(共69张PPT)
7.1 任意角的概念与弧度制
7.1.1 角的推广
探究点一 任意角的概念
探究点二 终边相同的角的应用
探究点三 象限角的判断
探究点四 区域角的表示
【学习目标】
1.了解任意角的概念,能区分正角、负角与零角；
2.理解并掌握终边相同的角的含义及其表示方法；
3.掌握象限角的概念并能用集合表示各类象限角及区域角.
知识点一 角的概念的推广
1.任意角的概念:一条射线绕其______旋转到另一条射线所形成的图
形称为角，这两条射线分别称为角的______和______.
端点
始边
终边
2.角的分类
类型 定义 图示
正角 按照________方向旋转而成的角 ______________________________________
负角 按照________方向旋转而成的角 _____________________________________
零角 射线______旋转 __________________________________
逆时针
顺时针
没有
3.角的加减运算及其几何意义
（1）角的加法的几何意义
如图①所示，射线逆时针方向旋转到 所
形成的角为 ，逆时针方向旋转到 所
形成的角为 ，则逆时针方向旋转到
所形成的角为________________.
（2）角的减法的几何意义
如图②所示，射线逆时针方向旋转到所形成的角为 ，
顺时针方向旋转到所形成的角为 ，则 逆时针方向旋转到
所形成的角为_______________.
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）经过15分钟，钟表的分针转过的角度为 .( )
×
[解析] 因为钟表的分针是顺时针方向旋转的，所以转过的角度应该
是 .
（2）两个角的始边相同，那么这两个角的始边和终边的张角越大，
对应的角越大.( )
×
[解析] 两个角的始边相同，它们的终边按逆时针方向旋转而成的角
为正角，按顺时针方向旋转而成的角为负角，
所以张角大的角如果是顺时针方向旋转而成的，那么它反而小，
因此要考虑到形成角时的旋转方向.
（3）一条射线也可以看成一个角.( )
√
[解析] 一条射线可以看成零角.
（4）角的始边不变，角的终边按逆时针方向旋转，角变大，角的终
边按顺时针方向旋转，角变小.( )
√
[解析] 角的终边按逆时针方向旋转而成的角是正角，角的终边按顺
时针方向旋转而成的角为负角.
（5）若角的始边和终边重合，则该角为零角.( )
×
[解析] 零角是终边和始边重合的角，但终边和始边重合的角不一定
是零角，如 ， ， 等角，它们的终边和始边也重合.
2.图中 ， ，如果不标明旋转方向，那么这两个
角还是 和 吗？如果把图中表示旋转的绝对量的弧去掉，
那么这两个角具有怎样的关系？
解：因为角的终边按逆时针方向旋转而成的角为正角，角的终边按
顺时针方向旋转而成的角为负角，
所以若没有标明旋转方向，则不知道这两个角是怎样旋转得到的，
不一定是 ， .
当把图中表示旋转的绝对量的弧去掉时，这两个角都表示无数个角，
且它们是终边相同的角.
知识点二 象限角
1.象限角定义：__________与坐标原点重合,角的______落在 轴的正
半轴上.这时,角的______在第几象限,就把这个角称为第几象限角.
角的顶点
始边
终边
2.终边在坐标轴上的角（轴线角） 在平面直角坐标系中，角的顶点
与坐标原点重合，角的始边落在 轴的正半轴上，角的终边在______
__上,就认为这个角不属于任何象限，可称为轴线角.
坐标轴
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）锐角是第一象限角，钝角是第二象限角，反之也成立.( )
×
[解析] 锐角 满足 ，钝角 满足 ，
显然角 是第一象限角，角 是第二象限角，反之不成立.
（2）小于 的角是锐角，也是第一象限角.( )
×
[解析] 小于 的角包含了零角和负角，零角和负角显然不是锐角，
如 角，它既不是第一象限角也不是锐角.
（3）若角 的顶点与坐标原点重合，始边落在 轴的正半轴上，终
边经过点,则角 是第二象限角.( )
√
（4）若角 大于 小于 ，则角 是第一象限角或第二象限角.
( )
×
[解析] 角 也可能是轴线角，不属于任何象限.
知识点三 终边相同的角
1.终边相同角的定义：一般地，角__________________与角 的终
边相同，这只需把 看成逆时针或者顺时针方向旋转若干周
即可.任意两个终边相同的角，它们的差一定是 的______倍.因
此，所有与 终边相同的角组成一个集合，这个集合可记为
_________________________.
整数
,
2.象限角与终边在坐标轴上的角（轴线角）的表示：
（1）象限角的集合表示
象限角 角 的集合表示
第一象限角 ______________________________________
第二象限角 ____________________________________________
第三象限角 _____________________________________________
第四象限角 _____________________________________________
，
，
，
，
（2）轴线角的集合表示
角 的终边位置 角 的集合表示
轴正半轴 ,
轴负半轴 ,
轴 ,
轴正半轴 ,
轴负半轴 ,
轴 ,
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）与 角终边相同的角为 .( )
×
[解析] 与 角终边相同的角为 .
（2）角表示与 角终边相同的角.( )
×
[解析] 角表示与 角终边共线的角.
（3）角表示与 角终边互为反向延
长线的角.( )
√
[解析] ,
角表示与 角终边相同的角，即与 角
终边互为反向延长线的角.
（4）集合 , 中的元素所表示
的角是第四象限角.( )
×
[解析] 第四象限角的集合为
, .
2.如何区分“角”和“角 ”？
解：“角)”表示与角 终边共线的角，其中包含了
两种情况，
若为偶数，则表示终边与角 终边相同的角，
若 为奇数，则表示终边与角 终边互为反向延长线的角；
而“角”表示终边与角 终边相同的角，是前者的一种
情况.
探究点一 任意角的概念
例1（1） [2023·上海静安区高一期末]在平面直角坐标系中，以下说
法中所表述的角都是顶点在坐标原点，始边与 轴的正半轴重合的角.
①小于 的角一定是钝角；
②第二象限角一定是钝角；
③终边重合的角一定相等；
④相等的角终边一定重合.
其中说法正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
√
[解析] 对于①， 角是小于 的角，但不是钝角，故①错误；
对于②， 角是第二象限角，但不是钝角，故②错误；
对于③， 角和 角的终边重合，但不相等，故③错误；
对于④，相等的角终边一定重合，故④正确.故选A.
（2）体操运动员按照逆时针方向旋转 而成的角是______.若将
钟表拨快10分钟,则时针旋转了_____,分针旋转了______.
[解析] 因为按照逆时针方向旋转而成的角是正角,所以体操运动员按
照逆时针方向旋转 而成的角是 .
由题意可知,时针按照顺时针方向旋转了 ，即为 ,
分针按照顺时针方向旋转了 ，即为 .
［素养小结］
解决此类问题的关键在于正确理解角的概念，注意角的始边在哪个
位置以及终边是顺时针还是逆时针方向旋转.
探究点二 终边相同的角的应用
［探索］ 如何判断两个角的终边相同？
解：根据终边相同的角的定义判断，一般地,角 与
角 的终边相同，且它们的差一定是 的整数倍.
例2（1） （多选题）[2024·太原高一期末] 下列选项中，与 角
终边相同的角有( )
A. B. C. D.
[解析] 与 角终边相同的角为.
当 时，有 ，故B正确；
当 时，有 ，故D正确；
其他选项检验均不成立.故选 .
√
√
（2）终边在第一、三象限的角平分线上的角 的集合
______________________________.
，}
[解析] 易知终边在第一、三象限的角平分线上的角 的集合
， .
变式 [2024·江苏盐城大丰中学高一月考] 若角 的终边与角 的终
边关于轴对称，则角 的终边落在( )
A. 轴的正半轴上 B.第一象限
C. 轴的正半轴上 D.第三象限
[解析] 因为角 的终边与角 的终边关于轴对称，所以角 的
终边与角 的终边相同，即 ，
则有，所以角 的终边落在 轴的正半轴
上．故选A.
√
［素养小结］
（1）写出终边相同的角的集合的一般步骤：
①写出在 内相应的角；
②由终边相同的角的表示方法写出角的集合；
③根据条件，能合并的集合一定要合并，使结果简洁.
（2）终边问题常用的三个结论：
①终边相同的角之间相差 的整数倍；
②终边在同一条直线上的角之间相差 的整数倍；
③终边在相互垂直的两直线上的角之间相差 的整数倍.
探究点三 象限角的判断
［探索］ 已知 ,如何判断 所在象限？
解：设角 与角 的终边相同,且 ,
则 ,
所以角 是第四象限角，所以角 是第四象限角.
例3（1） [2024·海南陵水中学高一期中]若 是第一象限角，则下列
各角为第四象限角的是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为 是第一象限角，所以 是第四象限角，所以
是第一象限角，故A错误；
是第二象限角，故B错误；
是第四象限角，故C正确；
是第一象限角，故D错误.故选C.
√
（2）[2024·江苏连云港灌南高级中学高一月考]如果 是第三象限角，
则 是( )
A.第一象限角 B.第一或第二象限角
C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角
[解析] 因为 是第三象限角，所以
, ，
所以 ,.
当为偶数时， 是第三象限角；
当为奇数时， 是第一象限角.故选C.
√
变式（1） （多选题）[2024·江西万安中学高一月考] 下列各角是第
二象限角的是( )
A. B. C. D.
[解析] 对于A， ， 角是第三象限角，
故A错误；
对于B， 角的终边在 轴的负半轴上，故B错误；
对于C， ， 是第二象限角，故C正确；
对于D， ， 是第二象限角，故D正确.故选 .
√
√
（2）若角 是第一象限角,则角 的终边落在____________________
___________.
第一象限、第二象限或第三象限
[解析] 角 是第一象限角， ，
.
当 时, ,
角 的终边落在第一象限;
当时, ,
角的终边落在第二象限;
当 时, ,
角 的终边落在第三象限.
综上,角 的终边落在第一象限、第二象限或第三象限.
［素养小结］
（1）判断象限角 的方法：①若角 为 内的角，则其终
边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系，易于判断象限
角；②若角 为之外的角，则可以通过 ,
将角 转化到内的角 ，因为终边相同的角所属的象
限相同，所以判断角 的终边所在的象限即可.
（2）一般地,要确定的终边所在的象限,可以先把各个象限都 等分,
再从轴正半轴的上方起,按逆时针方向把这 个区域依次循环标上
号码1,2,3,4,则标号是几的区域就是 为第几象限角时 的终边所在的
区域, 的终边所在的象限就可以直观地看出.
探究点四 区域角的表示
例4（1） [2023· 山西朔州怀仁一中高一期末]集合
, }中的角所表示的范围
（阴影部分）是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 当,时，
,;
当, 时，
, .故选C.
（2）如图，分别写出适合下列条件的角的集合：
①终边落在射线 上；
解：终边落在射线上的角的集合为 , .
②终边落在直线 上；
解：终边落在直线上的角的集合为 , .
③终边落在阴影区域内（含边界）.
解：终边落在直线 上的角的集合为
, ，
则终边落在阴影区域内（含边界）的角的
集合为 ,
.
变式 [2023·江西上饶一中高一月考] 如图所示，
终边落在阴影部分内（包括边界）的角 的集
合为_____________________________________
____________．
,
[解析] 由题图知，角 的集合为
,
}.
［素养小结］
表示区域角的三个步骤：
第一步：按照逆时针方向找到区域的起始边界和终止边界；
第二步：按由小到大的顺序分别标出起始边界和终止边界对应的在
或内的角 和 ，写出最简区间
（注意是否包含边界），其中 ；
第三步：区域的起始边界、终止边界对应角 ， 加上
即得区域角的集合，对顶区域起始边界、终止边界对
应角 ， 加上 即得区域角的集合.
1.[2024·福建德化一中高一月考]若角 与 角的终边相同，则
( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为角 与 角的终边相同，所以
，
所以 .故选B.
√
2.[2024·湖南师大附中高一期末]下列说法正确的是( )
A.小于 的角是锐角
B.第二象限的角一定大于第一象限的角
C.与 角终边相同的最小正角是
D.若 ，则 是第四象限角
√
[解析] ，但是由锐角的定义知 角不是锐角，故A错误；
是第二象限的角， 是第一象限的角，但 ，故B错误；
因为 ，所以与 角终边相同的最小正角
是 ，故C正确；
若，则 是第三象限角，故D错误.故选C.
3.[2023·广东汕尾华大实验学校高一月考]设集合
， ，则
集合， 的关系为( )
A. B. C. D.无法确定
[解析] 集合 ,
.
对于集合，当,时， , ；
当,时， , .
.故选B.
√
4.已知两个齿轮是互相啮合的，大齿轮有64齿，小齿轮有24齿．当小
齿轮转动 时，大齿轮转动的角度为_______．
[解析] 当小齿轮转动 时，大齿轮转动的角度的大小为
，
因为两齿轮转动的方向相反，所以大齿轮转动的角度为 .
5.如图所示， ， 分别是终边落在， 上的
两个角，且 ， .
（1）终边落在阴影区域内（不包括边界）的角
的集合为___________________________________
_________；
，
[解析] 因为终边与角 终边相同的一个角可以表示为 ，
所以终边落在阴影区域内（不包括边界）的角 的集合为
， .
（2）终边落在阴影区域内（不包括边界）且在
内的角 的集合为___________________
_______________.
或
[解析] 由（1）知满足条件的角 的集合为
或 .
1.终边在坐标轴上的角的表示方法不唯一，要灵活掌握，例如：
终边在 轴负半轴上的角的集合还可以表示为
, ；
终边在 轴负半轴上的角的集合还可以表示为
, ；
终边在轴上的角的集合还可以表示为 , .
2.“两个角的终边相同”是“两个角相等”的必要不充分条件.
3.在 内找与给定角终边相同的角的方法
（1）一般地，可以将所给的角 化成
的形式，其中的 就是所求的角.
（2）若所给的角的绝对值不是很大，则可以通过如下方法完成：当
所给角是负角时，采用连续加 的方式；当所给角是正角时，采
用连续减 的方式，直到所得结果达到要求为止.
1.任意角的概念
“旋转”的关键点:①要明确旋转的方向;②要明确旋转的绝对量的大小;
③要明确射线未作任何旋转时的位置.
例1（1） 经过2个小时,钟表的时针和分针转过的角度分别是( )
A. , B. , C. , D. ,
[解析] 因为钟表的时针和分针都是按照顺时针方向旋转的,
所以转过的角度都是负数,因为 , ,
所以钟表的时针和分针转过的角度分别是 , .故选B.
√
（2）如图所示,若角 , 均是以为始边,以为终边的角,则
_______, ______.
[解析] 由图易知 , .
2.若角 与 的终边关于轴、轴、原点、直线对称，则角
与 具有怎样的关系？
（1）关于轴对称：若角 与 的终边关于 轴对称，则
， .
（2）关于轴对称：若角 与 的终边关于 轴对称，则
， .
（3）关于原点对称：若角 与 的终边关于原点对称，则
， .
（4）关于直线对称：若角 与 的终边关于直线 对称，
则 ， .
例2 若角 的终边与 角的终边关于 轴对称，且
,则角 的值为_____________.
或
[解析] 方法一：如图所示,设 角的终边为射线
，与射线关于轴对称的射线为 ，以射线
为终边的一个角为 角，
故以射线 为终边的角的集合为 ， }.
又 ,所以 的值为 或 .
方法二：由角 的终边与 角的终边关于 轴对称，
得 ，.又 ,
所以 的值为 或 .
3.有关终边相同的角、象限角及落在某取值范围或某象限的角的问题
的解题方法
（1）借助于 ,},然后调整的值,使 的终边
在所给取值范围内即可.
（2）利用不等式求解此类题型是常见的方法,也可直接试探取
， ，0，1等值,看是否能使角的终边落在所给区域内.
例3 已知 .
（1）把 写成 的形式,并指出它
是第几象限角.
解：由题意得 ,易知 是第二象限角.
（2）若角 与 的终边相同,且 ，求 .
解：令 ,
,即,
或 ,
或 .
4.写出终边在某条过原点的直线上的角的集合有两种方法:一是分别
写出每条终边所代表的角的集合,再取并集;二是在其中一条终边上找
出一个角,然后再加上 的整数倍.
例4 分别写出终边在如图①②③所示的平面直角坐标系中的直线上
的角的集合.
解：（1）在 范围内，终
边在轴上的角有两个，即 和 ，
因此，所有与 角的终边相同的角构成
集合 ， ，
而所有与 角的终边相同的角构成集合
， ，
故终边落在轴上的角的集合 ， .
（2）在 范围内，终边在直线
上的角有两个，即 和 .
因此，终边在直线 上的角的集合
， ，
， .
（3）终边在直线 上的角的集合为
， ，
于是所求角的集合 ，
，
， ，
， .
5.区域角及其表示方法
区域角是指终边在坐标系的某个区域内的角,其写法可分为三步:（1）
按照逆时针方向找到区域的起始和终止边界;（2）按由小到大的顺
序分别标出起始和终止边界对应的内的角 和 ,写出
最简集合;（3）角 , 分别加上 的整数倍,即得
区域角集合.
例5 写出终边落在阴影部分内的角的集合.
解：设终边落在阴影部分内的角为 ，角 的集合由两部分组成.
， ，
， ，
角 的集合应当是集合与的并集，
即角 的集合
，
，
， ， .7.1 任意角的概念与弧度制
7.1.1 角的推广
【课前预习】
知识点一
1.端点 始边 终边 2.逆时针 顺时针 没有
3.(1)60°+90°=150° (2)90°-30°=60°
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× [解析] (1)因为钟表的分针是顺时针方向旋转的,所以转过的角度应该是-90°.
(2)两个角的始边相同,它们的终边按逆时针方向旋转而成的角为正角,按顺时针方向旋转而成的角为负角,所以张角大的角如果是顺时针方向旋转而成的,那么它反而小,因此要考虑到形成角时的旋转方向.
(3)一条射线可以看成零角.
(4)角的终边按逆时针方向旋转而成的角是正角,角的终边按顺时针方向旋转而成的角为负角.
(5)零角是终边和始边重合的角,但终边和始边重合的角不一定是零角,如-360°,360°,720°等角,它们的终边和始边也重合.
2.解:因为角的终边按逆时针方向旋转而成的角为正角,角的终边按顺时针方向旋转而成的角为负角,所以若没有标明旋转方向,则不知道这两个角是怎样旋转得到的,不一定是450°,-630°.当把图中表示旋转的绝对量的弧去掉时,这两个角都表示无数个角,且它们是终边相同的角.
知识点二
1.角的顶点 始边 终边 2.坐标轴
诊断分析
(1)× (2)× (3)√ (4)× [解析] (1)锐角α满足0°<α<90°,钝角β满足90°<β<180°,显然角α是第一象限角,角β是第二象限角,反之不成立.
(2)小于90°的角包含了零角和负角,零角和负角显然不是锐角,如-30°角,它既不是第一象限角也不是锐角.
(4)角α也可能是轴线角,不属于任何象限.
知识点三
1.α+k·360°(k∈Z) 整数 {β|β=α+k·360°,k∈Z}
2.(1){α|k·360°<α诊断分析
1.(1)× (2)× (3)√ (4)× [解析] (1)与90°角终边相同的角为90°+k·360°(k∈Z).
(2)角30°+k·180°(k∈Z)表示与30°角终边共线的角.
(3)30°+(2k-1)·180°=-150°+k·360°(k∈Z), 角-150°+k·360°(k∈Z)表示与-150°角终边相同的角,即与30°角终边互为反向延长线的角.
(4)第四象限角的集合为{α|k·360°+270°<α2.解:“角α+k·180°(k∈Z)”表示与角α终边共线的角,其中包含了两种情况,若k为偶数,则表示终边与角α终边相同的角,若k为奇数,则表示终边与角α终边互为反向延长线的角;而“角α+k·360°(k∈Z)”表示终边与角α终边相同的角,是前者的一种情况.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)A (2)360° -5° -60° [解析] (1)对于①,-60°角是小于90°的角,但不是钝角,故①错误;对于②,480°角是第二象限角,但不是钝角,故②错误;对于③,480°角和120°角的终边重合,但不相等,故③错误;对于④,相等的角终边一定重合,故④正确.故选A.
(2)因为按照逆时针方向旋转而成的角是正角,所以体操运动员按照逆时针方向旋转360°而成的角是360°.由题意可知,时针按照顺时针方向旋转了10×=5°,即为-5°,分针按照顺时针方向旋转了10×=60°,即为-60°.
探究点二
探索 解:根据终边相同的角的定义判断,一般地,角α+k·360°(k∈Z)与角α的终边相同,且它们的差一定是360°的整数倍.
例2 (1)BD (2){β|β=45°+k·180°,k∈Z} [解析] (1)与-60°角终边相同的角为-60°+360°·k(k∈Z).当k=-1时,有-60°+360°×(-1)=-420°,故B正确;当k=1时,有-60°+360°×1=300°,故D正确;其他选项检验均不成立.故选BD.
(2)易知终边在第一、三象限的角平分线上的角β的集合S={β|β=45°+k·180°,k∈Z}.
变式 A [解析] 因为角α的终边与角θ的终边关于x轴对称,所以角-α的终边与角θ的终边相同,即θ=-α+k·360°(k∈Z),则有α+θ=k·360°(k∈Z),所以角α+θ的终边落在x轴的正半轴上.故选A.
探究点三
探索 解:设角β与角α的终边相同,且0°≤β≤360°,则β=-1480°+5×360°=320°,所以角β是第四象限角,所以角α是第四象限角.
例3 (1)C (2)C [解析] (1)因为α是第一象限角,所以-α是第四象限角,所以90°-α是第一象限角,故A错误;90°+α是第二象限角,故B错误;360°-α是第四象限角,故C正确;360°+α是第一象限角,故D错误.故选C.
(2)因为α是第三象限角,所以180°+k·360°<α<270°+k·360°,k∈Z,所以-135°-k·180°<-<-90°-k·180°,k∈Z.当k为偶数时,-是第三象限角;当k为奇数时,-是第一象限角.故选C.
变式 (1)CD (2)第一象限、第二象限或第三象限
[解析] (1)对于A,-120°=-360°+240°,240°角是第三象限角,故A错误;对于B,180°角的终边在x轴的负半轴上,故B错误;对于C,-240°=-360°+120°,120°是第二象限角,故C正确;对于D,495°=360°+135°,135°是第二象限角,故D正确.故选CD.
(2)∵角α是第一象限角,∴k·360°<α探究点四
例4 (1)C [解析] 当k=2n,n∈Z时,M={α|n·360°≤α≤n·360°+60°,n∈Z};当k=2n+1,n∈Z时,M={α|n·360°+180°≤α≤n·360°+240°,n∈Z}.故选C.
(2)解:①终边落在射线OM上的角的集合为{α|α=45°+k·360°,k∈Z}.
②终边落在直线OM上的角的集合为{α|α=45°+k·180°,k∈Z}.
③终边落在直线ON上的角的集合为{α|α=60°+k·180°,k∈Z},则终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为{α|45°+k·180°≤α≤60°+k·180°,k∈Z}.
变式 {α|-120°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z}
[解析] 由题图知,角α的集合为{α|-120°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z}.
【课堂评价】
1.B [解析] 因为角2α与220°角的终边相同,所以2α=220°+k·360°(k∈Z),所以α=110°+k·180°(k∈Z).故选B.
2.C [解析] -10°<90°,但是由锐角的定义知-10°角不是锐角,故A错误;100°是第二象限的角,400°是第一象限的角,但100°<400°,故B错误;因为-2024°=-6×360°+136°,所以与-2024°角终边相同的最小正角是136°,故C正确;若α=-100°,则α是第三象限角,故D错误.故选C.
3.B [解析] 集合N=={x|x=k·180°±45°,k∈Z}.对于集合M,当k=2m,m∈Z时,x=m·180°-45°,m∈Z;当k=2m+1,m∈Z时,x=m·180°+45°,m∈Z.∴M=N.故选B.
4.-135° [解析] 当小齿轮转动360°时,大齿轮转动的角度的大小为360°×=135°,因为两齿轮转动的方向相反,所以大齿轮转动的角度为-135°.
5.(1){γ|k·360°-45°<γ(2)由(1)知满足条件的角θ的集合为{θ|0°≤θ<60°或315°<θ<360°}.7.1 任意角的概念与弧度制
7.1.1 角的推广
【学习目标】
1.了解任意角的概念,能区分正角、负角与零角;
2.理解并掌握终边相同的角的含义及其表示方法;
3.掌握象限角的概念并能用集合表示各类象限角及区域角.
◆ 知识点一 角的概念的推广
1.任意角的概念:一条射线绕其 旋转到另一条射线所形成的图形称为角,这两条射线分别称为角的 和 .
2.角的分类
类型 定义 图示
正角 按照 方向旋转而成的角
负角 按照 方向旋转而成的角
零角 射线 旋转
3.角的加减运算及其几何意义
(1)角的加法的几何意义
如图①所示,射线OA逆时针方向旋转到OB所形成的角为60°,OB逆时针方向旋转到OC所形成的角为90°,则OA逆时针方向旋转到OC所形成的角为 .
(2)角的减法的几何意义
如图②所示,射线OA逆时针方向旋转到OB所形成的角为90°,OB顺时针方向旋转到OC所形成的角为-30°,则OA逆时针方向旋转到OC所形成的角为 .
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)经过15分钟,钟表的分针转过的角度为90°. ( )
(2)两个角的始边相同,那么这两个角的始边和终边的张角越大,对应的角越大. ( )
(3)一条射线也可以看成一个角. ( )
(4)角的始边不变,角的终边按逆时针方向旋转,角变大,角的终边按顺时针方向旋转,角变小. ( )
(5)若角的始边和终边重合,则该角为零角. ( )
2.图中α=450°,β=-630°,如果不标明旋转方向,那么这两个角还是450°和-630°吗 如果把图中表示旋转的绝对量的弧去掉,那么这两个角具有怎样的关系
◆ 知识点二 象限角
1.象限角定义: 与坐标原点重合,角的 落在x轴的正半轴上.这时,角的 在第几象限,就把这个角称为第几象限角.
2.终边在坐标轴上的角(轴线角):在平面直角坐标系中,角的顶点与坐标原点重合,角的始边落在x轴的正半轴上,角的终边在 上,就认为这个角不属于任何象限,可称为轴线角.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)锐角是第一象限角,钝角是第二象限角,反之也成立. ( )
(2)小于90°的角是锐角,也是第一象限角. ( )
(3)若角α的顶点与坐标原点重合,始边落在x轴的正半轴上,终边经过点A(-1,2),则角α是第二象限角. ( )
(4)若角α大于0°小于180°,则角α是第一象限角或第二象限角. ( )
◆ 知识点三 终边相同的角
1.终边相同角的定义:一般地,角 与角α的终边相同,这只需把k·360°看成逆时针或者顺时针方向旋转若干周即可.任意两个终边相同的角,它们的差一定是360°的 倍.因此,所有与α终边相同的角组成一个集合,这个集合可记为S= .
2.象限角与终边在坐标轴上的角(轴线角)的表示:
(1)象限角的集合表示
象限角 角α的集合表示
第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角
(2)轴线角的集合表示
角β的终边位置 角β的集合表示
x轴正半轴 {β|β=k·360°,k∈Z}
x轴负半轴 {β|β=k·360°+180°,k∈Z}
x轴 {β|β=k·180°,k∈Z}
y轴正半轴 {β|β=k·360°+90°,k∈Z}
y轴负半轴 {β|β=k·360°+270°,k∈Z}
y轴 {β|β=k·180°+90°,k∈Z}
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)与90°角终边相同的角为-270°. ( )
(2)角30°+k·180°(k∈Z)表示与30°角终边相同的角. ( )
(3)角30°+(2k-1)·180°(k∈Z)表示与30°角终边互为反向延长线的角. ( )
(4)集合{α|k·360°+270°<α2.如何区分“角α+k·180°(k∈Z)”和“角α+k·360°(k∈Z)”
◆ 探究点一 任意角的概念
例1 (1)[2023·上海静安区高一期末] 在平面直角坐标系中,以下说法中所表述的角都是顶点在坐标原点,始边与x轴的正半轴重合的角.
①小于90°的角一定是钝角;
②第二象限角一定是钝角;
③终边重合的角一定相等;
④相等的角终边一定重合.
其中说法正确的个数是 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
(2)体操运动员按照逆时针方向旋转360°而成的角是 .若将钟表拨快10分钟,则时针旋转了 ,分针旋转了 .
[素养小结]
解决此类问题的关键在于正确理解角的概念,注意角的始边在哪个位置以及终边是顺时针还是逆时针方向旋转.
◆ 探究点二 终边相同的角的应用
[探索] 如何判断两个角的终边相同
例2 (1)(多选题)[2024·太原高一期末] 下列选项中,与-60°角终边相同的角有 ( )
A.60° B.-420°
C.240° D.300°
(2)终边在第一、三象限的角平分线上的角β的集合S=.
变式 [2024·江苏盐城大丰中学高一月考] 若角α的终边与角θ的终边关于x轴对称,则角α+θ的终边落在 ( )
A.x轴的正半轴上 B.第一象限
C.y轴的正半轴上 D.第三象限
[素养小结]
(1)写出终边相同的角的集合的一般步骤:
①写出在[0°,360°)内相应的角;
②由终边相同的角的表示方法写出角的集合;
③根据条件,能合并的集合一定要合并,使结果简洁.
(2)终边问题常用的三个结论:
①终边相同的角之间相差360°的整数倍;
②终边在同一条直线上的角之间相差180°的整数倍;
③终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍.
◆ 探究点三 象限角的判断
[探索] 已知α=-1480°,如何判断α所在象限
例3 (1)[2024·海南陵水中学高一期中] 若α是第一象限角,则下列各角为第四象限角的是 ( )
A.90°-α B.90°+α
C.360°-α D.360°+α
(2)[2024·江苏连云港灌南高级中学高一月考] 如果α是第三象限角,则-是 ( )
A.第一象限角
B.第一或第二象限角
C.第一或第三象限角
D.第二或第四象限角
变式 (1)(多选题)[2024·江西万安中学高一月考] 下列各角是第二象限角的是 ( )
A.-120° B.180°
C.-240° D.495°
(2)若角α是第一象限角,则角的终边落在 .
[素养小结]
(1)判断象限角α的方法:①若角α为[0°,360°)内的角,则其终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系,易于判断象限角;②若角α为[0°,360°)之外的角,则可以通过β=α+k·360°,k∈Z将角α转化到[0°,360°)内的角β,因为终边相同的角所属的象限相同,所以判断角β的终边所在的象限即可.
(2)一般地,要确定的终边所在的象限,可以先把各个象限都n等分,再从x轴正半轴的上方起,按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上号码1,2,3,4,则标号是几的区域就是α为第几象限角时的终边所在的区域,的终边所在的象限就可以直观地看出.
◆ 探究点四 区域角的表示
例4 (1)[2023·山西朔州怀仁一中高一期末] 集合M={α|k·180°≤α≤k·180°+60°,k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是 ( )
A B C D
(2)如图,分别写出适合下列条件的角的集合:
①终边落在射线OM上;
②终边落在直线OM上;
③终边落在阴影区域内(含边界).
变式 [2023·江西上饶一中高一月考] 如图所示,终边落在阴影部分内(包括边界)的角α的集合为 .
[素养小结]
表示区域角的三个步骤:
第一步:按照逆时针方向找到区域的起始边界和终止边界;
第二步:按由小到大的顺序分别标出起始边界和终止边界对应的在[-180°,180°)(或[0°,360°))内的角α和β,写出最简区间(注意是否包含边界),其中β-α<360°;
第三步:区域的起始边界、终止边界对应角α,β加上k·360°(k∈Z)即得区域角的集合,对顶区域起始边界、终止边界对应角α,β加上k·180°(k∈Z)即得区域角的集合.
1.[2024·福建德化一中高一月考] 若角2α与220°角的终边相同,则α= ( )
A.110°+k·360°(k∈Z) B.110°+k·180°(k∈Z)
C.220°+k·360°(k∈Z) D.220°+k·180°(k∈Z)
2.[2024·湖南师大附中高一期末] 下列说法正确的是 ( )
A.小于90°的角是锐角
B.第二象限的角一定大于第一象限的角
C.与-2024°角终边相同的最小正角是136°
D.若α=-100°,则α是第四象限角
3.[2023·广东汕尾华大实验学校高一月考] 设集合M=,N=,则集合M,N的关系为 ( )
A.M N B.M=N
C.N M D.无法确定
4.已知两个齿轮是互相啮合的,大齿轮有64齿,小齿轮有24齿.当小齿轮转动360°时,大齿轮转动的角度为 .
5.如图所示,α,β分别是终边落在OA,OB上的两个角,且α=60°,β=315°.
(1)终边落在阴影区域内(不包括边界)的角γ的集合为 ;
(2)终边落在阴影区域内(不包括边界)且在[0°,360°)内的角θ的集合为 . 7.1 任意角的概念与弧度制
7.1.1 角的推广
1.C [解析] 因为-2024°=-44°-11×180°,所以集合A={α|α=-2024°+k·180°,k∈Z}中的最大负角为-44°.故选C.
2.C [解析] 因为钝角是大于90°且小于180°的角,一定是第二象限角,所以A B,故A错误,C正确;若β是第二象限角,则90°+k·360°<β<180°+k·360°,k∈Z,不妨取β=480°,此时β是第二象限角,但480°>180°,故B,D均错误.故选C.
3.B [解析] 春分往下依次顺延为清明、谷雨、立夏、小满、芒种等,所以芒种为黄经75度.
4.A [解析] 对于①,当α=k·360°+90°,k∈Z时,角α的终边在y轴的正半轴上,此时角α不是第一或第二象限的角,故①为假命题;对于②,角150°为第二象限角,角390°为第一象限角,但150°<390°,故②为假命题;对于③,将表的分针拨快10分钟,则分针转过的角为-60°,故③为假命题;对于④,角480°为第二象限角,但角240°的终边在第三象限,故④为假命题.综上,真命题的个数为0,故选A.
[易错] 象限角只与角的终边的位置有关,而与角的大小无关;时钟的时针、分针、秒针都是顺时针转动,故其转过的角都是负角.
5.D [解析] {α|α=90°+k·180°,k∈Z}表示终边在y轴上的角的集合,{α|α=k·180°,k∈Z}表示终边在x轴上的角的集合,所以A={α|α=90°+k·180°,k∈Z}∪{α|α=k·180°,k∈Z}表示终边在坐标轴上的角的集合,B={β|β=k·90°,k∈Z}表示终边在坐标轴上的角的集合,所以A=B.故选D.
6.D [解析] 角α的终边和60°角的终边相同,角β的终边和120°角的终边相同,∵180°-120°=60°,∴角α与β的终边关于y轴对称.故选D.
7.C [解析] 对于A,负角小于84°但负角不是锐角,故A错误;对于B,2024°=360°×5+224°,2024°角与224°角的终边相同,224°角是第三象限角,24°角是第一象限角,故B错误;对于C,将时钟拨快30分钟,分针转过的角为负角,且是整个表盘的一半,为-180°,故C正确;对于D,因为α是第一象限角,所以k·360°<α<90°+k·360°,k∈Z,所以k·180°<<45°+k·180°,k∈Z,所以是第一或第三象限角,故D错误.故选C.
8.AC [解析] 由题得k·360°+40°≤α≤k·360°+100°,k∈Z,所以k·180°+20°≤≤k·180°+50°,k∈Z.当k为偶数时,角的终边在第一象限;当k为奇数时,角的终边在第三象限.故选AC.
9.BD [解析] 结合终边相同的角的概念,可得α+β=k·360°+180°=(2k+1)·180°(k∈Z).故选BD.
10.1110° [解析] 终边按逆时针方向旋转得到的角是正角,所以30°角的终边按逆时针方向旋转三周后得到的角为30°+3×360°=1110°.
11.{-126°,-36°,54°,144°} [解析] 由-180°12.-30°+k·360°,k∈Z [解析] 因为-60°角与-30°角的终边关于直线y=-x对称,所以β的终边与-30°角的终边相同,所以β=-30°+k·360°,k∈Z.
13.解:∵-2024°=-6×360°+136°,∴与-2024°角终边相同的角就是与136°角终边相同的角,∴与-2024°角终边相同的角的集合S={α|α=136°+k·360°,k∈Z}.
(1)当k=0时,α=136°,∴与-2024°角终边相同的最小正角是136°角.
(2)当k=-1时,α=-224°,∴与-2024°角终边相同的最大负角是-224°角.
(3)令-720°≤k·360°+136°<720°,k∈Z,得k=-2,-1,0,1.
当k=-2时,α=-584°;当k=-1时,α=-224°;
当k=0时,α=136°;当k=1时,α=496°.
∴在[-720°,720°)内与-2024°角终边相同的角有-584°角,-224°角,136°角,496°角.
14.解:(1)与α=-1910°的终边相同的角β的集合为{β|β=-1910°+k·360°,k∈Z}.
因为-720°≤β<360°,所以k=4,5,6.
当k=4时,β=-470°;
当k=5时,β=-110°;当k=6时,β=250°.
所以满足不等式-720°≤β<360°的β有-470°,-110°,250°.
(2)①S1={α|α=k·180°,k∈Z}.
②S2={α|α=135°+k·180°,k∈Z}.
③S3={α|α=45°+k·180°,k∈Z}∪{α|α=135°+k·180°,k∈Z}={α|α=45°+k·90°,k∈Z}.
(3)与角60°,-135°终边相同的角分别为60°+k·360°(k∈Z),-135°+k·360°(k∈Z),因此终边落在阴影区域(包括边界)的角的集合为{α|-135°+k·360°≤α≤60°+k·360°,k∈Z}.
15.D [解析] 设α+60°=k·360°+130°,k∈Z,解得α=k·360°+70°,k∈Z,所以与角α的终边相同的角的集合为{β|β=k·360°+70°,k∈Z}.故选D.
16.解:根据题意知,14秒后点P在角14θ+45°的终边上,
∴45°+k·360°=14θ+45°,k∈Z,
即θ=,k∈Z,
又180°<2θ+45°<270°,∴67.5°<θ<112.5°,
则67.5°<<112.5°,k∈Z,
∴k=3或k=4,∴θ的值为°或°.
∵0°<°<90°,90°<°<180°,∴θ的终边在第一象限或第二象限.7.1 任意角的概念与弧度制
7.1.1 角的推广
一、选择题
1. 集合A={α|α=-2024°+k·180°,k∈Z}中的最大负角为 ( )
A.-2024° B.-224°
C.-44° D.-24°
2.[2024·山东枣庄高一期末] 已知集合A={钝角},B={第二象限角},C={小于180°的角},则( )
A.A=B B.B=C
C.A B D.B C
3.如图所示,地球绕太阳的轨道称为黄道,而二十四节气正是按照太阳在黄道上的位置来划分的.当太阳垂直照射赤道时定为“黄经0度”,即春分点.从这里出发,每前进15度就为一个节气,从春分往下依次顺延为清明、谷雨、立夏等.待运行一周后就又回到春分点,此为一回归年,共360度,则芒种为黄经 ( )
A.60度 B.75度
C.270度 D.285度
★4.[2023·陕西西北农林科技大学附中高一月考] 给出下列命题:
①第一、二象限的角组成的集合为{α|k·360°<α②第二象限角大于第一象限角;
③将表的分针拨快10分钟,则分针转过的角为60°;
④若α是第二象限角,则的终边在第一象限.
其中真命题的个数是 ( )
A.0 B.1
C.2 D.3
5.设集合A={α|α=90°+k·180°,k∈Z}∪{α|α=k·180°,k∈Z},集合B={β|β=k·90°,k∈Z},则 ( )
A.A B B.B A
C.A∩B= D.A=B
6.若角α=m·360°+60°,m∈Z,β=k·360°+120°,k∈Z,则角α与β的终边的位置关系是 ( )
A.重合
B.关于原点对称
C.关于x轴对称
D.关于y轴对称
7.[2024·武汉二中高一期末] 下列说法正确的是 ( )
A.小于84°的角是锐角
B.24°角与2024°角的终边相同
C.将时钟拨快30分钟,则分针转过的角为-180°
D.若α是第一象限角,则是第二或第四象限角
8.(多选题)[2024·江西九江高一期末] 如图,若角α的终边落在阴影部分(包括边界),则角的终边可能在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
9.(多选题)下列条件中,能使α和β的终边关于y轴对称的是 ( )
A.α+β=90°
B.α+β=180°
C.α+β=k·360°+90°(k∈Z)
D.α+β=(2k+1)·180°(k∈Z)
二、填空题
10.30°角的终边按逆时针方向旋转三周后得到的角为 .
11.已知集合A={α|α=k·90°-36°,k∈Z},B={β|-180°<β<180°},则A∩B= .
12.已知角α与β的终边关于直线y=-x对称,且α=-60°,则β= .
三、解答题
13.在与-2024°角终边相同的角中,求满足下列条件的角.
(1)最小的正角;
(2)最大的负角;
(3)在[-720°,720°)内的角.
14.(1)写出与α=-1910°的终边相同的角β的集合,并把集合中满足不等式-720°≤β<360°的元素β写出来.
(2)分别写出终边在如图①②③所示的直线上的角的集合.
(3)如图,求终边落在阴影区域(包括边界)的角的集合.
15.[2024·安徽蚌埠高一期中] 将角α的终边绕坐标原点O逆时针旋转60°后与130°角的终边重合,则与角α的终边相同的角的集合为 ( )
A.{β|β=k·180°+90°,k∈Z}
B.{β|β=k·360°+90°,k∈Z}
C.{β|β=k·180°+150°,k∈Z}
D.{β|β=k·360°+70°,k∈Z}
16.如图,半径为1的圆的圆心位于坐标原点O,点P从点A出发,按逆时针方向匀速沿圆周运动.已知P在1秒内转过的角度为θ(0°<θ<180°),经过2秒到达第三象限,经过14秒后又恰好回到出发点A,求θ,并判断θ的终边所在的象限.
