(共45张PPT)
7.1 任意角的概念与弧度制
7.1.2 弧度制及其与角度制的换算
探究点一 弧度制的概念
探究点二 角度制与弧度制的互化
探究点三 扇形的弧长公式和面积公式的
应用
【学习目标】
1.能够熟练地进行角度与弧度的互化,掌握常用特殊角的弧度制表示；
2.能用弧度制表示终边相同的角；
3.掌握用弧度制表示的扇形的弧长公式和面积公式.
知识点一 弧度制
1.角度制的定义:用____作单位来度量角的制度称为角度制.
2.弧度制的定义:长度等于________的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，
记作 ,以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制.
3.计算公式：在半径为的圆中,若弧长为的弧所对的圆心角为 ,
则 __.
度
半径长
4.弧度制与角度制的区别与联系
区别 （1）单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”
为度量单位；（2）定义不同
联系 不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的
半径大小无关的定值
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）的角和 的角大小相等. ( )
×
（2）用弧度来表示的角都是正角. ( )
×
（3）不论是以“弧度”为单位还是以“度”为单位的角的大小都是一个
与圆的半径大小无关的值,仅与圆心角所对的弧长与半径的比值有关.
( )
√
（4）表示 是 的角.( )
√
知识点二 弧度制与角度制的换算
1.弧度制与角度制的互化（换算）
2.特殊角的角度数与弧度数对应如下表，请填写完整.
角度 ____ ____ ____
弧度 ___ ___ __ __ ___ __ ___
角度 ____ ____ ____
弧度 ___ ___ ___ ___ ____ ____
0
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位.( )
√
（2） 的角是周角的，的角是周角的 .( )
√
（3） 的角是的角的 .( )
√
（4）角度制和弧度制在角的集合与实数集 之间建立了一种一一对
应关系.( )
√
2.与 角终边相同的角的集合写为 ， ，
终边在直线与 上的角的集合写为
.这两种表示方法正确吗？为什么？
解：这两种表示方法不正确.在同一个式子中，角度、弧度不能混用，
否则会产生混乱，
正确的表示方法应为 或
， ，
}或 .
知识点三 扇形的弧长公式与面积公式
设扇形的半径为，弧长为，或 为其圆心角，则扇
形的弧长公式与面积公式如下：
角度制 弧度制
扇形的弧长公式
扇形的面积公式
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）弧长公式 中的角可以是弧度，也可以是角度.( )
×
[解析] 该弧长公式只适用于弧度制.
（2）若扇形的圆心角是 ,半径是5,则它的弧长为 ,面积为 .
( )
√
（3）若扇形的圆心角为,则 可以为负数.( )
×
探究点一 弧度制的概念
例1（1） 下列说法中正确的是( )
A.1弧度就是1度的圆心角所对的弧
B.1弧度是长度为半径长的弧
C.1弧度是1度的弧与1度的角之和
D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小
[解析] 根据弧度制的定义可知，1弧度是长度等于半径长的弧所对的
圆心角的大小.故选D.
√
（2）下列说法中正确的是( )
A.在弧度制下,角的集合与正实数集之间建立起一一对应的关系
B.每个用弧度制表示的角,都有唯一的用角度制表示的角与之对应
C.用角度制和弧度制度量任意一个角,单位不同,数量也不同
D. 对应的弧度数是
[解析] 对于A,在弧度制下,角的集合与实数集之间建立起一一对应的
关系,不是正实数集,故A选项错误;B选项显然正确;
对于C,用角度制和弧度制度量零角时,单位不同,但数量相同（都是0）,
故C选项错误;
对于D， 对应的弧度数是 ,故D选项错误.故选B.
√
［素养小结］
弧度制的引入便于角度与长度之间建立联系，当应用弧度制时，角
度的大小可以直接用来表示表示弧长， 为扇形所在圆的半径).
探究点二 角度制与弧度制的互化
［探索］ 角度制与弧度制的区别是什么？如何相互转化？
解：弧度制单位是“弧度 ”,可省略不写，角度制单位是“度”，不
可省略；
1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，而 的角是周角
的 .
角度数弧度数,弧度数 角度数.
例2 把下列各角化为 的角加上 的形式，并指出它
们的终边所在的象限.
（1） ；
解： ，终边在第三象限.
（2） ；
解： ，终边在第一象限.
（3） ；
解： ，终边在第二象限.
（4） .
解： ，终边在第四象限.
变式 设 ， ， ， .
（1）将， 用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；
解： ，
，
的终边在第二象限， 的终边在第一象限.
（2）将，用角度制表示出来，并在集合 }
中找出分别与， 的终边相同的所有角.
解： ，设 ， ，
令 ，得 ， ，
解得或，所以在集合中与 终边
相同的角是 和 .
同理 ，在集合中与 终边
相同的角是 和 .
［素养小结］
（1）当进行角度制与弧度制的互化时，要牢记 ，并充
分利用和 进行互化.
（2）在同一个式子中，角度与弧度不能混合用，必须保持单位统一.
拓展 用弧度制表示顶点与坐标原点重合，始边落在 轴的正半轴上，
终边落在如图所示的阴影部分内（不包括边界）的角 的集合.
解：如题图（1）所示，以为终边的角为 ，
可看作 ，， ，
终边落在阴影部分内的角的集合为
.
如题图（2）所示，以为终边的角为 ，可看作 ，
，， 终边落在阴影部分内的角的集合为
.
如题图（3）所示，， ，
终边落在阴影部分内的角的集合为 .
探究点三 扇形的弧长公式和面积公式的应用
例3（1） [2024·江西宜春丰城九中高一期末]已知扇形的面积为4，
圆心角为2弧度，则此扇形的弧长为( )
A.4 B.6 C.8 D.10
[解析] 设扇形的弧长为，半径为，圆心角为 ，
则扇形的面积，可得，
则 .故选A.
√
（2）[2024·山西吕梁高一期末]木雕是我国雕塑
的一种，在我们国家常常被称为“民间工艺”.传
统木雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图
所示，一扇环形木雕可视为将扇形 截去同心
A. B. C. D.
扇形所得图形，已知，， ，
则该扇环形木雕的面积为( )
√
[解析] ，
因为， ，
所以该扇环形木雕的面积为
故选B.
变式（1） 如图①是一款组合团圆拼盘，其示意图如图②所示，中
间是一个直径为 的圆盘，四周是8个相同的扇环形小拼盘，组
拼后形成一个大圆盘，寓意“八方来财，阖家团圆”.若 的长为
，则每个扇环形小拼盘的面积为( )
①
②
A. B. C. D.
√
[解析] 如图，设小圆的圆心为，连接， ，
则，设 ，
因为每个扇环形小拼盘对应的圆心角 ，
所以的长为，解得 ，
所以每个扇环形小拼盘的面积为
.故选C.
（2）[2024·江苏镇江扬中二中高一期中] 某中学
拟建一个扇环形的花坛（如图），按设计要求扇
环的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10
米，小圆弧所在圆的半径为米，圆心角 ，
则 ___.
[解析] 由题意可得，，
由 ，得 .
［素养小结］
用弧度制解决扇形相关问题的一般步骤：
（1）明确弧长公式和扇形的面积公式：，
（这里 必须是弧度制下的角）；
（2）分析题目中哪些是已知量，哪些是待求量，灵活选择公式；
（3）根据条件列方程（组）求解.
1.[2024·陕西榆林高一期末]已知现在的时刻为 ，设150分钟后时
针与分针的夹角为，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 150分钟后是7：00整，时针指向7，分针指向12，
所以 ．故选B.
√
2.已知集合 ，则
( )
A. B. C. D.
[解析] ，
，故 .故选B.
√
3.把 表示成的形式，使最小的 的值是
( )
A. B. C. D.
[解析] ，与 是终边相同的角，
且此时是 的最小值.故选A.
√
4.[2024·浙江嘉兴高一期末] 一个扇形的弧长和面积都是 ，则这个
扇形的半径为___．
2
[解析] 设扇形的弧长为，半径为，则 ，
，解得 .
5.[2024·上海七宝中学高一月考] 在半径为1的圆中，长度为 的弦
所对的劣弧长是___.
[解析] 如图，在半径为1的圆中，弦 的长度为
，为的中点，
则有， ，，
由 ，得，
所以弦 所对的劣弧长是 .
1.用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数值相同（都是0）；
用角度制和弧度制来度量任意一个非零角，单位不同，数值也不同.
2.角度制与弧度制是两种不同的度量单位，在表示角时不能混用，如
, 的写法都是不规范的，
应写成, .
3.应用公式 和 时，角 只限于弧度，角度不
能使用，而且在 ，,, 中，知道其中的两个量可以求出另外的两
个量.
公式 角度制 弧度制
弧长公式
面积公式
1.要准确掌握扇形的相关结构特征.如图所示，
是三角形的中线，也是 的角平分线，延
长，交弧于点，因为三角形 是等腰三
角形，所以是弧的中点.弓形的面积 扇形
面积-三角形 面积.
例1 [2024· 河南驻马店高一期中]如图，
在菱形中， ，，
分别是边，的中点，以点 为圆
心，以， 为半径作出两段圆弧，
A. B. C. D.
与分别交于点，，以为圆心，以, 为半径作出两段圆弧，
与分别交于,，其中. 若扇环 的周长为
，则扇环 的面积为( )
√
[解析] 设，则，
因为扇环 的周长为，所以,
解得 ，
所以扇环的面积为 .故选B.
2.解决扇形的周长或面积的最值问题，关键是运用函数思想，把所求
的最值问题转化为求函数的最值问题求解，解题过程中要注意变量
的取值范围.
例2 [2024·西安鄠邑区高一期末] 某农户计划围建一块扇形的菜地，
已知该农户围建菜地的篱笆的长度为24米.
（1）若该扇形菜地的圆心角为4弧度，求该扇形菜地的面积；
解：设该扇形菜地的半径为，弧长为 ，
则解得
故该扇形菜地的面积 （平方米）.
（2）当该扇形菜地的圆心角为何值时，菜地的面积最大，最大值是
多少？
解：因为，所以 ，
则 .
当时， 取得最大值36，
此时，则 .
故该扇形菜地的圆心角为2弧度时，菜地的面积取得最大值36平方米.7.1.2 弧度制及其与角度制的换算
【课前预习】
知识点一
1.度 2.半径长 3.
诊断分析
(1)× (2)× (3)√ (4)√
知识点二
1.2π 2π π π °
2.60° 120° 150° 0 240°
270° 300° π 2π
诊断分析
1.(1)√ (2)√ (3)√ (4)√
2.解:这两种表示方法不正确.在同一个式子中,角度、弧度不能混用,否则会产生混乱,正确的表示方法应为A=或A={α|α=k·360°+30°,k∈Z}, B={β|β=45°+k·90°,k∈Z}或B=.
知识点三
诊断分析
(1)× (2)√ (3)× [解析] (1)该弧长公式只适用于弧度制.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)D (2)B [解析] (1)根据弧度制的定义可知,1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小.故选D.
(2)对于A,在弧度制下,角的集合与实数集之间建立起一一对应的关系,不是正实数集,故A选项错误;B选项显然正确;对于C,用角度制和弧度制度量零角时,单位不同,但数量相同(都是0),故C选项错误;对于D,-120°对应的弧度数是-,故D选项错误.故选B.
探究点二
探索 解:弧度制单位是“弧度(rad)”,可省略不写,角度制单位是“度”,不可省略;1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小,而1°的角是周角的.
角度数×=弧度数,弧度数×=角度数.
例2 解:(1)π=6π+,终边在第三象限.
(2)-1400°=-1440°+40°=-8π+,终边在第一象限.
(3)-=-4π+,终边在第二象限.
(4)682°3'=360°+300°+22.05°=2π++22.05×=2π+,终边在第四象限.
变式 解:(1)α1=-570°=-π=-4π+π,
α2=750°=π=4π+,
α1的终边在第二象限,α2的终边在第一象限.
(2)β1=π=108°,设θ=β1+k·360°,k∈Z,
令-720°≤θ<0°,得-720°≤108°+k·360°<0°,k∈Z,
解得k=-2或k=-1,所以在集合{β|-720°≤β<0°}中与β1终边相同的角是-612°和-252°.
同理β2=-π=-420°,在集合{β|-720°≤β<0°}中与β2终边相同的角是-420°和-60°.
拓展 解:如题图(1)所示,以OB为终边的角为330°,
可看作-30°,∵-30°=-,75°=,
∴终边落在阴影部分内的角的集合为.
如题图(2)所示,以OD为终边的角为225°,可看作-135°,
∵-135°=-,135°=,∴终边落在阴影部分内的角的集合为.
如题图(3)所示,∵30°=,210°=,
∴终边落在阴影部分内的角的集合为∪=.
探究点三
例3 (1)A (2)B [解析] (1)设扇形的弧长为l,半径为r,圆心角为α,则扇形的面积S=αr2=×2r2=4,可得r=2,则l=αr=2×2=4.故选A.
(2)∠AOB=100×=,因为OA=0.2 m,AC=0.4 m,所以该扇环形木雕的面积为××(0.62-0.22)=(m2).故选B.
变式 (1)C (2)5 [解析] (1)如图,设小圆的圆心为O,连接OC,OD,则OC=OD=12 cm,设OA=OB=R cm,因为每个扇环形小拼盘对应的圆心角α==,所以的长为αR=,解得R=30,所以每个扇环形小拼盘的面积为S扇形OAB-S扇形OCD=××302-××122=(cm2).故选C.
(2)由题意可得,30=xθ+10θ+2(10-x),由θ=,得x=5.
【课堂评价】
1.B [解析] 150分钟后是7:00整,时针指向7,分针指向12,所以α=2π-=.故选B.
2.B [解析] M==,P==,故M P.故选B.
3.A [解析] ∵-=-2π-,∴-与-是终边相同的角,且此时=是|θ|的最小值.故选A.
4.2 [解析] 设扇形的弧长为l,半径为r,则l=,S=rl=r×=,解得r=2.
5. [解析] 如图,在半径为1的圆O中,弦AB的长度为,C为AB的中点,则有OC⊥AB,BC=,sin∠BOC==,由0<∠BOC<,得∠BOC=,所以弦AB所对的劣弧长是2××1=.7.1.2 弧度制及其与角度制的换算
【学习目标】
1.能够熟练地进行角度与弧度的互化,掌握常用特殊角的弧度制表示;
2.能用弧度制表示终边相同的角;
3.掌握用弧度制表示的扇形的弧长公式和面积公式.
◆ 知识点一 弧度制
1.角度制的定义:用 作单位来度量角的制度称为角度制.
2.弧度制的定义:长度等于 的圆弧所对的圆心角为1弧度的角,记作1 rad,以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制.
3.计算公式:在半径为r的圆中,若弧长为l的弧所对的圆心角为α rad,则α= .
4.弧度制与角度制的区别与联系
区别 (1)单位不同,弧度制以“弧度”为度量单位,角度制以“度”为度量单位;(2)定义不同
联系 不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)1 rad的角和1°的角大小相等. ( )
(2)用弧度来表示的角都是正角. ( )
(3)不论是以“弧度”为单位还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值,仅与圆心角所对的弧长与半径的比值有关. ( )
(4)α=60表示α是60 rad的角. ( )
◆ 知识点二 弧度制与角度制的换算
1.弧度制与角度制的互化(换算)
2.特殊角的角度数与弧度数对应如下表,请填写完整.
角度 0° 15° 30° 45° 75° 90° 135°
弧度
角度 180° 210° 225° 315° 330° 360°
弧度
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位. ( )
(2)1°的角是周角的,1 rad的角是周角的. ( )
(3)1°的角是1 rad的角的. ( )
(4)角度制和弧度制在角的集合与实数集R之间建立了一种一一对应关系. ( )
2.与30°角终边相同的角的集合写为A={α|α=30°+2kπ,k∈Z},终边在直线y=x与y=-x上的角的集合写为B=.这两种表示方法正确吗 为什么
◆ 知识点三 扇形的弧长公式与面积公式
设扇形的半径为r,弧长为l,α(0<α<2π)或n°为其圆心角,则扇形的弧长公式与面积公式如下:
角度制 弧度制
扇形的弧长公式 l= l=αr
扇形的面积公式 S= S=lr=αr2
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)弧长公式l=αr中的角可以是弧度,也可以是角度. ( )
(2)若扇形的圆心角是72°,半径是5,则它的弧长为2π,面积为5π. ( )
(3)若扇形的圆心角为α rad,则α可以为负数. ( )
◆ 探究点一 弧度制的概念
例1 (1)下列说法中正确的是 ( )
A.1弧度就是1度的圆心角所对的弧
B.1弧度是长度为半径长的弧
C.1弧度是1度的弧与1度的角之和
D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小
(2)下列说法中正确的是 ( )
A.在弧度制下,角的集合与正实数集之间建立起一一对应的关系
B.每个用弧度制表示的角,都有唯一的用角度制表示的角与之对应
C.用角度制和弧度制度量任意一个角,单位不同,数量也不同
D.-120°对应的弧度数是
[素养小结]
弧度制的引入便于角度与长度之间建立联系,当应用弧度制时,角度的大小可以直接用来表示(l表示弧长,r为扇形所在圆的半径).
◆ 探究点二 角度制与弧度制的互化
[探索] 角度制与弧度制的区别是什么 如何相互转化
例2 把下列各角化为0~2π的角加上2kπ(k∈Z)的形式,并指出它们的终边所在的象限.(1)π;(2)-1400°;(3)-;(4)682°3'.
变式 设α1=-570°,α2=750°,β1=π,β2=-π.
(1)将α1,α2用弧度制表示出来,并指出它们各自的终边所在的象限;
(2)将β1,β2用角度制表示出来,并在集合{β|-720°≤β<0°}中找出分别与β1,β2的终边相同的所有角.
[素养小结]
(1)当进行角度制与弧度制的互化时,要牢记180°=π rad,并充分利用1°= rad和1 rad=°进行互化.
(2)在同一个式子中,角度与弧度不能混合用,必须保持单位统一.
拓展 用弧度制表示顶点与坐标原点重合,始边落在x轴的正半轴上,终边落在如图所示的阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合.
◆ 探究点三 扇形的弧长公式和面积公式的应用
例3 (1)[2024·江西宜春丰城九中高一期末] 已知扇形的面积为4,圆心角为2弧度,则此扇形的弧长为 ( )
A.4 B.6
C.8 D.10
(2)[2024·山西吕梁高一期末] 木雕是我国雕塑的一种,在我们国家常常被称为“民间工艺”.传统木雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示,一扇环形木雕可视为将扇形OCD截去同心扇形OAB所得图形,已知OA=0.2 m,AC=0.4 m,∠AOB=100°,则该扇环形木雕的面积为 ( )
A. m2 B. m2
C. m2 D. m2
变式 (1)如图①是一款组合团圆拼盘,其示意图如图②所示,中间是一个直径为24 cm的圆盘,四周是8个相同的扇环形小拼盘,组拼后形成一个大圆盘,寓意“八方来财,阖家团圆”.若的长为 cm,则每个扇环形小拼盘的面积为 ( )
① ②
A.45 cm2 B. cm2
C. cm2 D.189 cm2
(2)[2024·江苏镇江扬中二中高一期中] 某中学拟建一个扇环形的花坛(如图),按设计要求扇环的周长为30米,其中大圆弧所在圆的半径为10米,小圆弧所在圆的半径为x米,圆心角θ=,则x= .
[素养小结]
用弧度制解决扇形相关问题的一般步骤:
(1)明确弧长公式和扇形的面积公式:l=αr,S=αr2=lr(这里α必须是弧度制下的角);
(2)分析题目中哪些是已知量,哪些是待求量,灵活选择公式;
(3)根据条件列方程(组)求解.
1.[2024·陕西榆林高一期末] 已知现在的时刻为4:30,设150分钟后时针与分针的夹角为α(0<α≤π),则α= ( )
A. B.
C. D.
2.已知集合M=,则 ( )
A.M=P B.M P
C.M P D.M∩P=
3.把-π表示成θ+2kπ(k∈Z)的形式,使|θ|最小的θ的值是 ( )
A.- B.-
C. D.
4.[2024·浙江嘉兴高一期末] 一个扇形的弧长和面积都是,则这个扇形的半径为 .
5.[2024·上海七宝中学高一月考] 在半径为1的圆中,长度为的弦所对的劣弧长是 . 7.1.2 弧度制及其与角度制的换算
1.B [解析] -的终边在第三象限,则α=-+kπ,k∈Z的终边在第一、三象限.故选B.
2.C [解析] 对于A,B,α=2kπ+45°(k∈Z),α=k·360°+(k∈Z)中角度和弧度混用,故A,B错误;对于C,因为与-315°是终边相同的角,所以与角的终边相同的角可表示为α=k·360°-315°(k∈Z),故C正确;对于D,α=kπ+(k∈Z),不妨取k=0,则α=,与的终边不相同,故D错误.故选C.
3.D [解析] 设扇形所对的圆心角为α,α所对的密位为n,则α×32=,解得α=,由题意可得=,解得n=200,因此该扇形圆心角的密位制表示为2-00.故选D.
4.A [解析] 设扇形的半径为r,圆心角为α,则S1=r2·α,S2=πr2-r2·α=r2(2π-α),由==,得α=(3-)π.故选A.
5.C [解析] 因为圆弧AC所对的圆心角α=,所以△OAC为等边三角形,所以OA=OC=AC=10 cm,所以圆弧AC的长l=×10= (cm).故选C.
6.B [解析] 设扇形的半径为R,弧长为l.由扇形的周长为100 cm,得2R+l=100,则l=100-2R,所以扇形的面积S=lR=R(100-2R)=-R2+50R,当R=25 cm时,S取得最大值,最大值为-252+50×25=625 (cm2).故选B.
[点拨] 求解扇形面积的最值问题可以转化为关于半径的二次函数问题,进而应用二次函数的方法求解最值.
7.A [解析] 由题知B=∪,又A=,所以A∩B=.故选A.
8.CD [解析] 易知A错误;三角形的内角可以为,不是象限角,故B错误;若α是第三象限角,则π+2kπ<α<+2kπ,k∈Z,则+kπ<<+kπ,k∈Z,当k为偶数时,是第二象限角,当k为奇数时,是第四象限角,故C正确;终边在y轴正半轴上的角的集合为,故D正确.故选CD.
9.BC [解析] 设原扇形的半径为r,弧长为l,圆心角为α,则原扇形的面积S1=lr.扇形的弧长变为原来的2倍,半径变为原来的2倍后,其面积S2=·2l·2r=2lr,故S2=4S1,故A错误,C正确;由α==,可知扇形的圆心角不变,故B正确,D错误.故选BC.
10.1或4 [解析] 设扇形的半径为r,弧长为l,面积为S,圆心角为α,则l+2r=12,S=lr=8,解得r=2,l=8或r=4,l=4,则α==4或α==1.
11. [解析] 设时针转过的弧度数的绝对值为α,因为分针的角速度是时针角速度的12倍,所以分针转过的弧度数的绝对值为12α,由题意可知12α=α+2π,解得α=,所以时针转过的弧度数的绝对值为.
12.2- [解析] 设AB=a,∠EAD=α,由题可知a2-πa2=αa2,解得α=2-.
13.解:(1)∵-1725°=75°-5×360°,∴-1725°=-10π.
∵0<<,α的终边与的终边相同,∴α是第一象限角.
(2)与α的终边相同的角可以写为γ=+2kπ,k∈Z,令-5π≤+2kπ<0,k∈Z,解得k=-2或k=-1.
当k=-2时,γ=-;
当k=-1时,γ=-.
故在区间[-5π,0)内与α终边相同的角是-,-.
14.解:(1)由题意得L=2+π·=+2x+(x>0).
(2)L=+2x+=+x≥2=≈≈8.1,
当且仅当=x,即x≈1.5时,L取得最小值,
因为8.1<10,所以10米的铝合金材料够用.
15. [解析] 因为△ABC是等腰直角三角形,∠C=,AC=1,所以S△ABC=,S扇形BCD=××12=,S扇形ABA'=××()2=, S扇形DBC'=××12=,所以S阴影=S△ABC+S扇形ABA'-S扇形BCD-S扇形DBC'-S△ABC=+---=.
16.解:(1)设弧AB的长度为l1 cm,弧CD的长度为l2 cm,
因为OD=2OA,所以==,所以l1=l2.
因为OD=2OA=80 cm,所以AD=BC=40 cm,
因为该扇环形玉雕壁画的周长为320 cm,所以l1+l2=240,
所以l2+l2=240,解得l2=160,
故弧CD的长度为160 cm.
(2)因为AD=2OA,所以=,所以==,
则扇形OCD的面积S1=·OD·l2=·OA·l1,扇形OAB的面积S2=·OA·l1,
所以该扇环形玉雕壁画的面积S=S1-S2=4·OA·l1.
因为该扇环形玉雕壁画的周长为320 cm,
所以l1+l2+AD+BC=4l1+4OA=320,
所以l1+OA=80,
所以2≤OA+l1=80,所以OA·l1≤1600,当且仅当OA=l1=40时,等号成立,
故S=4·OA·l1≤6400,即该扇环形玉雕壁画的面积的最大值为6400 cm2.7.1.2 弧度制及其与角度制的换算
一、选择题
1.若α=-+kπ,k∈Z,则α的终边在 ( )
A.第一象限 B.第一、三象限
C.第二象限 D.第二、四象限
2.[2023·湖北十堰天河英才高中高一月考] 下列表达式中与角的终边相同的是 ( )
A.α=2kπ+45°(k∈Z)
B.α=k·360°+(k∈Z)
C.α=k·360°-315°(k∈Z)
D.α=kπ+(k∈Z)
3.[2023·辽宁凌源高一期末] 密位制是度量角的一种方法,把一周角等分为6000份,每一份叫作1密位的角.以密位作为角的度量单位,这种度量角的单位制叫作角的密位制.在角的密位制中,采用四个数码表示角的大小,单位名称密位二字可以省去不写.密位的写法是在百位数与十位数之间画一条短线,如7密位写成“0-07”,478密位写成“4-78”,1周角等于6000密位,记作1周角=60-00,1直角=15-00.若一个半径为3的扇形的面积为,则其圆心角的密位制表示为( )
A.14-40 B.12-50
C.4-00 D.2-00
4.[2024·陕西渭南高一期末] 从一个圆面中剪下一个扇形,设扇形的面积为S1,圆面中剩下部分的面积为S2,当S1与S2的比值为时,扇形看上去较为美观,此时扇形的圆心角为( )
A.(3-)π B.(-1)π
C.(+1)π D.(-2)π
5.[2024·贵州六盘水高一期末] 如图①,达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名,画中女子神秘的微笑,数百年来引无数观赏者对其进行研究.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行粗略测绘,将画中女子的嘴唇近似看作一段圆弧,并测得圆弧AC所对的圆心角α=(O为圆心),弦AC的长为10 cm,如图②.根据测量得到的数据计算《蒙娜丽莎》缩小影像作品中圆弧AC的长为 ( )
图① 图②
A.600π cm B.π cm
C.π cm D.π cm
★6.[2023·陕西汉中龙岗中学高一期中] 已知某扇形的周长为100 cm,则该扇形的面积S的最大值为 ( )
A.100 cm2 B.625 cm2
C.1250 cm2 D.2500 cm2
7.[2024·江西新余高一期末] 已知集合A=,集合B=,则A∩B= ( )
A.,k∈Z
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.,k∈Z
8.(多选题)[2024·重庆育才中学高一月考] 下列说法正确的是 ( )
A.1弧度的角与1°的角一样大
B.三角形的内角必是第一或第二象限角
C.若α是第三象限角,则是第二或第四象限角
D.终边在y轴正半轴上的角的集合为
9.(多选题)若扇形的弧长变为原来的2倍,半径变为原来的2倍,则 ( )
A.扇形的面积不变
B.扇形的圆心角不变
C.扇形的面积变为原来的4倍
D.扇形的圆心角变为原来的2倍
二、填空题
10.[2023·辽宁盘锦辽东湾实验中学高一月考] 已知扇形的周长是12,面积是8,则扇形的圆心角的弧度数可能是 .
11.走时精确的钟表在中午12时分针与时针重合于表面上12的位置,则当下一次分针与时针重合时,时针转过的弧度数的绝对值为 .
12.如图所示,以正方形ABCD中的点A为圆心,AB为半径作扇形AEB,若图中两块阴影部分的面积相等,则∠EAD的弧度数为 .
三、解答题
13.已知角α=-1725°.
(1)将α改写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出α是第几象限角;
(2)在区间[-5π,0)内找出与α终边相同的角.
14.[2024·广东佛山南海区艺术高级中学高一月考] 小明准备用铝合金材料制成如图所示的窗架,窗架的下部是矩形,上部是半圆形,要求窗架围成的总面积为3平方米.设窗架的周长为L米,矩形下缘为x米.
(1)建立L关于x的函数表达式;
(2)要制成上述窗架,10米的铝合金材料是否够用 (不计算损耗)
参考数据:π≈3,≈2.45,≈3.32,精确到0.1.
15.[2024·山东青岛高一期末] 如图,已知△ABC是等腰直角三角形,∠C=,AC=1,在平面内△ABC绕点B逆时针旋转到△A'BC'的位置,使C,B,A'在同一条直线上,其中弧AA',弧CC'分别为A,C的旋转轨迹,AB与弧CC'交于点D,则图中阴影部分的面积为 .
16.[2024·河南南阳高一期中] 玉雕具有悠久的发展历史,拥有深厚的文化底蕴,数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人.如图①是一幅扇环形玉雕壁画,其平面图为如图②所示的扇环形(由扇形OCD挖去扇形OAB后构成).已知该扇环形玉雕壁画的周长为320 cm.
图① 图②
(1)若OD=2OA=80 cm,求该扇环形玉雕壁画的弧CD的长度;
(2)若AD=2OA,求该扇环形玉雕壁画的面积的最大值.
