第一章 空间向量与立体几何 6大考点汇总与跟踪训练（含解析）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第一章空间向量与立体几何6大考点汇总与跟踪训练-2025-2026学年高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册
6大考点汇总
考点一：空间向量及其线性运算
考点二：空间向量的投影向量
考点三：空间向量基本定理
考点四：空间向量及其运算的坐标表示
考点五：用空间向量研究直线、平面的位置关系
考点六：用空间向量研究距离、夹角问题
跟踪训练
考点一：空间向量及其线性运算
1．（2024秋 自贡校级期末）在四面体O﹣ABC中，空间的一点M满足，若M、A、B、C四点共面，则λ＝（　　）
A． B． C． D．
2．（2024秋 安阳期末）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，，，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2024秋 呼和浩特期末）在四面体O﹣ABC中，点M为线段OA靠近A的四等分点，N为BC的中点，若，则x+y+z的值为（　　）
A． B．1 C． D．
4．（2025春 天水校级期中）在三棱锥A﹣BCD中，M为AC的中点，若，则（　　）
A． B．
C． D．
考点二：空间向量的投影向量
5．（2024秋 成都期末）已知空间向量（1，﹣1，2），（1，﹣2，1），则向量在向量上的投影向量是（　　）
A． B．（1，﹣1，1）
C． D．
6．（2024秋 龙马潭区校级期末）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．
7．（2024秋 邛崃市校级期末）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024秋 湖北月考）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（　　）
A．（1，﹣1，1） B．
C． D．
考点三：空间向量基本定理
9．（2024秋 宝山区校级期末）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若，，，则　 　 ．
10．（2025春 浦东新区校级期末）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱C1D1，BB1的中点，记，，，则等于 　 　 （用，，表示）．
11．（2025春 城厢区校级期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，M，N分别是A1C1，BB1的中点，G是MN的中点，若，则x+y+z＝ 　 　 ．
12．（2025春 甘肃期末）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，分别在棱B1B和D1D上，且BE，DF．若，则x+y+z＝　 　 ．
考点四：空间向量及其运算的坐标表示
13．（2025 山东校级开学）已知．
（1）求向量的坐标；
（2）若，求k的值．
14．（2025春 栖霞区校级期中）已知空间向量（2，4，﹣2），（﹣1，0，2），（x，2，﹣1）．
（1）若∥，求；
（2）若⊥，求cos，的值．
15．（2024秋 滨海新区校级月考）（1）已知向量，．
①计算；②求．
（2）已知向量，．
①若∥，求实数k；
②若，求实数k．
16．（2024秋 兴义市校级月考）已知向量，，其中，，．
（1）求；．
（2）求与的夹角θ的余弦值．
考点五：用空间向量研究直线、平面的位置关系
17．（2024秋 渭南校级期末）已知点A（﹣2，0，2）、B（﹣1，1，2）、C（﹣3，0，4），，．
（1）若||＝3，且∥，求；
（2）求cos，；
（3）若k与k2垂直，求k．
18．（2024秋 景德镇期末）已知．
（1）求向量的坐标；
（2）设向量∥，求；
（3）若，求k的值．
19．（2024秋 柳州期末）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．
（Ⅰ）证明：D1E⊥A1D；
（Ⅱ）当E为AB的中点时，求异面直线AC与D1E所成角的余弦值；
（Ⅲ）AE等于何值时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．
20．（2024秋 惠城区校级月考）已知空间中三点A（2，﹣1，1），B（1，1，0），C（4，﹣3，3）．设，．
（1）求；
（2）若与互相垂直，求实数k的值．
考点六：用空间向量研究距离、夹角问题
21．（2025 四川开学）如图，在四棱锥B﹣APCQ中，△ABC与△APC均为等边三角形，平面ABC⊥平面APCQ，点P与点Q在平面ABC的异侧，AQ＝CQ．
（1）证明：PQ⊥平面ABC；
（2）若A，P，C，Q四点共圆，求平面PAB与平面QBC夹角的余弦值．
22．（2025 腾冲市校级开学）在平行六面体ABCD﹣EFGH中，AC＝AE＝4，，AB＝3，AD＝5．
（1）证明：；
（2）当平行六面体ABCD﹣EFGH的体积最大时，求平面CEH与平面ACE的夹角的余弦值．
23．（2026春 上城区校级月考）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别为棱AB，BC上的点，满足BM＝2AM，BN＝CN，且△ABC1与△MNC1的面积之比为3．
（1）证明：AC1∥平面A1MN；
（2）求点A1到平面ABC1与到平面MNC1的距离之比；
（3）若BC＞AB，直线AB，BC，A1B两两相互垂直，求平面ABC1与平面MNC1所成角余弦值的取值范围．
24．（2024秋 永胜县校级期末）已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，A1A⊥平面ABCD，AD⊥AB，其中AB＝AA1＝2，AD＝DC＝1，N是B1C1的中点，M是DD1的中点．
（Ⅰ）求证：D1N∥平面CB1M；
（Ⅱ）求平面CB1M与平面BB1C1C的夹角余弦值；
（Ⅲ）求点B到平面CB1M的距离．
第一章空间向量与立体几何5大考点汇总与跟踪训练-2025-2026学年高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册
1．（2024秋 自贡校级期末）在四面体O﹣ABC中，空间的一点M满足，若M、A、B、C四点共面，则λ＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：在四面体O﹣ABC中，不共面，可以作为向量的基底，
而，
则，整理得：λ，
解得．
故选：D．
2．（2024秋 安阳期末）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，，，则（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由已知得．
故选：C．
3．（2024秋 呼和浩特期末）在四面体O﹣ABC中，点M为线段OA靠近A的四等分点，N为BC的中点，若，则x+y+z的值为（　　）
A． B．1 C． D．
【解答】解：四面体O﹣ABC中，点M为线段OA靠近A的四等分点，N为BC的中点，
，
由
，
则，
所以．
故选：C．
4．（2025春 天水校级期中）在三棱锥A﹣BCD中，M为AC的中点，若，则（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：三棱锥A﹣BCD中，如图所示：
由于M为AC的中点，所以，
由于，所以，整理得，
故．
故选：A．
5．（2024秋 成都期末）已知空间向量（1，﹣1，2），（1，﹣2，1），则向量在向量上的投影向量是（　　）
A． B．（1，﹣1，1）
C． D．
【解答】解：（1，﹣1，2），（1，﹣2，1），
则，，
故向量在向量上的投影向量是．
故选：C．
6．（2024秋 龙马潭区校级期末）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．
【解答】解：已知，，，
则空间向量在向量方向上的投影数量为．
故所求投影向量的模长为2．
故选：A．
7．（2024秋 邛崃市校级期末）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由已知条件得：
所以，，
所以向量在向量上的投影向量为．
故选：C．
8．（2024秋 湖北月考）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（　　）
A．（1，﹣1，1） B．
C． D．
【解答】解：空间向量，
则向量在向量上的投影向量．
故选：C．
9．（2024秋 宝山区校级期末）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若，，，则　　 ．
【解答】解：
．
故答案为：．
10．（2025春 浦东新区校级期末）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱C1D1，BB1的中点，记，，，则等于 　　 （用，，表示）．
【解答】解：根据向量的线性运算，
，，
所以．
故答案为：．
11．（2025春 城厢区校级期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，M，N分别是A1C1，BB1的中点，G是MN的中点，若，则x+y+z＝ 　　 ．
【解答】解：连接AM，AN，如图所示：
M，N分别是A1C1，BB1的中点，G是MN的中点，
则，
，
则x，y，z，
故x+y+z．
故答案为：．
12．（2025春 甘肃期末）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，分别在棱B1B和D1D上，且BE，DF．若，则x+y+z＝　　 ．
【解答】解：平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，BE，DF，
所以
．
由，
所以x＝﹣1，y＝1，z，
x+y+z＝﹣1+1．
故答案为：．
13．（2025 山东校级开学）已知．
（1）求向量的坐标；
（2）若，求k的值．
【解答】解：（1）由题意得，．
（2）由（1）知（2，﹣2，2），，
所以，，
又，则，
即（2k+4，﹣2k﹣1，2k）＝λ（﹣6，0，2），
所以，
则．
14．（2025春 栖霞区校级期中）已知空间向量（2，4，﹣2），（﹣1，0，2），（x，2，﹣1）．
（1）若∥，求；
（2）若⊥，求cos，的值．
【解答】解：（1）空间向量（2，4，﹣2），（x，2，﹣1），（﹣1，0，2）
∵∥，
∴存在实数k，使得，
所以，则x＝1，
则．
（2）∵⊥，则，
∴x＝﹣2，
∴，
故．
15．（2024秋 滨海新区校级月考）（1）已知向量，．
①计算；②求．
（2）已知向量，．
①若∥，求实数k；
②若，求实数k．
【解答】解：（1）①因为向量，
则2（4，﹣2，﹣4）﹣（3，3，﹣12）＝（1，﹣5，8），
所以；
②因为向量，
所以，
则，
又因为，
所以；
（2）因为向量，
则，，
①若，
则，
解得；
②若，
则7（k﹣2）﹣4（5k+3）﹣16（﹣k+5）＝0，
解得．
16．（2024秋 兴义市校级月考）已知向量，，其中，，．
（1）求；．
（2）求与的夹角θ的余弦值．
【解答】解：（1）由题意，
则，
∴，
；
（2），
∴与的夹角θ的余弦值为：
cosθ0．
17．（2024秋 渭南校级期末）已知点A（﹣2，0，2）、B（﹣1，1，2）、C（﹣3，0，4），，．
（1）若||＝3，且∥，求；
（2）求cos，；
（3）若k与k2垂直，求k．
【解答】解：（1）∵B（﹣1，1，2）、C（﹣3，0，4），
∴（﹣2，﹣1，2），
∵||＝3，且∥，
∴设（﹣2λ，﹣λ，2λ），且（﹣2λ）2+（﹣λ）2+（2λ）2＝9，
解得λ＝±1，
∴（﹣2，﹣2，2）或（2，2，﹣2）．
（2）∵A（﹣2，0，2）、B（﹣1，1，2）、C（﹣3，0，4），，．
∴（1，1，0），（﹣1，0，2），
∴cos，．
（3）∵k（k﹣1，k，2），k2（k+2，k，﹣4），
k与k2垂直，
∴（k） （k2）＝（k﹣1）（k+2）+k2﹣8＝0，
解得k或k＝2．
18．（2024秋 景德镇期末）已知．
（1）求向量的坐标；
（2）设向量∥，求；
（3）若，求k的值．
【解答】解：（1）由，得
（2）由（1）得，而量∥，因此，
所以．
（3），
则，
由，得
＝12k﹣20k+10﹣34＝﹣8k﹣24＝0，
所以k＝﹣3．
19．（2024秋 柳州期末）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．
（Ⅰ）证明：D1E⊥A1D；
（Ⅱ）当E为AB的中点时，求异面直线AC与D1E所成角的余弦值；
（Ⅲ）AE等于何值时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．
【解答】解：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设AE＝x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0），C（0，2，0）．…（2分）
（Ⅰ）因为（1，0，1），（1，x，﹣1）
∴ 1+0﹣1＝0，所以D1E⊥A1D；
（Ⅱ）因为E为AB中点，则E（1，1，0），
从而（1，1，﹣1），（﹣1，2，0），
设AC与D1E所成的角为θ
则（9分）
（Ⅲ）设平面D1EC的法向量为（a，b，c），
∵（1，x﹣2，0），（0，2，﹣1），（0，0，1）
由，有，
令b＝1，从而c＝2，a＝2﹣x
∴（2﹣x，1，2），…..（12分）
由题意，cos．
∴x＝2（不合题意，舍去），或x＝2．
∴当AE＝2时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．
20．（2024秋 惠城区校级月考）已知空间中三点A（2，﹣1，1），B（1，1，0），C（4，﹣3，3）．设，．
（1）求；
（2）若与互相垂直，求实数k的值．
【解答】解：（1）∵A（2，﹣1，1），B（1，1，0），C（4，﹣3，3），，，
∴，，
于是，
∴．
（2）∵，
，
又与互相垂直，
∴，
即（﹣2k﹣2）（2k﹣1）+（4k+2）（2﹣2k）+（﹣2k﹣2）（2k﹣1）＝0，
∴，解得．
21．（2025 四川开学）如图，在四棱锥B﹣APCQ中，△ABC与△APC均为等边三角形，平面ABC⊥平面APCQ，点P与点Q在平面ABC的异侧，AQ＝CQ．
（1）证明：PQ⊥平面ABC；
（2）若A，P，C，Q四点共圆，求平面PAB与平面QBC夹角的余弦值．
【解答】（1）证明：因为△APC是等边三角形，所以AP＝CP，
在平面APCQ中，由AQ＝CQ，AP＝CP可知PQ是AC的中垂线，
故PQ⊥AC，
而平面ABC⊥平面APCQ，平面ABC∩平面APCQ＝AC，PQ 平面APCQ，
故PQ⊥平面ABC．
（2）记O为AC的中点，由A，P，C，Q四点共圆可知∠APC+∠AQC＝π，
而，故．
不妨令OQ＝1，易知OP⊥OB，OP⊥OC，OB⊥OC，
故以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，
则，B（3，0，0），，P（0，0，3），Q（0，0，﹣1），
故，，，．
记平面PAB的法向量为，
则，可取，
记平面QBC的法向量为，
则，可取，
记平面PAB与平面QBC的夹角为θ，则．
所以平面PAB与平面QBC夹角的余弦值为．
22．（2025 腾冲市校级开学）在平行六面体ABCD﹣EFGH中，AC＝AE＝4，，AB＝3，AD＝5．
（1）证明：；
（2）当平行六面体ABCD﹣EFGH的体积最大时，求平面CEH与平面ACE的夹角的余弦值．
【解答】（1）证明：在△ACE中，AC＝AE＝4，，所以CE2＝AC2+AE2，即AE⊥AC，
又AE∥GC，所以AC⊥CG，
在△ACD中，AD＝5，AC＝4，CD＝AB＝3，所以AD2＝AC2+CD2，即AC⊥CD，
又CD，CG 平面CDHG，且CD∩CG＝C，
所以AC⊥平面CDHG，
因为CH 平面CDHG，
所以AC⊥CH，即．
（2）解：当平行六面体ABCD﹣EFGH的体积最大时，侧棱AE⊥底面ABCD，
由（1）可知AB⊥AC，
故以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，0，0），C（0，4，0），E（0，0，4），B（3，0，0），D（﹣3，4，0），H（﹣3，4，4），
所以，，，，
易知平面ACE的一个法向量为，
设平面CEH的法向量为，则，即，
可取，
所以cos，，
所以平面CEH与平面ACE的夹角的余弦值为．
23．（2026春 上城区校级月考）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别为棱AB，BC上的点，满足BM＝2AM，BN＝CN，且△ABC1与△MNC1的面积之比为3．
（1）证明：AC1∥平面A1MN；
（2）求点A1到平面ABC1与到平面MNC1的距离之比；
（3）若BC＞AB，直线AB，BC，A1B两两相互垂直，求平面ABC1与平面MNC1所成角余弦值的取值范围．
【解答】解：（1）证明：作平行四边形MACD与平行四边形MAC1D1，连接AD交BC与点P，如下图所示：
显然AM＝CD，△CPD∽△BPA，
所以，即；
又BN＝CN，可知P为NC的中点，即，
所以MN∥AP，
又CD∥AM，C1D1∥AM，CD＝AM，C1D1＝AM；
所以CD∥C1D1，且CD＝C1D1，
所以CDD1C1为平行四边形，所以CC1∥DD1；
又AA1∥CC1，所以AA1∥DD1，
所以MN∥AD∥A1D1，
所以M，N，A1，D1四点共面，
又AC1∥MD1，AC1 平面MNA1D1，MD1 平面MNA1D1；
所以AC1∥平面A1MN；
（2）设点A1到平面ABC1与到平面MNC1的距离分别为d1，d2，
因为AC1∥平面A1MN，
所以，
所以，
又易知，点N到AB的距离为点C到AB的距离的一半，
所以，
所以，
又，，
又，
所以d1＝2d2；
（3）如图，以B为原点，，，为x，y，z轴正方向，建系如图：
设BA＝1，BC＝a＞1，BA1＝b，
则A（﹣1，0，0），C（0，a，0），A1（0，0，b），C1（1，a，b），M（，0，0），N（0，，0），
易知，，，，
设平面ABC1的一个法向量为，
则，取，
设平面MNC1的一个法向量为，
则，取，
则d1，，
由d1＝2d2可知，
即，
解得∈（7，+∞），
设平面ABC1与平面MNC1所成角为θ，
则cosθ∈（，）．
24．（2024秋 永胜县校级期末）已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，A1A⊥平面ABCD，AD⊥AB，其中AB＝AA1＝2，AD＝DC＝1，N是B1C1的中点，M是DD1的中点．
（Ⅰ）求证：D1N∥平面CB1M；
（Ⅱ）求平面CB1M与平面BB1C1C的夹角余弦值；
（Ⅲ）求点B到平面CB1M的距离．
【解答】解：（Ⅰ）证明：取CB1的中点P，连接NP，MP，则NP∥CC1且，
又D1M∥CC1且，所以NP∥D1M且NP＝D1M，
所以四边形D1MPN为平行四边形，得ND1∥PM，
又ND1 平面CB1M，PM 平面CB1M，
所以ND1∥平面CB1M．
（Ⅱ）建立如图空间直角坐标系A﹣xyz，
则A（0，0，0），B（2，0，0），B1（2，0，2），M（0，1，1），C（1，1，0），C1（1，1，2），
有，
设平面CB1M与平面BB1C1C的一个法向量分别为，
则，，
则，
令x1＝x2＝1，得y1＝3，z1＝1，y2＝1，z2＝0，
所以，
则，
即平面CB1M与平面BB1C1C所成角的余弦值为．
（Ⅲ）由，平面CB1M的一个法向量为，
得，
即点B到平面CB1M的距离为．