝3，
所以C的方程为．
（2）证明：如图：
方法1：由题意知，l的斜率不为0，
可设l的方程为x＝ty+2，M（x1，y1），N（x2，y2）．
由x＝ty+2，x2﹣y23＝1，可得（3t2﹣1）y2+12ty+9＝0，
则3t2﹣1≠0，，．
由题意知B（﹣1，0），则，，
（x1+1）（x2+1）+y1y2＝（ty1+3）（ty2+3）+y1y2
，
所以BM⊥BN．
方法2：若l的斜率不存在，可得M（2，3），N（2，﹣3）．由题意知B（﹣1，0），
则（3，3），（3，﹣3），，则BM⊥BN．
若l的斜率存在，可设l的方程为y＝k（x﹣2），M（x1，y1），N（x2，y2）．
由可得（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣3＝0，
则3﹣k2≠0，，．
，
则 （x1+1）（x2+1）+y1y2＝（x1+1）（x2+1）+k2（x1﹣2）（x2﹣2）
，
所以BM⊥BN．
20．（2025春 上城区校级期末）已知双曲线C：的右焦点为F（，0），且C的一条渐近线经过点D（，1）．
（1）求C的标准方程；
（2）是否存在过点P（2，1）的直线l与C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P．若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）已知双曲线C的右焦点为，
所以a2+b2＝6，①
又双曲线C的一条渐近线经过点，
所以，
整理得a2＝2b2，②
联立①②，解得a2＝4，b2＝2，
所以C的标准方程为；
（2）假设存在符合条件的直线l，
此时直线l的斜率存在，
不妨设直线l的斜率为k，A（x1，y1），B（x2，y2），
此时，，
两式相减得，
因为x1≠x2，x1≠﹣x2，
所以，
又线段AB的中点为P（2，1），
所以x1+x2＝4，y1+y2＝2，
此时，
解得k＝1，
则直线l的方程为y﹣1＝x﹣2，
即y＝x﹣1，
联立，消去y并整理得x2﹣4x+6＝0，
因为Δ＝（﹣4）2﹣4×1×6＜0，
所以方程没有实根，
则假设不成立，
故不存在过点P（2，1）的直线l与C交于A，B两点，使得线段AB的中点为P．
21．（2025 雁塔区校级开学）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F（0，1），过点P（﹣2，2）的直线l与抛物线交于A，B两点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）当点P为弦AB的中点时，求直线AB的方程；
（3）求|AF| |BF|的最小值．
【解答】解：（1）因为抛物线x2＝2py的焦点为F（0，1），所以，即p＝2．
所以抛物线C的方程为x2＝4y．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），显然直线l斜率存在．
设l的方程为y＝k（x+2）+2，联立方程，消去y，整理得x2﹣4kx﹣8k﹣8＝0，
因为点P（﹣2，2）是AB的中点，由x1+x2＝4k＝﹣4，解得k＝﹣1．
所以直线AB的方程为y＝﹣（x+2）+2．即x+y＝0．
（3）由抛物线定义可知|AF|＝y1+1，|BF|＝y2+1．
所以|AF| |BF|＝（y1+1）（y2+1）＝y1y2+（y1+y2）+1，
由（2）知x1+x2＝4k，x1 x2＝﹣8（k+1），
所以y1y24（k+1）2，y1+y2＝k（x1+x2+4）+4＝4k2+4k+4，
所以|AF| |BF|＝4（k+1）2+（42+4k+4）+1＝8k2+12k+9＝8（k+2）2+2，
所以当时，|AF| |BF|取得最小值为．
22．（2025 衡水校级开学）已知F是抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点，P（x0，2）为抛物线E上一点，且|PF|＝2．
（1）求抛物线E的方程；
（2）设A，B为抛物线E上的两点（不同于点P），直线AP，BP分别与y轴交于M，N两点，且原点O恰为MN的中点．
（i）证明：直线AB过定点；
（ii）若直线AB的斜率大于0，且△OAB的面积为，求直线AB的方程．
【解答】解：（1）因为抛物线的焦点为，准线方程为，
且P（x0，2）在抛物线E上，|PF|＝2，根据抛物线定义有，，
又因为P在抛物线上，因此22＝2px0，因此，
消去x0，可得，因此（p﹣2）2＝0，解得p＝2，
因此抛物线E的方程为y2＝4x；
（2）（i）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），
直线AB方程为x＝my+n，联立，得y2﹣4my﹣4n＝0，因此y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4n，
直线AP：，
令x＝0，得M纵坐标；同理N纵坐标，
因O是MN中点，yM+yN＝0，因此，
化简得y1y2+y1+y2＝0，将y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4n代入，得n＝m，
直线AB方程为x＝m（y+1），当y＝﹣1时，x＝0，故直线AB过定点（0，﹣1）；
（ii）设直线AB：y＝kx﹣1（k＞0），联立，得k2x2﹣（2k+4）x+1＝0，
，，
弦长，
根据点到直线的距离公式可知，点O到直线AB距离为，
由可得，，因此，化简得2k4﹣k﹣1＝0，
因式分解得（k﹣1）（2k3+2k2+2k+1）＝0，因k＞0，得k＝1，
因此直线AB方程为x﹣y﹣1＝0．
23．（2024秋 浉河区校级期末）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（4，y0）（y0＞0）在抛物线C上，且|PF|＝5．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点Q（1，﹣4）的直线与抛物线C交于A，B两点（均与点P不重合），设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，试问k1k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）根据抛物线定义可知，
因此，所以p＝2，
因此C的方程为y2＝4x；
（2）是定值，理由如下，
根据p（4，y0）（y0＞0）在抛物线上，所以y0＝4，所以点P（4，4），
显然过Q（1，﹣4）的直线斜率不为0，
因此设直线AB方程为x＝m（y+4）+1，B（x2，y2），A（x1，y1），
由，得y2﹣4my﹣16m﹣4＝0，
根的判别式Δ＝16m2﹣4（﹣16m﹣4）＝16（m2+4m+1）＞0，所以或，
根据韦达定理可得y1y2＝﹣16m﹣4，y1+y2＝4m，
所以，
＝16m2+8m+1，
又因为，，
因此
，
所以k1k2为定值．
24．（2024秋 秦州区校级期末）已知O为坐标原点，抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F到准线的距离为1．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）M，N为抛物线C上的两点，若直线MN与y轴垂直，且△OMN为等腰直角三角形，求△OMN的面积．
【解答】解：（1）由题意得 p＝1，
∴抛物线C的标准方程为x2＝2y；
（2）不妨设M（m，n）（m＞0，n＞0），
由已知结合对称性可得N（﹣m，n），
又△OMN为等腰直角三角形，
∴，解得m＝n＝2．
∴△OMN的面积为S2m×n＝mn＝4．