集合新定义问题、容斥原理、集合含参问题专项训练
考点目录
集合新定义问题 容斥原理
集合含参问题
1．（24-25高一下·湖南长沙·期末）设集合，若集合满足，，称为集合的一个“三分划”（不考虑的顺序，即与视作同一种情况）．对于集合，在的所有“三分划”中，满足集合中元素之和相等的“三分划”的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（24-25高一下·湖北随州·阶段练习）对于非空集合（，），其所有元素的几何平均数记为，即．若非空数集满足下列两个条件：① ；②，则称为的一个“保均值真子集”，则集合的“保均值真子集”的个数为（ ）
A．2 B．4
C．6 D．8
3．（24-25高一上·北京·阶段练习）设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（ ）个．
A．14 B．16 C．18 D．20
4．（24-25高一下·北京·阶段练习）向量集合，对于任意，，以及任意，都有，则称集合是“凸集”，现有四个命题：
①集合是“凸集”；
②若为“凸集”，则集合也是“凸集”；
③若，都是“凸集”，则也是“凸集”；
④若，都是“凸集”，且交集非空，则也是“凸集”．
其中，所有正确的命题的序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
5．（24-25高一上·湖南衡阳·开学考试·多选）集合 ， 是实数集 的子集，定义且，若集合，，则以下说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习·多选）已知非空数集S满足：对任意给定的（x、y可以相同），有且．则下列选项正确的是（ ）
A． B．若，且，则
C．S不可能是有限集 D．若S中最小的正数为5，则
7．（24-25高一上·浙江温州·期末·多选）已知整数集，或，若存在，使得，，，则称集合具有性质，则（ ）
A．若，则具有性质 B．若，则具有性质
C．若，则一定具有性质 D．若，则一定具有性质
8．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习·多选）非空集合A，B满足，且中元素个数不大于1.定义集合，，则（ ）
A．集合A，B中元素个数之和为10或11 B．集合中元素个数最多为17
C．集合中元素个数最多为18 D．集合中元素个数最多为9
9．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）在中学阶段，对许多特定集合（如实数集等）的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律为主要内容.现设集合由全体二元有序实数组组成，在上定义一个运算，记为，对于中的任意两个元素，规定：.则 .
10．（24-25高一下·广东汕头·阶段练习）集合是实数集的子集，定义，叫做集合的对称差．若集合，，则 ， ．
11．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）对于任意两集合A，B，定义且，记，则 ．
12．（24-25高一上·上海浦东新·期中）若规定由整数组成的集合，，的子集为的第个子集，其中，则的第2024个子集是 ．
13．（24-25高一下·北京延庆·期中）已知数集具有性质：对任意的，，使得成立.
(1)分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；
(2)求证：.
14．（24-25高一上·陕西咸阳·阶段练习）高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题．对于非空数集，，定义且，将称为“与的笛卡尔积”
(1)若，，求和；
(2)试证明：“”是“”的充要条件．
15．（25-26高一上·湖南邵阳·阶段练习）给定数集A，若对于任意，有，，则称集合A为闭集合．
(1)判断集合，是否为闭集合，并给出证明；
(2)若集合为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由；
(3)若集合为闭集合，且 ， ，证明： ．
16．（25-26高三上·北京平谷·开学考试）已知集合，x、，其中．定义，若，则称x与y正交．
(1)若，写出 中与x正交的所有元素；
(2)令，若，证明：为偶数；
(3)若，且A 中任意两个元素均正交，当时，A中最多可以有多少个元素.
1．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）某班共40人，其中24人喜欢篮球运动，16人喜欢乒乓球运动，这两项运动都不喜欢的有6人，则喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
2．（24-25高一上·四川泸州·期中）某学校举办了多个课余活动，高一（1）班有40名同学，其中25名同学参加了体育活动，15名同学参加了科学活动，有10名同学这两个课余活动均没参加，则这个班既参加了体育活动，又参加了科学活动的同学有（ ）
A．4名 B．6名 C．8名 D．10名
3．（24-25高一上·新疆·期中）自年起，江西新高考采用“”模式，其中，“”为全国统考科目，即语文、数学、外语；“”为首选科目，考生要在物理、历史科目中选择门；“”为再选科目，考生可在思想政治、地理、化学、生物学个科目中选择门.已知某校首选科目为物理的考生有人，其中再选科目选了化学的有人，再选科目没有选生物学的有人，再选科目同时选了化学和生物学的有人，则该校首选科目为物理的考生中，再选科目同时选了思想政治和地理的人数是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一上·江苏·阶段练习）为提升学生学习双语的热情“G11 四市十一校”教学联盟计划在2025年4月举行“语文情境默写” “英语读后续写”两项竞赛，我校计划派出20人的代表队，据了解其中擅长语文的有10名同学，擅长英语的有12名同学，两项都擅长的有5名同学，请问该代表队误选了几名均不擅长的同学？（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
5．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）某单位为丰富职工的业余生活，举办了一届职工运动会．已知该单位共有245名职工，参加乒乓球、篮球、羽毛球比赛的人数分别为140，120，108，同时参加乒乓球、篮球比赛的人数为72，同时参加篮球、羽毛球比赛的人数为50，同时参加乒乓球、篮球、羽毛球三项比赛的人数为30．三项比赛都不参加的人数为36，则只参加羽毛球比赛的人数为（ ）
A．21 B．26 C．31 D．37
6．（25-26高三上·陕西·阶段练习）有人参加篮球 乒乓球 羽毛球训练，参加篮球训练的有人，参加乒乓球训练的有人，参加羽毛球训练的有人，其中只参加种球类训练的有人，则种球类训练都参加的人数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·河北石家庄·三模·多选）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（ ）
A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人
C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人
8．（24-25高一上·浙江杭州·期中·多选）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（ ）
A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人
C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有3人
9．（24-25高一上·云南昆明·期中·多选）某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（ ）
A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人
C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人
10．（24-25高二下·北京·期末）有A、B、C三个城市，至少去过其中一个城市的有18人，去过A、B、C三个城市的分别有9人，8人，11人，同时去过A、B的有5人，同时去过B、C的有3人，同时去过A、C的有4人，则同时去过A、B、C三个城市的有 人．
11．（25-26高一上·上海·开学考试）向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有 人．
12．（24-25高一上·天津滨海新·期末）1学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加趣味益智类比赛．有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为 ；同时参加田径和球类比赛的人数为
13．（24-25高一上·江西上饶·开学考试）某校举行运动会，集合是该校参加运动会的学生，是参加跳远项目的学生}，是参加短跑项目的学生，是既参加跳远项目又参加短跑项目的学生．
(1)试用Venn图表示这些集合之间的关系．
(2)若参加跳远项目的学生数为20人，参加短跑项目的学生数为15人，两个项目都参加学生数为5人．求至少参加了其中一个项目的学生人数．
(3)有限集中元素的个数可以一一数出来，若M是有限集，常用来表示M中元素的个数．如，则．用表示出．
14．（24-25高一上·浙江·阶段练习）为积极响应国家对于网络游戏的防沉迷政策，某中学学生会对同学假期游戏时长进行调查.
(1)小丁同学某天玩游戏的时长取值范围为非空集合，合理游戏时长为，若小丁游戏时长在合理游戏时长范围之内，求的取值范围；
(2)某班共50人，其中10人玩游戏，12人玩游戏，7人玩游戏，已知玩游戏的均不玩游戏，只玩游戏的人数与游戏和游戏都玩的人数相同，只玩游戏的人数与和都玩的人数相同，求班上这三种游戏都不玩的同学人数.
1．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）设集合.若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高三上·广西·开学考试）已知集合，，且的元素个数为2，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知，若，则的范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（25-26高三上·广东·开学考试）设集合，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高一上·河南安阳·阶段练习）设集合，.若，则a的范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）集合，若．则实数a的范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
7．（24-25高一下·四川广元·阶段练习·多选）设集合，则下列选项中，满足的实数a的取值范围可以是（ ）
A． B．
C． D．
8．（24-25高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习·多选）已知，集合，集合，则下列正确的是（ ）
A．若，则实数的取值范围是
B．若，则实数的取值范围是
C．若，则实数的取值范围是
D．若，则实数的取值范围是
9．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合若，则实数的取值范围是 .
10．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合若，则实数a的取值范围是
11．（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知集合，，若，则的取值范围是 ．
12．（25-26高三上·湖北孝感·阶段练习）已知集合，集合.若，则实数的取值范围为 .
13．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知全集，集合．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围．
14．（25-26高三上·江苏盐城·开学考试）设全集U=R,已知集合，集合．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围．
15．（24-25高一上·广东江门·阶段练习）已知集合，．
(1)当时，求；
(2)若，且，求实数的取值范围．
16．（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）已知集合．
(1)当时，求，；
(2)若，求实数的取值范围．
17．（25-26高一上·河南南阳·开学考试）已知集合，．
(1)若且，求实数的取值范围；
(2)设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．集合新定义问题、容斥原理、集合含参问题专项训练
考点目录
集合新定义问题 容斥原理
集合含参问题
1．（24-25高一下·湖南长沙·期末）设集合，若集合满足，，称为集合的一个“三分划”（不考虑的顺序，即与视作同一种情况）．对于集合，在的所有“三分划”中，满足集合中元素之和相等的“三分划”的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【详解】集合的总和为：
每个子集的和应为：
列举所有和为且满足三分划条件的子集组合：
组合一：
组合二：
组合三：
共种不同的分法.
故选：D.
2．（24-25高一下·湖北随州·阶段练习）对于非空集合（，），其所有元素的几何平均数记为，即．若非空数集满足下列两个条件：① ；②，则称为的一个“保均值真子集”，则集合的“保均值真子集”的个数为（ ）
A．2 B．4
C．6 D．8
【答案】C
【详解】因为集合，则，
所以集合的“保均值真子集”有：,,,,,，共6个．
故选：C
3．（24-25高一上·北京·阶段练习）设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（ ）个．
A．14 B．16 C．18 D．20
【答案】B
【详解】由题意，要使集合含有“孤立元”，则集合中的元素不是3个一致连续的整数即可，
故满足条件的集合有：，，，，，，
，，，，，，，，
，.
故选：B.
4．（24-25高一下·北京·阶段练习）向量集合，对于任意，，以及任意，都有，则称集合是“凸集”，现有四个命题：
①集合是“凸集”；
②若为“凸集”，则集合也是“凸集”；
③若，都是“凸集”，则也是“凸集”；
④若，都是“凸集”，且交集非空，则也是“凸集”．
其中，所有正确的命题的序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【详解】由题意得，若对于任意，线段上任意一点，都有，
则集合是“凸集”，由此对结论逐一分析
对于①，，若对于任意满足，则，
由函数的图象知，对线段上任意一点，都有，
即，故为“凸集”，①正确
对于②，若为“凸集”，则对于任意，
此时，其中，
对于任意，，故为“凸集”，②正确
对于③，可举反例，若，，
任取，，
则对于任意任意，，
所以集合是“凸集”，
任取，，
则对于任意任意，，
所以集合是“凸集”，
取，，
但，
所以不是“凸集”，故③错误，
对于④，若都是“凸集”， 则对于任意，
任意，则，且，
故，故也是“凸集”，④正确；
故选：B.
5．（24-25高一上·湖南衡阳·开学考试·多选）集合 ， 是实数集 的子集，定义且，若集合，，则以下说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【详解】，
，
，.
故选：BCD
6．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习·多选）已知非空数集S满足：对任意给定的（x、y可以相同），有且．则下列选项正确的是（ ）
A． B．若，且，则
C．S不可能是有限集 D．若S中最小的正数为5，则
【答案】ABD
【详解】对于A，令是非空数集S的元素，则，A正确；
对于B，由，得，可推得，即，
又，则，从而，则，因此，B正确；
对于C，符合要求，此集合为有限集，C错误；
对于D，由S中最小的正数为5，，可推得，
假设里有形如，那么，
与5是集合中的最小正整数矛盾，因此，D正确.
故选：ABD
7．（24-25高一上·浙江温州·期末·多选）已知整数集，或，若存在，使得，，，则称集合具有性质，则（ ）
A．若，则具有性质 B．若，则具有性质
C．若，则一定具有性质 D．若，则一定具有性质
【答案】BCD
【详解】对A选项，若，则 , 因为，故不可能存在满足题意，A错误；
对B选项，若 ，则， 则当 时， A 具有性质, B正确；
对C选项，将整数分成这五类， 依次记为集合 C、D 、 E 、 F 、 G ,
当 时，肯定是这5类中的一类， 如果四个属于的集合各不相同，
比如 ，那么肯定是5的倍数，且，满足 的定义，
如果四个中有两个或者以上元素属于同一个集合，
比如 ，则也是5的倍数，故C正确；
对 D 选项，
将整数分成这10类，
依次记为集合，当时，分别是这10类中的一类，
分两类情况，如果七个属于的集合各不相同，
比如，
那么肯定是10的倍数，且，满足的定义，
如果七个属于的集合中有两个或者以上元素属于同一个集合，
比如 ，则也是10的倍数，且，满足的定义，
故D正确．
故选：BCD.
8．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习·多选）非空集合A，B满足，且中元素个数不大于1.定义集合，，则（ ）
A．集合A，B中元素个数之和为10或11 B．集合中元素个数最多为17
C．集合中元素个数最多为18 D．集合中元素个数最多为9
【答案】ACD
【详解】用表示有限集的元素个数,由题意，知非空集合满足,,
对于A，由，得或，因为，
当时，；
当时，，故A正确；
对于B，当，，此时，则，故B不正确；
对于C，∵中元素最大为，最小为，∴，，当取等号时，必有，而2只能为，只能为，故，这与矛盾.所以，即的最大值为18，故C正确；
对于D，∵非空，且，∴且中至少有1个元素不在中，∴，当，时取等号，所以D正确.
故选：ACD.
9．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）在中学阶段，对许多特定集合（如实数集等）的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律为主要内容.现设集合由全体二元有序实数组组成，在上定义一个运算，记为，对于中的任意两个元素，规定：.则 .
【答案】
【详解】由题设定义知，
故答案为：.
10．（24-25高一下·广东汕头·阶段练习）集合是实数集的子集，定义，叫做集合的对称差．若集合，，则 ， ．
【答案】
【详解】，
，
则，，
.
故答案为：；.
11．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）对于任意两集合A，B，定义且，记，则 ．
【答案】或
【详解】，，．
故答案为：或
12．（24-25高一上·上海浦东新·期中）若规定由整数组成的集合，，的子集为的第个子集，其中，则的第2024个子集是 ．
【答案】
【详解】因为，
所以的第2024个子集是.
故答案为：
13．（24-25高一下·北京延庆·期中）已知数集具有性质：对任意的，，使得成立.
(1)分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；
(2)求证：.
【答案】(1)具有性质，不具有性质，理由见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）对于数集，若具有性质，则，，
因为，即，
，即，
，即，
所以具有性质；
对于数集，若具有性质，则，，
因为，即，，即，
，即，，即，
，即，，即，
，即，，即，
，即，，即，
所以不具有性质.
（2）因为集合具有性质：
即对任意的，使得成立，
又因为，，所以，，
所以，
即，
将上述不等式相加得：，
所以，
因为，所以，
故．
14．（24-25高一上·陕西咸阳·阶段练习）高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题．对于非空数集，，定义且，将称为“与的笛卡尔积”
(1)若，，求和；
(2)试证明：“”是“”的充要条件．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意可得：，
．
（2）若，设，
由定义可知：且，
所以“”是“”的必要条件；
若，对任意，均有，
即对任意，，均有，，
由任意性可知，，则，
所以“”是“”的充分条件；
综上所述：“”是“”的充要条件．
15．（25-26高一上·湖南邵阳·阶段练习）给定数集A，若对于任意，有，，则称集合A为闭集合．
(1)判断集合，是否为闭集合，并给出证明；
(2)若集合为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由；
(3)若集合为闭集合，且 ， ，证明： ．
【答案】(1)A不是闭集合，B是闭集合，证明见解析
(2)不一定，理由见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）A不是闭集合，B是闭集合．
∵，，，∴A不是闭集合；
任取，设，，，则且，∴，同理，，故B为闭集合；
（2）结论：不一定；
不妨令，，
则由（1）可知，为闭集合，同理可证为闭集合，
∵，，
因此，不是闭集合，
∴若集合为闭集合，则不一定为闭集合；
（3）假设，
由 ，可得存在且，故；
同理，存在且，故，
∵，∴或．
若，则由为闭集合且，得，与矛盾，
若，则由为闭集合且，得，与矛盾，
综上，不成立，故 ．
16．（25-26高三上·北京平谷·开学考试）已知集合，x、，其中．定义，若，则称x与y正交．
(1)若，写出 中与x正交的所有元素；
(2)令，若，证明：为偶数；
(3)若，且A 中任意两个元素均正交，当时，A中最多可以有多少个元素.
【答案】(1)答案见详解
(2)证明见解析
(3)2个
【详解】（1）设，且，
若与正交，则，
可得或或或或或；
中所有与x正交的元素为．
（2）对于，存在，，使得．
令，，
当时，，当时，．
那么．
所以为偶数．
（3）若时，不妨设
则与正交．
假设且它们互相正交．
设a，b，c相应位置数字都相同的共有k个，除去这k列外．
a，b相应位置数字都相同的共有m个，
b，c相应位置数字都相同的共有n个，
则．
所以，同理．
可得．
由于，
可得矛盾．
所以除外任意三个元素都不互相正交．
综上，时，A中最多可以有2个元素．
1．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）某班共40人，其中24人喜欢篮球运动，16人喜欢乒乓球运动，这两项运动都不喜欢的有6人，则喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
【答案】B
【详解】人这两项运动都不喜欢，喜欢一项或两项运动的人数为人；
喜欢两项运动的人数为：人，
喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为人.
故选：B
2．（24-25高一上·四川泸州·期中）某学校举办了多个课余活动，高一（1）班有40名同学，其中25名同学参加了体育活动，15名同学参加了科学活动，有10名同学这两个课余活动均没参加，则这个班既参加了体育活动，又参加了科学活动的同学有（ ）
A．4名 B．6名 C．8名 D．10名
【答案】D
【详解】因为高一（1）班有40名同学，其中25名同学参加了体育活动，15名同学参加了科学活动，有10名同学这两个课余活动均没参加，
所以这个班既参加了体育活动，又参加了科学活动的同学有名．
故选：D.
3．（24-25高一上·新疆·期中）自年起，江西新高考采用“”模式，其中，“”为全国统考科目，即语文、数学、外语；“”为首选科目，考生要在物理、历史科目中选择门；“”为再选科目，考生可在思想政治、地理、化学、生物学个科目中选择门.已知某校首选科目为物理的考生有人，其中再选科目选了化学的有人，再选科目没有选生物学的有人，再选科目同时选了化学和生物学的有人，则该校首选科目为物理的考生中，再选科目同时选了思想政治和地理的人数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】再选科目同时选了化学和生物学的有人，
再选科目选了化学，没有选生物学的有人；
再选科目没有选生物学，也没有选化学的有人，
即再选科目同时选了思想政治和地理的人数为人.
故选：C.
4．（24-25高一上·江苏·阶段练习）为提升学生学习双语的热情“G11 四市十一校”教学联盟计划在2025年4月举行“语文情境默写” “英语读后续写”两项竞赛，我校计划派出20人的代表队，据了解其中擅长语文的有10名同学，擅长英语的有12名同学，两项都擅长的有5名同学，请问该代表队误选了几名均不擅长的同学？（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】C
【详解】设擅长语文的同学构成集合，擅长英语的同学构成集合，20人代表队构成全集，
则，，，，
，
，
所以语文和英语均不擅长的同学人数为人.
故选：C.
5．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）某单位为丰富职工的业余生活，举办了一届职工运动会．已知该单位共有245名职工，参加乒乓球、篮球、羽毛球比赛的人数分别为140，120，108，同时参加乒乓球、篮球比赛的人数为72，同时参加篮球、羽毛球比赛的人数为50，同时参加乒乓球、篮球、羽毛球三项比赛的人数为30．三项比赛都不参加的人数为36，则只参加羽毛球比赛的人数为（ ）
A．21 B．26 C．31 D．37
【答案】A
【详解】设该单位共有职工人数为，，
参加比赛的人数为，
设参加乒乓球的人数为，参加篮球的人数为，参加羽毛球的人数为，
则，，，
设同时参加乒乓球、篮球比赛的人数为，同时参加篮球、羽毛球比赛的人数，
同时参加乒乓球、羽毛球比赛的人数，
则，，
设同时参加乒乓球、篮球、羽毛球三项比赛的人数，三项比赛都不参加的人数为，
则，，
则由容斥原理得，
代入相应数值得，
解得，
设只参加羽毛球比赛的人数为，
则由容斥原理得.
故选：A
6．（25-26高三上·陕西·阶段练习）有人参加篮球 乒乓球 羽毛球训练，参加篮球训练的有人，参加乒乓球训练的有人，参加羽毛球训练的有人，其中只参加种球类训练的有人，则种球类训练都参加的人数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设参加种、种、种球类训练的人数分别为、、.
由题意得总人数，且，
则.
参加各项目的人数总和为，
该总和中，参加种、种、种训练的人数分别被计算了次、次、次，
故，
将代入可得，即，
联立方程组，
解得，即种球类训练都参加的人数为人，
故选：A.
7．（2024·河北石家庄·三模·多选）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（ ）
A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人
C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人
【答案】ABD
【详解】根据题意，设{是参加100米的同学}，
{是参加400米的同学}，
{是参加1500米的同学}，
则
且
则，
所以三项比赛都参加的有2人，只参加100米比赛的有3人，
只参加400米比赛的有2人，只参加1500米比赛的有1人.
故选：ABD
8．（24-25高一上·浙江杭州·期中·多选）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（ ）
A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人
C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有3人
【答案】AB
【详解】根据题意，设{是参加100米的同学}，
{是参加400米的同学}，{是参加1500米的同学}，
则
且
则，
所以三项比赛都参加的有2人，
只参加100米比赛的有人，
只参加400米比赛的有人，
只参加1500米比赛的有人.
故选：AB
9．（24-25高一上·云南昆明·期中·多选）某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（ ）
A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人
C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人
【答案】BC
【分析】应用容斥原理求出三项都参加的同学人数，即可得答案.
【详解】根据题意，设是参加拔河的同学，是参加4人足球的同学，是参加羽毛球的同学，
则，，，
又，，
所以，
所以三项比赛都参加的有2人，只参加拔河的有3人，只参加4人足球的有2人，只参加羽毛球的有1人．
故选：BC
10．（24-25高二下·北京·期末）有A、B、C三个城市，至少去过其中一个城市的有18人，去过A、B、C三个城市的分别有9人，8人，11人，同时去过A、B的有5人，同时去过B、C的有3人，同时去过A、C的有4人，则同时去过A、B、C三个城市的有 人．
【答案】2
【详解】若同时去过的有人，则，可得.
故答案为：2
11．（25-26高一上·上海·开学考试）向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有 人．
【答案】21和8
【详解】赞成A的人数为，赞成B的人数为，
记50名学生组成的集合为，赞成事件的学生全体为集合，赞成事件的学生全体为集合，
设对事件、都赞成的学生人数为，则对、都不赞成的人数为，赞成而不赞成的人数为，赞成而不赞成的人数为，作出Venn图如下所示，
依题意可得，解得，
所以对、都赞成的学生有21人，都不赞成的有人．
故答案为：21和8
12．（24-25高一上·天津滨海新·期末）1学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加趣味益智类比赛．有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为 ；同时参加田径和球类比赛的人数为
【答案】 9 3
【详解】因为参加趣味益智类比赛的总人数为15，
且：同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人；
同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人．
又因为没有人同时参加三项比赛，
所以只参加趣味益智类一项比赛的人数为：人．
设同时参加田径和球类比赛的人数为，由题意得：
，
解得：，
故同时参加田径和球类比赛的人数为，
故答案为：9；3．
13．（24-25高一上·江西上饶·开学考试）某校举行运动会，集合是该校参加运动会的学生，是参加跳远项目的学生}，是参加短跑项目的学生，是既参加跳远项目又参加短跑项目的学生．
(1)试用Venn图表示这些集合之间的关系．
(2)若参加跳远项目的学生数为20人，参加短跑项目的学生数为15人，两个项目都参加学生数为5人．求至少参加了其中一个项目的学生人数．
(3)有限集中元素的个数可以一一数出来，若M是有限集，常用来表示M中元素的个数．如，则．用表示出．
【答案】(1)答案见解析
(2)30人
(3)
【详解】（1）由题意可得：
（2）如图可知，
“至少参加了其中一个项目的学生人数”即为“参加跳远或参加短跑项目的人数”，
所以该人数为人.
（3）由题意可得：.
14．（24-25高一上·浙江·阶段练习）为积极响应国家对于网络游戏的防沉迷政策，某中学学生会对同学假期游戏时长进行调查.
(1)小丁同学某天玩游戏的时长取值范围为非空集合，合理游戏时长为，若小丁游戏时长在合理游戏时长范围之内，求的取值范围；
(2)某班共50人，其中10人玩游戏，12人玩游戏，7人玩游戏，已知玩游戏的均不玩游戏，只玩游戏的人数与游戏和游戏都玩的人数相同，只玩游戏的人数与和都玩的人数相同，求班上这三种游戏都不玩的同学人数.
【答案】(1)
(2)28人
【详解】（1）由题意得，且，解得，
故的取值范围为；
（2）设只玩的人数为，
由图得，解得，
则人.
故班上这三种游戏都不玩的同学有28人.
1．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）设集合.若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】集合又，所以，即，
故选：D.
2．（25-26高三上·广西·开学考试）已知集合，，且的元素个数为2，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意得，得，则的取值范围为.
故选：D.
3．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知，若，则的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】，又，
所以.
故选：A
4．（25-26高三上·广东·开学考试）设集合，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，，且，
所以，，解得，
因此，实数的取值范围是.
故选：A.
5．（24-25高一上·河南安阳·阶段练习）设集合，.若，则a的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由已知结合图象可得，.
故选：C.
6．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）集合，若．则实数a的范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】A
【详解】因为，则，
当时，不成立，所以，所以满足，
当时，因为，所以，
又因为，所以，所以，
当时，因为，所以，
又因为，所以，所以，
综上可知：.
故选：A.
7．（24-25高一下·四川广元·阶段练习·多选）设集合，则下列选项中，满足的实数a的取值范围可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【详解】因集合，，
满足，则得或，
解得或．
结合选项，实数a的取值范围可以是或．
故选：CD．
8．（24-25高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习·多选）已知，集合，集合，则下列正确的是（ ）
A．若，则实数的取值范围是
B．若，则实数的取值范围是
C．若，则实数的取值范围是
D．若，则实数的取值范围是
【答案】AD
【详解】，集合，集合，则A，
若，则实数的取值范围是；
若，则实数的取值范围是，
故选：AD.
9．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合若，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】因为，所以
①若，则，
②若，则
综上
故答案为：
10．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合若，则实数a的取值范围是
【答案】
【详解】由题意可得，
，，
当时，，可得；
当时，，显然成立；
当时，，可得；
综上所述，.
故答案为：
11．（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知集合，，若，则的取值范围是 ．
【答案】.
【详解】由题: ,,
因为,所以,
借助数轴，所以
故答案为: .
12．（25-26高三上·湖北孝感·阶段练习）已知集合，集合.若，则实数的取值范围为 .
【答案】
【详解】因为，
所以根据对数函数的性质可得，即.
所以集合.
因为集合，
对于，都成立，当时等号成立；
当时，，则集合，
当时，集合，即.
因为，所以.
当时，符合题意，此时；
当时，为满足题意，则，解得.
综上，的取值范围为.
故答案为：.
13．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知全集，集合．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为集合 ，
所以 ，
解得 ，
所以集合 ，
可得当时，集合 ，
又因为全集 ，
所以 ，
又因为集合 ，
所以.
（2）因为 ，
所以 ，
又因为集合 ，
所以 ，
即实数的取值范围为 ．
14．（25-26高三上·江苏盐城·开学考试）设全集U=R,已知集合，集合．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【详解】（1）或.
或.
（2）由，
则①当时，由，解得；
②当时，或
解得或．
综上，实数的取值范围为．
15．（24-25高一上·广东江门·阶段练习）已知集合，．
(1)当时，求；
(2)若，且，求实数的取值范围．
【答案】(1)R
(2)
【详解】（1）当时，，或，
所以R.
（2）集合，或，
由，得，而，所以.
16．（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）已知集合．
(1)当时，求，；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1),;
(2).
【详解】（1）,
当时,,
所以，
（2）若，则，
又，
所以.
17．（25-26高一上·河南南阳·开学考试）已知集合，．
(1)若且，求实数的取值范围；
(2)设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为且，故，故.
（2），
因为是的必要不充分条件，故为的真子集，
而，故且即.
