课后训—专题：集合有关的含参问题-
日期：2025. 时长： 45-60分钟/次
【题组一 根据元素与集合的归属关系求参】
1．已知数集，，若，则 .
【答案】1
【分析】根据题意分两种情况讨论即可.
【详解】易知，所以或，
若，即，此时，，符合题意；
若，此时，，，舍；
综上，.
故答案为：1
2．设全集，集合．
(1)若集合A恰有一个元素，求实数a的值；
(2)若，求．
【答案】(1)4
(2)
【分析】（1）根据方程只有一个解，由求解；
（2）由，求得集合A，B，再由集合的补集交集运算求解.
【详解】（1）解：因为集合，且集合A恰有一个元素，
所以，解得；
（2）因为集合，且 ，
所以，，
解得，，
所以，
则．
【题组二 根据集合中元素的个数求参】
3．已知集合
(1)若集合A中至多有一个元素，求实数k的取值范围；
(2)若集合A最少有一个真子集，求实数k的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分两种情况进行分类讨论，列出不等式即可求得结果.
（2）将问题转化为方程至少有一个根，分两种情况进行分类讨论，求得结果.
【详解】（1）当时，，即，符合题意；
当时，，解得：.
综上所述，实数k的取值范围为.
（2）集合A最少有一个真子集，则集合中至少有一个元素，
当时，，即，符合题意；
当时，，解得：且.
综上所述，实数k的取值范围为.
4．已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为 .
【答案】
【分析】分析可知有一个不等于3的实数解，分类讨论最高项系数以及根的个数，运算求解即可.
【详解】由题意可知：方程有且仅有一解，
等价于有一个不等于3的实数解，
1.当时，解为，满足题意；
2.当时，只有一解时，
则，解得，
若，则，解得，符合题意；
3.当时，且有两解但3是方程的解，
故，解得；
综上所述，实数取值集合为.
故答案为：.
【题组三 根据集合关系、运算结果求参】
（结果为已有集合）
5．，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分析可知， ，分、两种情况讨论，在第一种情况下，可得出关于实数的不等式；在第二种情况下，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.
【详解】因为，，，则，
若，则，解得；
若且，则，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：A.
6．设集合，集合．
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）根据交集先将元素2代入集合，求出的值再逐一验证；
（2）对进行分类讨论，分成空集，单元素集和双元素集.
【详解】（1）由题意得．
，
即，化简得：，
即，解得：，
经检验当，满足
当，满足
（2），故
①当为空集，则，即，得或；
②当为单元素集，则，即，得或，
当，舍去；当符合；
③当为双元素集，则，则有，无解，
综上：实数的取值范围为.
（结果为新集合）
7．已知集合，且，则（ ）
A． B．0 C． D．1
【答案】D
【分析】根据交集的结果直接求解即可.
【详解】因为，
且，所以，解得．
故选：D．
8．已知集合，，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化简集合，根据集合的并运算求解.
【详解】由得或，故．
由得，故．
因为，所以，得.
故选：A．
9．已知集合．
(1)求的子集；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出集合，再根据交集的定义即可求出答案.
（2）根据题干分两种情况分类讨论并列式计算.
【详解】（1）由题意得，则，的子集为．
（2）当时，，得；
当时，，得或．
故的取值范围为．
10．设全集为R，集合．
(1)若，求；
(2)若，求实数a的取值范围．
【答案】(1)或；或.
(2)或.
【分析】（1）分别求两个集合的解集，再求并集和混合运算；
（2）首先求，再根据条件，讨论和两种情况，列不等式求参数的取值范围.
【详解】（1）不等式，
即，解得：或，
所以或，
当时，，所以或，
或，所以或.
（2），若
当，即，得满足条件，
当，则或，解得：或，
综上可知，或.
【题组四 根据充分必要条件求参】
11．已知集合，．
(1)若，求；
(2)若存在正实数m，使得“”是“”成立的必要不充分条件，求正实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）解不等式化简集合，再利用补集、交集的定义求解.
（2）求出集合，再利用必要不充分条件定义列式求解.
【详解】（1）当时，，则或，
而，
所以.
（2）当时，，
由（1）知，由“”是“”成立的必要不充分条件，
得集合是集合的真子集，则或，解得或，
所以正实数m的取值范围中.
12．已知集合，集合．
(1)若存在，使得，求的取值范围
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）先解不等式求得集合A，问题转化为集合在内有解，由函数的单调性确定最值，即可求的取值范围；
（2）由（1）可得，，由题意，可得是的真子集，分情况讨论求解即可.
【详解】（1）集合，
若存在，使得，只需集合在内有解，
即大于在内的最小值，
因为在上单调递减，在上单调递增，
所以在内的最小值为，
所以，解得，
所以的范围为；
（2）由得，，，
因为“”是“”的充分不必要条件，
所以是的真子集，
分类讨论如下：
当，即时，，不符题意；
当，即时，，
此时(等号不同时成立)，解得，时，满足是的真子集；
当，即时，，
此时(等号不同时成立)，解得，时，满足是的真子集，
综上，或时，满足“”是“”的充分不必要条件．课后训—专题：集合有关的含参问题-
日期：2025. 时长： 45-60分钟/次
【题组一 根据元素与集合的归属关系求参】
1．已知数集，，若，则 .
2．设全集，集合．
(1)若集合A恰有一个元素，求实数a的值；
(2)若，求．
【题组二 根据集合中元素的个数求参】
3．已知集合
(1)若集合A中至多有一个元素，求实数k的取值范围；
(2)若集合A最少有一个真子集，求实数k的取值范围.
4．已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为 .
【题组三 根据集合关系、运算结果求参】
（结果为已有集合）
5．，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．设集合，集合．
(1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围．
（结果为新集合）
7．已知集合，且，则（ ）
A． B．0 C． D．1
8．已知集合，，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．已知集合．
(1)求的子集； (2)若，求的取值范围．
10．设全集为R，集合．
(1)若，求； (2)若，求实数a的取值范围．
【题组四 根据充分必要条件求参】
11．已知集合，．
(1)若，求；
(2)若存在正实数m，使得“”是“”成立的必要不充分条件，求正实数m的取值范围．
12．已知集合，集合．
(1)若存在，使得，求的取值范围
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
