空间向量运算及空间向量基本定理
▍知识点1:空间向量的有关概念
（1）在空间中,我们把具有大小和方面的量叫做空间向量.
注意:平面向量是在二维平面中,而空间向量是在三维的空间当中.
（2）向量的长度（模）:向量的大小叫做向量的长度或模,如图,其模记为或.
（3）特殊向量
长度为0的向量叫做零向量,记为0 .
模长为1的向量称为单位向量.
方向相同且模相等的向量称为相等向量.
与向量长度相等而方向相反的向量,称为的相反向量,记为.
▍知识点2:空间向量的线性运算
（1）空间向量的加减法运算法则:
与平面向量的运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算的意义为:
;
;
（2）空间向量的加法运算满足交换律及结合律:
交换律:.
结合律:.
（3）的方向和长度
当时,与向量方向相同;当时,与向量方向相反.的长度是的长度的倍.即
（4）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律:
分配律:
结合律: .其中.
▍知识点3:共线向量
（1）定义:表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线或平行向量.
（2）共线向量定理:对于空间任意两个向量a,b（b≠0）,a∥b的充要条件是存在实数,使.
注意:因为零向量与任意向量平行,即对任意向量a,都有0∥a.所以共线定理中的b≠0不可丢掉,否则实数不存在,但依然有a∥b.
（3）方向向量:如图,O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对于直线l上任意一点P,由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知,存在实数,使得,把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.直线l上任意一点都可以由直线l上一点和他的方向向量去表示.
▍知识点4:共面向量
（1）定义:平行于同一个平面的向量叫做共面向量.
（2）共面向量定理:若两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x,y）,使p＝xa＋yb.
（3）空间一点P位于平面ABC内的充要条件:存在有序实数对（x,y）,使＝x＋y..
（4）共面向量定理的推论:
空间中的一点与不共线的三点,,共面的充要条件是存在唯一的有序实数组,使得且,其中为空间任意一点.
▍知识点5:空间向量的夹角
（1）夹角的定义
已知两个非零向量,在空间任取一点,作,则叫做向量的夹角,记作.
（2）夹角的范围
空间任意两个向量的夹角的取值范围是.特别地,当时,两向量同向共线;当时,两向量反向共线;当时,两向量垂直,记作.
▍知识点6:向量的数量积
（1）定义:已知两个非零向量,
则叫做的数量积,记作,即.
规定:零向量与任何向量的数量积为0.
（2）投影向量
如图①,在空间,向量向向量投影由于它们是自由向量,因此可以先将它们平移到同一个平面内,进而利用平面上向量的投影,得到与向量共线的向量,,向量称为向量在向量上的投影向量.类似地,可以将向量向直线投影（如图②）.
如图③,向量向平面投影,就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线,垂足分别为,,得到向量,向量称为向量在平面上的投影向量.这时,向量,的夹角就是向量所在直线与平面所成的角.
（4）向量数量积的性质
①由可得向量自身的数量积就是其模的平方.
②的充要条件是为非零向量）.
③两个非零向量的夹角可由的数量积表示: .
④对于任意向量,总有,并且只有当时,等号成立.
⑤
（5）向量数量积的运算律
数乘结合律:
交换律:;
分配律:
▍知识点7:空间向量基本定理
如果空间中的三个向量,,不共面,那么对空间中的任意一个向量,存在唯一的有序实数组,使得.其中,空间中不共面的三个向量,,组成的集合{,,},常称为空间向量的一组基底.此时,,,都称为基向量;如果,则称为在基底{,,}下的分解式.
注意:基底中不能有零向量.因为零向量与任意一个非零向量都是共线向量,与任意两个非零向量都共面,所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量.
▍知识点8:空间向量的正交分解
（1）单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用表示.
（2）正交分解:把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解.
【练题型】用基底表示空间向量
1.（25-26高二上·全国·单元测试）已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为 ．
2．（24-25高二上·安徽·阶段练习）六氟化硫，化学式为，常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是两个棱长均相等的正四棱锥将底面重合的几何体）.如图所示，在正八面体中，是的重心，记，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
3.（2025高二·全国·专题练习）如图1，已知在空间四边形中，，分别是，上的动点．
(1)若，求证：；
(2)如图2，若，，，分别为，，，的中点，求证：，，，四点共面．
【练题型】空间共面向量定理推论及应用
1．（24-25高二上·浙江金华·期末）在四棱锥中，底面是平行四边形，E是棱的中点，，D，E，F，G四点共面，则 （ ）
A．1 B． C． D．
2.（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知点D在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高二·全国·专题练习）已知四棱锥的底面为平行四边形，为的中点，，若平面与棱相交于点，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
4．（24-25高二下·河北张家口·开学考试）已知长方体中，，向量，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高二上·浙江·期中）已知三棱锥的体积为3，M是空间中一点，，则三棱锥的体积是 .
6．（24-25高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期中）如图所示，若为平行四边形所在平面外一点，为棱上的点，且，点在上，且，若，，，四点共面，则实数的值是 .
【练题型】空间向量基本定理及应用
1．（24-25高二上·陕西西安·期末）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数 ．
2．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在三棱柱中，分别是，上的点，且，．设，，，若，，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3.（24-25高二上·福建厦门·期中）如图，在矩形和中，，记.
(1)将用表示出来；
(2)当等于多少时，线段的长度取得最小值？求此时与夹角的余弦值.
4．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，，．
(1)用分别表示，．
(2)若，，，求：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
5.（24-25高二下·甘肃临夏·期末）在平行六面体中，M，N分别是线段，上的点，且，，若，，，则下列说法中正确的是（ ）
A．与的夹角为45° B．
C．线段的长度为1 D．直线与所成的角为60°
【练题型】空间向量的投影向量
1．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知，，则向量在向量上的投影向量是
2．（24-25高二上·广东江门·期末）如图，在棱长为的正四面体（四个面都是正三角形）中，，分别为，的中点，且在方向上的投影向量为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3.（2021·全国高二）已知正方体的棱长为1,E为棱上的动点.求向量在向量方向上投影的数量的取值范围.
【练题型】空间向量数量积的取值范围
1.已知正四面体的各棱长为1,点E是AB中点,点F是线段DC上的动点（包含端点）,则的取值范围为 .
2．（2025高三·全国·专题练习）已知正四面体的棱长为2，空间一点满足，则的取值范围为__________．
3.（24-25高二下·江苏南京·期中）正方体的棱长为，空间中的动点满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【练题型】综合巩固提升
1．（24-25高二下·福建龙岩·期中）如图，在三棱锥中，G为的重心，，，，，，若PG交平面DEF于点M，且，则的最小值为 ．
2.（24-25高一下·上海杨浦·期末）如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点处．已知水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为，测得从、两点到水库底面与水坝斜面的交线的距离分别为m、m，且m，则甲乙两人相距 m．
3.（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在正四面体中，E为的中点，，，当时，四点共面，则（ ）
A． B． C． D．
4.（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）正四面体中，，点满足，则长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）如图，平行六面体的底面为正方形，棱长都为，且，设，，，，分别是棱，的中点，点为棱上的动点.
(1)用，，表示；
(2)若为棱的中点，求；
(3)是否存在点，使，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由.
6.（24-25高二上·湖北·期中）如图，在正四棱台中，.直线与平面EFG交于点，则（ ）
A． B． C． D．
7.（24-25高二上·四川乐山·阶段练习）如图，平行六面体各棱长为，且，动点在该几何体内部，且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8.（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）在棱长为2的正方体中，点为底面ABCD中一动点（含边界），且，则线段PB的长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9.（25-26高二上·全国·单元测试）如图，已知正方体，空间中一点P满足，且，当取最小值时，点P位置记为点Q，则数量积的不同取值的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10.（多选）（24-25高一下·河南·期中）正四面体的棱长为，若点Q是该正四面体外接球球面上的一个动点，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．空间向量基本运算及空间向量基本定理
▍知识点1:空间向量的有关概念
（1）在空间中,我们把具有大小和方面的量叫做空间向量.
注意:平面向量是在二维平面中,而空间向量是在三维的空间当中.
（2）向量的长度（模）:向量的大小叫做向量的长度或模,如图,其模记为或.
（3）特殊向量
长度为0的向量叫做零向量,记为0 .
模长为1的向量称为单位向量.
方向相同且模相等的向量称为相等向量.
与向量长度相等而方向相反的向量,称为的相反向量,记为.
▍知识点2:空间向量的线性运算
（1）空间向量的加减法运算法则:
与平面向量的运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算的意义为:
;
;
（2）空间向量的加法运算满足交换律及结合律:
交换律:.
结合律:.
（3）的方向和长度
当时,与向量方向相同;当时,与向量方向相反.的长度是的长度的倍.即
（4）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律:
分配律:
结合律: .其中.
▍知识点3:共线向量
（1）定义:表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线或平行向量.
（2）共线向量定理:对于空间任意两个向量a,b（b≠0）,a∥b的充要条件是存在实数,使.
注意:因为零向量与任意向量平行,即对任意向量a,都有0∥a.所以共线定理中的b≠0不可丢掉,否则实数不存在,但依然有a∥b.
（3）方向向量:如图,O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对于直线l上任意一点P,由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知,存在实数,使得,把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.直线l上任意一点都可以由直线l上一点和他的方向向量去表示.
▍知识点4:共面向量
（1）定义:平行于同一个平面的向量叫做共面向量.
（2）共面向量定理:若两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x,y）,使p＝xa＋yb.
（3）空间一点P位于平面ABC内的充要条件:存在有序实数对（x,y）,使＝x＋y..
（4）共面向量定理的推论:
空间中的一点与不共线的三点,,共面的充要条件是存在唯一的有序实数组,使得且,其中为空间任意一点.
▍知识点5:空间向量的夹角
（1）夹角的定义
已知两个非零向量,在空间任取一点,作,则叫做向量的夹角,记作.
（2）夹角的范围
空间任意两个向量的夹角的取值范围是.特别地,当时,两向量同向共线;当时,两向量反向共线;当时,两向量垂直,记作.
▍知识点6:向量的数量积
（1）定义:已知两个非零向量,
则叫做的数量积,记作,即.
规定:零向量与任何向量的数量积为0.
（2）投影向量
如图①,在空间,向量向向量投影由于它们是自由向量,因此可以先将它们平移到同一个平面内,进而利用平面上向量的投影,得到与向量共线的向量,,向量称为向量在向量上的投影向量.类似地,可以将向量向直线投影（如图②）.
如图③,向量向平面投影,就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线,垂足分别为,,得到向量,向量称为向量在平面上的投影向量.这时,向量,的夹角就是向量所在直线与平面所成的角.
（4）向量数量积的性质
①由可得向量自身的数量积就是其模的平方.
②的充要条件是为非零向量）.
③两个非零向量的夹角可由的数量积表示: .
④对于任意向量,总有,并且只有当时,等号成立.
⑤
（5）向量数量积的运算律
数乘结合律:
交换律:;
分配律:
▍知识点7:空间向量基本定理
如果空间中的三个向量,,不共面,那么对空间中的任意一个向量,存在唯一的有序实数组,使得.其中,空间中不共面的三个向量,,组成的集合{,,},常称为空间向量的一组基底.此时,,,都称为基向量;如果,则称为在基底{,,}下的分解式.
注意:基底中不能有零向量.因为零向量与任意一个非零向量都是共线向量,与任意两个非零向量都共面,所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量.
▍知识点8:空间向量的正交分解
（1）单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用表示.
（2）正交分解:把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解.
【练题型】用基底表示空间向量
1.（25-26高二上·全国·单元测试）已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为 ．
【答案】【难度】0.4
【详解】因为向量以为基底时的坐标为，所以．
设向量在新基底下的坐标为，
则，
即
则，解得，
所以以为基底时的坐标为．
故答案为：.
2．（24-25高二上·安徽·阶段练习）六氟化硫，化学式为，常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是两个棱长均相等的正四棱锥将底面重合的几何体）.如图所示，在正八面体中，是的重心，记，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【难度】0.65
【详解】易知，设中点为，
则，
所以，
3.（2025高二·全国·专题练习）如图1，已知在空间四边形中，，分别是，上的动点．
(1)若，求证：；
(2)如图2，若，，，分别为，，，的中点，求证：，，，四点共面．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【难度】0.65
【详解】（1）证法1：由得，，，
，，
因为①；②，
由①②，得
，
所以
证法2：设是平面内一点，
由平面向量中的定比分点公式可得，，
即.
（2）由，分别是，上的动点，设,
因为，分别为，的中点，即，
根据（1）的结论，得.
又因为分别为，的中点，
所以，，
，
即直线在平面上，所以，，，四点共面．
【练题型】空间共面向量定理推论及应用
1．（24-25高二上·浙江金华·期末）在四棱锥中，底面是平行四边形，E是棱的中点，，D，E，F，G四点共面，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A 【难度】0.15
【详解】由题意可得，
因为所以，且，，
所以，
因为，所以，，
所以，
因为D，E，F，G四点共面，根据空间向量四点共面的性质，有，
所以，
所以，解得，
所以.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题的关键是能利用空间向量的基本定理得到下列方程.
2.（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知点D在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【难度】0.65
【详解】,
因为四点共面，所以，
注意到，从而.
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为.
3．（2025高二·全国·专题练习）已知四棱锥的底面为平行四边形，为的中点，，若平面与棱相交于点，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B【难度】0.65
【详解】因为四边形为平行四边形，所以，相互平分于点，
可得，又为的中点，，
则．
又因为，，，四点共面，所以，即.
4．（24-25高二下·河北张家口·开学考试）已知长方体中，，向量，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【难度】0.65
【详解】由，且，得点在平面内，
因此的最小值即为点到平面的距离，即三棱锥底面上的高，
长方体中，，，
等腰底边上的高，，
由，得，即，解得，
所以的最小值为.
5．（24-25高二上·浙江·期中）已知三棱锥的体积为3，M是空间中一点，，则三棱锥的体积是 .
【答案】2【难度】0.4
【详解】如下图所示：
由可得；
即,
可得，即；
又，由空间向量基本定理可得在平面内存在一点，使得；
所以，，可得，
由三棱锥的体积为3，可得三棱锥的体积即为三棱锥的体积，
所以三棱锥的体积.
6．（24-25高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期中）如图所示，若为平行四边形所在平面外一点，为棱上的点，且，点在上，且，若，，，四点共面，则实数的值是 .
【答案】/【难度】0.65
【详解】根据题意可得：，
又因为四点共面，故，解得.
故答案为：.
【练题型】空间向量基本定理及应用
1．（24-25高二上·陕西西安·期末）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数 ．
【答案】【难度】0.65
【详解】由不能构成空间的一个基底，则存在，使得，
即，
所以，解得.
2．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在三棱柱中，分别是，上的点，且，．设，，，若，，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【难度】0.65
【详解】对于A，，A错误；
对于B，由题可知，，，
所以，
所以，B错误；
对于C，因为，，
所以，所以不垂直，C错误，
对于D，由选项C的解析可得，
，，，
所以，
，
所以,D正确，
3.（24-25高二上·福建厦门·期中）如图，在矩形和中，，记.
(1)将用表示出来；
(2)当等于多少时，线段的长度取得最小值？求此时与夹角的余弦值.
【答案】(1)；(2)，.【难度】0.65
（2）分别求得，利用向量数量积的运算律求得，再利用空间向量的夹角公式计算即得结果.
【详解】（1）由图知，
.
（2）由题意，
由（1）
，
所以当时有最小值即有最小值；
此时，，
故，
且，
设与的夹角为，则.
4．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，，．
(1)用分别表示，．
(2)若，，，求：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
【答案】(1)，
(2)（ⅰ）14；（ⅱ）【难度】0.65
【详解】（1）连接，取中点为，连接．
因为底面是正六边形，所以，即，
所以，又因为，所以．
（2）由题知，，
根据，可知，
因为底面是正六边形，所以，所以．
（ⅰ）．
（ⅱ）因为，
所以，所以．
5.（24-25高二下·甘肃临夏·期末）在平行六面体中，M，N分别是线段，上的点，且，，若，，，则下列说法中正确的是（ ）
A．与的夹角为45° B．
C．线段的长度为1 D．直线与所成的角为60°
【答案】C【难度】0.85
【详解】由题可得，，，
对于A，由题，
所以，，
所以，
因为，所以，故A错误；
对于B，由题得
，故B错误；
对于C，因为，，
所以
，故C正确；
对于D，因为，
又，
所以，所以，
所以直线与所成的角为，故D错误.
【练题型】空间向量的投影向量
1．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知，，则向量在向量上的投影向量是
【答案】【难度】0.94
【详解】由，可得，
易知向量在向量上的投影向量为.
故答案为：
2．（24-25高二上·广东江门·期末）如图，在棱长为的正四面体（四个面都是正三角形）中，，分别为，的中点，且在方向上的投影向量为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【难度】0.85
【详解】由题知，在方向上的投影向量为，
又
，
且，
所以，所以.
3.（2021·全国高二）已知正方体的棱长为1,E为棱上的动点.求向量在向量方向上投影的数量的取值范围.
【答案】
【练题型】空间向量数量积的取值范围
1.已知正四面体的各棱长为1,点E是AB中点,点F是线段DC上的动点（包含端点）,则的取值范围为 .
【答案】
2．（2025高三·全国·专题练习）已知正四面体的棱长为2，空间一点满足，则的取值范围为__________．
【答案】【难度】0.65
【详解】由得，，为的中点，
如图1，则点在以为球心、1为半径的球面上运动．
由于定向，故只要看在上的投影即可，由对称性，取过三点的截面，
如图2，得．
3.（24-25高二下·江苏南京·期中）正方体的棱长为，空间中的动点满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【难度】0.65
【详解】以为原点建立空间直角坐标系，则，
点，，
因为，所以，
化简得：，表示以为球心，半径为的球.
设，
，，
所以的取值范围为，
向量 ，故的范围为.
【练题型】综合巩固提升
1．（24-25高二下·福建龙岩·期中）如图，在三棱锥中，G为的重心，，，，，，若PG交平面DEF于点M，且，则的最小值为 ．
【答案】【难度】0.65
【详解】因为
，
所以，
因为，，，
所以，
因为四点共面，
所以，所以，
因为，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为.
2.（24-25高一下·上海杨浦·期末）如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点处．已知水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为，测得从、两点到水库底面与水坝斜面的交线的距离分别为m、m，且m，则甲乙两人相距 m．
【答案】；【难度】0.65
【详解】由题意可得，
故，
而m、m，且m，水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为，
可知，又，
故，
故（m）,
故答案为：
3.（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在正四面体中，E为的中点，，，当时，四点共面，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【难度】0.4
【详解】因为四点共面，所以存在唯一的，使得.
因为，所以，
因为E为的中点，，
所以，，
所以，
，
，
代入，得，
所以，解得.
4.（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）正四面体中，，点满足，则长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【难度】0.65
【详解】如图所示，
延长，，至点，，，使得，，，
所以，
又由，所以，，，四点共面，
所以的最小值，即为点到平面的距离，
因为点是的中点，则点到平面的距离是点到平面的距离的一半，
又因为，所以三棱锥为正三棱锥，
取等边的中心为，连接，，可得平面，
所以即为点到平面的距离，
在等边，因为，可得，
在直角中，可得，
即点到平面的距离为，
所以的最小值为.
5．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）如图，平行六面体的底面为正方形，棱长都为，且，设，，，，分别是棱，的中点，点为棱上的动点.
(1)用，，表示；
(2)若为棱的中点，求；
(3)是否存在点，使，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；(2)；(3)存在，为的中点【难度】0.65
【详解】（1）；
（2）若P为棱的中点，则，，
所以
；
（3）设，
则，由（1）知
所以，
即，
化简得，解得，
所以这样的点存在，且为的中点.
6.（24-25高二上·湖北·期中）如图，在正四棱台中，.直线与平面EFG交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【难度】0.65
【详解】依题意，，在四棱台中，
，
设，则四点共面，
.
7.（24-25高二上·四川乐山·阶段练习）如图，平行六面体各棱长为，且，动点在该几何体内部，且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【难度】0.65
【详解】因为，
则，
即，
由平面向量共面定理可知：点在平面内，
则的最小值即为点到平面的距离，
连接，，，，，，
因为平行六面体各棱长为，且，
所以，，
所以三棱锥为正三棱锥，
如图所示，
设中点为，过点作平面，
则点为的中心，即在上，
则，
则，
所以
8.（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）在棱长为2的正方体中，点为底面ABCD中一动点（含边界），且，则线段PB的长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【难度】0.65
【详解】取的中点为，的中点为，连接，
则平面，而平面，故.
而，
而，故，
而，故即，
由正方体的性质可得，故，
故的轨迹是以为圆心，为半径的圆，而，
故线段的长度的最小值为，
当且仅当三点共线且在之间时的长度取最小值，
故选：C.
9.（25-26高二上·全国·单元测试）如图，已知正方体，空间中一点P满足，且，当取最小值时，点P位置记为点Q，则数量积的不同取值的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A【难度】0.65
【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
设正方体的棱长为2，
则，，，，，，，．
因为，且，
所以点P在平面内．
又因为三棱锥为正三棱锥，
当平面时，取最小值，此时点P位置记为点Q，
所以Q为的重心，则，
（在中，G为的重心，若，，，则G的坐标为），
故．
又，，，，，，，
所以，，，，，，，
所以共3个不同的取值．
10.（多选）（24-25高一下·河南·期中）正四面体的棱长为，若点Q是该正四面体外接球球面上的一个动点，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC【难度】0.65
【详解】因为正四面体的外接球的球心的投影在底面正的中心，
底面正的高为，故正四面体的高为，
设外接球的半径为，则，
如图所示，取中点，连接，因为，所以，
球心到的距离，
则，
因为点Q是该正四面体外接球球面上的一个动点，所以，
即，所以，
分析各个选项，发现B，C在该范围内，即B，C正确.
