(共62张PPT)
7.3 三角函数的性质与图象
7.3.2 正弦型函数的性质与图象
第1课时 正弦型函数的性质与图象（一）
探究点一 五点法作图
探究点二 正弦型函数的周期性及其应用
探究点三 正弦型函数的图象变换
探究点四 由图象确定函数
的解析式
【学习目标】
1.了解正弦型函数 的实际意义
及各参数变化对图象的影响；
2.会求 中的参数和函数的最小
正周期、定义域；
3.会用“图象变换法”作正弦型函数
的图象.
知识点一 正弦型函数的定义
一般地，形如_________________的函数称为正弦型函数，其中 ，
， 都是常数，且, .正弦型函数的定义域为___，值域
为__________，周期为____.
此后本书所单独提到的周期，如不加特殊说明，均指最小正周期.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）正弦型函数的周期只与 有关.( )
√
[解析] 正弦型函数的周期只与 有关.
（2）将函数的图象向左平移 个单位后，函数的
周期发生变化.( )
×
[解析] 函数图象向左平移只影响函数图象的位置，不影响函数的周期.
（3）函数的周期为 .( )
√
知识点二 用五点法作函数 的图象
用五点法作函数 在一个周期内的简图时，要找五
个关键点，如下表所示.
0 ___ ____
___ A 0 ____ 0
然后描点,再用平滑的曲线连接各点,就可得到一个周期内的函数图象.
0
知识点三 ，，对函数 图象
的影响
1. 对函数 图象的影响
左
右
2. 对函数 图象的影响
缩短
伸长
3.对函数 图象的影响
伸长
缩短
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数的图象可以看作是由正弦曲线 向左
平移 个单位得到的.( )
√
（2）函数的图象可以看作是由正弦曲线 上所有点
的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到的.( )
√
（3）函数的图象可以看作是由正弦曲线 上所有
点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变）得到的.( )
√
2.由函数 的图象经过怎样的变换才能得到函数
的图象？
解：方法一（先平移，再伸缩）：先将的图象向左平移 个
单位，得到函数的图象，
再将函数 的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原
来的，得到 的图象.
方法二（先伸缩，再平移）：先将 的图象上各点的纵坐标
不变，横坐标变为原来的，得到函数 的图象，
再将函数的图象向左平移个单位，得到 ，
即 的图象.
知识点四 ，， 的实际意义
当一个物体的中心在正弦型函数 的图象上.
（1） 表示物体能偏离平衡位置的最大距离，称为______；
（2） 在决定时物体的位置（即 ）中起关键作用，称
为______；
（3）周期 表示物体完成一次运动所需要的时间，此时，
表示单位时间内能够完成的运动次数，称为______.
振幅
初相
频率
探究点一 五点法作图
例1 已知函数， .
（1）求函数 的定义域、值域、周期、频率、初相、最值；
解：的定义域为,值域为,周期 ,
频率,初相,最大值为2,最小值为 .
（2）完成表格，并在给定的坐标系中用五点法作出函数 在一个
周期内的图象.
解：由题意可得表格如下：
0
0 2 0 0
描点作图，如图所示.
变式 [2024·山西大同七中高一月考] 已知函数，
试用“五点法”画出函数 在区间 上的图象.
解：列表如下.
2 0
描点作图，如图所示.
［素养小结］
用“五点法”画函数 的简图，先作变量代换，
令 ，再用方程思想由取0，， ， ， 来确定对
应的值，最后根据， 的值描点、连线，画出函数的图象.
探究点二 正弦型函数的周期性及其应用
［探索］ 函数 的周期为____；函数
的周期为____；函数
的周期为____.
例2（1） [2024·四川眉山一中高一期中] 已知函数
的最小正周期不小于 ，且
恒成立，则 的值为___．
1
[解析] 因为函数的最小正周期不小于 ，
所以 ，解得.
因为恒成立，所以 的最大值为，
所以 ,，解得 , ，
又，所以 .
（2）求下列函数的周期.
① ；
解：函数的周期为 .
② .
解：函数的周期为 .
变式（1） [2024·石家庄二中高一期末] 函数
的最小正周期是___.
6
[解析] 函数 的最小正周期
,
，
即6是函数 的周期，
在同一坐标系内作出函数与 的图象，
如图.观察图象知，函数与 的周期相同，
所以函数 的最小正周期是6.
（2）若,且函数 的图象上的一个
最高点和相邻的最低点的横坐标分别为和,则 ___.
[解析] 根据题意得,所以 ,
所以,解得 .
［素养小结］
求正弦型函数 的周期主要有两种方法:
（1）直接利用公式，形如
的函数的周期,可直接利用 来求解,也可结合函数图象来求解.
（2）几何法：若已知函数图象两条相邻对称轴的方程分别为 ,
,则 ;若已知函数图象两个相邻的对称中心分别为
,,则 ;若已知函数图象的一个对称中心为
,一条与其相邻的对称轴的方程为,则 .
探究点三 正弦型函数的图象变换
［探索］ 如何由函数的图象得到函数 的图象？
解：由诱导公式⑥得，所以将函数
的图象向右平移个单位即得到函数 的图象.
例3（1） [2024·四川绵阳三台中学高一月考]由函数 的图象
得到函数 的图象，下列变换正确的是( )
A.先将橫坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移 个单位
B.先将横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移 个单位
C.先向左平移 个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
D.先向右平移 个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
√
[解析] 为了得到函数 的图象，只需要把函数
的图象先向右平移个单位，再将横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变），故C，D错误；
也可以先将函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变），再向右平移 个单位，故A错误，B正确.故选B.
（2）[2024·河南驻马店高一期末]把函数的图象向右平移
个单位，再把横坐标缩短到原来的，再把纵坐标伸长到原来的 倍，
所得图象的解析式是，则 的解析式是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 将的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的 ，
得到的图象，
再将 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，
得到 的图象，
将的图象向左平移 个单位，得到
的图象.故选C.
变式（1） [2024·河北承德一中高一月考]为了得到函数
的图象，只需把函数 的图象
( )
A.向右平移1个单位 B.向左平移1个单位
C.向右平移个单位 D.向左平移 个单位
[解析] ，
为了得到函数的图象，
只需把函数 的图象向左平移 个单位.故选D.
√
（2）先把函数的图象向右平移 个单位，再把所得图象上
所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的 ，所得图象对
应的函数解析式是，求 的解析式.
解：根据题意，先把 的图象上所有点的纵坐标变为
原来的倍，横坐标不变，可得 的图象；
再把的图象上所有点的横坐标变为原来的 ，纵坐
标不变，可得 的图象；
最后把的图象向左平移 个单位，可得
的图象，所以
.
［素养小结］
（1）图象变换的前提条件：
①分清哪个是变换前的图象，哪个是变换后的图象，即由谁变换后
得谁.
②必须是同名三角函数.
（2）要分清是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，弄清平移的单位是
还是 .
拓展 把函数图象上所有点的横坐标变为原来的 ，
纵坐标不变，得到函数的图象，若，其中 ,
，则 的最大值是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意可知，所以 .
因为，所以 或
因为函数 的最小正周期 ，所以当时， 出现
两次最大值和最小值，所以的最大值是 .故选D.
√
探究点四 由图象确定函数 的
解析式
［探索］ 确定函数 的解析式,就是确定其中的参数
, , .可以从图象的特征或已知条件中寻找答案,由______确定,
由______确定,周期通常通过观察特殊点求得,如相邻的最高点和最低
点的横坐标相差______周期, 可由在函数图象上的点的坐标列方程
求得,确定 值时,注意它的不唯一性.
最值
周期
半个
例4 已知函数 的部分
图象如图所示，则函数 的解析式为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由题图可得 ，
，，
又函数 在附近单调递减，且 ， .
由题图可知，函数的最小正周期 满足
可得 ，
， ，
，
解得，
又， ，
.故选D.
变式 （多选题）[2024·广西桂林逸仙中学高一月考]
函数 的
部分图象如图所示，则下列说法中正确的是( )
A.
B.
C.将的图象向右平移 个单位得到的图象对应的函数是奇函数
D.若方程在上有且只有6个根，则
√
√
[解析] 对于A，由题知 ，则
，又，所以 ，故A错误；
对于B，由题知 ，
则，解得 ，
又，所以，所以 ，故B错误；
对于C，将的图象向右平移 个单位得到的图象对应的函数解析式为
，因为的定义域为 ，
且满足 ，
所以 是奇函数，故C正确；
对于D，令，
得 ，
得 或
，
解得或 ，
若方程在 上有且只有6个根，则
，故D正确.故选 .
［素养小结］
确定函数 解析式的常用方法
（1）一般可由图象的最高点和最低点的纵坐标来确定 ，
.
（2）因为，所以往往通过求周期来确定 ,可通过函数的
图象来确定 ，注意图象上相邻的最高点与最低点之间的水平距离为
，相邻的两个最高点（或最低点）之间的水平距离为 .
（3） 常以五点法作图中的最高点（或最低点）作为突破口，即当
时， 有最大值
（或最小值），或者由五点法作图中的第一个点 作为突破口，
但要从图象的升降情况找准“第一个点”的位置.
（4）可由图象的最高点和最低点的纵坐标来确定 ,
.
1.[2023·黑龙江密山四中高一期末]函数 是( )
A.最小正周期为 的偶函数 B.最小正周期为 的偶函数
C.最小正周期为 的奇函数 D.最小正周期为 的奇函数
[解析] 由知其最小正周期 .
函数 的定义域为，
由知函数 是奇函数.故选D.
√
2.[2024·西宁高一期末]将函数的图象向右平移 个
单位，得到的图象，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
[解析] 将函数的图象向右平移 个单位得到
的图象，
所以，解得，
当 时，取得最小值 ．故选A.
√
3.函数 的部分图象如
图所示，则( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由题图可知 ，
， ，
, 所给图象上的最高点的坐
标为,,即 ，
得 ,,解得 ,,
又 ，， ．故选C.
4.（多选题）[2023·云南玉溪一中高一月考] 要得到函数
的图象，只需要将 的图象
( )
A.向左平移个单位 B.向左平移 个单位
C.向右平移个单位 D.向右平移 个单位
[解析] ，
所以要得到的图象，可将的图象向左平移 个单位，
又因为的最小正周期为 ，
所以要得到 的图象，可将的图象向右平移个单位.故选 .
√
√
5.将函数的图象向左平移 个单位,所得图象对应的函数
解析式为_____________.
[解析] 将的图象向左平移 个单位得到
的图象.
1.确定正弦型函数的初相 的值有
两种方法
（1）代入法：把图象上的一个已知点坐标代入（此时， 已知）
或把图象与 轴的一个交点的坐标代入进行求解.（要注意交点在上
升区间上还是在下降区间上）
（2）五点对应法：在确定 的值时，往往以寻找“五点法”中的第一
个点 作为突破口.“五点”的具体情况如下：
“第一个点”（即图象上升时与轴的交点）的横坐标满足 ；
“第二个点”（即图象的“峰点”）的横坐标满足 ；
“第三个点”（即图象下降时与 轴的交点）的横坐标满足
；
“第四个点”（即图象的“谷点”）的横坐标满足 ；
“第五个点”的横坐标满足 .
2.三角函数图象的变换规律及注意事项
（1）平移变换
①沿 轴平移，按“左加右减”的规律；
②沿 轴平移，按“上加下减”的规律.
（2）伸缩变换
①沿轴伸缩：当时，横坐标缩短为原来的；当 时，
横坐标伸长为原来的 倍.
②沿轴伸缩：当时，纵坐标伸长为原来的倍；当
时，纵坐标缩短为原来的 .
（3）对称变换
对于函数 的图象：
①关于轴对称后，图象对应的函数解析式为 .
②关于轴对称后，图象对应的函数解析式为 .
③关于原点对称后，图象对应的函数解析式为 .
（4）在作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移在题目中也
经常出现，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，请切记每一个变
换总是对字母 而言的，即图象变换要看变量起多大变化，而不是角
变化多少.
3.由的图象变换得到
的图象的方法
（1）先平移后伸缩
（2）先伸缩后平移
1.注意明确两种变换的区别
在图象变换时,有“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”两种途径.由函数
的图象变换得到 的图象,先
平移变换后伸缩变换,平移 个单位;而先伸缩变换后平移变换,平移
个单位.
2.由 的图象平移变换得到
的图象
，即平移的单位为
.
②方向：由 的符号确定，左移为正，右移为负.
例1 [2024·湖南衡阳高一期末] 将函数 的图象
向右平移个单位得到的图象，当时， 取得
最大值，则 的最小值为__．
[解析] 将函数的图象向右平移 个单位，
得到函数 的图象，
因为当时，取得最大值，所以 , ，
解得,，又，所以的最小值为 .
3.异名函数图象之间的变换法
三角函数图象的各种变换往往都是同名三角函数之间进行的变换,但
是实际中会遇到异名函数图象之间进行的变换,这时需要将正弦函数
化为余弦函数或将余弦函数化为正弦函数,使问题得到解决.
例2 已知函数的周期为 ,为了得到函
数的图象,只需将 的图象( )
A.向左平移个单位 B.向右平移 个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移 个单位
√
[解析] 函数 的周期为,
,, 函数 ,
又，
要得到函数的图象,
只需将函数 的图象向右平移 个单位.故选B.7.3.2 正弦型函数的性质与图象
第1课时 正弦型函数的性质与图象(一)
【课前预习】
知识点一
y=Asin(ωx+φ) R [-|A|,|A|]
诊断分析
(1)√ (2)× (3)√ [解析] (1)正弦型函数的周期只与ω有关.
(2)函数图象向左平移只影响函数图象的位置,不影响函数的周期.
知识点二
π 2π 0 -A
知识点三
1.左 右 2.缩短 伸长 3.伸长 缩短
诊断分析
1.(1)√ (2)√ (3)√
2.解:方法一(先平移,再伸缩):先将y=sin x的图象向左平移个单位,得到函数y=sin的图象,再将函数y=sin的图象上各点的纵坐标不变,横坐标变为原来的,得到y=sin的图象.
方法二(先伸缩,再平移):先将y=sin x的图象上各点的纵坐标不变,横坐标变为原来的,得到函数y=sin 2x的图象,再将函数y=sin 2x的图象向左平移个单位,得到y=sin 2,即y=sin的图象.
知识点四
(1)振幅 (2)初相 (3)频率
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)f(x)=2sin的定义域为R,值域为[-2,2],周期T=π,频率f==,初相φ=,最大值为2,最小值为-2.
(2)由题意可得表格如下:
x - -
u=2x+ 0 π 2π
y=f(x) 0 2 0 -2 0
描点作图,如图所示.
变式 解:列表如下.
x -
2x+ 0 π 2π
y=f(x) -
描点作图,如图所示.
探究点二
探索
例2 (1)1 [解析] 因为函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期不小于π,所以≥π,解得0<ω≤2.因为f(x)≤f恒成立,所以f(x)的最大值为f,所以ω+=+2kπ,k∈Z,解得ω=1+8k,k∈Z,又0<ω≤2,所以ω=1.
(2)解:①函数y=sin的周期为=π.
②函数y=|sin 2x|的周期为.
变式 (1)6 (2)1 [解析] (1)函数g(x)=3sin-的最小正周期T==6,显然f(x+6)===f(x),即6是函数f(x)的周期,在同一坐标系内作出函数y=f(x)与y=g(x)的图象,如图.观察图象知,函数y=f(x)与y=g(x)的周期相同,所以函数f(x)的最小正周期是6.
(2)根据题意得=-=,所以T=π,所以2ω===2,解得ω=1.
探究点三
探索 解:由诱导公式⑥得y=cos x=sin,所以将函数y=cos x的图象向右平移个单位即得到函数y=sin x的图象.
例3 (1)B (2)C [解析] (1)为了得到函数f(x)=sin的图象,只需要把函数y=sin x的图象先向右平移个单位,再将横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),故C,D错误;也可以先将函数y=sin x图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再向右平移个单位,故A错误,B正确.故选B.
(2)将y=3sin的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的,得到y=2sin的图象,再将y=2sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到y=2sin的图象,将y=2sin的图象向左平移个单位,得到y=2sin=2sin的图象.故选C.
变式 (1)D [解析] g(x)=2sin(2x+1)=2sin,为了得到函数g(x)=2sin(2x+1)的图象,只需把函数f(x)=2sin 2x的图象向左平移个单位.故选D.
(2)解:根据题意,先把y=2sin的图象上所有点的纵坐标变为原来的倍,横坐标不变,可得y=3sin的图象;
再把y=3sin的图象上所有点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,可得y=3sin的图象;
最后把y=3sin的图象向左平移个单位,可得y=3sin=3sin=3cos x的图象,所以f(x)=3cos x.
拓展 D [解析] 由题意可知h(x)=2sin,所以-2≤h(x)≤2.因为h(x1)h(x2)=-4,所以 或因为函数h(x)的最小正周期T=π,所以当x∈[-π,π]时,h(x)出现两次最大值和最小值,所以|x1-x2|的最大值是=.故选D.
探究点四
探索 最值 周期 半个
例4 D [解析] 由题图可得A=,∵f(0)=sin φ=,∴sin φ=,又函数f(x)在x=0附近单调递减,且0<φ<π,∴φ=.由题图可知,函数f(x)的最小正周期T满足可得<ω<,∵f=sin=-,∴sin=-1,∴+=2kπ+(k∈Z),解得ω=+(k∈Z),又<ω<,∴ω=,∴f(x)=sin.故选D.
变式 CD [解析] 对于A,由题知f(0)=sin φ=-1,则sin φ=-,又φ∈,所以φ=-,故A错误;对于B,由题知f=sin=0,则ω·-=kπ(k∈Z),解得ω=2+8k(k∈Z),又ω∈(0,2],所以ω=2,所以f(x)=sin,故B错误;对于C,将f(x)的图象向右平移个单位得到的图象对应的函数解析式为g(x)=sin=-sin 2x,因为g(x)的定义域为R,且满足g(-x)=-sin(-2x)=sin 2x=-g(x),所以g(x)是奇函数,故C正确;对于D,令f(x)=sin=1,得sin=,得2x-=+2kπ(k∈Z)或2x-=+2kπ(k∈Z),解得x=+kπ(k∈Z)或x=+kπ(k∈Z),若方程f(x)=1在(0,m)上有且只有6个根,则m∈,故D正确.故选CD.
【课堂评价】
1.D [解析] 由y=sin 2x知其最小正周期T==π.函数y=sin 2x的定义域为R,由sin(-2x)=-sin 2x知函数y=sin 2x是奇函数.故选D.
2.A [解析] 将函数y=3sin(3x+φ)的图象向右平移个单位得到y=3sin=3sin的图象,所以-+φ=-+2kπ(k∈Z),解得φ=-+2kπ(k∈Z),当k=0时,|φ|取得最小值.故选A.
3.C [解析] 由题图可知A=4,T=2×=4π,∴ω==,∵×=,∴所给图象上的最高点的坐标为,∴4=4sin,即sin=1,得 +φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=-+2kπ,k∈Z,又0<φ<2π,∴φ=,∴f(x)=4sin.故选C.
4.AD [解析] f(x)=sin=sin=g,所以要得到f(x)的图象,可将g(x)的图象向左平移个单位,又因为g(x)=sin 2x的最小正周期为π,所以要得到f(x)的图象,可将g(x)的图象向右平移个单位.故选AD.
5.y=-cos 2x [解析] 将y=sin(-2x)的图象向左平移个单位得到y=sin=sin=-sin=-cos 2x的图象.7.3.2 正弦型函数的性质与图象
第1课时 正弦型函数的性质与图象(一)
【学习目标】
1.了解正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的实际意义及各参数变化对图象的影响;
2.会求y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)中的参数和函数的最小正周期、定义域;
3.会用“图象变换法”作正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的图象.
◆ 知识点一 正弦型函数的定义
一般地,形如 的函数称为正弦型函数,其中A,ω,φ都是常数,且A≠0,ω≠0.正弦型函数的定义域为 ,值域为 ,周期为 .
此后本书所单独提到的周期,如不加特殊说明,均指最小正周期.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的周期只与ω有关. ( )
(2)将函数y=2sin的图象向左平移个单位后,函数的周期发生变化. ( )
(3)函数f(x)=sin的周期为π. ( )
◆ 知识点二 用五点法作函数y=Asin(ωx+φ)
(A≠0,ω≠0)的图象
用五点法作函数y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的简图时,要找五个关键点,如下表所示.
x - -+ -
ωx+φ 0
y=Asin(ωx+φ) A 0 0
然后描点,再用平滑的曲线连接各点,就可得到一个周期内的函数图象.
◆ 知识点三 A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ)
(A≠0,ω≠0)图象的影响
1.φ对函数y=sin(x+φ)图象的影响
2.ω对函数y=sin(ωx+φ)图象的影响
3.A对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=sin的图象可以看作是由正弦曲线y=sin x向左平移个单位得到的. ( )
(2)函数y=sin的图象可以看作是由正弦曲线y=sin x上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)得到的. ( )
(3)函数y=2sin x的图象可以看作是由正弦曲线y=sin x上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)得到的. ( )
2.由函数y=sin x的图象经过怎样的变换才能得到函数y=sin的图象
◆ 知识点四 A,ω,φ(A≠0,ω≠0)的实际意义
当一个物体的中心在正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象上.
(1)|A|表示物体能偏离平衡位置的最大距离,称为 ;
(2)φ在决定t=0时物体的位置(即Asin φ)中起关键作用,称为 ;
(3)周期T=表示物体完成一次运动所需要的时间,此时,f==表示单位时间内能够完成的运动次数,称为 .
◆ 探究点一 五点法作图
例1 已知函数f(x)=2sin,x∈R.
(1)求函数f(x)的定义域、值域、周期、频率、初相、最值;
(2)完成表格,并在给定的坐标系中用五点法作出函数f(x)在一个周期内的图象.
x
u=2x+
y=f(x)
变式 [2024·山西大同七中高一月考] 已知函数 f(x)=sin+,试用“五点法”画出函数 f(x)在区间上的图象.
[素养小结]
用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)(x∈R)的简图,先作变量代换,令u=ωx+φ,再用方程思想由u取0,,π,π,2π来确定对应的x值,最后根据x,y的值描点、连线,画出函数的图象.
◆ 探究点二 正弦型函数的周期性及其应用
[探索] 函数y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的周期为 ;函数y=|sin(ωx+φ)|(ω≠0)的周期为 ;函数y=sin2(ωx+φ)(ω≠0)的周期为 .
例2 (1)[2024·四川眉山一中高一期中] 已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期不小于π,且f(x)≤f恒成立,则ω的值为 .
(2)求下列函数的周期.
①y=sin(x∈R);
②y=|sin 2x|(x∈R).
变式 (1)[2024·石家庄二中高一期末] 函数f(x)=的最小正周期是 .
(2)若f(x)=4sin(ω>0),且函数f(x)的图象上的一个最高点和相邻的最低点的横坐标分别为和,则ω= .
[素养小结]
求正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的周期主要有两种方法:
(1)直接利用公式T=,形如y=|Asin(ωx+φ)|(A≠0,ω≠0)的函数的周期,可直接利用T=来求解,也可结合函数图象来求解.
(2)几何法:若已知函数图象两条相邻对称轴的方程分别为x=a,x=b,则T=2|a-b|;若已知函数图象两个相邻的对称中心分别为(m,0),(n,0),则T=2|m-n|;若已知函数图象的一个对称中心为(p,0),一条与其相邻的对称轴的方程为x=q,则T=4|q-p|.
◆ 探究点三 正弦型函数的图象变换
[探索] 如何由函数y=cos x的图象得到函数y=sin x的图象
例3 (1)[2024·四川绵阳三台中学高一月考] 由函数y=sin x的图象得到函数f(x)=sin的图象,下列变换正确的是 ( )
A.先将橫坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再向右平移个单位
B.先将横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再向右平移个单位
C.先向左平移个单位,再将横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)
D.先向右平移个单位,再将横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)
(2)[2024·河南驻马店高一期末] 把函数y=f(x)的图象向右平移个单位,再把横坐标缩短到原来的,再把纵坐标伸长到原来的倍,所得图象的解析式是y=3sin,则f(x)的解析式是 ( )
A.f(x)=-2sin
B.f(x)=2sin x
C.f(x)=2sin
D.f(x)=-2sin x
变式 (1)[2024·河北承德一中高一月考] 为了得到函数g(x)=2sin(2x+1)的图象,只需把函数f(x)=2sin 2x的图象 ( )
A.向右平移1个单位 B.向左平移1个单位
C.向右平移个单位 D.向左平移个单位
(2)先把函数y=f(x)的图象向右平移个单位,再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标变为原来的,所得图象对应的函数解析式是y=2sin,求f(x)的解析式.
[素养小结]
(1)图象变换的前提条件:
①分清哪个是变换前的图象,哪个是变换后的图象,即由谁变换后得谁.
②必须是同名三角函数.
(2)要分清是先平移后伸缩还是先伸缩后平移,弄清平移的单位是|φ|还是.
拓展 把函数f(x)=2sin图象上所有点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,得到函数h(x)的图象,若h(x1)h(x2)=-4,其中x1,x2∈[-π,π],则|x1-x2|的最大值是 ( )
A. B.π C. D.
◆ 探究点四 由图象确定函数y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的解析式
[探索] 确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式,就是确定其中的参数A,ω,φ.可以从图象的特征或已知条件中寻找答案,A由 确定,ω由 确定,周期通常通过观察特殊点求得,如相邻的最高点和最低点的横坐标相差 周期,φ可由在函数图象上的点的坐标列方程求得,确定φ值时,注意它的不唯一性.
例4 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为 ( )
A.f(x)=sin
B.f(x)=sin
C.f(x)=sin
D.f(x)=sin
变式 (多选题)[2024·广西桂林逸仙中学高一月考] 函数f(x)=sin(ωx+
φ)的部分图象如图所示,则下列说法中正确的是 ( )
A.φ=
B.f(x)=sin
C.将f(x)的图象向右平移个单位得到的图象对应的函数是奇函数
D.若方程f(x)=1在(0,m)上有且只有6个根,则m∈
[素养小结]
确定函数y=Asin(ωx+φ)+k(ω>0)解析式的常用方法
(1)A:一般可由图象的最高点和最低点的纵坐标来确定|A|,|A|=.
(2)ω:因为T=,所以往往通过求周期T来确定ω,可通过函数的图象来确定T,注意图象上相邻的最高点与最低点之间的水平距离为,相邻的两个最高点(或最低点)之间的水平距离为T.
(3)φ:常以五点法作图中的最高点(或最低点)作为突破口,即当ωx+φ=+2kπ(k∈Z)时,y有最大值(或最小值),或者由五点法作图中的第一个点作为突破口,但要从图象的升降情况找准“第一个点”的位置.
(4)k:可由图象的最高点和最低点的纵坐标来确定k,k=.
1.[2023·黑龙江密山四中高一期末] 函数y=sin 2x是 ( )
A.最小正周期为2π的偶函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为2π的奇函数
D.最小正周期为π的奇函数
2.[2024·西宁高一期末] 将函数y=3sin(3x+φ)的图象向右平移个单位,得到y=3sin的图象,则|φ|的最小值为 ( )
A. B.
C. D.
3.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<2π)的部分图象如图所示,则 ( )
A.f(x)=4sin
B.f(x)=4sin
C.f(x)=4sin
D.f(x)=4sin
4.(多选题)[2023·云南玉溪一中高一月考] 要得到函数f(x)=sin的图象,只需要将g(x)=sin 2x的图象 ( )
A.向左平移个单位
B.向左平移个单位
C.向右平移个单位
D.向右平移个单位
5.将函数y=sin(-2x)的图象向左平移个单位,所得图象对应的函数解析式为 . 7.3.2 正弦型函数的性质与图象
第1课时 正弦型函数的性质与图象(一)
1.A [解析] 由题得f(0)=2sin φ=1,即sin φ=,∵|φ|<,∴φ=.T==6.故选A.
2.C [解析] 由五点法作图原理知,x2-x1=x3-x2=x4-x3=x5-x4=,所以x2+x4=2x3=x1+x5=.故选C.
3.B [解析] 因为x∈,所以5x-∈,所以sin∈,故f(x)=4sin在上的取值范围为[-2,4].故选B.
4.D [解析] 由题意可知,f(x)=2sin,则φ+=π+2kπ,k∈Z,解得φ=+4kπ,k∈Z,又φ>0,所以φ的最小值为.故选D.
5.B [解析] 将f(x)=sin x的图象向左平移个单位,得到函数y=sin的图象,再把横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),得到函数g(x)=sin=sin(x+1)的图象,其最小正周期T==12,故A错误;由x∈(2,8),得(x+1)∈,因为y=sin x在上单调递减,所以g(x)在(2,8)上单调递减,故B正确;y=g(x+2)=sin(x+3)=sin,当x=0时,y=1≠0,故C错误;当x∈[3,4]时,x+∈,所以y=g(x+2)在[3,4]上单调递减,最大值为0,故D错误.故选B.
6.B [解析] 由f(0)=sin φ=,得sin φ=,结合图象可得φ=+2kπ,k∈Z,∵<φ<π,∴φ=,∴f(x)=sin.由f(1)=sin=0,得sin=0,结合图象可得ω+=π+2kπ,k∈Z,即ω=+2kπ,k∈Z,∵0<ω<,∴ω=,∴函数f(x)的最小正周期T===8.
7.D [解析] 如图,过点C作CE⊥x轴于点E,则CE=1,又△ABC是等腰直角三角形,所以AB=2,所以AB===2,解得ω=,又OB=3OA,所以OB=,则A,B,所以C,所以×+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=+2kπ,k∈Z,又0<φ<π,所以φ=,所以f(x)=sin,所以f(2024)=sin=sin=sin=.故选D.
8.AC [解析] 对于A,将y=sin的图象向左平移个单位,得到y=sin=sin=cos 2x的图象,再将横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=cos x的图象,故A正确;对于B,将y=sin的图象向左平移个单位,得到y=sin=sin的图象,再将横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到y=sin的图象,故B错误;对于C,将y=sin的图象横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin的图象,再向左平移个单位,得到y=sin=cos x的图象,故C正确;对于D,将y=sin的图象横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin的图象,再向左平移个单位,得到y=sin=sin的图象,故D错误.故选AC.
[点拨] 当涉及两个图象变换的函数名不一样时,一般地可应用诱导公式将其变成同名的,通常是将余弦化成正弦,即应用公式cos α=sin,进而将问题转化为两个正弦函数间的图象变换问题.
9.ACD [解析] 设转动过程中,点P距离地面的高度关于时间t的函数为f(t)=Asin(ωt+φ)+h(A≠0,ω≠0),由题意得A=50,h=60,T=20,ω==,又f(0)=50sin φ+60=110,所以sin φ=1,解得φ=+2kπ,k∈Z,不妨取φ=,所以f(t)=50sin+60.对于A,转动10分钟后,点P距离地面的高度为f(10)=50sin+60=10,故A正确;对于B,若摩天轮转速减半,则转动一圈所需的时间变为原来的2倍,故B不正确;对于C,因为f(17)=50sin+60=-50cos+60=50cos+60,f(43)=50sin+60=50cos+60=50cos+60,所以f(17)=f(43),即第17分钟和第43分钟点P距离地面的高度相同,故C正确;对于D,令f(t)=50sin+60≥85,则cost≥,可得-+2kπ≤t≤2kπ+,k∈Z,解得-+20k≤t≤20k+,k∈Z,所以-=,即摩天轮转动一圈,点P距离地面的高度不低于85 m的时间为分钟,故D正确.故选ACD.
10. 右 [解析] y=3sin=3sin 2,故为了得到函数y=3sin的图象,需将函数y=3sin 2x的图象上所有的点向右平移个单位,因为函数y=3sin 2x的最小正周期为π,故也可向左平移π-=(个)单位,故移动的最短长度为个单位,方向向右.
11.5 [解析] 由图象可知A=10,=-=,则T==,所以ω=100π.因为函数I=10·sin(100πt+φ)的图象过点,所以sin=1,则π+φ=+2kπ(k∈Z),解得φ=+2kπ(k∈Z),取φ=,则I=10·sin.当t=时,I=10·sin=5.
12.[-1,1)∪{2} [解析] 当x∈时,2x-∈,所以2sin∈[-1,2],且f=1.作出函数f(x)在区间上的图象,如图所示,若关于x的方程f(x)=t(t∈R)在区间上有唯一解,则函数y=f(x)的图象与直线y=t在上只有一个交点,结合函数图象可知-1≤t<1或t=2,故t的取值范围是[-1,1)∪{2}.
13.解:(1)列表如下.
x -
u=2x+ 0 π 2π
f(x) 0 1 0 -1 0
描点作图,如图所示.
(2)方法一:将函数y=sin x的图象先向左平移个单位,得到函数y=sin的图象,再将横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到函数f(x)=sin的图象.
方法二:将函数y=sin x的图象的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到函数y=sin 2x的图象,再向左平移个单位,得到函数f(x)=sin的图象.
14.解:(1)当t=0时,h=2sin=,故小球在开始振动时的位置为(0,).
(2)由解析式可得振幅A=2,故小球在最高、最低位置时h的值分别是2,-2.
(3)由题可得函数的周期T=2π,故小球往复运动一次需2π s.
(4)由题可得频率为,即小球每1秒能往复运动次.
15.A [解析] ∵f(x)=cos x与g(x)=sin(2x+φ)(0≤φ<π)的图象有一个横坐标为的交点,∴cos=sin.∵φ∈[0,π),∴+φ∈,则+φ=,∴φ=,则g(x)=sin.函数g(x)的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的(ω>1),得到h(x)=sin的图象,当x∈[0,2π]时,2ωx+∈.∵函数h(x)=sin在[0,2π]上有且仅有5个零点,∴5π≤4πω+<6π,∴≤ω<.故选A.7.3.2 正弦型函数的性质与图象
第1课时 正弦型函数的性质与图象(一)
一、选择题
1.若函数f(x)=2sin的图象经过点(0,1),则T和φ的值分别为 ( )
A.6, B.6,
C.6π, D.6π,
2.用“五点法”画正弦型函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的简图时,若所得五个点的横坐标从小到大依次为x1,x2,x3,x4,x5,且x1+x5=,则x2+x4等于 ( )
A. B.π
C. D.2π
3.[2024·广东湛江高一期末] 函数f(x)=4sin在上的取值范围为 ( )
A.[-2,2] B.[-2,4]
C.[-2,4] D.[-2,2]
4.[2024·安徽亳州五中高一月考] 函数f(x)=2sin的图象由函数y=2sin的图象向左平移φ(φ>0)个单位得到,则φ的最小值为 ( )
A. B. C. D.
5.[2024·成都高一期末] 将函数f(x)=sin x的图象向左平移个单位,再把横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,下列关于函数g(x)的说法正确的是 ( )
A.函数g(x)的最小正周期T=6
B.函数g(x)在(2,8)上单调递减
C.函数y=g(x+2)是奇函数
D.函数y=g(x+2)在[3,4]上的最大值为
6.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则该函数的最小正周期为 ( )
A.4 B.8
C.4π D.8π
7.[2024·南昌十九中高一月考] 函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,△ABC是等腰直角三角形,其中A,B两点为f(x)的图象与x轴的交点,C为f(x)的图象的一个最高点,且OB=3OA,则f(2024)= ( )
A.- B.-
C. D.
★8.(多选题)[2023·江西赣州高一期中] 要得到函数y=cos x的图象,只需将函数y=sin的图象 ( )
A.先向左平移个单位,再将横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)
B.先向左平移个单位,再将横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)
C.先将横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移个单位
D.先将横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移个单位
9.(多选题)[2024·陕西镇安中学高一期中] 如图,摩天轮的半径为50 m,其中心O距离地面的高度为60 m,摩天轮按逆时针方向匀速转动,且每20分钟转一圈,若摩天轮上点P的起始位置在最高点处,则下列说法正确的是 ( )
A.转动10分钟后点P距离地面10 m
B.若摩天轮转速减半,则转动一圈所需的时间变为原来的
C.第17分钟和第43分钟,点P距离地面的高度相同
D.摩天轮转动一圈,点P距离地面的高度不低于85 m的时间为分钟
二、填空题
10.[2024·福建莆田八中高一期末] 为了得到函数y=3sin的图象,需将函数y=3sin 2x的图象上所有的点平移的最小长度为 个单位,方向为 (左、右、上、下).
11.交流电电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I=A·sin(ωt+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则当t=时,电流强度是 安.
12.已知函数f(x)=2sin,若关于x的方程f(x)=t(t∈R)在区间上有唯一解,则t的取值范围是 .
三、解答题
13.[2023·山东枣庄高一期中] 已知函数f(x)=sin.
(1)用“五点法”画出f(x)在一个周期内的图象;
(2)函数f(x)的图象可由y=sin x的图象经过怎样的变换得到
14.如图所示,挂在下方的小球做上下运动,小球在t(s)时相对于平衡位置(即静止的位置)的高度为h(单位:cm),且满足h=2sin,t∈[0,+∞).回答下列问题.
(1)小球在开始振动时的位置在哪里
(2)当小球在最高、最低位置时,h的值分别是多少
(3)小球往复运动一次需要多少时间
(4)小球每1秒能往复运动多少次
15.已知函数f(x)=cos x与g(x)=sin(2x+φ)(0≤φ<π)的图象有一个横坐标为的交点.若函数g(x)的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的(ω>1),得到函数h(x)的图象,函数h(x)在[0,2π]上有且仅有5个零点,则ω的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
