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7.2 任意角的三角函数
7.2.2 单位圆与三角函数线
探究点一 作三角函数线
探究点二 利用三角函数线比较三角函数值的大小
探究点三 利用三角函数线证明、求解三角不等式
【学习目标】
1.能够准确画出正弦线、余弦线和正切线;
2.能够通过三角函数线求解、判断函数值的正负,解三角不等式
等问题.
知识点一 单位圆
一般地,在平面直角坐标系中,坐标满足____________的点组成的集合
称为单位圆.因此,如果角 的终边与单位圆的交点为,则 的坐标为
_____________, 这就是说，角 的余弦和正弦分别等于角 终边与
单位圆交点的________和________.
横坐标
纵坐标
知识点二 三角函数线
1.正弦线和余弦线的表示
（1）概念：如图所示，如果过角 终边与单位圆的
交点作轴的垂线，垂足为，则 可以直观地表
示的方向与 轴的正方向相同时，表示
正数
负数
是______，且；的方向与 轴的正方向相反时，
表示 是______，且.习惯上，称为角 的余弦
线.类似地，图中的可以直观地表示 ，因此称为角 的正弦
线.
（2）几何意义：利用角的正弦线和余弦线，可以直
观地看出角的正弦和余弦的信息.如图，角 的余弦
线是，正弦线是，由此可看出 ，
，而且还可以看出， .
2.正切线的表示
（1）概念：如图所示,设直线与 轴交于点
，角 的终边与直线交于点,则 可以
直观地表示 ,因此____称为角 的正切线.
（2）几何意义：当角的终边在第二、三象限或 轴的负半轴上时,终
边与直线没有交点,但终边的反向延长线与直线 有交点,而
且交点的纵坐标也正好是角的正切值,因此图中角 的正切线为____.
3.三角函数线的特征
正弦线、余弦线和正切线都称为____________.
（1）方向：正弦线由轴上的垂足指向 的终边与单位圆的交点；
余弦线由原点指向轴上的垂足；正切线由切点（单位圆与 轴正半
轴的交点）指向切线与 的终边（或其反向延长线）的交点.
（2）书写：起点(比如点在前，终点(比如点在后，写为 .
（3）正负：三条三角函数线的正负可简记为“同向为正，反向为负”
（与坐标轴正方向相同为正，与坐标轴正方向相反为负）.
三角函数线
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若角 的余弦线的长度为0,则它的正弦线的长度为1.( )
√
（2）在单位圆中，有相同正弦线的角相等.( )
×
[解析] 在单位圆中，有相同正弦线的角可能不等，如与 有相同
的正弦线.
（3）三角函数线的长度等于三角函数值.( )
×
[解析] 三角函数线的长度是指有向线段的长,一定是非负实数,而三角
函数值可正可负可为零,故三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值.
（4）当角 的终边在 轴上时,正弦线、正切线都变成一个点,此时角
的正弦值和正切值都为0.( )
√
（5）具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上.( )
√
探究点一 作三角函数线
［探索］ 三角函数线的方向与三角函数值有何关系
解：当三角函数线的方向与轴（或 轴）的正方向相同时,所表示的
三角函数值的符号为正;
当三角函数线的方向与轴（或 轴）的正方向相反时,所表示的三角
函数值的符号为负.
例1 作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线.
（1）;（2） .
解：如图，正弦线、余弦线、正切线分别为,, .
变式 利用三角函数线确定满足的角 的集合.
解：由题利用正弦线得出角 的终边.如图所示，
其中， ，
易知, .
在第一象限内角的终边与的终边相同, .
在第二象限内角的终边与的终边相同, .
满足条件的角的集合为 .
［素养小结］
（1）作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然
后过此交点作 轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线.
（2）作正切线时,应从点 引单位圆的切线,与角的终边
（或反向延长线）交于点,即可得到正切线 .要特别注意，当角的
终边在第二或第三象限时，应将角的终边反向延长，再按上述作法
来作正切线.
探究点二 利用三角函数线比较三角函数值的大小
［探索］ 利用三角函数线可知，不等式 的解集为
_____________________________.
[解析] 设角的终边与单位圆交于点，过 作
轴，垂足为，如图所示，
则, 分别为角 的余弦线、正弦线.
由图可知，满足，即的角 的终边经过
阴影区域（包括边界），
所以满足条件的角 的集合为 .
例2 利用三角函数线比较下列各组数的大小.
解：如图所示，在平面直角坐标系中，作出单位
圆，的终边为，的终边为，
过， 分别作轴的垂线，垂足分别为，，
延长 ，，分别交经过的单位圆的切线于点 ，.
由图可知， ，
， .
（1）与 ；
（2）与 ；
解：由图可知， ，
， .
（3）与 .
解：由图可知， ，
， .
变式 [2024·福州罗源一中高一月考] 利用三角函数线比较下列各组
数的大小关系正确的是______.（填序号）
； ；
； ．
②④
[解析] 对于①，如图a所示，根据三角函数线可得 ，
，因为,所以 ，故①不正确；
对于②，如图b所示，根据三角函数线可得
，故②正确；
图a
图b
对于③，如图c所示，根据三角函数线可得 ,
，因为,所以 ，故③不正确；
对于④，如图d所示，根据三角函数线可得 ,
，因为,所以 ，故④正确.故填②④.
图c
图d
［素养小结］
当利用三角函数线比较大小时，首先需要在直角坐标系的单位圆中
作出所要比较的角的三角函数线，其次在比较大小时，既要注意三
角函数线的长短,又要注意三角函数线的方向.
探究点三 利用三角函数线证明、求解三角不等式
例3 试利用三角函数线证明:当时, .
证明:如图所示,单位圆与 的终边相交于点,
过 作轴,垂足为,连接,过单位圆与 轴正半轴
的交点作直线,交于点,
则 的正弦线为,为的长), 的正切线为 .
由,得，所以 .
又,所以
又,,,所以 .
例4 在单位圆中画出满足下列条件的角 的终边的范围，并由此写
出满足条件的角 的取值集合.
（1） ；
解：如图所示，作直线交单位圆于， 两点
在右侧)，连接，，
则角 的终边经过与 围成的区域（如图中阴影
部分所示），
故满足条件的角 的集合为
.
（2） .
解：如图所示，作直线交单位圆于， 两
点，连接，，
则角 的终边经过与 围成的区域（如图中阴影
部分所示），
故满足条件的角 的集合为
.
变式 已知,求证: .
证明:如图所示,设角 的终边与单位圆交于点
,单位圆与轴、 轴的正半轴分别交于点
, .
过点分别作轴,轴,垂足分别为, ,连 接,.
易知, ,
在三角形中,,所以 .
因为 ,
,
, ,
所以,即 .
综上， .
［素养小结］
（1）利用三角函数线证明不等式时,一般先根据条件作出三角函数线,
再进行证明,证明过程中往往需要借助三角形和扇形的面积.
（2）三角函数线的主要作用是解三角不等式、比较大小及求函数的
定义域，在求三角函数定义域时，一般转化为不等式（组），因此
必须牢固掌握三角函数线的画法及意义.
拓展 利用三角函数线,确定使不等式成立的 的取
值范围.
解：如图所示,作出单位圆,作直线与单位圆交于, 两点,作
直线与单位圆交于,两点,连接,,,.
在 范围内,,,
则点,, ,分别在角,,, 的终边上.
表示的区域如图中阴影部分所示，
则 的取值范围为,
或, .
1.关于三角函数线，下列说法中正确的是( )
A.对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线
B.有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在
C.任何角的正弦线、正切线总是存在，但是余弦线不一定存在
D.任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在
[解析] 任何角的正弦线、余弦线总是存在，终边在 轴上的角的正切
线不存在.故选D.
√
2.若角 的正弦线的长度为1，则角 的终边在( )
A.轴上 B. 轴上
C.轴的正半轴上 D. 轴的正半轴上
[解析] 若正弦线的长度为1，则，所以角 的终边在 轴
上.故选B.
√
3.[2023·贵州遵义高一期中]已知，， ，
则( )
A. B. C. D.
[解析] 由三角函数线可知，当时， ，
所以，即 .故选A.
√
4.[2023·江苏常州华罗庚中学高一月考]下面四个不等式中正确的是
( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 如图，作出单位圆，作出角的正弦线 、
余弦线、正切线，角的正弦线 、余
弦线、正切线.
易知角和角 的终边关于轴对称，由图可得 ，
，，所以 .故选B.
5.若，则 , , 的大小关系是_________
_____________.（用“ ”连接）
[解析] 如图，在单位圆中，作出内的一个角
及其正弦线、余弦线、正切线 .
由图知，，又,分别与轴、
轴的正方向相反，与 轴的正方向相同，
所以 .
1.正弦线、余弦线、正切线是有向线段，当其方向与坐标轴方向一致
时，对应的三角函数值为正数，反之为负数.
2.当应用三角函数线求解与函数值有关的问题时，正弦线对应的函数
值在轴上找，余弦线对应的函数值在 轴上找，正切线对应的函数
值在轴上找，例如，若 ,利用三角函数线求其所对应的角时，
在平面直角坐标系中，过点作与 轴垂直的直线，直线与单
位圆交于,两点，连接,并延长，则射线, 分别是两个角
的终边，这两个角为 ,, , .
3.应用三角函数线求角的取值范围问题时，要注意角的取值范围是
“按照逆时针方向旋转的，且由小到大”.
利用三角函数线比较三角函数值的大小
三角函数线是一个角的三角函数值的体现,从三角函数线的方向可以
看出三角函数值符号的正负,三角函数线的长度是三角函数值的绝对
值,因此,对于同名三角函数值的大小的比较,利用三角函数线求解比较
直观、形象.
（1） 与作出以坐标原点为圆心的单位圆,分别作出角 ,
的终边,与单位圆的交点分别为,,然后比较, 两点纵坐标的
大小即可得到 与 的大小.
（2） 与作出以坐标原点为圆心的单位圆,分别作出角 ,
的终边，与单位圆的交点分别为,,然后比较, 两点横坐标
的大小即可得到 与 的大小.
（3） 与作出直线,设直线与角 , 的终边或
其反向延长线分别交于点,,然后比较, 两点纵坐标的大小即可
得到 与 的大小.
例1 [2024·安徽芜湖高一期末]已知 ，则以下四个数中
最大的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设，，锐角 的终边与单位圆交
于点B，设射线 交过点A且与单位圆相切的直线于点，
过点B作轴，垂足为 ，
则 ，，，
由 ，
得，即 .
因为，所以， ，
所以，，因为，所以 ，
所以 ，所以 .
故选D.
例2 比较下列各组数的大小.
（1）和 ;
解：如图①所示, .
（2）和 ;
解：如图②所示, .
（3）和 ;
解：如图③所示, .
（4）和 .
解：如图④所示, .7.2.2 单位圆与三角函数线
【课前预习】
知识点一
x2+y2=1 (cos α,sin α) 横坐标 纵坐标
知识点二
1.(1)正数 负数 2.(1) (2)
3.三角函数线
诊断分析
(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)√ [解析] (2)在单位圆中,有相同正弦线的角可能不等,如与有相同的正弦线.
(3)三角函数线的长度是指有向线段的长,一定是非负实数,而三角函数值可正可负可为零,故三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值.
【课中探究】
探究点一
探索 解:当三角函数线的方向与x轴(或y轴)的正方向相同时,所表示的三角函数值的符号为正;当三角函数线的方向与x轴(或y轴)的正方向相反时,所表示的三角函数值的符号为负.
例1 解:如图,正弦线、余弦线、正切线分别为,,.
变式 解:由题利用正弦线得出角x的终边.如图所示,
其中∠MOP=,∠MOP'=,易知sin∠MOP=,sin∠MOP'=.
在第一象限内角x的终边与的终边相同,∴x=2kπ+(k∈Z).
在第二象限内角x的终边与的终边相同,∴x=2kπ+(k∈Z).
∴满足条件的角x的集合为.
探究点二
探索 [解析] 设角x的终边与单位圆交于点P,过P作PM⊥x轴,垂足为M,如图所示,则 ,分别为角x的余弦线、正弦线.由图可知,满足|sin x|≥|cos x|,即||≥||的角x的终边经过阴影区域(包括边界),所以满足条件的角x的集合为.
例2 解:如图所示,在平面直角坐标系中,作出单位圆,的终边为OP1,的终边为OP2,过P1,P2分别作x轴的垂线,垂足分别为M1,M2,延长P1O,P2O,分别交经过A(1,0)的单位圆的切线于点T1,T2.
(1)由图可知sin=||,sin=||,
∵||>||,∴sin>sin.
(2)由图可知cos=-||,cos=-||,
∵-||>-||,∴cos>cos.
(3)由图可知tan=-||,tan=-||,
∵-||<-||,∴tan变式 ②④ [解析] 对于①,如图a所示,根据三角函数线可得sin=||,sin=-||,因为||>-||,所以sin>sin,故①不正确;对于②,如图b所示,根据三角函数线可得cos=cos=||,故②正确;对于③,如图c所示,根据三角函数线可得tan=||,tan=||,因为||<||,所以tan||,所以sin>sin,故④正确.故填②④.
图a 图b 图c 图d
探究点三
例3 证明:如图所示,单位圆与α的终边OP相交于点P,过P作PM⊥x轴,垂足为M,连接AP,过单位圆与x轴正半轴的交点A(1,0)作直线x=1,交OP于点T,则α的正弦线为,α=(为的长),α的正切线为.
由S扇形OAP又||<||<,所以||<<||.又sin α>0,α>0,tan α>0,所以sin α<α例4 解:(1)如图所示,作直线y=交单位圆于A,B两点(A在B右侧),连接OA,OB,则角α的终边经过OA与OB围成的区域(如图中阴影部分所示),故满足条件的角α的集合为.
(2)如图所示,作直线x=-交单位圆于C,D两点,连接OC,OD,则角α的终边经过OC与OD围成的区域(如图中阴影部分所示),故满足条件的角α的集合为.
变式 证明:如图所示,设角α的终边与单位圆交于点P(x,y),单位圆与x轴、y轴的正半轴分别交于点A(1,0),B(0,1).
过点P分别作PD⊥x轴,PE⊥y轴,垂足分别为D,E,连接AP,BP.易知sin α=y,cos α=x,
在三角形POD中,OD+DP>OP,所以sin α+cos α>1.
因为S△POA=OA·DP=y=sin α,S△POB=OB·PE=x=cos α,S扇形AOB=××12=,S△POA+S△POB综上,1拓展 解:如图所示,作出单位圆,作直线x=-与单位圆交于P1,P2两点,作直线x=与单位圆交于P3,P4两点,连接OP1,OP2,OP3,OP4.在[-π,π)范围内,cos =cos=-,cos =cos=,则点P1,P2,P3,P4分别在角,-,,-的终边上.
-≤cos θ<表示的区域如图中阴影部分所示,则θ的取值范围为2kπ-≤θ<2kπ-,k∈Z或2kπ+<θ≤2kπ+,k∈Z.
【课堂评价】
1.D [解析] 任何角的正弦线、余弦线总是存在,终边在y轴上的角的正切线不存在.故选D.
2.B [解析] 若正弦线的长度为1,则sin α=±1,所以角α的终边在y轴上.故选B.
3.A [解析] 由三角函数线可知,当0<α<时,sin α<α4.B [解析] 如图,作出单位圆,作出角的正弦线、余弦线、正切线,角的正弦线、余弦线、正切线.易知角和角的终边关于y轴对称,由图可得sin=sin>0,cos>0>cos,tan>0>tan,所以sin>0>cos.故选B.
5.sin α【学习目标】
1.能够准确画出正弦线、余弦线和正切线;
2.能够通过三角函数线求解、判断函数值的正负,解三角不等式等问题.
◆ 知识点一 单位圆
一般地,在平面直角坐标系中,坐标满足 的点组成的集合称为单位圆.因此,如果角α的终边与单位圆的交点为P,则P的坐标为 , 这就是说,角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的 和 .
◆ 知识点二 三角函数线
1.正弦线和余弦线的表示
(1)概念:如图所示,如果过角α终边与单位圆的交点P作x轴的垂线,垂足为M,则可以直观地表示cos α:的方向与x轴的正方向相同时,表示cos α是 ,且cos α=||;的方向与x轴的正方向相反时,表示cos α是 ,且cos α=-||.习惯上,称为角α的余弦线.类似地,图中的可以直观地表示sin α,因此称为角α的正弦线.
(2)几何意义:利用角的正弦线和余弦线,可以直观地看出角的正弦和余弦的信息.如图,角β的余弦线是,正弦线是,由此可看出cos β<0,sin β<0,而且还可以看出|cos β|>|cos α|,|sin α|>|sin β|.
2.正切线的表示
(1)概念:如图所示,设直线x=1与x轴交于点A,角α的终边与直线x=1交于点T,则可以直观地表示tan α,因此 称为角α的正切线.
(2)几何意义:当角的终边在第二、三象限或x轴的负半轴上时,终边与直线x=1没有交点,但终边的反向延长线与直线x=1有交点,而且交点的纵坐标也正好是角的正切值,因此图中角β的正切线为 .
3.三角函数线的特征
正弦线、余弦线和正切线都称为 .
(1)方向:正弦线由x轴上的垂足指向α的终边与单位圆的交点;余弦线由原点指向x轴上的垂足;正切线由切点(单位圆与x轴正半轴的交点)指向切线与α的终边(或其反向延长线)的交点.
(2)书写:起点(比如点A)在前,终点(比如点B)在后,写为.
(3)正负:三条三角函数线的正负可简记为“同向为正,反向为负”(与坐标轴正方向相同为正,与坐标轴正方向相反为负).
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若角α的余弦线的长度为0,则它的正弦线的长度为1. ( )
(2)在单位圆中,有相同正弦线的角相等. ( )
(3)三角函数线的长度等于三角函数值. ( )
(4)当角α的终边在x轴上时,正弦线、正切线都变成一个点,此时角α的正弦值和正切值都为0.( )
(5)具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上. ( )
◆ 探究点一 作三角函数线
[探索] 三角函数线的方向与三角函数值有何关系
例1 作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线.
(1);(2)-.
变式 利用三角函数线确定满足sin x=的角x的集合.
[素养小结]
(1)作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交点,然后过此交点作x轴的垂线,得到垂足,从而得到正弦线和余弦线.
(2)作正切线时,应从点A(1,0)引单位圆的切线,与角的终边(或反向延长线)交于点T,即可得到正切线.要特别注意,当角的终边在第二或第三象限时,应将角的终边反向延长,再按上述作法来作正切线.
◆ 探究点二 利用三角函数线比较三角函数值的大小
[探索] 利用三角函数线可知,不等式|sin x|≥|cos x|的解集为 .
例2 利用三角函数线比较下列各组数的大小.
(1)sin与sin;
(2)cos与cos;
(3)tan与tan.
变式 [2024·福州罗源一中高一月考] 利用三角函数线比较下列各组数的大小关系正确的是 .(填序号)
①sin=sin;②cos=cos;
③tan>tan;④sin>sin.
[素养小结]
当利用三角函数线比较大小时,首先需要在直角坐标系的单位圆中作出所要比较的角的三角函数线,其次在比较大小时,既要注意三角函数线的长短,又要注意三角函数线的方向.
◆ 探究点三 利用三角函数线证明、求解三角
不等式
例3 试利用三角函数线证明:当0<α<时,sin α<α例4 在单位圆中画出满足下列条件的角α的终边的范围,并由此写出满足条件的角α的取值集合.
(1)sin α≥;
(2)cos α≤-.
变式 已知α∈,求证:1[素养小结]
(1)利用三角函数线证明不等式时,一般先根据条件作出三角函数线,再进行证明,证明过程中往往需要借助三角形和扇形的面积.
(2)三角函数线的主要作用是解三角不等式、比较大小及求函数的定义域,在求三角函数定义域时,一般转化为不等式(组),因此必须牢固掌握三角函数线的画法及意义.
拓展 利用三角函数线,确定使不等式-≤cos θ<成立的θ的取值范围.
1.关于三角函数线,下列说法中正确的是 ( )
A.对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线
B.有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在
C.任何角的正弦线、正切线总是存在,但是余弦线不一定存在
D.任何角的正弦线、余弦线总是存在,但是正切线不一定存在
2.若角α的正弦线的长度为1,则角α的终边在 ( )
A.x轴上 B.y轴上
C.x轴的正半轴上 D.y轴的正半轴上
3.[2023·贵州遵义高一期中] 已知a=sin 0.1,b=0.1,c=tan 0.1,则 ( )
A.c>b>a B.b>c>a
C.b>a>c D.a>c>b
4.[2023·江苏常州华罗庚中学高一月考] 下面四个不等式中正确的是 ( )
A.sincos
C.cos5.若-<α<-,则sin α,cos α,tan α的大小关系是 .(用“<”连接) 7.2.2 单位圆与三角函数线
1.A [解析] 如图,角α的终边与单位圆相交于点P,过点P作PM⊥x轴于点M,由三角函数线的定义可知||=cos α.设角β的终边与单位圆相交于点P1,当角β的终边与角α的终边关于x轴对称时,过点P1作x轴的垂线,则垂足为点M,所以||=cos β,所以当角α与β的终边关于x轴对称时,cos α=cos β.故选A.
2.B [解析] 画出1弧度的正弦线,余弦线和正切线,如图所示.易知sin 1=||,cos 1=||,tan 1=||,由图知||<||<||,所以cos 13.A [解析] 由sin x≤cos x及三角函数线,可得-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z,结合选项可知A正确.
4.A [解析] 由tan α-≥0,得tan α≥=tan,作出单位圆以及的正弦线和正切线,如图所示.因为0<α<π,所以角α的终边落在阴影区域内,所以≤α<,所以≤sin α<1,故sin α的取值范围是.故选A.
5.B [解析] 如图所示,作出单位圆以及角θ的正弦线和余弦线,所以sin θ=||>0,cos θ=-||<0,且||>||,所以sin θ+cos θ>0,sin θ-cos θ>0,|sin θ|>|cos θ|,所以①错误,②正确,③错误,④正确.故选B.
6.A [解析] 由三角函数线可知,当0<θ<时,sin θ<θa>b.故选A.
7.D [解析] 对于0≤x<2π,当sin x≥时,由正弦线得x∈,当cos x<时,由余弦线得x∈.因为∩=,所以使sin x≥且cos x<同时成立的x的取值范围是.故选D.
8.AD [解析] 对于A,当α一定时,单位圆中的正弦线一定,故A正确.对于B,与有相同的正弦线,但≠,故B错误.对于C,α和α+π的余弦线相反,故C错误.对于D,有相同正切线的两角的终边一定在同一条直线上,故D正确.故选AD.
9.BD [解析] 若α,β是第一象限角,如图①,作出单位圆及角α的正弦线和余弦线,角β的正弦线和余弦线,易知sin α=||,sin β=||,cos α=||,cos β=||,因为sin α>sin β,所以||>||,所以||<||,即cos αsin β,所以||>||,所以-||<-||,即tan αsin β,所以-||>-||,所以-||<-||,即cos αsin β,所以-||>-||,所以-||>-||,即tan α>tan β,故D正确.故选BD.
10.cos0,sin>0,由||<||,可得sin11.||>||>|| [解析] 如图所示,由图可知,当α∈时,cos α1,所以||>||>||.
12.(k∈Z) [解析] 要使函数有意义,必须有即由三角函数线得不等式组的解为所以函数y=lg(2sin x-1)+的定义域为(k∈Z).
13.解:(1)如图①所示,-的正弦线、余弦线和正切线分别为,和.由图①可知sin=-,cos=-,tan=.
(2)如图②所示,-的正弦线、余弦线和正切线分别为,和.由图②可知sin=-,cos=,tan=-.
14.解:由三角函数线知,在[0,2π)内满足sin x>cos x的x的取值范围为,满足sin x>tan x的x的取值范围为∪,所以不等式组的解集是.
15.A [解析] 如图所示,设单位圆与x轴正半轴的交点为A,角θ的正弦线为,即sin θ=||或sin θ=-||.在单位圆中,=θ,若sin θ=θ,则=||,因为||≤||≤,当且仅当θ=0时等号成立,所以方程sin x=x有且仅有1个实数解,故选A.
[点拨] 可结合单位圆进行三角函数和实数间的大小比较.
16.证明:由三角函数线可知,当0因为,,,…,均为小于的正数,
所以0所以sin·sin·sin·…·sin<×××…×=,即sin·sin·sin·…·sin<.7.2.2 单位圆与三角函数线
一、选择题
1.若cos α=cos β,则角α与β的终边除了可能重合外,还有可能 ( )
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于直线y=x对称
D.关于原点对称
2.下列关系式中正确的是 ( )
A.sin 1B.cos 1C.tan 1D.cos 13.下列区间中,使sin x≤cos x恒成立的是 ( )
A. B.
C. D.[0,π]
4.已知α是△ABC的一个内角,且tan α-≥0,则sin α的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
5.若θ∈,则下列各式中正确的个数是( )
①sin θ+cos θ<0;
②sin θ-cos θ>0;
③|sin θ|<|cos θ|;
④sin θ+cos θ>0.
A.1 B.2 C.3 D.4
6.若a=1.2,b=sin 1.2,c=tan 1.2,则 ( )
A.c>a>b B.c>b>a
C.a>c>b D.b>c>a
7.[2023·合肥庐阳中学高一月考] 已知0≤x<2π,则使sin x≥且cos x<同时成立的x的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
8.(多选题)[2023·辽宁葫芦岛高一期末] 下列说法正确的是 ( )
A.α一定时,单位圆中的正弦线也一定
B.在单位圆中,有相同正弦线的角相等
C.α和α+π有相同的余弦线
D.有相同正切线的两角的终边在同一条直线上
9.(多选题)已知sin α>sin β,那么下列说法正确的是 ( )
A.若α,β是第一象限角,则cos α>cos β
B.若α,β是第二象限角,则tan αC.若α,β是第三象限角,则cos α>cos β
D.若α,β是第四象限角,则tan α>tan β
二、填空题
10.sin,cos,tan的大小关系是 .
11.若α∈,在单位圆中,角α的正弦线、余弦线、正切线分别是,,,则||,||,||的大小关系为 .
12.函数y=lg(2sin x-1)+的定义域为 .
三、解答题
13.分别作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线,并利用它们求出各角的正弦、余弦和正切.
(1)-;(2)-.
14.利用单位圆和三角函数线解不等式组(0≤x<2π).
★15.[2023·山东东营高一期末] 方程sin x=x的实数解的个数为 ( )
A.1 B.3
C.5 D.7
16.证明:sin·sin· sin·…·sin<.
