模块素养测评卷(二)
1.C [解析] 设函数f(x)=x2+ln x-5,易知f(x)=x2+ln x-5在(0,+∞)上为增函数.f(2)=4+ln 2-5=-1+ln 2<0,f(3)=9+ln 3-5=4+ln 3>0,所以f(2)·f(3)<0,则方程x2+ln x-5=0的解所在的区间为(2,3).故选C.
2.C [解析] 由题知选出的3人中最多有2名女生,因此任选3人的情况为1名男生2名女生,2名男生1名女生,3名男生,则与事件M互斥但不对立的是恰有2名男生参加演讲.故选C.
3.C [解析] 作出函数y=x3和y=x5的图象,如图所示.
由图可知,当y<-1时,a
1时,14.A [解析] 因为a=(2,-3),b=(1,2),c=(9,4),所以c=ma+nb=(2m+n,-3m+2n)=(9,4),所以解得所以+=+=.故选A.
5.A [解析] 10×40%=4,故40%分位数为第4个数和第5个数的平均数,不妨设1≤x6.C [解析] 由题知B,E,N三点共线,所以存在λ∈R,使得=λ+(1-λ)=λ+.因为C,E,M三点共线,所以存在μ∈R,使得=μ+(1-μ)=μ+,则解得所以=a+b.故选C.
7.C [解析] 由表中数据可知该企业年产值y(万元)随着新政策实施年数x(年)的增加而增加.由2014年比2013年增加31万元,2023年比2022年增加82万元,可知越往后的年份比上一年增加的产值越多,即y的增长速度越来越快,结合三种函数模型y=kx+b,y=kax(a>0且a≠1),y=klogax+b(a>0且a≠1),可知y=kax(a>0且a≠1)为最符合实际的函数模型,则729=ka10,811=ka11,故a=≈1.11,故预测该企业2026年的年产值约为y=ka14,则y=811×a3≈811×1.113≈1109.45(万元),即预测该企业2026年的年产值约为1109万元.故选C.
8.A [解析] 如图,设AB的中点为M.因为++=0,所以=2(+),所以=4,所以=,所以==5,所以△ABC的面积是△ABD的面积的5倍.故选A.
9.ACD [解析] 对于选项A,由已知条件可知=2,故A正确;
对于选项B,=-,故B错误;
对于选项C,如图,连接AC,因为E是线段CD的中点,
所以=+=(+)+=++=+,故C正确;
对于选项D,设=λ,因为点B,F,D三点共线,所以存在m,使得=m,
=+=+=+(-)=+,
又=λ=λ=λ+λ,
所以消去m得1-λ=λ,解得λ=,
所以=,故D正确.故选ACD.
10.AD [解析] 有三个小孩的家庭的样本空间为Ω={(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男),(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女)},事件A={(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男),(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男)},事件B={(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女)},事件C={(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男)}.对于A,B∩C= ,且B∪C=Ω,则事件B与事件C相互对立,故A正确;对于B,A∩B={(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男)},则事件A与事件B不相互对立,故B错误;对于C,事件B有4个样本点,事件C有4个样本点,事件BC有0个样本点,则P(B)==,P(C)==,P(BC)=0,显然P(B)·P(C)≠P(BC),则事件B与事件C不相互独立,故C错误;对于D,事件A有6个样本点,事件B有4个样本点,事件AB有3个样本点,则P(A)==,P(B)==,P(AB)=,显然P(A)·P(B)=P(AB),则事件A与事件B相互独立,故D正确.故选AD.
11.AC [解析] 由f(x)是单调函数可得解得2≤a≤4,故当a∈[2,4]时,f(x)是单调函数,故A正确,B错误;当a∈[4,8)时,函数f(x)在(-∞,1]和(1,+∞)上单调递减,而f(1)=8-a,
此时0<8-a≤a,则f(x)的值域为(0,+∞),故C正确;当a=9时,f(1)=8-a<0,故f(x)的值域不为(0,+∞),故D错误.故选AC.
12. [解析] 小王在比赛中获胜的情况有小王在前2局都胜,小王在前2局一胜一负且第3局胜,所以小王在比赛中获胜的概率为×+2×××=.
13.2 [解析] 作出f(x)=y=t的图象,如图所示.
由于方程f(x)=t存在三个不同的实数解,所以0由图知0所以log2(x2-1)+log2(x3-1)=log2[(x2-1)(x3-1)]=0,
即(x2-1)(x3-1)=x2x3-(x2+x3)+1=1,则x2x3=x2+x3,
所以T=x1++=x1+=x1+1≤2,
所以T的最大值为2.
14. [解析] 设E,F分别为BC,AB的中点,连接EF,CF,AE,如图,
则EF∥AC,则△BEF∽△BCA,故S△BEF=S△ABC,
则S四边形ACEF=S△ABC,故S△ABC=S四边形ACEF.
因为|+|=1,|+|=2,所以|+|=|2|=1,|+|=|2|=2,
故||=,||=1.
当AE⊥CF时,四边形ACEF的面积最大,最大值为××1=,
故△ABC的面积的最大值为×=.
15.解:(1)∵OA=2BC,∴=,
又M为AB上靠近B的三等分点,∴=,
∴=(-)=(+)-=+-=-,
故=+=+=+.
(2)证明:设=t,t>0.
由(1)知=+,
则=t=t=+.
∵A,D,C三点共线,∴+=1,解得t=,∴=,故=3.
16.解:(1)因为f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(0)=0,解得a=1,则f(x)=.
因为f(-x)====-f(x),所以a=1符合题意.
(2)f(x)===-+,因为函数y=2x+1>0且在R上单调递增,
所以y=在R上单调递减,从而f(x)在R上单调递减.
由f(x2-kx)+f(2-x)>0可得f(x2-kx)>f(x-2).
因为f(x)在R上单调递减,所以x2-kxx+-1(0设函数g(x)=x+-1,则k大于g(x)在(0,3]上的最小值.
易知g(x)在(0,)上单调递减,在(,3]上单调递增,所以g(x)在(0,3]上的最小值为g()=2-1,所以实数k的取值范围为(2-1,+∞).
17.解:(1)可以用方差来度量每一组评委打分的相似性,方差越小,相似程度越高,专业性更强.
==48,
==59,
所以A组数据的方差是
=×[(42-48)2+(45-48)2+(48-48)2+(53-48)2+(52-48)2+(47-48)2+(49-48)2]=,
B组数据的方差是
=×[(48-59)2+(52-59)2+(70-59)2+(66-59)2+(77-59)2+(49-59)2+(51-59)2]=,
因为专业评委给分更符合专业规则,所以相似程度更高,因此A组分数更可能是专业评委打的分数.
(2)记(a,b)为一个样本点.
从A组分数中抽取1个分数,B组分数中抽取1个分数的样本空间中共有49个样本点.
事件M包含的样本点有(48,48),(48,52),(48,70),(48,66),(48,77),(48,49),(48,51),(42,48),(45,48),(53,48),(52,48),(47,48),(49,48),共13个,则P(M)=.
事件N包含的样本点有(48,52),(52,48),(49,51),共3个,所以P(N)=,
事件MN包含的样本点有(48,52),(52,48),共2个,所以P(MN)=,
因为P(M)P(N)≠P(MN),所以事件M与事件N不相互独立.
18.解:(1)因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),
即log2(4-x+1)+mx=log2(4x+1)-mx对任意x∈R恒成立,
所以2mx=log2,则2mx=log24x,所以2mx=2x,故m=1.
(2)由(1)得f(x)=log2(4x+1)-x,x∈R.
函数y=f(x)-x-a有且只有一个零点,即方程log2(4x+1)=2x+a有且只有一个实数根.
由log2(4x+1)=2x+a,得22x+a=4x+1,则2a=,即2a=1+,
因为y=4x>0恒成立,所以1+>1,
又y=1+在R上单调递减,所以2a>1,则a>0,
故实数a的取值范围是(0,+∞).
19.解:由D,P,C三点共线得=λ+(1-λ)=λ+(1-λ)(+)=(1-λ)+,λ∈R.
由M,N,P三点共线得=μ+(1-μ)=
μ[(1-λ)+]+(1-μ)·(+)=
μ[(1-λ)+]+(1-μ)(2+)=
[μ(1-λ)+(1-μ)]+,μ∈R,
由题知==+,
则解得
所以=+.
因为=-=+-(+)=-=,
=k,所以k=.模块素养测评卷(二)
时间:120分钟 分值:150分
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.[2024·重庆青木关中学高一期末] 方程x2+ln x-5=0的解所在区间可以为 ( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
2.某活动小组有3名男生和2名女生,从中任选3人参加演讲.记事件M为“恰有1名男生参加演讲”,则下列事件中与事件M互斥但不对立的是 ( )
A.至少有2名男生参加演讲
B.至多有2名男生参加演讲
C.恰有2名男生参加演讲
D.恰有2名女生参加演讲
3.已知实数a,b满足等式a3=b5,给出下列五个关系式:
①1A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.已知向量a=(2,-3),b=(1,2),c=(9,4),若正实数m,n满足c=ma+nb,则+的值为 ( )
A. B. C. D.
5.一组数据:1,1,3,3,5,5,7,7,x,y,其中x,y为正整数,且x≠y.若该组数据的40%分位数为2.5,则该组数据的众数为 ( )
A.1 B.3 C.5 D.7
6.在△ABC中,点M是AB的中点,点N在AC上,且AN∶NC=1∶2,BN与CM相交于E.设=a,=b,则向量= （ ）
A.a+b B.a+b
C.a+b D.a+b
7.某企业从2013年开始实施新政策后,年产值逐年增加,下表给出了该企业2013年至2023年的年产值(万元).为了描述该企业年产值y(万元)与新政策实施年数x(年)的关系,现有以下三种函数模型:y=kx+b,y=kax(a>0且a≠1),y=klogax+b(a>0且a≠1).选出你认为最符合实际的函数模型,预测该企业2026年的年产值约为 ( )
(附:1.113≈1.368)
年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023
年产值 278 309 344 383 427 475 528 588 655 729 811
A.924万元 B.976万元
C.1109万元 D.1231万元
8.[2024·河南焦作高一期末] 已知△ABC所在平面内一点D满足++=0,则△ABC的面积是△ABD的面积的 ( )
A.5倍 B.4倍
C.3倍 D.2倍
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.[2024·辽宁沈阳高一期末] 如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥AD,AD=2BC,E是线段CD的中点,AE与BD交于F,则( )
A.=2
B.=-
C.=+
D.=
10.[2023·陕西咸阳实验中学高一月考] 某家庭有三个小孩.假定生男孩和生女孩是等可能的,记事件A:该家庭既有男孩又有女孩,事件B:该家庭最多有一个男孩,事件C:该家庭最多有一个女孩.下列说法正确的是 ( )
A.事件B与事件C相互对立
B.事件A与事件B相互对立
C.事件B与事件C相互独立
D.事件A与事件B相互独立
11.下列关于函数f(x)=的说法正确的是 ( )
A.当a∈[2,4]时,f(x)是单调函数
B.当a∈[4,+∞)时,f(x)是单调函数
C.当a∈[4,8)时,f(x)的值域为(0,+∞)
D.当a∈[4,+∞)时,f(x)的值域为(0,+∞)
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.[2023·浙江宁波高一期末] 小周和小王进行一对一篮球比赛,该比赛采取三局两胜制(有一方先胜两局即获胜,比赛结束,没有平局).假设小周每一局获胜的概率为,小王每一局获胜的概率为,且每一局比赛相互独立,则小王在比赛中获胜的概率为 .
13.已知函数f(x)=若方程f(x)=t存在三个不同的实数解,且满足x114.[2023·湖南永州高一期末] 在△ABC中,若|+|=1,|+|=2,则△ABC的面积的最大值为 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)[2023·陕西铜川高一期末] 如图,在直角梯形OABC中,OA∥CB,OA⊥OC,OA=2BC=2OC,M为AB上靠近B的三等分点,OM交AC于D.
(1)用和表示;
(2)求证:=3.
16.(15分)[2024·安徽安庆一中高一期末] 设定义域为R的奇函数f(x)=(其中a为实数).
(1)求a的值.
(2)是否存在实数k,使得当x∈(0,3]时,不等式f(x2-kx)+f(2-x)>0成立 若存在,求出实数k的取值范围;若不存在,请说明理由.
17.(15分)[2023·重庆九龙坡高一期末] 在某项比赛中,7位专业评委和7位观众评委分别给选手打分.针对某位选手,下面是两组评委的打分结果:
A组 42 45 48 53 52 47 49
B组 48 52 70 66 77 49 51
(1)根据表格中数据判断哪一组分数更可能是专业评委打的分数.
(2)现从A组评委所打分数中随机抽取1个分数,记为a,从B组评委所打分数中随机抽取1个分数,记为b.记事件M:a,b中有一个数据为48,事件N:a+b=100,判断事件M与事件N是否相互独立.
18.(17分)[2024·福建南平高一期末] 已知函数f(x)=log2(4x+1)-mx(m∈R)是偶函数.
(1)求实数m的值;
(2)若函数y=f(x)-x-a有且只有一个零点,求实数a的取值范围.
19.(17分)在平行四边形ABCD中,=a,=b,=3,M为BC的中点,延长MN交CD于点P,若=k,求k的值.