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7.2 任意角的三角函数
7.2.4 诱导公式
第2课时 诱导公式（二）
探究点一 利用诱导公式解决给角求值问题
探究点二 利用诱导公式解决给值（式）求值问题
探究点三 利用诱导公式化简、证明
探究点四 诱导公式的综合应用
【学习目标】
1.理解诱导公式⑤⑥⑦⑧的推导过程；
2.能应用角的旋转对称思想推导诱导公式；
3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.
知识点一 角与 的三角函数值之间的关系
1.如图所示，角 的终边与单位圆的交点 的坐标
为_____________, 的终边与单位圆的交点
的坐标为______________________，且两角终边关
于__________对称.
直线
2.诱导公式⑤：
______； ______.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）只有当角 为锐角时，才满足角 的终边与角 的终边关
于直线 对称.( )
×
[解析] 角 为任意角时，其终边与角 的终边都关于直线
对称.
（2）若,则 .( )
√
（3）若角 的终边经过点，则的值为 .( )
√
知识点二 角与， 的三角函数值之间的关系
1.诱导公式⑥：
______；
_______.
2.诱导公式⑦：
______；
_______.
3.诱导公式⑧：
_______;
_______.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）诱导公式⑥⑦⑧中的 对于任意角都是成立的.( )
√
（2）若 为第三象限角，则 ( )
×
[解析] 诱导公式中角 是任意角，所以即使 为第三象限角，
也可由诱导公式⑦得到 .
（3）由诱导公式⑥，能够推导出 .( )
√
[解析] 当,时， .
探究点一 利用诱导公式解决给角求值问题
例1 求下列各三角函数值．
（1） ；
解： .
（2） .
解： .
变式 ( )
A. B. C. D.
[解析] 原式 .故选C.
√
［素养小结］
注意观察角，将角化成， ， 等形式，再
用诱导公式求解.注意函数前后的符号变化.
探究点二 利用诱导公式解决给值（式）求值问题
［探索］ 观察下列各组角，在横线上填写“互补”“互余”中的一个
与 ， 与 ， 与 等满足______关
系； 与 ， 与 等满足______关系.
互余
互补
例2（1） [2024·江西新余高一期中]已知，则
( )
A. B. C. D.
[解析] .故选B.
√
（2）[2024·云南大理高一期末]已知 ，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 由 ,得
.故选B.
√
变式（1） [2024·山西朔州一中高一月考]已知 ，且
，则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] ，，
又 ， ，
，
．故选D.
（2）已知，求 的值.
解：原式
因为，所以 ，
所以原式 .
［素养小结］
当已知式和待求式中的未知角的符号相同（反）时，要考虑括号内
的角的差（和）是否为特殊角，从而实现由未知角的三角函数向已
知角的三角函数的转化.
探究点三 利用诱导公式化简、证明
例3（1） [2024·上海闵行三中高一月考] 化简：
_______.
[解析]
.
（2）求证： .
证明: 左边
右边，
原等式成立.
变式（1） 化简： .
解：原式
.
（2）求证： .
证明: 左边
右边， 原等式成立.
［素养小结］
三角恒等式的证明常用的方法:定义法,化弦法,拆项拆角法,公式变形
法,“1”的代换法.
探究点四 诱导公式的综合应用
例4（1） 如图，已知,则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设终边过点的角为 ，终边过
点的角为，则 ，
由图可知，，则 .故选B.
（2）已知，则 __.
[解析] 因为 ，
所以 ，
，
所以 .
变式（1） [2024·四川攀枝花高一期末] 已知角 的终边经过点
，则 ____．
[解析] 角 的终边经过点， ，
.
（2）已知，且，则
的值为_ ___.
[解析] 令，，则, ,
， ,
.
［素养小结］
（1）对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原
则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行三角函数名
称转化，以保证三角函数名称最少.
（2）对于诱导公式,要切记“奇变偶不变，符号看象限”的使用原则.
1.[2023·广东佛山乐从中学高一月考] ( )
A. B. C. D.
[解析] .故选B.
√
2.[2024·广东江门高一期末]已知角 的终边上有一点 ，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 因为角 的终边上有一点，所以 ，
所以 .故选A.
√
3.（多选题）[2024·陕西渭南高一期末] 下列化简正确的是( )
A. B.
C. D.
[解析] ，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误.故选 .
√
√
4.
___.
1
[解析] 因为 ，
所以，所以
.
5.化简： .
解：原式 .
诱导公式①～⑧中的角可归纳为 的形式，可概括为
“奇变偶不变，符号看象限”.
（1）“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的.
（2）“奇”“偶”是对诱导公式 中的整数 来讲的.
（3）“象限”指中，将 看成锐角时，
的终边所在的象限，根据“一全正，二正弦，三正切，
四余弦”的符号规律确定原三角函数值的符号.
1.诱导公式⑤推导
（1）公式内容：
, .
（2）公式推导：
方法一：（学了诱导公式⑥后）利用诱导公式②和诱导公式⑥可得
,
.
方法二：如图所示，设角 与 的终边分别与单
位圆交于点与，由图可得角 与 的终边关
于直线对称，若设的坐标为，则 的坐
标为 .
由三角函数的定义得,, , ,
所以 , .
2.诱导公式⑥推导
（1）公式内容：
, .
（2）公式推导：
如图所示，设角 的终边与单位圆交于点，则点 的坐
标为 .
设点关于直线的对称点为，则点 也在单位圆上，
且点坐标为 .
设点关于轴的对称点为，则点也在单位圆上，且 点坐标为
.
另一方面，点经过以上两次轴对称变换到达点，等同于点 沿单
位圆按逆时针方向旋转到点，设与直线交于点，与
轴交于点，则，因此点
是角的终边与单位圆的交点，则点 的坐标为
，所以 ,
.
3.解决条件求值问题的策略
解答此类问题要学会发现它们的互余、互补关系，如 与
, 与 , 与 等均互余, 与 ,
与 等均互补.遇到此类问题,不妨考虑两个角的和,要善于
利用角的变换来解决问题.
例 （1）[2024·浙江宁波高一期中]已知 ，则
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .故选B.
[解析] 因为 ，
，
所以 .
（2）[2024·河北张家口张北成龙高级中学高一月考] 已知
，则 ___．
4.诱导公式的综合应用
综合应用诱导公式时要做到“三看”
一看角:①化大为小;②看角与角间的联系,可通过相加、相减分析两
角的关系.
二看函数名称:一般是弦切互化.
三看式子结构:通过分析式子,选择合适的方法,如分式可对分子、分
母同乘一个式子变形.第2课时 诱导公式(二)
【课前预习】
知识点一
1.(cos α,sin α) 直线y=x
2.cos α sin α
诊断分析
(1)× (2)√ (3)√ [解析] (1)角α为任意角时,其终边与角-α的终边都关于直线y=x对称.
知识点二
1.cos α -sin α 2.sin α -cos α 3.-sin α -cos α
诊断分析
(1)√ (2)× (3)√ [解析] (2)诱导公式中角α是任意角,所以即使α为第三象限角,也可由诱导公式⑦得到cos=sin α.
(3)当α≠,k∈Z时,tan===-.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)sin(-1920°)=-sin 1920°=-sin(360°×5+120°)=-sin(90°+30°)=-cos 30°=-.
(2)cos(-1560°)=cos 1560°=cos(360°×4+120°)=cos 120°=cos(90°+30°)=-sin 30°=-.
变式 C [解析] 原式=sin(180°+60°)cos(180°+30°)+tan(90°+71°)tan 71°=(-sin 60°)×(-cos 30°)+×tan 71°=×-×tan 71°=-.故选C.
探究点二
探索 互余 互补
例2 (1)B (2)B [解析] (1)cos=cos=-sin α=-.故选B.
(2)由tan α=-3,得====-3-1.故选B.
变式 (1)D [解析] ∵α∈,∴α+∈,又cos=,∴sin=,∴cos=cos=sin=,∴coscos-cossin=sincos-cossin =×-×=.故选D.
(2)解:原式=+=-sin α-sin α=-2sin α.因为cos=,所以-sin α=,
所以原式=-2sin α=.
探究点三
例3 (1)- [解析] ===-.
(2)证明:∵左边=+=
+====右边,∴原等式成立.
变式 解:(1)原式==-=-tan α.
(2)证明:∵左边=-=+====右边,∴原等式成立.
探究点四
例4 (1)B (2) [解析] (1)设终边过点Q的角为α,终边过点P的角为β,则θ=α-β,由图可知α=,sin β=,则cos=cos=cos=sin β=.故选B.
(2)因为cos=,所以sin=sin=cos=,cos=cos=-cos=-,所以sin-cos=-=.
变式 (1)-5 (2) [解析] (1)∵角α的终边经过点P(-3,4),∴tan α=-,∴==3tan α-1=-×3-1=-5.
(2)令t=-x,t∈,则+x=-t,+x=π-t,∵sin=sin t=,∴cos t=,∴sin-cos=sin-cos(π-t)=2cos t=.
【课堂评价】
1.B [解析] cos 510°=cos(360°+150°)=cos 150°=cos(90°+60°)=-sin 60°=-.故选B.
2.A [解析] 因为角α的终边上有一点P,所以sin α=,所以cos=-sin α=-.故选A.
3.BC [解析] sin(2024π-α)=sin(-α)=-sin α,故A错误;tan(α-2024π)=tan α,故B正确;sin=sin=-cos α,故C正确;cos=cos=sin α,故D错误.故选BC.
4.1 [解析] 因为tan α===,所以tan α×tan(90°-α)=1,所以tan 1°×tan 2°×…×tan 45°×tan 46°×…×tan 88°×tan 89°=(tan 1°×tan 89°)×…×(tan 44°×tan 46°)×tan 45°=1×1×…×1=1.
5.解:原式===1.第2课时 诱导公式(二)
【学习目标】
1.理解诱导公式⑤⑥⑦⑧的推导过程;
2.能应用角的旋转对称思想推导诱导公式;
3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.
◆ 知识点一 角α与-α的三角函数值之间的关系
1.如图所示,角α的终边与单位圆的交点P的坐标为 ,-α的终边与单位圆的交点P'的坐标为 ,且两角终边关于 对称.
2.诱导公式⑤:
sin= ;cos= .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)只有当角α为锐角时,才满足角α的终边与角-α的终边关于直线y=x对称. ( )
(2)若sin 25.7°=m,则cos 64.3°=m. ( )
(3)若角α的终边经过点P0(-3,-4),则cos的值为-. ( )
◆ 知识点二 角α与+α,±α的三角函数值之间的关系
1.诱导公式⑥:
sin= ;
cos= .
2.诱导公式⑦:
cos= ;
sin= .
3.诱导公式⑧:
cos= ;
sin= .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)诱导公式⑥⑦⑧中的α对于任意角都是成立的. ( )
(2)若α为第三象限角,则cos=-sin α. ( )
(3)由诱导公式⑥,能够推导出tan=-. ( )
◆ 探究点一 利用诱导公式解决给角求值问题
例1 求下列各三角函数值.
(1)sin(-1920°);
(2)cos(-1560°).
变式 sin 240°cos 210°+tan 161°tan 71°= ( )
A.- B.
C.- D.
[素养小结]
注意观察角,将角化成2kπ±α(k∈Z),π±α,±α等形式,再用诱导公式求解.注意函数前后的符号变化.
◆ 探究点二 利用诱导公式解决给值(式)求值问题
[探索] 观察下列各组角,在横线上填写“互补”“互余”中的一个.-α与+α,+α与-α,-α与+α等满足 关系;+θ与-θ,+θ与-θ等满足 关系.
例2 (1)[2024·江西新余高一期中] 已知sin α=,则cos= ( )
A. B.-
C. D.-
(2)[2024·云南大理高一期末] 已知tan α=-3,则= ( )
A.-3- B.-1-3
C. D.
变式 (1)[2024·山西朔州一中高一月考] 已知cos=,且α∈,则coscos-cossin= ( )
A. B.
C. D.
(2)已知cos=,求+的值.
[素养小结]
当已知式和待求式中的未知角的符号相同(反)时,要考虑括号内的角的差(和)是否为特殊角,从而实现由未知角的三角函数向已知角的三角函数的转化.
◆ 探究点三 利用诱导公式化简、证明
例3 (1)[2024·上海闵行三中高一月考] 化简:= .
(2)求证:+=.
变式 (1)化简:.
(2)求证:-=.
[素养小结]
三角恒等式的证明常用的方法:定义法,化弦法,拆项拆角法,公式变形法,“1”的代换法.
◆ 探究点四 诱导公式的综合应用
例4 (1)如图,已知θ=∠QOP,则cos= ( )
A.- B. C.- D.
(2)已知cos=,则sin-cos= .
变式 (1)[2024·四川攀枝花高一期末] 已知角α的终边经过点P(-3,4),则= .
(2)已知sin=,且0[素养小结]
(1)对于三角函数式的化简求值问题,一般遵循诱导公式先行的原则,即先用诱导公式化简变形,达到角的统一,再进行三角函数名称转化,以保证三角函数名称最少.
(2)对于诱导公式,要切记“奇变偶不变,符号看象限”的使用原则.
1.[2023·广东佛山乐从中学高一月考] cos 510°= ( )
A. B.-
C. D.-
2.[2024·广东江门高一期末] 已知角α的终边上有一点P,则cos= ( )
A.- B.
C.- D.
3.(多选题)[2024·陕西渭南高一期末] 下列化简正确的是 ( )
A.sin(2024π-α)=sin α
B.tan(α-2024π)=tan α
C.sin=-cos α
D.cos=-sin α
4.tan 1°×tan 2°×…×tan 45°×tan 46°×…×tan 88°×tan 89°= .
5.化简:.第2课时 诱导公式(二)
1.D [解析] sin=-sin=-cos θ.对于A,sin=cos θ,故A错误;对于B,cos=-sin θ,故B错误;对于C,sin=cos θ,故C错误;对于D,cos(π-θ)=-cos θ,故D正确.故选D.
2.C [解析] ∵x∈,∴x+∈,又sin=-,∴x+∈,∴cos=-=-,故A错误;tan==,故B错误;cos=cos=sin=-,故C正确;sin=sin=cos=-,故D错误.故选C.
3.A [解析] cos=cos=-sin=-.故选A.
4.D [解析] 因为sin=,-cos=-,所以角α的终边经过点P,所以sin=cos α==.故选D.
5.B [解析] 由题可得β=α+=+,所以cos β=cos=-sin=-.故选B.
6.D [解析] 由sin(π+α)=-,得sin α=,若β=-α,则cos β=sin α=,sin β=cos α=±,tan β=±,故A,C错误;对于B,若cos(π-β)=,则cos β=-,故B错误;对于D,若cos(2π-β)=,则cos β=,故D正确.故选D.
7.B [解析] ∵θ为第二象限角,∴2kπ+<θ<2kπ+π,k∈Z,∴kπ+<8.BD [解析] 因为cos·cos β=sin β·cos β>0,所以sin β与cos β同号,所以角β的终边在第一象限或第三象限.故选BD.
9.ABC [解析] 对于A,sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,故A正确;对于B,cos=cos=sin,故B正确;对于C,sin(2A+2B)+sin 2C=sin 2(A+B)+sin 2C=sin 2(π-C)+sin 2C=sin(2π-2C)+sin 2C=-sin 2C+sin 2C=0,故C正确;对于D,cos(2A+2B)+cos 2C=cos 2(A+B)+cos 2C=cos 2(π-C)+cos 2C=cos(2π-2C)+cos 2C=cos 2C+cos 2C=2cos 2C,故D错误.故选ABC.
[点拨] 在△ABC中,A+B+C=π,B+C=π-A,=-.
10. [解析] cos=cos=sin=.
11.- - [解析] 由题意得sin=-sin=-sin=-.∵cos=sin=sin=,∴θ-是第四象限角,∴sin=-=-=-,∴tan=tan===-.
12.-cos α [解析] ==-cos α.
13.解:(1)由题知tan α==2,则===-1.
(2)2sin2α+sin αcos α====2.
14.解:(1)因为sin(53°-α)=,所以sin(127°+α)=sin[180°-(53°-α)]=sin(53°-α)=.
(2)因为-270°<α<-90°,所以143°<53°-α<323°,又sin(53°-α)=>0,所以143°<53°-α<180°,
所以cos(53°-α)=-=-=-,所以sin(37°+α)=cos(53°-α)=-.
15. - [解析] 由题知,角α的终边OP逆时针旋转至OP'得到的角为α+.∵点P'在单位圆上,且点P'的坐标为,∴sin=-,cos=,∴sin=sin=cos=,sin=sin=sin=-.
16.解:原式=sin+cos(k∈Z).当k为奇数时,设k=2n+1(n∈Z),
则原式=sin+cos=sin+cos=sin+=sin-cos=sin-sin=0;
当k为偶数时,设k=2n(n∈Z),则原式=sin+cos=-sin+cos=-sin+cos=-sin+sin=0.综上所述,原式=0.第2课时 诱导公式(二)
一、选择题
1.与sin一定相等的是 ( )
A.sin B.cos
C.sin D.cos(π-θ)
2.已知sin=-,x∈,则下列结论正确的是 ( )
A.cos= B.tan=2
C.cos=- D.sin=
3.[2024·河南驻马店高一期末] 已知sin=,则cos= ( )
A.- B.
C. D.-
4.[2024·河南开封高一期末] 在平面直角坐标系中,若角α的终边经过点P,则sin= ( )
A.- B.
C.- D.
5.在平面直角坐标系中,角α的顶点与原点重合,始边落在x轴的正半轴上,将角α的终边逆时针旋转得到角β,若sin=,则cos β= ( )
A. B.-
C.- D.
6.已知角θ与φ都是任意角,若满足θ+φ=,则称θ与φ “广义互余”.已知sin(π+α)=-,则下列角β中可能与角α“广义互余”的是 ( )
A.sin β= B.cos(π-β)=
C.tan β= D.cos(2π-β)=
7.当θ为第二象限角,且sin=时,的值是 ( )
A.1 B.-1 C.±1 D.0
8.(多选题)[2024·河南商丘高一期末] 已知cos·cos β>0,则角β的终边可能在 ( )
A.第四象限 B.第三象限
C.第二象限 D.第一象限
★9.(多选题)[2023·广州五中高一月考] 在△ABC中,A,B,C为其内角,则下列关系式恒成立的有 ( )
A.sin(A+B)=sin C
B.cos=sin
C.sin(2A+2B)+sin 2C=0
D.cos(2A+2B)+cos 2C=0
二、填空题
10.[2023·河南豫东高一期中] 若sin=,则cos= .
11.已知θ是第四象限角,sin=,则sin= ,tan= .
12.= .
三、解答题
13.[2024·陕西渭南一中高一月考] 已知角α的终边经过点(1,2).
(1)求的值;
(2)求2sin2α+sin αcos α的值.
14.已知sin(53°-α)=,且-270°<α<-90°.
(1)求sin(127°+α)的值;
(2)求sin(37°+α)的值.
15.[2024·黑龙江大庆铁人中学高一期末] 如图所示,角α的终边OP与单位圆交于点P,将角α的终边OP逆时针旋转至OP'的位置,若P',则sin= ,sin= .
16.化简:sin+cos(k∈Z).
