(共36张PPT)
7.2 任意角的三角函数
7.2.1 三角函数的定义
探究点一 任意角的三角函数定义及应用
探究点二 三角函数值的符号的判断
【学习目标】
1.理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；
2.能够根据定义求任意角的三角函数值；
3.能够判断三角函数在各个象限的符号.
知识点一 任意角的正弦、余弦与正切的定义
前提 如图，设 是一个任意角，是 终边上异于原
点的任意一点，
_______________________________________
定义 正弦 把称为角 的正弦，记作______，即_________
余弦 把称为角 的余弦，记作______，即__________
正切 把称为角 的正切，记作______，即__________
三角 函数 对于每一个角 ，都有唯一确定的____________与之
对应；当 ______________时，有唯一的正切与之
对应.角 的正弦、余弦与正切，都称为 的三角函
数
正弦、余弦
续表
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）两个角的终边相同，则它们的正弦值一定相等，余弦值一定相
等.( )
√
（2）三角函数值的大小只与角的终边在坐标系内的位置有关，与终
边上选取的点的位置无关.( )
√
（3）若 ,则 .( )
×
（4）若角 终边上的点的坐标为, 为坐标原点),
则,且越大, 的值越大.( )
×
（5）终边落在 轴上的角的正切值为0.( )
×
知识点二 正弦、余弦与正切在各象限、坐标轴上的符号
① 的终边在_________________________上.
② 的终边在_________________________上.
③ 的终边在_________________________上.
④ 的终边在_________________________上.
⑤ 的终边在______________上.
⑥ 的终边在______________上.
第一、二象限或轴正半轴
第三、四象限或轴负半轴
第一、四象限或轴正半轴
第二、三象限或轴负半轴
第一、三象限
第二、四象限
上述结果用下图直观表示：
记忆口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦.
其含义是在第一象限各三角函数值全为正，在第二象限只有正弦值
为正，在第三象限只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正．
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若 是三角形的内角，则必有 .( )
√
（2）若 是第二象限角，且 是其终边与半径为1的圆的交点，
则 .( )
×
（3）若，则 是第一或第二象限角.( )
×
（4）若，则角 为第一象限角.( )
×
探究点一 任意角的三角函数定义及应用
［探索］ 已知角 的终边上异于原点的点的坐标为,点 的位
置不同会影响角 的三角函数值吗？
解：不会，三角函数值是比值,是一个实数,这个实数的大小和点
在终边上的位置无关.
例1（1） [2024·湖南岳阳平江三中高一期末]已知角 的终边经过点
，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由题得 .故选A.
√
（2）[2024·河南平顶山高一期中]以坐标原点为顶点， 轴的正半轴
为始边的角 ，其终边落在直线 上，则有( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因为角 的终边落在直线上，所以 ,
或 ,.
当 ，时，在角 的终边上取点，
则， ；
当 ,时，在角 的终边上取点 ，
则， .故选C.
变式（1） [2024·重庆西南大学附中高一月考]已知角 的终边经过
点，且，则 ( )
A. B.1 C.2 D.
[解析] 因为角 的终边经过点，且 ，
所以，所以 .故选D.
√
（2）已知角 的终边经过点，求 ，
， 的值.
解：由题易得 为坐标原点).
若，则，角 是第二象限角，
所以， ，
；
若，则，角 是第四象限角，
所以，， .
［素养小结］
（1）已知角 的终边在直线上，求 的三角函数值时，通常在角
的终边上任选一点，点到原点的距离为 ，则
，, .
（2）利用三角函数的定义求值时应注意的问题
①当角 的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际
情况对参数进行分类讨论;
②当终边在直线上时，因为角 的终边是射线，所以应分两种情况
进行讨论.
探究点二 三角函数值的符号的判断
例2（1） [2023·福建宁德高一期末]已知点 位于第二
象限，则 的终边位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
[解析] 点位于第二象限，， .
由可得 的终边位于第二象限或第三象限或 轴的负半轴；
由可得 的终边位于第一象限或第三象限.
综上所述， 的终边位于第三象限.故选C.
√
（2）判断下列各式的符号：
① ；
解： 是第四象限角， ，
是第三象限角， ，
.
② .
解： ，，， ，
， ，
.
变式（1） 若三角形的两个内角 , 满足 ,则此三角
形必为( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.以上三种情况都有可能
[解析] , ,,,, 是
钝角.故选B.
√
（2）[2024·辽宁葫芦岛一中高一月考]已知 ，且
，则 是( )
A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角
C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角
[解析] 由，且，得 且
，所以 是第二象限角，
所以 ,，所以 ,.
当为偶数时， 是第一象限角；
当为奇数时，是第三象限角.所以 是第一或第三象限角.故选C.
√
［素养小结］
判断给定角的三角函数值正负的要点
（1）准确确定三角函数值中角的终边所在象限是基础；
（2）准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问题的关键，可
以利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来记忆.
1.设集合,0,,, },则 ( )
A. B. C. D.,
[解析] ,,,, 故选D.
√
2.[2024·湖南株洲高一月考]设角 的终边经过点，则
( )
A. B. C. D.1
[解析] 因为角 的终边经过点，所以 .
故选C.
√
3.已知角 的顶点与坐标原点重合，始边与 轴的正半轴重合，若
是角 的终边上的一点，且，则 ( )
A. B.3 C. D.1
[解析] 因为，是角 的终边上的一点，
所以，由三角函数的定义，得，解得 .故选A.
√
4.[2024·河南信阳高一期末]若，且 ，则
是( )
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
[解析] 由，且，
得 ,，，所以 是第四象限角.故选D.
√
5.已知,角 的终边上有一点,则 ___.
[解析] 因为，所以点 在第三象限，
又，，所以 ．
1.对三角函数概念的理解应注意的问题
（1） , , 分别是一个整体,离开“ ”，“”“”“ ”
不表示任何意义,更不能把“ ”当成“”与“ ”的乘积.
（2）在任意角的三角函数的定义中, 是使函数有意义的一个任意
角, 而非只限于 ，而且终边相同的角的同名三角函数值相等.
2.要熟记角的终边在坐标轴上时，各个三角函数的值.若角 的终边
在轴正半轴上，则,,；若角 的终边在
轴正半轴上，则,, 不存在.
1.对三角函数定义的理解
（1）三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点
在终边上的位置无关，只由角 的终边位置确定，即三角函数值的
大小只与角有关.
（2）①当角 的终边在直线上时,因为角的终边为射线,所以应分两
种情况讨论.取一条射线上任意一点，求出它的坐标 ,则对应角
的正弦值,余弦值 ,正切值
.然后再用同样的方法求解另一条射线上的角的三角
函数值.
②当角 终边上的点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情
况对参数进行分类讨论.
（3）要牢记 内特殊角的正弦、余弦、正切函数值，如下表.
0
0 1 0
1 0
0 1 0
例1 [2024·福建莆田八中高一期末]对任意且 ，函数
的图象都过定点，且点在角 的终边上，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 对于函数，令,得 ，
故的图象过定点，
又点在角 的终边上，所以 .故选B.
√
2.对三角函数值符号的理解
三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内点的坐标的符号
推导出的.从原点到角的终边上任意一点的距离 总是正值.根据三角
函数定义知：
（1）正弦值的符号取决于纵坐标 的符号；
（2）余弦值的符号取决于横坐标 的符号；
（3）正切值的符号是由，的符号共同决定的，即， 同号为正，
异号为负.
例2 已知，是第四象限角，则实数 可取的整数为
( )
A.1 B.2 C.3 D.5
[解析] 由题意可得解得 ，
则实数 可取的整数为2.故选B.
√7.2 任意角的三角函数
7.2.1 三角函数的定义
【课前预习】
知识点一
sin α sin α= cos α cos α= tan α tan α=
正弦、余弦 +kπ(k∈Z)
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)×
知识点二
①第一、二象限或y轴正半轴 ②第三、四象限或y轴负半轴 ③第一、四象限或x轴正半轴 ④第二、三象限或x轴负半轴 ⑤第一、三象限 ⑥第二、四象限
诊断分析
(1)√ (2)× (3)× (4)×
【课中探究】
探究点一
探索 解:不会,三角函数值是比值,是一个实数,这个实数的大小和点P(x,y)在终边上的位置无关.
例1 (1)A (2)C [解析] (1)由题得tan α===-.故选A.
(2)因为角α的终边落在直线y=x上,所以α=+2kπ,k∈Z或α=+2kπ,k∈Z.当α=+2kπ,k∈Z时,在角α的终边上取点P(1,1),则sin α=cos α==,tan α==1;当α=+2kπ,k∈Z时,在角α的终边上取点Q(-1,-1),则sin α=cos α==-,tan α==1.故选C.
变式 (1)D [解析] 因为角θ的终边经过点M(m,4-m),且tan θ=,所以tan θ==,所以m=.故选D.
(2)解:由题易得r=OP==5|a|(O为坐标原点).
若a>0,则r=5a,角α是第二象限角,所以sin α===,cos α===-,
tan α===-;
若a<0,则r=-5a,角α是第四象限角,所以sin α=-,cos α=,tan α=-.
探究点二
例2 (1)C [解析] ∵点P(cos θ,tan θ)位于第二象限,∴cos θ<0,tan θ>0.由cos θ<0可得θ的终边位于第二象限或第三象限或x轴的负半轴;由tan θ>0可得θ的终边位于第一象限或第三象限.综上所述,θ的终边位于第三象限.故选C.
(2)解:①∵285°是第四象限角,∴sin 285°<0,
∵-105°是第三象限角,∴cos(-105°)<0,
∴sin 285°cos(-105°)>0.
②∵<3<π,π<4<,∴sin 3>0,cos 4<0,
∵-=-6π+,∴tan>0,
∴sin 3·cos 4·tan<0.
变式 (1)B (2)C [解析] (1)∵sin αcos β<0,α,β∈(0,π),∴sin α>0,cos β<0,∴β是钝角.故选B.
(2)由sin θ·tan θ<0,且cos θ·sin θ<0,得cos θ<0且sin θ>0,所以θ是第二象限角,所以+2kπ<θ<π+2kπ,k∈Z,所以+kπ<<+kπ,k∈Z.当k为偶数时,是第一象限角;当k为奇数时,是第三象限角.所以是第一或第三象限角.故选C.
【课堂评价】
1.D [解析] ∵B={sin 0,cos π}={0,-1},∴A∩B={0,-1}.故选D.
2.C [解析] 因为角α的终边经过点,所以cos α==.故选C.
3.A [解析] 因为sin θ=-<0,A(1,y)是角θ的终边上的一点,所以y<0,由三角函数的定义,得=-,解得y=-3.故选A.
4.D [解析] 由sin αtan α>0,且cos αtan α<0,得sin α<0,cos α>0,tan α<0,所以α是第四象限角.故选D.
5. [解析] 因为cos 2<0,所以点M(cos 2,cos 2)在第三象限,又tan α==1,α∈(0,2π),所以α=.7.2 任意角的三角函数
7.2.1 三角函数的定义
【学习目标】
1.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义;
2.能够根据定义求任意角的三角函数值;
3.能够判断三角函数在各个象限的符号.
◆ 知识点一 任意角的正弦、余弦与正切的定义
前提 如图,设α是一个任意角,P(x,y)是α终边上异于原点的任意点,r=
定 义 正弦 把称为角α的正弦,记作 ,即
余弦 把称为角α的余弦,记作 ,即
正切 把称为角α的正切,记作 ,即
三角 函数 对于每一个角α,都有唯一确定的 与之对应;当α≠ 时,有唯一的正切与之对应.角α的正弦、余弦与正切,都称为α的三角函数
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个角的终边相同,则它们的正弦值一定相等,余弦值一定相等. ( )
(2)三角函数值的大小只与角的终边在坐标系内的位置有关,与终边上选取的点的位置无关.( )
(3)若sin α=sin β,则α=β. ( )
(4)若角α终边上的点P的坐标为(x,y),r=OP≠0(O为坐标原点),则sin α=,且y越大,sin α的值越大. ( )
(5)终边落在y轴上的角的正切值为0. ( )
◆ 知识点二 正弦、余弦与正切在各象限、坐标
轴上的符号
①sin α>0 α的终边在 上.
②sin α<0 α的终边在 上.
③cos α>0 α的终边在 上.
④cos α<0 α的终边在 上.
⑤tan α>0 α的终边在 上.
⑥tan α<0 α的终边在 上.
上述结果用下图直观表示:
记忆口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦.
其含义是在第一象限各三角函数值全为正,在第二象限只有正弦值为正,在第三象限只有正切值为正,在第四象限只有余弦值为正.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若α是三角形的内角,则必有sin α>0. ( )
(2)若α是第二象限角,且P(x,y)是其终边与半径为1的圆的交点,则cos α=-x. ( )
(3)若sin α>0,则α是第一或第二象限角. ( )
(4)若sin α·cos α>0,则角α为第一象限角. ( )
◆ 探究点一 任意角的三角函数定义及应用
[探索] 已知角α的终边上异于原点的点P的坐标为(x,y),点P的位置不同会影响角α的三角函数值吗
例1 (1)[2024·湖南岳阳平江三中高一期末] 已知角α的终边经过点,则tan α= ( )
A.- B.-
C.- D.
(2)[2024·河南平顶山高一期中] 以坐标原点为顶点,x轴的正半轴为始边的角α,其终边落在直线y=x上,则有 ( )
A.sin α=-
B.cos α=
C.sin α+cos α=±
D.tan α=±1
变式 (1)[2024·重庆西南大学附中高一月考] 已知角θ的终边经过点M(m,4-m),且tan θ=,则m= ( )
A. B.1
C.2 D.
(2)已知角α的终边经过点P(-4a,3a)(a≠0),求sin α,cos α,tan α的值.
[素养小结]
(1)已知角α的终边在直线上,求α的三角函数值时,通常在角α的终边上任选一点P(x,y)(x≠0),点P到原点的距离为r(r>0),则sin α=,cos α=,tan α=.
(2)利用三角函数的定义求值时应注意的问题
①当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论;
②当终边在直线上时,因为角α的终边是射线,所以应分两种情况进行讨论.
◆ 探究点二 三角函数值的符号的判断
例2 (1)[2023·福建宁德高一期末] 已知点P(cos θ,tan θ)位于第二象限,则θ的终边位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)判断下列各式的符号:
①sin 285°cos(-105°);
②sin 3·cos 4·tan.
变式 (1)若三角形的两个内角α,β满足sin αcos β<0,则此三角形必为 ( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.以上三种情况都有可能
(2)[2024·辽宁葫芦岛一中高一月考] 已知sin θ·tan θ<0,且cos θ·sin θ<0,则是 ( )
A.第一或第二象限角
B.第二或第三象限角
C.第一或第三象限角
D.第二或第四象限角
[素养小结]
判断给定角的三角函数值正负的要点
(1)准确确定三角函数值中角的终边所在象限是基础;
(2)准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问题的关键,可以利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来记忆.
1.设集合A={-1,0,1},B={sin 0,cos π},则A∩B= ( )
A.{0} B.{1}
C.{0,1} D.{-1,0}
2.[2024·湖南株洲高一月考] 设角α的终边经过点,则cos α= ( )
A. B.
C. D.1
3.已知角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的正半轴重合,若A(1,y)是角θ的终边上的一点,且sin θ=-,则y= ( )
A.-3 B.3
C.-1 D.1
4.[2024·河南信阳高一期末] 若sin αtan α>0,且cos αtan α<0,则α是 ( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
5.已知α∈(0,2π),角α的终边上有一点M(cos 2,cos 2),则α= . 7.2 任意角的三角函数
7.2.1 三角函数的定义
1.B [解析] 由sin α>0,得2kπ<α<2kπ+π,k∈Z,由α是第一象限角,得sin α>0,所以“sin α>0”不能推出“α是第一象限角”,但“α是第一象限角”能推出“sin α>0”.所以“sin α>0”是“α是第一象限角”的必要不充分条件.故选B.
2.A [解析] 由题得sin θ=,cos θ=-,所以sin αcos α=-.故选A.
3.B [解析] 由题可得tan θ==,所以x=-12.故选B.
[易错] 利用三角函数的定义及三角函数值列方程,解方程后需结合三角函数值的符号对结果进行检验取舍.
4.B [解析] 因为α为钝角,β为锐角,所以cos α<0,tan β>0,则点P(cos α,tan β)位于第二象限.故选B.
5.D [解析] 因为α是第二象限角,所以+2kπ<α<π+2kπ(k∈Z),所以+kπ<<+kπ(k∈Z),π+4kπ<2α<2π+4kπ(k∈Z),所以的终边位于第一或第三象限,2α的终边位于第三、第四象限或y轴的负半轴上,所以tan>0,sin 2α<0,所以点P位于第四象限.故选D.
[点拨] 本题关键是应用第二象限角的范围求,2α的范围,进而由象限角符号确定点所在象限,注意轴线角的存在.
6.B [解析] 由三角函数的定义可得点P在第四象限,所以解得2
7.B [解析] 由题意得θ≠+kπ,k∈Z.当sin θ>0,cos θ>0时,y==1;当sin θ<0,cos θ>0或sin θ>0,cos θ<0时,y==0;当sin θ<0,cos θ<0时,y==-1.综上,M={1,0,-1},又M=N,所以a=1,b=-1,所以ab=-1.故选B.
[点拨] 去掉三角函数值的绝对值的关键是会分类讨论,可以利用三角函数在各象限的符号进行分类讨论,也可以根据正、余弦的符号进行分类讨论.遇到与集合相交汇问题,注意集合元素互异性在解题中的应用.
8.CD [解析] 由题可得cos α=,因为cos α=,所以=,解得x=0或x=或x=-.故选CD.
9.AD [解析] 令|x-2|=1,得x=3或x=1,此时y=2,则A(3,2)或A(1,2).若点A(3,2)在角θ的终边上,则sin θ==;若点A(1,2)在角θ的终边上,则sin θ==.故选AD.
10.> [解析] 因为<2<π,所以2对应的角的终边在第二象限,所以sin 2>0.
[易错] 用弧度制给出角常常不写单位,不要误认为角度导致象限判断错误.
11. [解析] ∵cos x=|cos x|,∴cos x≥0,∴角x的取值范围为.
12.(-2,3] [解析] 因为cos α≤0,sin α>0,所以角α的终边在第二象限或y轴的正半轴上,所以解得-213.解:(1)∵125°是第二象限角,-273°是第一象限角,
∴tan 125°<0,sin(-273°)>0,∴原式为负.
(2)∵108°是第二象限角,305°是第四象限角,
∴tan 108°<0,cos 305°>0,∴原式为负.
(3)∵是第三象限角,是第二象限角,是第四象限角,∴sin<0,cos<0,tan<0,∴原式为负.
(4)∵是第二象限角,是第四象限角,是第二象限角,∴cos<0,tan<0,sin>0,∴原式为正.
14.解:(1)因为P(3a,-4a),a≠0,所以r==5|a|.
当a>0时,cos θ===;
当a<0时,cos θ===-.
(2)因为θ为第二象限角,所以a<0,所以cos θ=-,
sin θ===,tan θ==-,
所以cos θ+tan θ=×+×=-×3+×=-.
15.C [解析] 由点P的坐标为,不妨设点P在角的终边上,因为-=,且sin=,cos=,所以点Q的坐标为.故选C.
16.解:(1)∵θ是第二象限角,∴00,tan(cos θ)<0,
∴tan(sin θ)·tan(cos θ)的符号为负.
(2)∵-<-1≤cos θ≤1<,-<-1≤sin θ≤1<,∴cos(sin θ)>0.
若要使sin(cos θ)·cos(sin θ)<0,则sin(cos θ)<0,
∴cos θ<0,∴角θ的终边在第二象限或第三象限或x轴的负半轴上.7.2 任意角的三角函数
7.2.1 三角函数的定义
一、选择题
1.[2024·浙江温州高一期末] “sin α>0”是“α是第一象限角”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.[2024·湖南平江三中高一期中] 在平面直角坐标系中,角α的顶点与坐标原点重合,始边落在x轴的正半轴上,终边经过点,则sin αcos α= ( )
A.- B.-
C. D.
★3.[2024·南京高一期末] 已知角θ的终边经过点P(x,-5),且tan θ=,则x的值是 ( )
A.-13 B.-12
C.12 D.13
4.已知α为钝角,β为锐角,则点P(cos α,tan β)位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
★5.[2023·重庆育才中学高一月考] 已知α是第二象限角,则点P位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
6.[2024·南昌高一期中] 已知角θ的终边经过点P(3a-9,log2a-2),若cos θ>0,且sin θ<0,则实数a的取值范围是 ( )
A.(1,3) B.(2,4)
C.(3,4) D.(4,6)
★7.[2024·河南洛阳高一期末] 已知集合M=,N={a,b,lg a},若M=N,则ab= ( )
A.-4 B.-1
C.1 D.4
8.(多选题)[2023·山东威海高一期末] 已知点P(x,1)在角α的终边上,且cos α=,则x的值可以是 ( )
A.± B.±1
C.± D.0
9.(多选题)[2024·吉林延边高一期末] 已知函数f(x)=loga|x-2|+2(a>0且a≠1)的图象经过定点A,且点A在角θ的终边上,则sin θ的值可能是 ( )
A. B.
C. D.
二、填空题
★10.[2024·浙江金华十校高一期末] sin 2 0.(填“>”或“<”)
11.如果cos x=|cos x|,那么角x的取值范围为 .
12.若角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,则a的取值范围是 .
三、解答题
13.确定下列式子的符号.
(1)tan 125°sin(-273°);
(2);
(3)sincostan;
(4).
14.[2024·江苏苏州高一期末] 在平面直角坐标系xOy中,已知角θ的终边经过点P(3a,-4a),其中a≠0.
(1)求cos θ的值;
(2)若θ为第二象限角,求cos θ+tan θ的值.
★15.一质点从点P出发,沿着以原点为圆心,1为半径的圆顺时针运动到达点Q,则点Q的坐标为 ( )
A. B.
C. D.
16.(1)已知θ是第二象限角,试判断tan(sin θ)·tan(cos θ)的符号.
(2)若sin(cos θ)·cos(sin θ)<0,则角θ的终边在哪些位置