湖南省邵阳市2025-2026学年高二上学期9月拔尖创新班联考数学试题(含部分答案)

2025年9月邵阳市高二拔尖创新班联考试题卷
数学
本试卷共4页，19个小题.满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡上“贴条形码区”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.保持答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存.
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知复数，则复数的虚部为（ ）
A. 1 B. 7 C. i D. 7i
2. 设全集，集合，则中元素的个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. 已知椭圆，过右焦点作轴的垂线交于两点，，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
4. 将函数的图象向左平移后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 4
5. 在中，已知，，则的面积为（ ）
A. B. 4 C. D.
6. 已知等比数列的前n项和为，若，，则的值为（ ）
A 81 B. 145 C. 256 D. 273
7. 已知圆，点关于直线的对称点在圆上，直线与圆的另一个交点为，则为（ ）
A 2 B. C. 4 D.
8. 若关于x的方程恰有三个不同的实根（），则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 在正三棱柱中，，是的中点，是线段上的动点，则（ ）
A. B. 正三棱柱的体积为
C. 若，则 D. 直线与是异面直线
10. 设抛物线焦点为F，O为坐标原点，过点F的直线交C于A，B两点，过点A，B分别作准线的垂线，对应垂足分别为点M，N，连接MF，NF，则（ ）
A. 若A，B两点的纵坐标分别为，，则
B. 若，则直线AF的斜率
C. 若，则的面积为
D. 记，，面积分别为，，，则
11. 在中，角，，的对边分别为，，，若，点在线段上，且，则（ ）
A. 角的大小为
B. 若为的角平分线，则
C. 若，则线段的长度的取值范围为
D. 若，则的周长的最大值为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知，，则__________.
13. 若函数在点，处的切线互相平行，则__________.
14. 抛掷一枚质地不均匀的骰子，每次掷出点数为5的概率为.若连续抛掷这枚骰子三次，每次抛掷均相互独立，则事件“三次抛掷中恰有1次掷出的点数为5”的概率的最大值为__________.
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求C；
（2）若，求的周长的取值范围.
16. 设数列满足，.
（1）证明：为等差数列；
（2）求数列的前项和.
17. 已知函数，其中a，b均为实数.
（1）若，在点处的切线过定点P，求P的坐标；
（2）若，，在处取得最小值，证明：.
18. 如图（一），在中，于点，，四边形是平行四边形.将沿折起至的位置，如图（二）所示，连接，.
（1）证明：；
（2）是的中点，连接，，记二面角为，二面角为.
（i）设三棱锥的外接球球心为O，证明：当时，；
（ii）是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
19. 已知椭圆的右顶点为A，离心率.定义：点关于E所对应的极线方程为，右焦点关于E所对应的极线方程为.
（1）求E的标准方程；
（2）设点关于E所对应的极线为直线l，l与x轴交于点Q，过点P作直线（不与x轴重合）交E于B，C两点，直线AB，AC与l分别交于点M，N，如图.
（i）连接PM，PN，证明：当时，；
（ii）连接OM，试问：当t取何值时，.
2025年9月邵阳市高二拔尖创新班联考试题卷
数学
本试卷共4页，19个小题.满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡上“贴条形码区”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.保持答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存.
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】D
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
【9题答案】
【答案】ACD
【10题答案】
【答案】BCD
【11题答案】
【答案】ABC
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
【15题答案】
【答案】（1）
（2）
【16题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【17题答案】
【答案】（1）
（2）证明见解析.
【18题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）（i）证明见解析；（ii）是，
【19题答案】
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）