(共49张PPT)
7.2 任意角的三角函数
7.2.3 同角三角函数的基本关系式
探究点一 已知一个三角函数值求另外两个三角函数值
探究点二 “弦值”转化为“切值”
探究点三 与的关系的应用
探究点四 三角函数式的化简
探究点五 三角函数式的证明
【学习目标】
会运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求
值和证明.
知识点一 同角三角函数的基本关系
1.平方关系:_________________.
2.商数关系:____________.
这就是说,同一个角 的正弦、余弦的________等于1,商等于角 的
______.
平方和
正切
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1） .( )
×
（2）当角 的终边与坐标轴重合时， .( )
×
（3）因为平方关系对任意角都成立，所以 也成立.
( )
×
（4）对一切恒成立，而 仅对
成立．( )
√
（5）应用同角三角函数的基本关系可以在已知角的某一个三角函数
值及角的终边所在象限的情况下，唯一的确定其余两个三角函数值.
( )
√
2. 成立吗
解：不成立，前者是的正弦的平方，后者是 的正弦，两者是不同的.
知识点二 同角三角函数的基本关系式的常用变形
基本关系式的变形公式：
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）当时， .( )
×
（2）当，时， .( )
√
探究点一 已知一个三角函数值求另外两个三角函数值
［探索］ 已知，那么能否认为角 的终边上有异于原点的
点，点的坐标为，且, ？为什么？
解：不能.因为，所以角 是第一象限角或第三象限角，
当 为第三象限角时，点不在角 的终边上，此时 的正弦值、
余弦值的符号为负，
故不能认为点的坐标为， , .
例1（1） [2024·湖南株洲渌口三中高一月考]已知， 是
第三象限角，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为， 是第三象限角，
所以 .故选A.
√
（2）已知，求 的值.
解：， 是第一象限角或第四象限角.
当 是第一象限角时， ，
；
当 是第四象限角时，
， .
（3）[2024·广西贵港高一期末] 已知 为第四象限角，且
，求 的值.
解：由题意得 ，又 ，
所以，又 为第四象限角，所以 ．
变式 （多选题）下列结论中能成立的是( )
A.且
B.且
C.且
D.且
√
√
√
[解析] 对于A，当时，， ，故A正确；
对于B，因为,所以，所以 ，故B
正确；
对于C，因为，所以，即 ，又
因为，所以 ，故C正确；
对于D，因为，所以角 的终边落在轴的正半轴上，
此时 无意义，故D错误.故选 ．
［素养小结］
利用同角三角函数的基本关系式解决给值求值问题的方法:
（1）当已知角 的某一种三角函数值，求角 的另两种三角函数值
时，要注意公式的合理选择，一般先选用平方关系，再选用商数关系.
（2）当角 的终边所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，
只有一组结果；当角 的终边所在的象限不确定，求另两种三角函
数值时，应分类讨论，一般有两组结果.
探究点二 “弦值”转化为“切值”
［探索］ （1）表达式 如何将弦化成切？
解：当时，分子分母同时除以 ，应用商数关系，可以
将弦化成切.
（2）表达式 是否也能够将弦化成切？那么结合上例，
怎样的表达式能够将弦化成切？
解：因为，所以当 时，分子
分母同时除以 ，应用商数关系，可以将弦化成切.只有齐次的分
式可以通过同时除以，, 来实现弦化切.
例2（1） [2024·山西晋中高一期末]已知 ，则
( )
A. B. C. D.
[解析] .故选A.
√
（2）[2024·湖南平江三中高一月考]已知，则 的
值为( )
A. B. C. D.
[解析] .故选B.
√
变式 [2024·南京高一期末]已知 ，则
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为 ，所以
，所以 ，
所以，即 ，解得
或.
当 时，；
当 时， .故选C.
［素养小结］
化切求值的方法技巧：
（1）已知，可以求或
的值.求值时，将分子分母同时除以 或 ，则可化成关于
的式子，从而达到求值的目的.
（2）对于 的求值，可看成分母是1，
利用 进行代替后，分子分母同时除以 ，得
到关于 的式子，从而达到求值的目的.
探究点三 与 的关系的应用
［探索］ __________________________
_________________.
例3 已知 ，且，求 的值.
解：方法一：因为 ，
所以，所以 .
又 ，所以， ，
所以 .
所以解得
所以 .
方法二：因为，所以 ，
所以 .
又 ，所以，，所以 .
因为，所以 ，
所以，由 ，
解得或 .
方法三：因为，所以 ，
所以 .
又 ，所以，，所以 .
由可得所以 .
变式 （多选题）[2024·江苏扬州新华中学高一期末] 已知 ，
且 ，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 由，得 ，
即，所以，又 ，
所以，，所以 ，故A正确，B正确；
因为，，所以 ，故C错误；
，故D错误.故选 .
［素养小结］
， ， 三个式子中，已知其中
一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是
，
，
，
.
探究点四 三角函数式的化简
例4 求下列各式的值：
（1） ；
解： .
（2） ．
解： .
变式 [2024·成都东竞中学高一月考] 化简： ___.
1
[解析] .
［素养小结］
解答此类题目的关键在于公式的灵活运用，化简过程中常用的方法
有：①利用同角三角函数的基本关系及常用变形；②对于含高次的
三角函数式，往往借助因式分解化简.
探究点五 三角函数式的证明
例5 求证: .
证明:
.
变式 求证： .
证明:左边 右边，故等式成立.
［素养小结］
（1）证明简单的三角恒等式的思路：
①从一边开始，证明它等于另一边；
②证明左、右两边等于同一个式子；
③用作差法，证明等式两边之差等于零.
（2）证明三角恒等式的常用技巧及遵循的原则：
①常用技巧：切化弦、整体代换、“1”的代换等.
②遵循的原则：由繁到简，变异为同.
1.[2023·安徽六安二中高一月考]已知 ，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 由，得 ，
又 ，，所以 .故选D.
√
2.[2024·江苏盐城八滩中学高一月考]已知 ，则
( )
A.0 B.1 C. D.
[解析] ，解得 .故选C.
√
3.[2024·湖南长沙高一期中]若，且 ，则
是( )
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
[解析] ， ，
， 是第一象限角.故选A.
√
4.若 是三角形的一个内角，且 ，则该三角形的形
状为( )
A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.无法确定
[解析] ，，
是三角形的一个内角，，， 为钝角，
这个三角形为钝角三角形.故选A.
√
5.若 ，且 ，则 __.
[解析] 因为 ，所以，
由 ,得，
则 ，
即，可得，
所以 ，
所以 .
（1）同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的
运算规律，这里的“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”
一个角（在使函数有意义的前提下）.关系式成立与角的表达形式无
关，如 .
（2）如果已知三角函数值，但没有指定角在哪个象限，那么通常由
已知三角函数值的正负确定角的终边可能在的象限，然后分别求解，
这种情况一般有两组解.
证明三角恒等式就是通过转化和消去等式两边的差异来促成统一的
过程，证明的方法在形式上显得较为灵活，常用方法有以下几种：
①直接法：从等式的一边开始直接化为等式的另一边，常从比较复
杂的一边化简到另一边，其依据是相等关系的传递性；
②综合法：由一个已知成立的等式（如公式等）恒等变形得到所要
证明的等式，其依据是等价转化的思想；
③中间量法：证明等式左右两边都等于同一个式子，其依据是等于
同一个量的两个量相等，即“若，，则 ”；
④分析法：从结论出发，逐步寻找所需的条件，其证明过程的书写
格式为“要证明……只需……”，若所需的条件都已经具备，则结论
就成立；
⑤比较法：设法证明“左边-右边”或“ ”.
例 证明： .
证明：方法一：左边
右边，
原等式成立.
方法二：， ，
， .
方法三：右边
左边，
原等式成立.
方法四：
左边 ，
右边，
左边右边， 原等式成立.
方法五：
， .7.2.3 同角三角函数的基本关系式
【课前预习】
知识点一
1.sin2α+cos2α=1
2.tan α= 平方和 正切
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
2.解:不成立,前者是α的正弦的平方,后者是α2的正弦,两者是不同的.
知识点二
诊断分析
(1)× (2)√
【课中探究】
探究点一
探索 解:不能.因为tan α=>0,所以角α是第一象限角或第三象限角,当α为第三象限角时,点(2,1)不在角α的终边上,此时α的正弦值、余弦值的符号为负,故不能认为点P的坐标为(2,1),sin α=,cos α=.
例1 (1)A [解析] 因为sin α=-,α是第三象限角,所以cos α=-=-=-.故选A.
(2)解:∵cos α=>0,∴α是第一象限角或第四象限角.
当α是第一象限角时,sin α===,tan α==;当α是第四象限角时,sin α=-=-=-,tan α=-.
(3)解:由题意得sin α=-cos α,又sin2α+cos2α=1,所以cos2α=,又α为第四象限角,所以cos α=.
变式 ABC [解析] 对于A,当α=时,sin α=,cos α=-,故A正确;对于B,因为tan α=2024,所以=2024,所以=,故B正确;对于C,因为tan α=1,所以=1,即sin α=cos α,又因为sin2α+cos2α=1,所以cos α=±,故C正确;对于D,因为sin α=1,所以角α的终边落在y轴的正半轴上,此时tan α无意义,故D错误.故选ABC.
探究点二
探索 解:(1)当cos x≠0时,分子分母同时除以cos x,应用商数关系,可以将弦化成切.
(2)因为sin2x-2cos2x=,所以当cos x≠0时,分子分母同时除以cos2x,应用商数关系,可以将弦化成切.只有齐次的分式可以通过同时除以cos x,cos2x,…来实现弦化切.
例2 (1)A (2)B [解析] (1)==-.故选A.
(2)sin αcos α====.故选B.
变式 C [解析] 因为sin α+2cos α=,所以sin2α+4sin αcos α+4cos2α=,所以=,所以=,即3tan2α-8tan α-3=0,解得tan α=3或tan α=-.当tan α=3时,===-;当tan α=-时,===-.故选C.
探究点三
探索 sin2α+cos2α±2sin αcos α (sin α±cos α)2
例3 解:方法一:因为sin θ-cos θ=,所以(sin θ-cos θ)2=,所以sin θcos θ=.
又0<θ<π,所以sin θ>0,cos θ>0,
所以sin θ+cos θ====.
所以解得所以tan θ==.
方法二:因为sin θ-cos θ=,所以(sin θ-cos θ)2=,所以sin θcos θ=.
又0<θ<π,所以sin θ>0,cos θ>0,所以0<θ<.因为sin θ-cos θ=>0,所以sin θ>cos θ,
所以tan θ>1,由sin θcos θ===,解得tan θ=或tan θ=(舍去).
方法三:因为sin θ-cos θ=,所以(sin θ-cos θ)2=,
所以sin θcos θ=.又0<θ<π,所以sin θ>0,cos θ>0,所以0<θ<.
由可得所以tan θ=.
变式 AB [解析] 由sin α+cos α=,得(sin α+cos α)2=,即1+2sin αcos α=,所以sin αcos α=-,又α∈(0,π),所以sin α>0,cos α<0,所以<α<π,故A正确,B正确;因为cos α<0,sin α>0,所以cos α-sin α<0,故C错误;tan α+=+==-,故D错误.故选AB.
探究点四
例4 解: (1)sin2α+sin2β-sin2αsin2β+cos2αcos2β=sin2α(1-sin2β)+sin2β+cos2αcos2β=sin2αcos2β+sin2β+cos2αcos2β=cos2β(sin2α+cos2α)+sin2β=cos2β+sin2β=1.
(2)(3sin θ+4cos θ)2+(3cos θ-4sin θ)2=9sin2θ+24sin θcos θ+16cos2θ+9cos2θ-24sin θcos θ+16sin2θ=25sin2θ+25cos2θ=25.
变式 1 [解析] =
===1.
探究点五
例5 证明:-===
=.
变式 证明:左边====
==右边,故等式成立.
【课堂评价】
1.D [解析] 由tan α=2,得sin α=2cos α,又sin2α+cos2α=1,0<α<,所以sin α=.故选D.
2.C [解析] ==,解得tan α=-.故选C.
3.A [解析] ∵cos αtan α=cos α·=sin α>0,sin αtan α>0,∴tan α>0,∴α是第一象限角.故选A.
4.A [解析] ∵(sin α+cos α)2=,∴2sin αcos α=-,∵α是三角形的一个内角,∴sin α>0,∴cos α<0,∴α为钝角,∴这个三角形为钝角三角形.故选A.
5. [解析] 因为0<α<π,所以sin α>0,由3sin α=1+cos α,得cos α=3sin α-1,则cos2α+sin2α=(3sin α-1)2+sin2α=1,即10sin2α-6sin α=0,可得sin α=,所以cos α=3×-1=,所以tan α===.7.2.3 同角三角函数的基本关系式
【学习目标】
会运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明.
◆ 知识点一 同角三角函数的基本关系
1.平方关系: .
2.商数关系: .
这就是说,同一个角α的正弦、余弦的 等于1,商等于角α的 .
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)tan 90°=. ( )
(2)当角α的终边与坐标轴重合时,sin2α+cos2α≠1. ( )
(3)因为平方关系对任意角都成立,所以sin2α+cos2β=1也成立. ( )
(4)sin2α+cos2α=1对一切α∈R恒成立,而tan α=仅对α≠+kπ(k∈Z)成立. ( )
(5)应用同角三角函数的基本关系可以在已知角的某一个三角函数值及角的终边所在象限的情况下,唯一的确定其余两个三角函数值. ( )
2.sin2α=sin α2成立吗
◆ 知识点二 同角三角函数的基本关系式的常用变形
基本关系式的变形公式:
sin2α+cos2α=1
tan α=
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当sin α=时,cos α=. ( )
(2)当α≠kπ+,k∈Z时,cos2α=. ( )
◆ 探究点一 已知一个三角函数值求另外两个
三角函数值
[探索] 已知tan α=,那么能否认为角α的终边上有异于原点的点P,点P的坐标为(2,1),且sin α=,cos α= 为什么
例1 (1)[2024·湖南株洲渌口三中高一月考] 已知sin α=-,α是第三象限角,则cos α=( )
A.- B.-
C. D.
(2)已知cos α=,求tan α的值.
(3)[2024·广西贵港高一期末] 已知α为第四象限角,且tan α=-,求cos α的值.
变式 (多选题)下列结论中能成立的是 ( )
A.sin α=且cos α=-
B.tan α=2024且=
C.tan α=1且cos α=±
D.sin α=1且tan α·cos α=1
[素养小结]
利用同角三角函数的基本关系式解决给值求值问题的方法:
(1)当已知角α的某一种三角函数值,求角α的另两种三角函数值时,要注意公式的合理选择,一般先选用平方关系,再选用商数关系.
(2)当角α的终边所在的象限已经确定,求另两种三角函数值时,只有一组结果;当角α的终边所在的象限不确定,求另两种三角函数值时,应分类讨论,一般有两组结果.
◆ 探究点二 “弦值”转化为“切值”
[探索] (1)表达式如何将弦化成切
(2)表达式sin2x-2cos2x是否也能够将弦化成切 那么结合上例,怎样的表达式能够将弦化成切
例2 (1)[2024·山西晋中高一期末] 已知tan α=-2,则= ( )
A.- B.
C.- D.
(2)[2024·湖南平江三中高一月考] 已知tan α=2,则sin αcos α的值为 ( )
A. B.
C. D.
变式 [2024·南京高一期末] 已知sin α+2cos α=,则= ( )
A.-3 B.-
C.- D.
[素养小结]
化切求值的方法技巧:
(1)已知tan α=m,可以求或的值.求值时,将分子分母同时除以cos α或cos2α,则可化成关于tan α的式子,从而达到求值的目的.
(2)对于asin2α+bsin αcos α+ccos2α的求值,可看成分母是1,利用1=sin2α+cos2α进行代替后,分子分母同时除以cos2α,得到关于tan α的式子,从而达到求值的目的.
◆ 探究点三 sin α±cos α与sin αcos α的关系的应用
[探索] 1±2sin αcos α= = .
例3 已知0<θ<π,且sin θ-cos θ=,求tan θ的值.
变式 (多选题)[2024·江苏扬州新华中学高一期末] 已知α∈(0,π),且sin α+cos α=,则下列结论正确的是 ( )
A.<α<π
B.sin αcos α=-
C.cos α-sin α=
D.tan α+=
[素养小结]
sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α三个式子中,已知其中一个,可以求其他两个,即“知一求二”,它们的关系是(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α,(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α,(sin α-cos α)2=(sin α+cos α)2-4sin αcos α,(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2.
◆ 探究点四 三角函数式的化简
例4 求下列各式的值:
(1)sin2α+sin2β-sin2αsin2β+cos2αcos2β;
(2)(3sin θ+4cos θ)2+(3cos θ-4sin θ)2.
变式 [2024·成都东竞中学高一月考] 化简:= .
[素养小结]
解答此类题目的关键在于公式的灵活运用,化简过程中常用的方法有:①利用同角三角函数的基本关系及常用变形;②对于含高次的三角函数式,往往借助因式分解化简.
◆ 探究点五 三角函数式的证明
例5 求证:-=.
变式 求证:=.
[素养小结]
(1)证明简单的三角恒等式的思路:
①从一边开始,证明它等于另一边;
②证明左、右两边等于同一个式子;
③用作差法,证明等式两边之差等于零.
(2)证明三角恒等式的常用技巧及遵循的原则:
①常用技巧:切化弦、整体代换、“1”的代换等.
②遵循的原则:由繁到简,变异为同.
1.[2023·安徽六安二中高一月考] 已知tan α=2,则sin α= ( )
A. B.-
C.- D.
2.[2024·江苏盐城八滩中学高一月考] 已知=,则tan α= ( )
A.0 B.1
C.- D.-3
3.[2024·湖南长沙高一期中] 若sin αtan α>0,且cos αtan α>0,则α是 ( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
4.若α是三角形的一个内角,且sin α+cos α=,则该三角形的形状为 ( )
A.钝角三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.无法确定
5.若0<α<π,且3sin α=1+cos α,则tan α= . 7.2.3 同角三角函数的基本关系式
1.B [解析] ∵α是第二象限角,∴sin α>0,cos α<0,∴x=+=1-1=0.故选B.
2.B [解析] 由sin2α+cos2α=1,tan α==-,得cos2α=,又角α为第二象限角,所以cos α=-.故选B.
3.B [解析] 由=,可知1-sin x≠0,所以=====-.故选B.
4.A [解析] 由已知可得tan α=-<0,∴α为第二或第四象限角,∴sin αcos α<0,∴==|sin α·cos α|=-sin αcos α=-=-=.故选A.
5.D [解析] 因为sin α,cos α是关于x的方程x2-x+m=0的两个实根,所以sin α+cos α=,sin αcos α=m,且Δ=-4m≥0,即m≤.因为(sin α+cos α)2==1+2sin αcos α=1+2m,所以m=-,所以(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=.因为sin αcos α=m=-<0,0<α<π,所以sin α>0,cos α<0,所以<α<π,所以sin α-cos α>0,所以sin α-cos α=.故选D.
[易错] 本题易忽略Δ=-4m≥0.
6.C [解析] 由cos α+3sin α=,得(cos α+3sin α)2=5,则cos2α+6sin αcos α+9sin2α=5(sin2α+cos2α),即2sin2α+3sin αcos α-2cos2α=0,则2tan2α+3tan α-2=0,解得tan α=或tan α=-2,∵α∈,∴tan α<0,∴tan α=-2.故选C.
7.A [解析] 由=,得2sin α-1×(-2cos α)=,化简得sin α+cos α=,与sin2α+cos2α=1联立,解得或又α∈(0,π),所以所以tan α==-.故选A.
8.CD [解析] 因为关于x的方程x2+m=0有两个不相等的实数根sin θ,cos θ,所以Δ=-4m>0,解得m<0,所以sin θ+cos θ=0,sin θcos θ=m,故C正确;由sin2θ+cos2θ=(sin θ+cos θ)2-2sin θcos θ=-2m=1,解得m=-,故B错误,D正确;因为sin θ+cos θ=0,所以sin θ=-cos θ,所以tan θ=-1,故A错误.故选CD.
9.CD [解析] f(α)=-=-=-=-=-.若α是第一象限角,则原式=cos2α-sin2α;若α是第二象限角,则原式=-cos2α+sin2α;若α是第三象限角,则原式=-cos2α-sin2α=-1;若α是第四象限角,则原式=cos2α+sin2α=1.故选CD.
10.- [解析] 因为sin α=,tan α=<0,所以cos α<0,所以cos α=-=-=-.
[点拨] 已知正弦值求余弦值,一般利用公式cos α=±,需注意角的位置对正、负进行取舍.
11.0 [解析] 由得∴tan θ==-1,所以tan θ-=-1-=0.
12.(-∞,9] [解析] 由θ∈,得0[技巧] 破解此类题的关键:一是会转化,把恒成立问题利用分离参数法转化为最值问题;二是平方关系“sin2α+cos2α=1”具有“隐身”特性,一些问题中要想到其存在并能够准确应用其解题.
13.解:(1)====1.
(2)因为sin αcos α=,且α是第三象限角,所以sin α+cos α=-=
-=-,所以-=-
==sin α+cos α=-.
14.证明:(1)由1-asin α=cos α,得1-cos α=asin α,
则(1-cos α)(1+cos α)=absin2α,
即1-cos2α=absin2α,即absin2α=sin2α,
因为α≠kπ,k∈Z,所以sin α≠0,所以ab=1.
(2)因为所以tan α=,sin α=.
当tan α=0时,α=kπ,k∈Z,则sin α=0,此时m=n=0,显然等式(m2-n2)2=16mn成立;
当tan α≠0时,由tan α=,得cos α==,
又sin2α=1-cos2α,所以=1-==,所以(m2-n2)2=16mn.
综上,(m2-n2)2=16mn.
15.BC [解析] 当α=,β=时,sin α=sin=>sin β=sin=sin=,但α<β,故A错误;易知sin α>sin β>0,所以sin2α>sin2β,因为sin2α+cos2α=1,所以1-cos2α>1-cos2β,所以cos2α,所以sin2α·>sin2β·,即tan2α>tan2β,故B正确;当α=,β=时,sin2α+sin2β=+=<1,故D错误.故选BC.
16.解:(1)由题意知EH=,FH=,EF==.
∵BE=10·tan θ≤10,AF=≤10,
∴≤tan θ≤,∴θ∈,∴L=++,θ∈.
(2)当sin θ+cos θ=时,sin θcos θ==,
∴此时管道的长度为++=10=20(+1)(m).7.2.3 同角三角函数的基本关系式
一、选择题
1.[2024·河南南阳高一期中] 已知α为第二象限角,则x=+的值是 ( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
2.[2024·河北邯郸高一期末] 若角α为第二象限角,tan α=-,则cos α= ( )
A. B.-
C. D.-
3.[2023·河南焦作四中高一月考] 已知=,则= ( )
A. B.-
C.2 D.-2
4.若5sin α+2cos α=0,则的值为 ( )
A. B.
C. D.±
★5.[2024·成都高一期末] 若0<α<π,且sin α,cos α是关于x的方程x2-x+m=0的两个实根,则sin α-cos α的值是 ( )
A. B.-
C.± D.
6.已知α∈且cos α+3sin α=,则tan α= ( )
A. B.-
C.-2 D.-3
7.定义运算:=a1a4-a2a3.若=,α∈(0,π),则tan α= ( )
A.- B.
C. D.-
8.(多选题)[2024·郑州宇华实验学校高一月考] 已知关于x的方程x2+m=0有两个不相等的实数根sin θ,cos θ,其中0≤θ<2π,则下列选项正确的是 ( )
A.tan θ=1
B.sin θcos θ=
C.sin θ+cos θ=0
D.m=-
9.(多选题)设f(α)=-,当f(α)取定值时,α可能是 ( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
二、填空题
★10.[2024·山东济宁嘉祥一中高一月考] 若sin α=,且tan α<0,则cos α= .
11.[2024·福建厦门二中高一月考] 若sin θ-cos θ=,则tan θ-= .
★12.[2024·山东邹城二中高一月考] 若对任意的θ∈,不等式+≥m恒成立,则实数m的取值范围为 .
三、解答题
13.(1)[2024·江苏锡东高级中学高一月考] 化简:
;
(2)已知sin αcos α=,且α是第三象限角,求-的值.
14.(1)已知1-asin α=cos α,1+cos α=bsin α(α≠kπ,k∈Z),求证:ab=1.
(2)已知求证:(m2-n2)2=16mn.
15.(多选题)[2023·安徽马鞍山一中月考] 已知α,β是第一象限角,且sin α>sin β,则下列关系正确的是 ( )
A.α>β B.tan2α>tan2β
C.cos2α1
16.如图,某污水处理厂要在一个矩形污水处理池ABCD的池底水平铺设污水净化管道来处理污水,设计要求管道的接口H是AB的中点,接口E,F分别落在BC,AD上.已知AB=20 m,AD=10 m,△FHE是直角三角形且H是直角顶点,记∠BHE=θ.
(1)试将污水净化管道的长度L(单位:m)表示为θ的函数,并写出定义域;
(2)若sin θ+cos θ=,求此时管道的长度.
