人教版九年级上册 第二十四章 圆 单元测试(含答案)

人教版九年级上册 第二十四章 圆 单元测试
一、选择题
1.如图，在正五边形ABCDE中，连接AC，则∠CAE=（　　）
A.108° B.36° C.45° D.72°
2.如图所示，在长方形ABCD中，AB＝a，BC＝b，且a＞b，将长方形ABCD绕边AB所在的直线旋转一周形成圆柱甲，再将长方形ABCD绕边BC所在直线旋转一周形成圆柱乙，记两个圆柱的侧面积分别为S甲、S乙．下列结论中正确的是（　　）
A.S甲＞S乙 B.S甲＜S乙 C.S甲＝S乙 D.不确定
3.如图，△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，点O在AB边上，⊙O与BC边相切于点D，与AB边交于点E，则∠BED的度数是（　　）
A.10° B.15° C.20° D.25°
4.如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝110°，则∠AOB等于（　　）
A.100° B.110° C.120° D.140°
5.用反证法证明“在△ABC中，若∠A＞∠B，则a＞b”时，应假设（　　）
A.a＜b B.a≤b C.a＝b D.a≥b
6.如图，∠AOB＝30°，C为OB上一点，且OC＝3，CD⊥OA于点D，以点C为圆心，半径为1的圆与OA的位置关系是（　　）
A.相交 B.相切 C.相离 D.以上三种情况均有可能
7.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，M是AB的中点，以点C为圆心，1为半径作⊙C，则（　　）
A.点M在⊙C外 B.点M在⊙C上 C.点M在⊙C内 D.不能确定
8.如图，△ABC内接⊙O，∠BAC＝45°，BC＝，则的长是（　　）
A. B. C. D.π
9.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD为⊙O的切线，D为切点，DA＝DE，则△ABD和△CDE的面积之比为（　　）
A. B. C. D.﹣1
10.如图，AB为圆O一条弦，OD⊥AB交AB于N，劣弧AB于点D，在圆上取一点C，连接AC交OD于M，连接DC，若∠ACD＝30°，M平分ON，且DN＝2，则AM＝（　　）
A. B. C. D.
11.如图，将正六边形ABCDEF放置在直角坐标系内，A（﹣2，0），点B在原点，点P是正六边形的中心，现把正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，经过2022次翻转之后，则点P的坐标是（　　）
A.（2022，） B.（2021，） C.（4043，） D.（4044，）
12.如图，正六边形ABCDEF的边长为2，取正六边形的对角线CF的中点为原点O，以直线OF为x轴建立平面直角坐标系，取EF的中点M，连接OM．将△OFM绕点O顺时针旋转，每次旋转60°，则第2024次旋转结束时，点F的坐标为（　　）
A.（﹣1，） B. C.（﹣1，﹣） D.（，1）
二、填空题
13.用反证法证明：若a，b，c是不全为0的实数，且a+b+c＝0，那么a，b，c这三个数中至少有一个负数．
证明：假设a，b，c都不是 　 　，
∵a，b，c不全为0，
∴a，b，c中至少有一个为正数，
∴a+b+c 　 　0，这与已知相 　 　，
∴　 　，原命题成立，
即a，b，c这三个数中至少有一个负数．
14.如图，⊙O的半径为4，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，BD．若∠ADB＝50°，∠ACD＝80°，则劣弧BD的长为 　 　．
15.若直线l上有四点A，B，C，D，直线l外有一点P，则经过图中的三个点作圆，最多可以作 　 　个．
16.如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，若BC：AB：AD＝3：4：6，且四边形ABCD的周长为72，则四边形CD边长为 　 　．
17.如图，已知⊙O的半径是8，点A，B在⊙O上，且∠AOB＝120°，动点P在⊙O上运动（不与A，B重合），点Q为线段BP的中点，连接AQ，则线段AQ长度的最小值是 　 　．
三、解答题
18.如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，已点C为圆心作⊙C，半径为r．
（1）当r取什么值时，点A、B在⊙C外？
（2）当r取什么值时，点A在⊙C内，点B在⊙C外．
19.用反证法证明下列问题：
如图，在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，BD、CE相交于点O．求证：BD和CE不可能互相平分．
20.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．求：
（1）△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1，并写出A1的坐标；
（2）在旋转过程中，点B经过的路径为弧BB1，求弧BB1的长．
21.如图△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，以点D为圆心，BD为半径作⊙D交AB于点E．
（1）求证：⊙D与AC相切；
（2）若AC＝5，BC＝3，试求AE的长．
22.如图所示，AB为⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F，连接DA．
（1）若AB＝90cm，则圆心O到EF的距离是多少？说明你的理由．
（2）若，求阴影部分的面积（结果保留π）．
人教版九年级上册 第二十四章 圆 单元测试（参考答案）
一、选择题
1.如图，在正五边形ABCDE中，连接AC，则∠CAE=（　　）
A.108° B.36° C.45° D.72°
【答案】D
【解析】解：
∵多边形ABCDE是正五边形，
∴AB＝BC，∠ABC=∠BAE＝＝108°，
∴∠BAC＝∠ACB＝36°，
∴∠CAE=108°-36°=72°
故选：D．
2.如图所示，在长方形ABCD中，AB＝a，BC＝b，且a＞b，将长方形ABCD绕边AB所在的直线旋转一周形成圆柱甲，再将长方形ABCD绕边BC所在直线旋转一周形成圆柱乙，记两个圆柱的侧面积分别为S甲、S乙．下列结论中正确的是（　　）
A.S甲＞S乙 B.S甲＜S乙 C.S甲＝S乙 D.不确定
【答案】C
【解析】解：∵S甲＝2π×b×a＝2πab，S乙＝2π×a×b＝2πba，
∴S甲﹣S乙
＝2πab﹣2πba
＝0，
∴S甲﹣S乙＝0，
∴S甲＝S乙，
故选：C．
3.如图，△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，点O在AB边上，⊙O与BC边相切于点D，与AB边交于点E，则∠BED的度数是（　　）
A.10° B.15° C.20° D.25°
【答案】B
【解析】解：连接OD，如图所示，
∵⊙O与BC边相切于点D，
∴OD⊥BC，
∵∠C＝90°，
∴OD∥AC，
∴∠BOD＝∠A＝30°，
又OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED，
∵∠BOD＝∠ODE+∠OED，
∴∠ODE＝∠OED＝15°．
∴∠BED＝15°，
故选：B．
4.如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝110°，则∠AOB等于（　　）
A.100° B.110° C.120° D.140°
【答案】D
【解析】∵∠C＝110°，∴优弧 所对的圆心角为2∠C＝220°，
∴∠AOB＝360°﹣220°＝140°．
5.用反证法证明“在△ABC中，若∠A＞∠B，则a＞b”时，应假设（　　）
A.a＜b B.a≤b C.a＝b D.a≥b
【答案】B
【解析】用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b”，第一步应假设a≤b，
故选：B．
6.如图，∠AOB＝30°，C为OB上一点，且OC＝3，CD⊥OA于点D，以点C为圆心，半径为1的圆与OA的位置关系是（　　）
A.相交 B.相切 C.相离 D.以上三种情况均有可能
【答案】C
【解析】解：∵CD⊥OA于点D，
∴∠ODC＝90°，
∵∠AOB＝30°，OC＝3，
∴CD＝OC＝，
∵⊙C的半径为1，且＞1，
∴⊙C的圆心到直线OA的距离大于⊙C的半径，
∴⊙C与OA相离，
故选：C．
7.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，M是AB的中点，以点C为圆心，1为半径作⊙C，则（　　）
A.点M在⊙C外 B.点M在⊙C上 C.点M在⊙C内 D.不能确定
【答案】A
【解析】解：如图，
∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，
∴AB＝＝＝．
∵M是AB的中点，
∴CM＝AB＝＞1，
∴点M在⊙C外．
故选：A．
8.如图，△ABC内接⊙O，∠BAC＝45°，BC＝，则的长是（　　）
A. B. C. D.π
【答案】C
【解析】如图，连接OB、OC，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝90°，
∵BC＝，
∴OB＝OC＝BC＝1，
∴的长为：＝π．
9.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD为⊙O的切线，D为切点，DA＝DE，则△ABD和△CDE的面积之比为（　　）
A. B. C. D.﹣1
【答案】B
【解析】解：连接OD，如图，
∵BD为⊙O的切线，D为切点，
∴OD⊥BD，
∴∠ODB＝90°，
∵CE为直径，
∴∠CDE＝90°，
∵∠ADB+∠BDE＝90°，∠ODE+∠BDE＝90°，
∴∠ADB＝∠ODE，
∵∠ABD+∠OBD＝90°，∠DOE+∠OBD＝90°，
∴∠ABD＝∠DOE，
在△ABD和△EOD中，
，
∴△ABD≌△EOD（ASA），
∴S△ABD＝S△EOD，
∵OE＝CE，
∴S△EOD＝S△CDE，
∴S△ABD＝S△CDE．
故选：B．
10.如图，AB为圆O一条弦，OD⊥AB交AB于N，劣弧AB于点D，在圆上取一点C，连接AC交OD于M，连接DC，若∠ACD＝30°，M平分ON，且DN＝2，则AM＝（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：∵∠ACD＝30°，∠C＝∠AOD，
∴∠AOD＝60°，
∵OA＝OD，
∴△OAD是等边三角形，
∵AN⊥OD，
∴ON＝DN＝2，
∴OA＝OD＝ON+DN＝4，
∵M平分ON，
∴MN＝ON＝1，
∵△AOD是等边三角形，AN⊥OD，
∴AN＝OA＝2，
∴AM＝＝．
故选：A．
11.如图，将正六边形ABCDEF放置在直角坐标系内，A（﹣2，0），点B在原点，点P是正六边形的中心，现把正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，经过2022次翻转之后，则点P的坐标是（　　）
A.（2022，） B.（2021，） C.（4043，） D.（4044，）
【答案】C
【解析】由题意可知：
第一次翻转，中点P移动到点C的位置，点A移动到点P的位置连接PC，与y轴交于点Q，过点P作PG⊥x轴，垂足为G，
∵A（﹣2，0），
∴OA＝OP＝OC＝2，
由正六边形可知：
∠AOC＝＝120°，∠POG＝60°，∠POC＝60°，
∴△POC是等边三角形，GO＝1，PG＝，
∴PC＝2，PQ＝CQ＝1，P（﹣1，），
∴第一次翻转，点P的横坐标增加 2，纵坐标不变，
∴经过 2022 次翻转之后，点P的坐标是（﹣1+2×2022，），
即（4043，），
故选：C．
12.如图，正六边形ABCDEF的边长为2，取正六边形的对角线CF的中点为原点O，以直线OF为x轴建立平面直角坐标系，取EF的中点M，连接OM．将△OFM绕点O顺时针旋转，每次旋转60°，则第2024次旋转结束时，点F的坐标为（　　）
A.（﹣1，） B. C.（﹣1，﹣） D.（，1）
【答案】C
【解析】解：将△OFM绕点O顺时针旋转，每次旋转60°，
第1次旋转后，点F与点E重合，
第2次旋转后，点F与点D重合，
第3次旋转后，点F与点C重合，
第4次旋转后，点F与点B重合，
第5次旋转后，点F与点A重合，
第6次旋转后，点F与点F重合，
……
由于2024÷6＝337……2，
所以第2024次旋转后，点F与点D重合，
如图，连接OD，在Rt△ODN中，OD＝2，∠ODN＝60°，
∴DN＝OD＝1，ON＝OD＝，
∴点D（﹣1，﹣），
即旋转2024次后点F的坐标为（﹣1．﹣）．
故选：C．
二、填空题
13.用反证法证明：若a，b，c是不全为0的实数，且a+b+c＝0，那么a，b，c这三个数中至少有一个负数．
证明：假设a，b，c都不是 　 　，
∵a，b，c不全为0，
∴a，b，c中至少有一个为正数，
∴a+b+c 　 　0，这与已知相 　 　，
∴　 　，原命题成立，
即a，b，c这三个数中至少有一个负数．
【答案】负数；＞；矛盾；假设不成立
【解析】证明：假设a，b，c都不是负数．
∵a，b，c不全为0，
∴a，b，c中至少有一个为正数，
∴a+b+c＞0，这与已知相矛盾，
∴假设不成立，原命题成立，
即a，b，c这三个数中至少有一个负数．
故答案为：负数；＞；矛盾；假设不成立．
14.如图，⊙O的半径为4，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，BD．若∠ADB＝50°，∠ACD＝80°，则劣弧BD的长为 　 　．
【答案】
【解析】解：如图，连接OB，OD，
∵∠ACD和∠ABD为所对的圆周角，
∴∠ABD＝∠ACD＝80°，
∵∠ADB＝50°，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝50°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝100°，
∵⊙O的半径为4，
∴劣弧BD的长为．
故答案为：．
15.若直线l上有四点A，B，C，D，直线l外有一点P，则经过图中的三个点作圆，最多可以作 　 　个．
【答案】6
【解析】解：①过点A、B、P可以确定一个圆；
②过点A、C、P可以确定一个圆；
③过点B、C、P可以确定一个圆；
④过点A、D、P可以确定一个圆；
⑤过点B、D、P可以确定一个圆；
⑥过点C、D、P可以确定一个圆．
综上所述，最多可以作6个圆，
故答案为：6．
16.如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，若BC：AB：AD＝3：4：6，且四边形ABCD的周长为72，则四边形CD边长为 　 　．
【答案】20
【解析】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，
∴AB+CD＝BC+AD，
∵BC：AB：AD＝3：4：6，
∴设BC＝3x，AB＝4x，AD＝6x，
∵4x+CD＝3x+6x，
∴CD＝5x，
∵四边形ABCD的周长为72，
∴3x+4x+5x+6x＝72，
解得x＝4，
∴CD＝5x＝20．
故答案为：20．
17.如图，已知⊙O的半径是8，点A，B在⊙O上，且∠AOB＝120°，动点P在⊙O上运动（不与A，B重合），点Q为线段BP的中点，连接AQ，则线段AQ长度的最小值是 　 　．
【答案】
【解析】解：如图1，取OB的中点E，连接OE，OP，
∵点Q为线段BP的中点，点E为OB的中点，
∴QE为△BOP的中位线，
∴，
∴点Q的轨迹为以点E为圆心，4为半径的圆，
如下图所示，作AF⊥OB交BO的延长线于点F，当点Q位于线段AE与⊙E的交点时，AQ取最小值，
∵∠AOB＝120°，∠AOB＝∠F+∠OAF，
∴∠OAF＝∠AOB﹣∠F＝120°﹣90°＝30°，
∴，
∴，
在Rt△EFA中，EF＝OF+OE＝4+4＝8，，
∴，
∴，
∴线段AQ长度的最小值是，
故答案为：．
三、解答题
18.如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，已点C为圆心作⊙C，半径为r．
（1）当r取什么值时，点A、B在⊙C外？
（2）当r取什么值时，点A在⊙C内，点B在⊙C外．
【答案】解：（1）若点A、B在⊙C外，则AC＞r，
∵AC＝3，
∴0＜r＜3，
（2）如点A在⊙C内，点B在⊙C外，则AC＜r＜BC，
∵AC＝3，BC＝4，
∴3＜r＜4．
【解析】
19.用反证法证明下列问题：
如图，在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，BD、CE相交于点O．求证：BD和CE不可能互相平分．
【答案】证明：连接DE，
假设BD和CE互相平分，
∴四边形EBCD是平行四边形，
∴BE∥CD，
∵在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，
∴AB不可能平行于AC，与已知出现矛盾，
故假设不成立原命题正确，
即BD和CE不可能互相平分．
【解析】
20.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．求：
（1）△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1，并写出A1的坐标；
（2）在旋转过程中，点B经过的路径为弧BB1，求弧BB1的长．
【答案】解：（1）如图所示：
（2）由勾股定理得，OB＝＝，
弧BB1的长＝＝π．
【解析】
21.如图△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，以点D为圆心，BD为半径作⊙D交AB于点E．
（1）求证：⊙D与AC相切；
（2）若AC＝5，BC＝3，试求AE的长．
【答案】（1）证明：过D作DF⊥AC于F，
∵∠B＝90°，
∴AB⊥BC，
∵CD平分∠ACB交AB于点D，
∴BD＝DF，
∴⊙D与AC相切；
（2）解：设圆的半径为x，
∵∠B＝90°，BC＝3，AC＝5，
∴AB＝＝4，
∵AC，BC，是圆的切线，
∴BC＝CF＝3，
∴AF＝AB﹣CF＝2，
∵AB＝4，
∴AD＝AB﹣BD＝4﹣x，
在Rt△AFD中，（4﹣x）2＝x2+22，
解得：x＝，
∴AE＝4﹣3＝1．
【解析】
22.如图所示，AB为⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F，连接DA．
（1）若AB＝90cm，则圆心O到EF的距离是多少？说明你的理由．
（2）若，求阴影部分的面积（结果保留π）．
【答案】解：（1）如图所示，连接OD，
∵D为的中点，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ADO，
∴∠CAD＝∠ADO，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥EF，
∴OD的长是圆心O到EF的距离，
∵AB＝90cm，
∴．
（2）如图所示，过点O作OG⊥AD交AD于点G．
∵DA＝DF，
∴∠F＝∠BAD，
由（1）得∠CAD＝∠BAD，
∴∠F＝∠CAD，
∵∠F+∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠F＝∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝60°，OF＝2OD，
∵在Rt△ODF中，OF2﹣OD2＝DF2，
∴，解得OD＝6，
在Rt△OAG中，OA＝OD＝6，∠OAG＝30°，，
∴，
∴．
【解析】