专题：集合有关的含参问题
【类型一 元素与集合的归属关系的含参问题】
【题型一 根据元素与集合的归属关系求参】
1．已知集合 ，若 ，则 中所有元素之和为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型二 根据集合相等求参】
3．已知集合，则 .
【变式】设三元集合，则 .
【类型一 集合中元素个数的含参问题】
【题型一 根据集合中元素的个数求参】
4．已知集合．
(1)若中只有一个元素，求的值，并求集合； (2)若中至少有一个元素，求的取值范围．
【变式】已知集合，，若中有且仅有两个元素，则实数的范围为（ ）
A． B． C． D．
5．“实数”是“集合恰有一个元素”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【题型二 根据集合（真）子集个数求参】
6．已知集合有且仅有两个子集，则实数 .
【变式】已知集合至多有1个真子集，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【类型三 集合间关系、集合运算的含参问题】
【题型一 根据集合运算结果求参（已有集合）】
7．已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是
8．已知集合．
(1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围．
【变式】集合．
若，求实数的值；
(2)已知，求实数的取值范围．
（方程型）
9．设集合，，，则实数的取值集合为 .
10．已知集合，集合.
(1)若，求实数的值.
(2)若，求实数的取值范围.
(3)若，，求实数的取值范围.
【题型二 根据集合运算结果求参（新集合）】
（端点对等型）
11．已知集合，集合．若，则实数的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
12．已知集合，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式】已知集合，，若，，则的值等于 ．
（新集合）
13．已知集合或，，若，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
14．已知集合．
(1)当时，求； (2)若，求的取值范围．
【变式】已知集合.若，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C．或 D．
15．已知集合．
(1)若，求的值； (2)若，求的取值集合．
【类型四 涉及充分必要条件关系的含参问题】
【题型 根据充分必要条件关系求参】
16．已知全集为，集合，，若是的必要条件，则实数的取值范围是 .
17．已知集合，，其中．
(1)若，求；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【变式】已知集合，.
(1)若集合，求此时实数的值；
(2)已知命题：，命题：，若是的充分条件，求实数的取值范围.专题：集合有关的含参问题
【类型一 元素与集合的归属关系的含参问题】
【题型一 根据元素与集合的归属关系求参】
1．已知集合 ，若 ，则 中所有元素之和为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据可求参数的值，从而可求的元素之和.
【详解】因为，故或，
若，则，与元素的互异性矛盾；
若，则（舍）或，故，故，
所以 中所有元素之和为，
故选：B.
2．已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得，运算求解即可.
【详解】由题意可知：，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：A.
【题型二 根据集合相等求参】
3．已知集合，则 .
【答案】1
【分析】根据集合相等结合集合的互异性可得，，即可得结果.
【详解】因为，可知，
可得，则，解得，
若，则，不合题意；
若，则，符合题意；
综上所述：，.
所以.
故答案为：1.
【变式】设三元集合，则 .
【答案】
【分析】利用相等的集合求出a，b，再代入求值作答.
【详解】由集合，得，由集合，得，
而，因此，且，则，
此时两个集合均为，符合题意，
所以.
故答案为：
【类型一 集合中元素个数的含参问题】
【题型一 根据集合中元素的个数求参】
4．已知集合．
(1)若中只有一个元素，求的值，并求集合；
(2)若中至少有一个元素，求的取值范围．
【答案】(1)的值为或者，当时，；当时，
(2)
【分析】（1）分和两种情况讨论，当时，解出即可；
（2）方程无解时，且，解出不等式，结合（1）中的结论，即可求得.
【详解】（1）当，集合，
当时，，解得，此时，
综上可知，的值为或者，当时，；当时，.
（2）当集合中有两个元素时，方程有两个不相等的实数根，
则且，解得且，
又当中只有一个元素时，或，
故中至少有一个元素时，的范围为，
所以的取值范围为.
【变式】已知集合，，若中有且仅有两个元素，则实数的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出集合中元素，代入集合即可.
【详解】因为中有且仅有两个元素，
则，，
所以，解得，且.
故选：D.
5．“实数”是“集合恰有一个元素”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】讨论集合恰有一个元素所需条件，分别判断充分性和必要性即可.
【详解】依题意方程只有一个实数根，
方程，等价于且且，
对于方程，
当，即时，解得，符合题意；
当，即时，
若其中一个根为，由韦达定理可知另一根为，有，
符合方程只有一个实数根；
若其中一个根为，由韦达定理可知另一根为，有，
符合方程只有一个实数根；
所以实数时，集合恰有一个元素，充分性成立；
集合恰有一个元素时，不一定有，必要性不成立.
“实数”是“集合恰有一个元素”的充分不必要条件.
故选：A.
【题型二 根据集合（真）子集个数求参】
6．已知集合有且仅有两个子集，则实数 .
【答案】1或
【分析】结合已知条件，求出的解的个数，然后对参数分类讨论，并结合一元二次方程的根的个数与判别式之间的关系求解即可.
【详解】若A恰有两个子集，所以关于x的方程恰有一个实数解，
①当时，，满足题意；
②当时，，所以，
综上所述，或.
故答案为：1或.
【变式】已知集合至多有1个真子集，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】根据真子集的个数可得或者为单元素集，进而根据方程的根可求解.
【详解】由于集合至多有1个真子集，则集合中的元素个数至多一个，故或者为单元素集，
当时，则且，解得，
当为单元素集，则中只有一个元素，当时，符合题意，当时，则，解得 ，
综上，或，
故选：D
【类型三 集合间关系、集合运算的含参问题】
【题型一 根据集合运算结果求参（已有集合）】
7．已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解不等式求得，由已知可得，进而可求实数 的取值范围.
【详解】由，可得，解得，
所以，由，可得，
又，所以，
所以实数 的取值范围是.
故选：A.
8．已知集合．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）当时，求出，再根据交并补概念计算；（2）由，可得，分类讨论计算即可.
【详解】（1）当时，可得集合，
所以.
，．
（2）由，可得，
①当时，可得，解得；
②当时，则满足，解得，
综上，实数的取值范围是．
【变式】集合．
(1)若，求实数的值；
(2)已知，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，得，从而解出的值，分别代入集合检验是否满足，从而确定的值；
（2）由得，从而求得的取值范围.
【详解】（1）因为，所以，所以，解得或．
当时，，，不合题意；
当时，，满足题设．
所以，实数的值为1．
（2）集合，
集合，
因为，所以，从而，解得，
所以实数的取值范围为.
（方程型）
9．设集合，，，则实数的取值集合为 .
【答案】
【分析】解方程求集合，再由并集结果，讨论、分别求出对应参数值，即可得.
【详解】由题设，又，则.
所以，显然不可能有，
当时，若，此时，
若，此时，
当时，有，
综上， .
故答案为：
10．已知集合，集合.
(1)若，求实数的值.
(2)若，求实数的取值范围.
(3)若，，求实数的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意可知，将代入方程求出a，再求出集合，根据集合的运算结果验证a的值即可；
（2）根据题意可得，讨论或，利用判别式与韦达定理即可得解；
（3）根据题意可得，从而可得，解不等式组即可得解.
【详解】（1）因为，所以，
又，则，
整理得，解得或，
因为，
当时，，满足；
当时，，满足；
故a的值为或.
（2）因为，所以，又，
当时，关于x的方程没有实数根，
所以，即，解得，满足题意；
当时，若集合B中只有一个元素，则，
整理得，解得，
此时，符合题意；
若集合B中有两个元素，则，
即是方程的两根，
所以，无解，
综上，可知实数a的取值范围为.
（3）因为，所以，则，
所以，即，所以.
综上，实数a的取值范围为.
【题型二 根据集合运算结果求参（新集合）】
（端点对等型）
11．已知集合，集合．若，则实数的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】解方程求得集合A，根据并集结果从而求得.
【详解】集合，集合．由，可知集合必须包含元素2，即.
故选：D
12．已知集合，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题可得1是方程的根，据此可得答案.
【详解】因为，,
所以1是方程的根，3不一定是方程的根，
则，解得，
故，符合题意，
故 ．
故选：B．
【变式】已知集合，，若，，则的值等于 ．
【答案】
【分析】由两集合的并集和交集确定，进而可求解；
【详解】：因为，
而,,
所以，即是方程的根，
因此，
即
所以，
故答案为：
（新集合）
13．已知集合或，，若，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意可得，解得即可.
【详解】因为，且，
所以，解得，即.
故选：D
14．已知集合．
(1)当时，求；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当时，，即可解决；（2）分，两种情况解决即可.
【详解】（1）由题知，，
当时，，
所以.
（2）由题知，
因为，
所以
当时，解得，满足题意；
当时，或，
解得，或，
综上所述，的取值范围为，
【变式】已知集合.若，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】A
【分析】由已知得，结合数轴列式求解，注意要讨论是否是空集.
【详解】 由得，优先考虑为空集的情况：
当，即时，，符合题意；
当，即时，需解得.
综上得，则的取值范围为.
故选：A.
15．已知集合．
(1)若，求的值；
(2)若，求的取值集合．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）根据题意化简集合，再结合集合相等的概念计算即可；
（2）根据已知条件得到元素和集合的关系，再分类讨论求解答案即可.
【详解】（1）由题意可得．
因为，所以，则，解得
（2）因为，所以或或．
若，则，由（1）知，；
若，，即，解得或（舍去）；
若，，即，解得或（舍去）
综上，的取值集合为
【类型四 涉及充分必要条件关系的含参问题】
【题型 根据充分必要条件关系求参】
16．已知全集为，集合，，若是的必要条件，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据分式不等式的求解化简求解,即可将必要条件转化为，进而列不等式可求解.
【详解】由可得，
由于是的必要条件，故,
因此，解得，
故答案为：
17．已知集合，，其中．
(1)若，求；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)或，
(2)
【分析】（1）利用一元二次不等式的解法和交集、补集的定义求解；
（2）根据必要不充分条件的定义可得真包含于，从而根据集合的关系可求解.
【详解】（1）由，解得，即，故，
因为，所以，
由，解得，故，则或，
或.
（2）由可得，
因为，所以，
所以不等式的解为，即，
因为是的必要不充分条件，所以是的真子集，
所以或，解得或,
又因为，所以，
经检验，当时，是的真子集，
故实数的取值范围为.
【变式】已知集合，.
(1)若集合，求此时实数的值；
(2)已知命题：，命题：，若是的充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用一元二次不等式解集与方程之间的关系和韦达定理，即可求出的值；
（2）把利用充分条件关系求参数的范围，转化为集合的包含关系，通过分类讨论思想，列出关于实数的不等式组，解出即可.
【详解】（1）因为，
所以方程的两根分别为和，
由韦达定理得，解得；
（2）因为，
由于是的充分条件，则，
当时，，
此时不成立；
当时，，
因为，则有，解得；
当时，，
因为，则有，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
