第一章《集合与常用逻辑用语》章末综合质量检测
参考答案
选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C D C B D A B C BC AD ABD
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
已知集合，，那么（ ）
A. B. C. D.
【解析】C ，，因此，.
命题“，使得”的否定形式是（ ）
A. ，使得 B. ，使得
C. ，使得 D. ，使得
【解析】D 由题意可知，存在量词命题“，使得”的否定形式为全称量词命题“，使得”．
已知，，若集合，则（ ）
A．0 B．1 C． D．1或-1
【解析】C 因为，，所以，故，
此时集合为，根据集合相等，必有，解得或．
当时，不满足集合元素的互异性，
当时，集合为，符合条件.
所以．
若命题，命题，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】B 由题可知：：，
所以，
所以是的必要不充分条件.
设集合，，若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】D ，，又，
则，解得，故的取值范围是．
已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】A 由“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集，
当时，，解得；
当时，，前两个等号不能同时取得，解得，
综上m的取值范围是.
已知集合，，，则，，之间的关系是（ ）
A. B.
C. D.
【解析】B ，
，
，
.
在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，则下面选项正确的为（ ）
A.
B.
C.
D. 整数属于同一“类”的充分不必要条件是“”
【解析】C 对于A，，A错误；
对于B，，B错误；
对于C，每个整数除以后的余数只有，没有其他余数，
所以，又，
故，C正确；
对于D，若，
则，
若，则，
不妨设，
则，
所以，，
所以除以后余数相同，
所以属于同一“类”
所以整数属于同一“类”的充要条件是“”，D错误.
二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
已知集合，，若，则的取值可以是（ ）
A. B. C. D.
【解析】BC 因为，
所以，又，，
所以或，
解得或或，
当时，，，满足要求，
当时，，，满足要求，
当时，，与元素互异性矛盾.
下面命题正确的是（ ）
A. “”是“”的充分不必要条件
B. 命题“若，则”的是真命题
C. 设，则“且”是“”的必要不充分条件
D. 设，则“”是“”的必要不充分条件
【解析】AD 选项A，由，能推出，但是由，不能推出，例如当时，符合，但是不符合，所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确；
选项B，当时，，故B错误；
对C，由且能推出，充分性成立，故C错误；
对D，且，则由无法得到，但是由可以得到，故D正确.
用表示集合中元素的个数，对于集合、，定义，若，，且，则实数的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【解析】ABD 对，有，
故，则或，
当时，由，
故，则有，即，
此时，符合要求；
当时，则，故，
对于，若，解得，
① 当时，，解得，
此时，符合要求；
② 当时，，解得，
此时，符合要求.
若，则有一根属于，另一根不属于，
当时，有，故不是的根，
当时，有，故不是的根，
故时，不合题意；
综上所述，实数的值可能为或．
第II卷（非选择题92分）
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
已知集合，则__________．
【解析】；经检验满足题意.
已知集合，．若P的充分条件为Q，则实数m的取值范围为 ．
【解析】由已知，P的充分条件为Q，则Q是P的子集，
当时，即时，，满足题意；
当，即时，由题意得，解得，
综上，m的取值范围是．
设集合，，其中、、、、是五个不同的正整数，且，已知，，中所有元素之和是246，请写出所有满足条件的集合A：__________________.
【解析】由题意，得 ，所以 .
由于 中有 9 ，因此 A 中有 3 ，此时集合有共同元素1，
若 ，则 ，于是 ；
此时且 ，无正整数解；
若，集合有共同元素1和9，则，
所以 ，且，而，
所以，
当 时， ；
当 时， ；
因此满足条件的共有2个，分别为.
解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
已知集合，．
（1）当时，求和；
（2）若，求实数a的取值的集合．
【解析】（1）当时，，所以，
,；
（2），，
则，解得：．
故实数取值的集合为.
已知集合，集合.
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围.
【解析】（1）因为，所以，
所以，所以；
（2）由题意，，所以，
集合，所以或，
所以或，
所以或.
故实数m的取值范围为或.
已知集合，且.
（1）若“命题，”是真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【解析】（1）因为，所以
命题是真命题，可知，
因为，，
，,
故的取值范围是.
（2）若是的充分不必要条件,得是的真子集，，
，解得，
故的取值范围是.
（1）已知集合
①若中有且仅有一个元素，求实数的所有取值.
②若中有两个元素，求实数的所有取值.
（2）已知集合，若，求实数的值.
【解析】（1）①若，则，符合题意；
若，且集合A中只有一个元素，
这意味着当且仅当一元二次方程有两个相等的实数根，
从而，解得，
综上，实数的所有取值可能为：；
②中有两个元素，意味着一元二次方程有两个不相等的实数根，
所以，则且
故的取值范围是；
（2）.，
当时，，此时满足，符合题意；
当时，，
若要，则或，解得或；
综上所述，实数的值是.
已知集合为非空数集，定义：.
（1）若集合，直接写出集合，
（2）若集合，且，求证：；
（3）若集合，记为集合中元素的个数，求的最大值.
【解析】（1）由，根据定义：，
所以.
（2）由于集合，且，
所以也只有四个元素，即，
因为，，
所以，，
所以，即.
（3）设，其中，
不妨设，
则，
所以，
因为，
又因为，所以，
中最小的元素为0，最大的元素为，，
所以，
实际上当时满足题意，
证明如下：
设，
则，，
依题意有，解得，
故的最小值为，于是当时，中元素最多，
即时满足题意，
综上所述，集合中元素的个数的最大值为.第一章《集合与常用逻辑用语》章末综合质量检测
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题58分）
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
已知集合，，那么（ ）
A. B. C. D.
命题“，使得”的否定形式是（ ）
A. ，使得 B. ，使得
C. ，使得 D. ，使得
已知，，若集合，则（ ）
A．0 B．1 C． D．1或-1
若命题，命题，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
设集合，，若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
已知集合，，，则，，之间的关系是（ ）
A. B.
C. D.
在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，则下面选项正确的为（ ）
A.
B.
C.
D. 整数属于同一“类”的充分不必要条件是“”
二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
已知集合，，若，则的取值可以是（ ）
A. B. C. D.
下面命题正确的是（ ）
A. “”是“”的充分不必要条件
B. 命题“若，则”的是真命题
C. 设，则“且”是“”的必要不充分条件
D. 设，则“”是“”的必要不充分条件
用表示集合中元素的个数，对于集合、，定义，若，，且，则实数的值可能为（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题92分）
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
已知集合，则__________．
已知集合，．若P的充分条件为Q，则实数m的取值范围为 ．
设集合，，其中、、、、是五个不同的正整数，且，已知，，中所有元素之和是246，请写出所有满足条件的集合A：__________________.
解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
已知集合，．
（1）当时，求和；
（2）若，求实数a的取值的集合．
已知集合，集合.
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围.
已知集合，且.
（1）若“命题，”是真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
（1）已知集合
①若中有且仅有一个元素，求实数的所有取值.
②若中有两个元素，求实数的所有取值.
已知集合，若，求实数的值.
已知集合为非空数集，定义：.
（1）若集合，直接写出集合，
（2）若集合，且，求证：；
（3）若集合，记为集合中元素的个数，求的最大值.
