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7.3 三角函数的性质与图象
7.3.1 正弦函数的性质与图象
第1课时 正弦函数的性质
探究点一 正弦函数的定义域与值域
探究点二 正弦函数的奇偶性与周期性的
综合应用
探究点三 正弦函数的单调性及其应用
探究点四 正弦函数的零点
【学习目标】
1.依据正弦线理解正弦函数的性质；
2.会求正弦函数的最小正周期、奇偶性、单调性和零点.
知识点一 正弦函数、周期函数的定义
1.正弦函数：对于任意一个角,都有唯一确定的正弦 与之对应，
因此 是一个函数，一般称为__________.
正弦函数
2.（1）周期函数：一般地,对于函数,如果存在一个______常数 ,
使得对定义域内的________ ,都满足________________,那么就称函
数为周期函数.非零常数 称为这个函数的______.
非零
每一个
周期
（2）最小正周期：对于一个周期函数 ，如果在它的所有周期中存
在一个最小的正数,那么这个最小的正数就称为 的_____________.
最小正周期
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）所有的周期函数都有最小正周期.( )
×
[解析] 不是所有的周期函数都有最小正周期，如
为常数)， 是周期函数，但是不存在最小正周期.
（2）一个周期函数的周期有很多，若有最小正周期，则最小正周期
只有一个.( )
√
（3）设周期为的函数的定义域为，若 ，则必有
且 ，因此周期函数的定义域一定是无限集.( )
√
（4）如果存在一个常数,使得对定义域内的每一个 ,都满足
,那么就称函数为周期函数， 为这个函数的周
期.( )
×
[解析] 应为非零常数.
（5）若存在一个非零常数，使得对定义域内的每一个 ，都满足
，则是 的周期.( )
√
[解析] ，所以是 的周期.
2.（1）满足条件为常数且的函数
是周期函数吗？如果是，给出一个周期;如果不是，说明理由.
解：函数 是周期函数.
，
，
,
函数是周期函数，且 就是它的一个周期.
（2）满足条件为常数且， 的函
数 是周期函数吗？如果是，给出一个周期；如果不是，说
明理由.
解：函数 是周期函数.
，
，
,
函数是周期函数，且 就是它的一个周期.
知识点二 正弦函数 的性质
函数 性质
定义域
值域 _______
最值 当且仅当 ，时，函数
的最大值 ___；
当且仅当 ，时，函数
的最小值 ____
1
函数 性质
奇偶性 ____函数，其图象关于______中心对称
周期性 最小正周期为____
单调性 在____________________ 上单调递增；在
___________________ 上单调递减
零点
奇
原点
续表
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若函数 的定义域不是全体实数，则它的值域就不可能
是 .( )
×
[解析] 当的定义域为 时，由正弦线可得函数的值域
为 ，故此说法错误.
（2）函数的值域为 .( )
√
（3）若,则的取值范围为 .( )
√
（4）函数 不是奇函数.( )
×
[解析] 由诱导公式得 ，
因为，
所以函数 为奇函数,故此说法错误.
（5）正弦函数在定义域上是单调函数.( )
×
[解析] 正弦函数的定义域为，正弦函数在 上既有单调递
增区间又有单调递减区间，故此说法错误.
（6）正弦函数在 上是增函数.( )
×
[解析] 例如取,,则,但 ，不满足
增函数的定义，故此说法错误.
探究点一 正弦函数的定义域与值域
例1（1） [2023·北理工附中高一月考]函数 的值域
是( )
A. B. C. D.
[解析] 正弦函数的值域为.
当 时，，
当 时，，
则函数 的值域为 ．故选D．
√
（2）函数 的定义域为( )
A. B.
C. D.
[解析] 要使有意义，需满足解得且 ，
所以函数的定义域为 .故选B.
√
变式（1） [2024·四川眉山一中高一月考] 函数 的
最大值为___．
1
[解析] 因为的最大值为1,所以 的最大值为
.
（2）已知，当时， 的取值构成的集合为
_____________________.
[解析] 若,则或，则 的取值构成的集合
为 .
［素养小结］
当且仅当 ，时，函数 取得最大值，即
;当且仅当 ，时，函数 取得最
小值，即 .
探究点二 正弦函数的奇偶性与周期性的综合应用
［探索］ 若函数 是周期为2的周期函数,也是奇函数,
则 的值是多少
解：由题意得 .
例2（1） [2023·湖南株洲高一期中]下列函数是偶函数的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 对于A，的定义域为 ，且
，则 为奇函数，故A错误；
对于B，的定义域为 ，且
，则 为奇函数，故B错误；
对于C，的定义域为 ，且
，则 为偶函数，故C正确；
对于D，的定义域为 ，且
，则 不是偶函数，故D错误.故选C.
（2）[2024·河南信阳高级中学高一期中] 定义在上的函数 满足
，且，则 _ ______．
[解析] 因为 ，所
，
即，所以函数是以 为周期的周期函数，
所以.在 中，
令，可得，因为 ，
所以，所以 .
变式 已知在上是奇函数，且满足 ，当
时，，求 的值.
解：， 是以4 为周期的函数，
.
又在上是奇函数， ，
当时， ，
， .
［素养小结］
解决此类问题的关键是综合运用函数的周期性和奇偶性，把自变量
的值转化到可求值的区间内.
探究点三 正弦函数的单调性及其应用
［探索］ 由正弦线可以看出，正弦函数在 上是如
何变化的？
解：正弦函数在上单调递增，在 上单调递减.
例3（1） 不求值，比较下列各组函数值的大小.
与；与 .
解：①因为，且正弦函数 在区间
上单调递增，
所以 .
②因为，，且在
上单调递减，
所以，即 .
（2）求函数 的单调递增区间.
解：函数的单调递增区间就是函数 的单调
递减区间.
因为的单调递减区间为 ，
所以函数的单调递增区间为 .
变式（1） 下列关系式中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
[解析] ， ，且 在
上单调递增， ，
即 .故选C.
√
（2）[2024·西安长安区一中高一期末]使得函数 为减函数且
函数值为负数的区间可以为( )
A. B. C. D.
[解析] 由的性质可知，当时，函数 为减
函数且函数值为负数.故选C.
√
［素养小结］
利用正弦函数的单调性比较大小的步骤
①异名函数化为同名函数;
②利用诱导公式把角化到同一单调区间上;
③利用函数的单调性比较大小.
探究点四 正弦函数的零点
例4 求函数 的最大值和最小值，并求出当
函数取得最大值和最小值时 的值.
解：由题可得 .
因为，所以当，即 或
时，函数取得最大值；
当 ，即时，函数取得最小值 .
变式 已知函数的最大值是1，最小值是 ，求函
数 的零点.
解：由题意得 .
当时，可得所以 此时函数，
则其零点为 或 .
当时，可得所以 此时函数，
则其零点为 或 .
［素养小结］
（1）正弦函数的零点为 ；
（2）在求解与正弦函数有关的零点问题时，要注意正弦函数的周期
性，在其定义域上可能不只一个零点.
1.下列是定义在 上的四个函数的图象,其中不是周期函数的图象的是
( )
A. B.
C. D.
[解析] 结合周期函数的定义可知A,B,C均为周期函数的图象,D不是周
期函数的图象.故选D.
√
2.[2024·四川绵阳高一期末]下列函数在区间 上单调递增的是
( )
A. B.
C. D.
[解析] 在区间上单调递减； 在区间
上单调递减；
因为在区间 上单调递增，所以在区间
上单调递减；在区间 上单调递增.故选D.
√
3.若且函数,为奇函数,则 ___.
0
[解析] 因为, 为奇函数,
所以,所以 .
4.___.（填“ ”或“ ”）
[解析] ，
，在上单调递减，
，
， .
5.已知函数是定义在上的奇函数，且 ，
，求 的值.
解： ，
是周期函数，3就是它的一个周期.
又 ，
.
1.对函数周期性的理解
若函数是周期函数, 是一个周期,则①定义域中含有无限个
实数;②对定义域内任意,均有,其中且 ;
的图象每隔一个周期 重复出现一次.
2.正弦函数的周期性
（1）正弦函数所具有的周期性实质上是由终边相同的角具有的周期
性所决定的;
（2）由诱导公式 也可以说明它们的周
期性.
3.抽象函数周期性常用结论
（1）若函数满足 ,则函数
是周期函数， 为它的一个周期.
（2）若函数满足 ,则函数
是周期函数，为它的一个周期，若,则 的一个
周期为 .
（3）若函数的图象有两条对称轴, ,则
函数是周期函数, 为它的一个周期.
（4）若函数的图象存在对称中心, ,
则函数为周期函数,且 为它的一个周期.
（5）若函数的图象存在对称轴,和与 相邻的对称中
心,则函数为周期函数，且 为它的一个周期.
（6）若或,则为函数 的一个
周期.
4.判断正弦函数的奇偶性可以直接应用奇偶性的定义，此法简单，易
于理解，也可以应用正弦线判断，即角与 的旋转方向相反，终
边关于 轴对称，故二者正弦线的长度相等、方向相反，所以三角函
数值互为相反数.
1.函数周期性的应用与理解
（1）当用周期函数的定义讨论非三角函数的周期性问题时,只需找到
一个非零实数,对定义域内任意总有 成立即可.
（2）解答利用周期性求值问题的关键是利用化归转化的思想,借助周
期性的定义把待求问题转化到已知区间上求解.
（3）并不是每一个函数都是周期函数.若函数具有周期性,周期也不
一定唯一.一般地,若是函数的一个周期,则 也是
它的周期.
2.函数奇偶性的判断
判断函数的奇偶性应坚持“定义域优先”原则，即先求其定义域，看
它是否关于原点对称.一些函数的定义域比较容易观察，此时直接判
断与 的关系即可；一些复杂的函数要防止没有讨论定义域
是否关于原点对称而出错.解决此类问题常分三步走:先求定义域,再
将 代入,最后得出结论.
例1 判断下列函数的奇偶性.
（1） ；
解：的定义域为 ，
，
是偶函数.
（2） .
解：由题意得，其定义域为 .
，
是奇函数.
3.求与正弦函数 有关的最值（值域）问题
（1）求形如的函数的最值问题时要注意对 进行讨论.
（2）求可化为 的函数的最大值、最
小值时,可利用换元法结合二次函数在区间 上的最大值、最小
值求解.
例2 [2024·河南驻马店高一期中] 回答下列问题：
（1）求函数取得最大值、最小值时自变量 的集合，
并写出函数的最大值、最小值；
解：当，即,时， 取得最大值5，
相应的自变量的集合为 ；
当，即,时， 取得最小值1，
相应的自变量的集合为 .
（2）求函数， 的值域.
解：令, .
,， ，
, ，
，
函数的值域为 .7.3 三角函数的性质与图象
7.3.1 正弦函数的性质与图象
第1课时 正弦函数的性质
【课前预习】
知识点一
1.正弦函数
2.(1)非零 每一个 f(x+T)=f(x) 周期
(2)最小正周期
诊断分析
1.(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√ [解析] (1)不是所有的周期函数都有最小正周期,如f(x)=C(C为常数),x∈R是周期函数,但是不存在最小正周期.
(4)T应为非零常数.
(5)f(2x+T)=f=f(2x),所以是f(2x)的周期.
2.解:(1)函数y=f(x)是周期函数.
∵f(x+a)=-f(x),∴f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-f(x+a)=-[-f(x)]=f(x),∴f(x+2a)=f(x),
∴函数y=f(x)是周期函数,且2a就是它的一个周期.
(2)函数y=f(x)是周期函数.
∵f(x+a)=-,∴f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-=-=f(x),∴f(x+2a)=f(x),
∴函数y=f(x)是周期函数,且2a就是它的一个周期.
知识点二
[-1,1] 1 -1 奇 原点 2π
诊断分析
(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)× (6)×
[解析] (1)当y=sin x的定义域为时,由正弦线可得函数的值域为[-1,1],故此说法错误.
(4)由诱导公式得f(x)=sin(x-3π)=-sin x,因为f(-x)=-sin(-x)=sin x=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,故此说法错误.
(5)正弦函数的定义域为R,正弦函数在(-∞,+∞)上既有单调递增区间又有单调递减区间,故此说法错误.
(6)例如取x1=,x2=,则x1
sin x2,不满足增函数的定义,故此说法错误.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)D (2)B [解析] (1)正弦函数y=sin x的值域为[-1,1].当sin x∈[-1,0]时,y=sin x-|sin x|=2sin x∈[-2,0],当sin x∈(0,1]时,y=sin x-|sin x|=0,则函数y=sin x-|sin x|的值域为[-2,0].故选D.
(2)要使f(x)有意义,需满足解得1变式 (1)1 (2) [解析] (1)因为y=sin x的最大值为1,所以f(x)=3sin x-2的最大值为3×1-2=1.
(2)若f(x)=1,则sin x=1或sin x=-1,则x的取值构成的集合为.
探究点二
探索 解:由题意得f(2024)=f(0+1012×2)=f(0)=0.
例2 (1)C (2)- [解析] (1)对于A,f(x)=sin 3x的定义域为R,且f(-x)=sin(-3x)=-sin 3x=-f(x),则f(x)=sin 3x为奇函数,故A错误;对于B,g(x)=-sin 5x的定义域为R,且g(-x)=-sin(-5x)=sin 5x=-g(x),则g(x)=-sin 5x为奇函数,故B错误;对于C,h(x)=|sin x|的定义域为R,且h(-x)=|sin(-x)|=|sin x|=h(x),则h(x)=|sin x|为偶函数,故C正确;对于D,u(x)=sin x-3的定义域为R,且u(-x)=sin(-x)-3=-sin x-3≠u(x),则u(x)=sin x-3不是偶函数,故D错误.故选C.
(2)因为f(x+π)-f(x)=sin x,所以f(x+π+π)=f(x+π)+sin(x+π)=f(x+π)-sin x=f(x)+sin x-sin x=f(x),即f(x+2π)=f(x),所以函数f(x)是以2π为周期的周期函数,所以f=f=f.在f(x+π)-f(x)=sin x中,令x=,可得f-f=sin=,因为f=-,所以f=f-=-,所以f=f=-.
变式 解:∵f(x+4)=f(x),∴f(x)是以4 为周期的函数,∴f(7)=f(2×4-1)=f(-1).
又∵f(x)在R上是奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴f(-1)=-f(1).∵当x∈(0,2)时,f(x)=2sin2x,
∴f(1)=2sin21,∴f(7)=f(-1)=-f(1)=-2sin21.
探究点三
探索 解:正弦函数y=sin x在上单调递增,在上单调递减.
例3 解:(1)①因为-<-<-<0,且正弦函数y=sin x在区间上单调递增,
所以sin>sin.
②因为cos=sin,<<+<,且y=sin x在上单调递减,
所以sin>sin,即sin>cos.
(2)函数y=-2sin x-1的单调递增区间就是函数y=sin x的单调递减区间.
因为y=sin x的单调递减区间为(k∈Z),所以函数y=-2sin x-1的单调递增区间为(k∈Z).
变式 (1)C (2)C [解析] (1)∵cos 10°=sin 80°,sin 168°=sin 12°,且y=sin x在[0°,90°]上单调递增,∴sin 80°>sin 12°>sin 11°,即cos 10°>sin 168°>sin 11°.故选C.
(2)由y=sin x的性质可知,当x∈时,函数y=sin x为减函数且函数值为负数.故选C.
探究点四
例4 解:由题可得y=-sin2x+sin x+=-+.因为-1≤sin x≤1,所以当sin x=,即x=+2kπ(k∈Z)或x=+2kπ(k∈Z)时,函数取得最大值;当sin x=-1,即x=+2kπ(k∈Z)时,函数取得最小值--.
变式 解:由题意得a≠0.
当a>0时,可得所以
此时函数f(x)=2sin x-1,则其零点为x=+2kπ(k∈Z)或x=+2kπ(k∈Z).
当a<0时,可得所以
此时函数f(x)=-2sin x-1,则其零点为x=+2kπ(k∈Z)或x=+2kπ(k∈Z).
【课堂评价】
1.D [解析] 结合周期函数的定义可知A,B,C均为周期函数的图象,D不是周期函数的图象.故选D.
2.D [解析] y=sin x在区间上单调递减;y=x2-4x+3在区间上单调递减;因为y=log3x在区间上单调递增,所以y=-log3x在区间上单调递减;y=3x在区间上单调递增.故选D.
3.0 [解析] 因为f(x)=sin x-|a|,x∈R为奇函数,所以f(0)=sin 0-|a|=0,所以a=0.
4.< [解析] sin=sin=sin =-sin ,cos =cos=cos =cos=-sin .∵<<<,y=sin x在上单调递减,∴sin >sin ,∴-sin <-sin ,∴sin5.解:∵f(x+3)=f(x),∴f(x)是周期函数,3就是它的一个周期.
又f(-x)=-f(x),∴f(8)=f(2+2×3)=f(2)=f(-1+3)=f(-1)=-f(1)=-2.7.3 三角函数的性质与图象
7.3.1 正弦函数的性质与图象
第1课时 正弦函数的性质
【学习目标】
1.依据正弦线理解正弦函数的性质;
2.会求正弦函数的最小正周期、奇偶性、单调性和零点.
◆ 知识点一 正弦函数、周期函数的定义
1.正弦函数:对于任意一个角x,都有唯一确定的正弦sin x与之对应,因此y=sin x是一个函数,一般称为 .
2.(1)周期函数:一般地,对于函数f(x),如果存在一个 常数T,使得对定义域内的 x,都满足 ,那么就称函数f(x)为周期函数.非零常数T称为这个函数的 .
(2)最小正周期:对于一个周期函数f(x), 如果在它的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就称为f(x)的 .
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)所有的周期函数都有最小正周期. ( )
(2)一个周期函数的周期有很多,若有最小正周期,则最小正周期只有一个. ( )
(3)设周期为T的函数的定义域为M,若x∈M,则必有x+nT∈M(n∈Z且n≠0),因此周期函数的定义域一定是无限集. ( )
(4)如果存在一个常数T,使得对定义域内的每一个x,都满足f(x+T)=f(x),那么就称函数f(x)为周期函数,T为这个函数的周期. ( )
(5)若存在一个非零常数T,使得对定义域内的每一个x,都满足f(2x+T)=f(2x),则是f(2x)的周期. ( )
2.(1)满足条件f(x+a)=-f(x)(a为常数且a≠0)的函数y=f(x)是周期函数吗 如果是,给出一个周期;如果不是,说明理由.
(2)满足条件f(x+a)=-(a为常数且a≠0,f(x)≠0)的函数y=f(x)是周期函数吗 如果是,给出一个周期;如果不是,说明理由.
◆ 知识点二 正弦函数y=sin x的性质
函数 性质 y=sin x
定义域 R
值域
最值 当且仅当x=+2kπ,k∈Z时,函数y=sin x的最大值ymax= ; 当且仅当x=+2kπ,k∈Z时,函数y=sin x的最小值ymin=
(续表)
函数 性质 y=sin x
奇偶性 函数,其图象关于 中心对称
周期性 最小正周期为
单调性 在 (k∈Z)上单调递增;在 (k∈Z)上单调递减
零点 kπ(k∈Z)
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若函数y=sin x的定义域不是全体实数,则它的值域就不可能是[-1,1]. ( )
(2)函数y=sin x+3的值域为[2,4]. ( )
(3)若sin α=m+3,则m的取值范围为[-4,-2]. ( )
(4)函数f(x)=sin(x-3π)不是奇函数. ( )
(5)正弦函数在定义域上是单调函数. ( )
(6)正弦函数在(0,+∞)上是增函数. ( )
◆ 探究点一 正弦函数的定义域与值域
例1 (1)[2023·北理工附中高一月考] 函数y=sin x-|sin x|的值域是 ( )
A.{0} B. [-1,1]
C. [0,1] D. [-2,0]
(2)函数f(x)=的定义域为 ( )
A.∪ B.(1,π)∪(π,4)
C.∪ D.[1,π)∪(π,4]
变式 (1)[2024·四川眉山一中高一月考] 函数f(x)=3sin x-2的最大值为 .
(2)已知f(x)=|sin x|,当f(x)=1时,x的取值构成的集合为 .
[素养小结]
当且仅当x=+2kπ,k∈Z时,函数y=sin x取得最大值,即ymax=1;当且仅当 x=+2kπ,k∈Z时,函数y=sin x取得最小值,即ymin=-1.
◆ 探究点二 正弦函数的奇偶性与周期性的综合应用
[探索] 若函数y=f(x)(x∈R)是周期为2的周期函数,也是奇函数,则f(2024)的值是多少
例2 (1)[2023·湖南株洲高一期中] 下列函数是偶函数的是 ( )
A.y=sin 3x B.y=-sin 5x
C.y=|sin x| D.y=sin x-3
(2)[2024·河南信阳高级中学高一期中] 定义在R上的函数f(x)满足f(x+π)-f(x)=sin x,且f=-,则f= .
变式 已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当x∈(0,2)时,f(x)=2sin2x,求f(7)的值.
[素养小结]
解决此类问题的关键是综合运用函数的周期性和奇偶性,把自变量x的值转化到可求值的区间内.
◆ 探究点三 正弦函数的单调性及其应用
[探索] 由正弦线可以看出,正弦函数y=sin x在上是如何变化的
例3 (1)不求值,比较下列各组函数值的大小.
①sin与sin;②sin与cos.
(2)求函数y=-2sin x-1的单调递增区间.
变式 (1)下列关系式中正确的是 ( )
A.sin 11°B.sin 168°C.sin 11°D.sin 168°(2)[2024·西安长安区一中高一期末] 使得函数y=sin x为减函数且函数值为负数的区间可以为 ( )
A. B.
C. D.
[素养小结]
利用正弦函数的单调性比较大小的步骤
①异名函数化为同名函数;
②利用诱导公式把角化到同一单调区间上;
③利用函数的单调性比较大小.
◆ 探究点四 正弦函数的零点
例4 求函数y=-sin2x+sin x+的最大值和最小值,并求出当函数取得最大值和最小值时x的值.
变式 已知函数f(x)=asin x+b的最大值是1,最小值是-3,求函数f(x)的零点.
[素养小结]
(1)正弦函数y=sin x的零点为kπ(k∈Z);
(2)在求解与正弦函数有关的零点问题时,要注意正弦函数的周期性,在其定义域上可能不只一个零点.
1.下列是定义在R上的四个函数的图象,其中不是周期函数的图象的是 ( )
A B C D
2.[2024·四川绵阳高一期末] 下列函数在区间上单调递增的是 ( )
A.y=sin x B.y=x2-4x+3
C.y=-log3x D.y=3x
3.若a∈R且函数f(x)=sin x-|a|,x∈R为奇函数,则a= .
4.sin cos .(填“>”或“<”)
5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(1)=2,f(x+3)=f(x),求f(8)的值.7.3 三角函数的性质与图象
7.3.1 正弦函数的性质与图象
第1课时 正弦函数的性质
1.C [解析] y=cos=-sin x,其最小正周期是2π.故选C.
2.D [解析] 由题意,a=log20.3log0.30.3=1,03.B [解析] 方法一:f(x)==-+,因为-1≤sin x≤1,sin x≠-,所以-1≤3sin x+2≤5,3sin x+2≠0,所以≤-或≥,所以-+≤-2或-+≥0,故f(x)=的值域为(-∞,-2]∪[0,+∞).
方法二:由y=,得(3y+1)sin x=1-2y,易知y≠-,所以sin x=,则≤1,解得y≥0或y≤-2,故f(x)=的值域为(-∞,-2]∪[0,+∞).故选B.
[技巧] 求解由三角函数所构建的函数的值域问题时,通常借助三角函数值域的有界性.
4.C [解析] 函数f(x)=x+的定义域为{x|-1≤x≤1},且不是周期函数,当x=h(t)时,-1≤h(t)≤1.对于A,当t∈时,0≤sin t≤1,即0≤h(t)≤1,不满足-1≤h(t)≤1,故A不成立;对于B,当t∈[0,π]时,0≤sin t≤1,即0≤h(t)≤1,不满足-1≤h(t)≤1,故B不成立;对于C,当t∈时,-1≤sin t≤1,即-1≤h(t)≤1,故C成立;对于D,当t∈[0,2π]时,-1≤sin t≤1,即-≤h(t)≤,不满足-1≤h(t)≤1,故D不成立.故选C.
5.D [解析] 令f(x)=0,得sin x=,则x=+2kπ,k∈Z或x=+2kπ,k∈Z.故选D.
6.A [解析] ∵-1≤sin x≤1,∴当a>0时,a+b=5,-a+b=-1,解得a=3,b=2,此时的值为;当a<0时,-a+b=5,a+b=-1,解得a=-3,b=2,此时的值为-.故选A.
7.A [解析] ∵f(x)是定义在[-5,5]上的偶函数,∴其图象关于y轴对称.结合图象可知,当x∈[-5,-2)∪(2,5]时,f(x)>0;当x∈(-2,2)时,f(x)<0.由<0,得或可得-π8.CD [解析] 由不等式f(x1)≤f(x)≤f(x2)对任意的x∈R恒成立,不难发现f(x1),f(x2)分别为f(x)的最小值和最大值,故|x1-x2|的值为函数f(x)=2sin x的最小正周期的的奇数倍且为正数.因为f(x)=2sin x的最小正周期为2π,所以|x1-x2|的值可能为π,3π.故选CD.
9.ABD [解析] 对于A,f(x)的定义域为R,因为f(-x)=2sin(-x)+=+2sin x=f(x),所以f(x)是偶函数,所以f(x)的图象关于y轴对称,故A正确;对于B,对任意的x∈R,f(π-x)=2sin(π-x)+=2sin x+=f(x),所以函数f(x)的图象关于直线x=对称,故B正确;对于C,因为f(π+x)=2sin(π+x)+=2-sin x+=+2sin x=f(x),所以π是函数f(x)的周期,故C错误;对于D,设t=2sin x∈,则2sin x+=t+,因为t+≥2,当且仅当t=,即t=1,即x=kπ,k∈Z时等号成立,所以函数f(x)的最小值为2,故D正确.故选ABD.
10. [解析] 由题意知sin(π+x)=-sin x,则求y=sin(π+x),x∈的单调递增区间,也就是求y=sin x,x∈的单调递减区间,易知所求区间为.
11.0 [解析] 若函数f(x)=ax2-sin x是奇函数,则f(x)=-f(-x),即ax2-sin x=-[a(-x)2-sin(-x)],即2ax2=0恒成立,所以a=0.
12. [解析] ∵cos x+sin y=,∴cos x=-sin y,∴cos x-cos2y=-sin y-(1-sin2y)=-,∵sin y=-cos x∈,∴当sin y=-时,-取得最大值.
13.解:(1)因为x∈,所以sin x∈,
即y=sin x,x∈的值域为.
(2)因为x∈,所以sin x∈.
令t=sin x,则t∈,所以y=t2-t+1=+,t∈单调递增.
当t=时,取得最小值,当t=1时,取得最大值1.
故函数y=sin2x-sin x+1,x∈的值域为.
14.解:(1)∵函数f(x)=,∴sin x≠0,∴x≠kπ,k∈Z,
故函数f(x)的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}.
设f(x)=的最小正周期为T,
则f(x+T)==f(x)=,
则sin(x+T)=sin x,∴f(x)的周期即为y=sin x的周期,
又y=sin x的最小正周期为2π,
∴f(x)的最小正周期为2π.
(2)证明:设0∴f(x1)-f(x2)=-=>0,即f(x1)>f(x2),∴f(x)在区间上单调递减.
15. [解析] 当0≤x≤时,由f(x)=Asin x单调递增,可得A>0①;当x>时,显然f(x)=-A单调递增.要使函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,需使A≤1-A②,由①②可得016.解:由f(x+1)=-f(x),得f(x+2)=-f(x+1)=f(x),所以函数f(x)是周期函数,且2是它的一个周期.
因为函数f(x)在[-4,-3]上是增函数,
所以函数f(x)在[0,1]上是增函数.
因为α,β是锐角三角形的两个内角,
所以α+β>,所以>α>-β>0.
因为y=sin x在上为增函数,
所以sin α>sin=cos β,
又sin α∈[0,1],cos β∈[0,1],所以f(sin α)>f(cos β).
[结论] 若α,β是锐角三角形的两个内角,则sin α>cos β.7.3 三角函数的性质与图象
7.3.1 正弦函数的性质与图象
第1课时 正弦函数的性质
一、选择题
1.函数y=cos的最小正周期是 ( )
A. B. C.2π D.π
2.[2024·安徽六安一中高一期末] 已知a=log20.3,b=log0.30.2,c=sin 37°,则a,b,c之间的大小关系是 ( )
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.b>c>a
★3.[2023·河南南阳高一期中] 函数f(x)=的值域为 ( )
A.(-∞,-2)∪(0,+∞)
B.(-∞,-2]∪[0,+∞)
C.(-∞,-2)∪[0,+∞)
D.(-∞,-2]∪(0,+∞)
4.对函数f(x)=x+作x=h(t)的代换,则不改变函数f(x)的值域的代换是 ( )
A.h(t)=sin t,t∈
B.h(t)=sin t,t∈[0,π]
C.h(t)=sin t,t∈
D.h(t)=sin t,t∈[0,2π]
5.函数f(x)=2sin x-1的所有零点组成的集合为 ( )
A.
B.
C.
D.
6.若f(x)=asin x+b(a,b为常数)的最大值是5,最小值是-1,则= ( )
A.或- B.-
C.- D.
7. 已知f(x)是定义在[-5,5]上的偶函数,当-5≤x≤0时,f(x)的图象如图所示,则不等式<0的解集为( )
A.(-π,-2)∪(0,2)∪(π,5]
B.(-π,-2)∪(π,5]
C.[-5,-2)∪(0,π)∪(π,5]
D.[-5,-2)∪(π,5]
8.(多选题)已知函数f(x)=2sin x对任意的x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2),则|x1-x2|的取值可以为( )
A. B. C.π D.3π
9.(多选题)[2023·江西上饶高一期末] 关于函数f(x)=2sin x+,下列说法正确的有 ( )
A.函数f(x)的图象关于y轴对称
B.函数f(x)的图象关于直线x=对称
C.函数f(x)的最小正周期为2π
D.函数f(x)的最小值为2
二、填空题
10.函数y=sin(π+x),x∈的单调递增区间为 .
11.[2024·辽宁大连高一期末] “函数f(x)=ax2-sin x是奇函数”的充要条件是实数a= .
12.已知cos x+sin y=,则cos x-cos2y的最大值为 .
三、解答题
13.求下列函数的值域:
(1)y=sin x,x∈;
(2)y=sin2x-sin x+1,x∈.
14.[2024·黑龙江绥化一中高一月考] 设函数f(x)=.
(1)请写出函数f(x)的定义域和最小正周期;
(2)请以正弦函数y=sin x的性质为依据,并运用函数的单调性定义证明:y=f(x)在区间上单调递减.
15.[2024·西安高一期末] 已知函数f(x)=在[0,+∞)上单调递增,则A的取值范围是 .
★16.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且f(x)在[-4,-3]上是增函数,α,β是锐角三角形的两个内角,试判断f(sin α)与f(cos β)的大小关系.