单元素养测评卷(三)
1.A [解析] 由题意得,a=(cos 45°)i+(sin 45°)j=i+j=(1,1).故选A.
2.C [解析] 由题意得=+=+=+(-)=+.故选C.
3.A [解析] 易知=-=-e1+2e2=-(e1-2e2),因为A,B,D三点共线,所以∥,所以k=2.故选A.
4.C [解析] 由=-2得+2=0,即+=0,即=,则-=-,故=2-=2(2,-1)-(1,2)=(3,-4),||==5,所以与同向的单位向量为=,反向的单位向量为.故选C.
5.A [解析] =m+(m-2)=m(-)+(m-2),则=-+,因为A,B,P是直线l上不同的三点,所以-+=1,解得m=3.故选A.
6. D [解析] 以A为原点,正东方向为x轴正方向,正北方向为y轴正方向,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(-1000cos 30°,1000sin 30°)=(-500,500),C(-2000cos 30°,-2000sin 30°)=(-1000,-1000),∴=(-500,-1500),∴||==1000.故选D.
7.D [解析] 连接AD.因为M,D,N三点共线,所以=λ+(1-λ)=λm+(1-λ)n.因为=,所以=,所以=+=+=+-=+,所以可得+=3.故选D.
8.C [解析] 用m表示以B为起点,终点在直线BA上的一个向量,设为,则-m=.∵||≥||恒成立,即点C与直线BA上的点的连线中CA最短,∴CA⊥AB,∴△ABC是直角三角形.故选C.
9.ABC [解析] 对于A,e1-e2=-(e2-e1),则e1-e2与e2-e1共线,不能作为平面向量的一组基底;对于B,2e1-e2=2,则2e1-e2与e1-e2共线,不能作为平面向量的一组基底;对于C,-2(2e2-3e1)=6e1-4e2,则2e2-3e1与6e1-4e2共线,不能作为平面向量的一组基底;对于D,明显不存在实数λ使e1+e2=λ(e1+3e2),则e1+e2与e1+3e2不共线,可以作为平面向量的一组基底.故选ABC.
10.AD [解析] 对于A,若x=y=,则=+ -=- =,即点P是BC边上的中点,故A正确;对于B,当x=,y=时,=+ -=2(-),即=2,所以点P是边BC上靠近点C的三等分点,故B错误;对于C,若点P在BC边的中线上且x+y=,则点P为BC边的中线的中点,不是重心,故C错误;对于D,设=2,=2,则=+,+=1,故点P在直线MN上,点P与点A到BC的距离相等,故△PBC与△ABC的面积相等,故D正确.故选AD.
11.BD [解析] =+=-.因为=(+),所以=+=++,所以=,所以=+++=-.故选BD.
12.或(1,0) [解析] 由点P在直线AB上,且||=2||,可得=2或=-2.当=2时,设P(a,b),则(a+3,b-4)=2(-1-a,2-b),解得a=-,b=,此时点P的坐标为;当=-2时,设P(m,n),则(m+3,n-4)=-2(-1-m,2-n),解得m=1,n=0,此时点P的坐标为(1,0).
13.- [解析] 由题可知,λa+b=k[a+(2λ-1)b],k<0,所以解得λ=1(舍)或λ=-.
14. [解析] 当点P在点O处时,=+,此时λ+μ=1.当点P在线段BO上运动时,=λ+μ,因为P,N,B三点共线,所以λ+μ=1.当点P在线段BC上运动时,=λ+,因为P,B,C三点共线,所以λ+=1,可得λ+μ=λ+(1-λ)=-,易知λ∈[0,1],所以λ+μ∈.当点P在线段OC上运动时,=2λ+,因为P,M,C三点共线,所以2λ+=1,可得λ+μ=λ+(1-2λ)=-2λ,易知λ∈,所以λ+μ∈.综上λ+μ∈.
15.解:(1)∵a-2b=(5,-2),∴|a-2b|==.
(2)∵3a-b=(10,4),a+kb=(3-k,2+2k),且3a-b与a+kb共线,
∴10×(2+2k)-4×(3-k)=0,解得k=-.
16.解:(1)设E(x,y),则=(x+1,y),又=(2,2),且=,
所以解得
所以E.同理可得F,所以=.
(2)证明:因为=(4,-1),=,
所以=,所以∥.
17.解:(1)证明:因为E是边BC上的动点,
所以存在m∈[0,1]使=m=m(-)=m-m,
所以=+=(1-m)+m.
令1-m=λ,则m=1-λ,因为m∈[0,1],所以λ∈[0,1],
所以=λ+(1-λ),λ∈[0,1].
(2)因为E,F分别是边BC,AC的中点,
所以EF=AB,EF∥AB,又=,所以AD=EF,
所以==,所以=,即-=(-),
所以=+=+=×+×=+.
18.解:(1)由向量的线性运算法则,可得=+①,
=++②,
因为M为边BC的中点,所以=-,
由①+②得2=++=+,
所以=+.
(2)设=t(0因为B,D,N三点共线,所以+=1,解得t=,
所以=,所以=4.
(3)设=m,
则=x+y=x(-)+y(+)=(x+ym)+(y-x),
因为=+=+,所以x+ym=,y-x=1,可得x=y-1,y=.
因为0≤m≤,所以1≤y≤,
因为xy=(y-1)y=y2-y=-在y∈上单调递增,
所以xy的取值范围为.
19.解:(1)当λ=时,=,
则=+=+=+(++)=+=+=a+b.
(2)连接AE,AF,AC,
=+=b+×a=a+b,
=+=b+×a=a+b.
设=x,=y ,
因为E,M,G三点共线,F,N,H三点共线,
所以=x+(1-x)=xb+a,
=y+(1-y)=yb+a,
因为∥,所以=,得=2x-y.
因为=λ,所以-=λ(-),
所以=λ+(1-λ)=λb+a,
=-=(y-x)b+a,
因为=μ,
所以即代入=2x-y得
(λ-3)(λ-6)μ2+(3λ-6)μ=0,
因为μ≠0,所以μ==,因为λ∈[0,1],令t=λ-2,则t∈[-2,-1],因为y=t+在[-2,-1]上单调递减,所以y=t+∈[-5,-4],所以μ∈,所以μ的取值范围为.单元素养测评卷(三)
第六章
时间:120分钟 分值:150分
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.[2024·贵州遵义高一期末] 如图,分别取与x轴、y轴的正方向相同的两个单位向量i,j作为一组基底,若|a|=,θ=45°,则向量a的坐标为 ( )
A.(1,1) B.(-1,-1)
C.(,) D.(-,-)
2.[2024·广西柳州高一期末] 在三角形ABC中,若点D满足=2,则= ( )
A.+ B.+
C.+ D.-
3.设{e1,e2}为平面向量的一组基底,已知向量=e1-ke2,=2e1-e2,=3e1-3e2,若A,B,D三点共线,则实数k的值是( )
A.2 B.-3 C.-2 D.3
4.已知O为坐标原点,=-2,若P1(1,2),P2(2,-1),则与共线的单位向量的坐标为( )
A.(3,-4)
B.(3,-4)或(-3,4)
C.或
D.或
5.已知A,B,P是直线l上不同的三点,点O在直线l外,若=m+(m-2)(m∈R),则m=( )
A.3 B.2 C. D.
6.一架飞机从A地向北偏西60°的方向飞行1000 km到达B地,然后向C地飞行.设C地恰好在A地的南偏西60°方向上,并且A,C两地相距2000 km,则飞机从B地到C地的距离为 ( )
A.500 km B.500 km
C.1000 km D.1000 km
7.如图所示,在△ABC中,点D在线段BC上,且满足BD=DC,过点D作直线,分别交直线AB,AC于M,N.若=m,=n,则 ( )
A.m+n=2 B.2m+n=3
C.+=2 D.+=3
8.在△ABC中,若对任意m∈R,|-m|≥||恒成立,则△ABC的形状为 ( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.不确定
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.[2024·广西桂林高一期末] 若{e1,e2}是平面内的一组基底,则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是( )
A.e1-e2,e2-e1 B.2e1-e2,e1-e2
C.2e2-3e1,6e1-4e2 D.e1+e2,e1+3e2
10.已知点P是△ABC所在平面内一点,且=x+y,则下列说法正确的是 ( )
A.若x=y=,则点P是BC边上的中点
B.若点P是边BC上靠近点B的三等分点,则x=,y=
C.若点P在BC边的中线上且x+y=,则点P是△ABC的重心
D.若x+y=2,则△PBC与△ABC的面积相等
11.如图所示,在△ABC中,点D在边BC上,且CD=2DB,点E在AD上,且AD=3AE,则 ( )
A.=+ B.=-
C.=+ D.=-
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知A(-3,4)与B(-1,2),点P在直线AB上,且||=2||,则点P的坐标为 .
13.已知向量a,b不共线,且向量λa+b与a+(2λ-1)b的方向相反,则实数λ的值为 .
14.在△ABC中,点M是AB的中点,=,CM与BN交于点O,动点P在△BOC的边上运动,且=λ+μ,其中λ,μ∈R,则λ+μ的取值范围是 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知向量a=(3,2),b=(-1,2).
(1)求|a-2b|的值;
(2)若3a-b与a+kb共线,求实数k的值.
16.(15分)已知A(-1,0),B(3,-1),C(1,2),且=,=.
(1)求点E,F及向量的坐标;
(2)求证:∥.
17.(15分)[2023·安徽蚌埠固镇二中高一月考] 如图,在△ABC中,D,E,F分别是边AB,BC,AC上的动点,O为AE与DF的交点.
(1)证明:=λ+(1-λ),λ∈[0,1];
(2)当=,E,F分别是边BC,AC的中点时,用,表示.
18.(17分)[2024·辽宁葫芦岛高一期末] 如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AB=2BC=2CD=2DA,M为边BC的中点,AM与BD交于点N,点P为边CD上的一个动点.
(1)用和表示;
(2)求;
(3)设=x+y,求xy的取值范围.
19.(17分)如图,在梯形ABCD中,=2,E,F是DC的两个三等分点,G,H是AB的两个三等分点,线段BC上一动点P满足=λ(0≤λ≤1).AP分别交EG,FH于M,N两点,记=a,=b.
(1)当λ=时,用a,b表示;
(2)若=μ,求μ的取值范围.
