(共76张PPT)
7.3 三角函数的性质与图象
7.3.2 正弦型函数的性质与图象
第2课时 正弦型函数的性质与图象（二）
探究点一 与函数
的单调性有关的问题
探究点二 正弦型函数的最值问题
探究点三 函数
的奇偶性和对称性问题
探究点四 函数
性质的综合应用
探究点五 函数
的实际应用
【学习目标】
能借助正弦型函数图象求解与函数性质有关的问题.
知识点一 正弦型函数的奇偶性
（1）当______________时，正弦型函数 可化为
的形式，是奇函数；
（2）当__________________时，正弦型函数 可化
为 的形式，是偶函数；
（3）当______________时，正弦型函数 是非奇非
偶函数.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）对于函数 ，当
时，函数是奇函数，当 时，函数是
偶函数. ( )
×
（2）若正弦型函数 的图象关于原点对称，则
，若关于轴对称，则 .( )
√
（3）已知函数,若 ，则函数一定是奇函
数，且，若 ，则函数一定是偶函数，且
.( )
√
知识点二 正弦型函数 图象的
对称性
（1）对称轴： 的图象的对称轴方程为__________________,
故正弦型函数 的图象的对称轴方程
为_______________________，可化为____________________.
（2）对称中心： 的图象的对称中心为______________,故正
弦型函数 的图象的对称中心的横坐
标满足___________________，解得________________，故正弦型函
数 的图象的对称中心为
__________________.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若函数，则函数 的图象的对称轴方程
为，对称中心为 ( )
√
（2）已知，若对任意的 ,
，则直线,是函数 图象的对称
轴.( )
√
（3）正弦型函数的图象与 轴的交点为函数
的图象的对称中心.( )
√
（4）函数 的图象的对称中心为
.( )
×
[解析] 函数的图象的对称中心为 .
（5）若将正弦型函数 的图象进行左、右平移，
则函数图象的对称轴、对称中心可能发生改变，函数的值域不变；
若将函数的图象进行上、下平移，则函数图象的对称轴、对称中心
都不变，函数的值域发生改变. ( )
×
[解析] 将函数的图象进行上、下平移时，函数图象的对称中心也发
生改变.
知识点三 正弦型函数的单调性
正弦型函数 的单调区间的求解方法
（以为例）
（1）当时，把 看成一个整体，视为 .
①若把 代入到 的单调递增区间，则得到
,从中解出 的取值区间
_____________________________________,就是正弦型函数
的单调递增区间；
②若把 代入到 的单调递减区间，则得到
,从中解出 的取值区间
____________________________________,就是正弦型函数
的单调递减区间.
（2）当时，先利用诱导公式把 的系数转化为正数，再根据复
合函数的单调性确定单调区间.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数在内的单调递减区间是 .( )
√
（2）函数 的单调递减区间是
.( )
×
[解析] 由题意得 ，
令 ，
得，
故函数 的单调递减区间是 .
（3）若当时,函数 取得最大值，则函数
的单调递减区间为 .( )
√
（4）若正弦型函数的一个单调区间为 ，
则一定有 .( )
√
探究点一 与函数 的单调性有关
的问题
［探索］ 函数 的单调递增区间是
_______.
[解析] 由题意得 ,
求该函数的单调递增区间就是求 的单调递
减区间.
由 ,得.
因为,所以取 ,
所以函数的单调递增区间是 .
考向一 求函数的单调区间
例1（1） [2024·江西瑞昌一中高一月考]函数
的
部分图象如图所示，则函数 的
单调递减区间为( )
A., B.,
C., D.,
√
[解析] 依题意可得，解得 ，
设函数的最小正周期为，则 ，
所以 ，又,所以 ，
，又的图象过点 ，
所以，即 ，
所以 ,，解得 ,，
又 ，所以 ， 所以
，
令 ,，
解得 ,，
则的单调递减区间为, .故选C.
（2）[2023·东北师大附中高一月考]函数，
的单调递增区间是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意得， .
令,，解得 , ，
所以函数， 的单调递增区间为，
所以函数， 的单调递增区间为 .故选C.
√
考向二 已知单调区间求解参数问题
例2（1） [2024·山东聊城高一期末]若 是三角形的一个内角，且函
数在区间上单调，则 的取值范围为
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 当时，，
因为 是三角形的一个内角，所以 ，
所以 , ，
因为函数在区间 上单调，
所以解得，即 的取值范围为 .故选B.
（2）[2023·辽宁锦州高一期中]已知函数 在区间
上单调递减，则正实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意知，令 ， ，
解得,，
又函数在区间 上单调递减，
所以，解得, ，
所以， .故选C.
变式 [2024·广东佛山石门中学高一月考] 已知
在区间上单调递增，在区间上单调递减，则 的值为
( )
A.2 B. C. D.
[解析] 因为在区间上单调递增，在区间 上单调递减，
所以在上单调递增，在 上单调递减，
所以，解得，
即在上单调递增，在 上单调递减，符合题意.故选D.
√
［素养小结］
正弦型函数的单调区间的求解技巧：
（1）结合正弦函数的图象,熟记其单调区间；
（2）将比较复杂的三角函数符号后的整体当作一个角（或 ），再
利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间，这
就要求同学们熟练掌握基本三角函数的单调区间，如 在
上单调递增，在
上单调递减；
（3）在求三角函数的单调区间时，一定要注意复合函数的有关知识，
忽略复合函数的条件，是同学们在解题中常犯的错误.
探究点二 正弦型函数的最值问题
［探索］ 已知函数 .
（1）当________________时, ;
当_________________时, .
（2）若,则 ;
若,则 ________.
例3（1） [2023·广东佛山荣山中学高一期中]已知函数
，则函数在区间 上的最小值和最大
值分别为( )
A.,2 B.,2 C.,2 D. ,1
[解析] 因为，所以.
当 ，即时，在区间 上取到最小值
；
当，即 时，在区间上取到最大值
.故选B.
√
（2）若函数在区间 上恰有三个
零点，两个最值点，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 当时， ，
依题意可得，解得，
即 的取值范围是 .故选A.
√
变式（1） 若函数在 上的取值范
围为，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
[解析] 当时，.
由 , ,，
在上的取值范围为 ，可得，
解得 ，故选A.
√
（2）[2024·重庆育才中学高一月考]已知函数
在区间上是增函数，且在区间 上恰好取得一次最大值1，
则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 函数，令 ，
得，则函数在 上单调递增，
依题意知，，即解得.
当 时，，由在 上恰好取得一次最大值1，
得，解得.
综上， 的取值范围是 .故选B.
［素养小结］
（1）求函数， 的值域分
两步：①由求出 的取值范围；②由
的取值范围结合正弦函数的单调性或画出函数图象求出 的取值
范围，从而求出函数的值域.
（2）解决利用正弦型函数的值域求解参数取值范围的问题，关键是
能够结合正弦型函数的图象求得角的取值范围，从而得到关于参数
的不等式（组）.
探究点三 函数 的奇偶性和对
称性问题
［探索］ 若直线是函数 的图象的一条对称
轴，则________________；若点是函数
的图象的一个对称中心，则 ______________.
例4（1） （多选题）[2023·甘肃天水高一期末] 将函数
的图象向左平移 个单位后得到一个偶函数的图
象，则 的可能取值为( )
A. B. C. D.
[解析] 将函数的图象向左平移 个单位后得到
的图象，
因为该函数为偶函数，所以 ,,
解得 ,.故选 .
√
√
√
（2）（多选题）[2023·武汉一中高一期中] 将函数 的图
象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 ，再将所得图象向
右平移个单位后得到函数 的图象，则下列说法正确的是
( )
A.函数 是奇函数
B.函数的图象的一个对称中心是点
C.若，则
D.函数的图象的一个对称中心是点
√
√
[解析] 因为的定义域为 ，且，
所以 为奇函数，故A正确；
正弦函数的图象的对称中心为点 ，故B错误；
根据三角函数的图象变换可得 ，令
，得，故 的图象的对称轴为直线
，若，则 ，故C正确；
令，得，故 的图象的对称中心
为点，无论 取何整数，，故D错误.故选 .
变式（1） 已知函数 的
部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A.该图象对应的函数解析式为
B.函数的图象关于直线 对称
C.函数的图象关于点 对称
D.函数在区间 上单调递减
√
[解析] 由题图可知,，即 ，
所以.由，可得 ，
所以 ,,得 , ，
,所以，所以 ，故A错误；
,故B正确；
，故C错误；
当时，，此时函数 不单调递减,
故D错误．故选B.
（2）[2023·江西九江一中高一月考]已知函数
的图象上相邻两条对称轴之间的
距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于
轴对称，则函数 图象的一个对称中心是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由已知可得，所以 ，所以 ，
所以.
将函数的图象向左平移 个单位后，得到函数
的图象.因为得到的图象关于 轴对称，所以,，
即,，又 ，所以，所以.
对于A，因为 ，所以点不是函数 的图象的对称
中心，故A错误；
对于B，因为，所以点不是函数 的图象的对称
中心，故B错误；
对于C，因为，所以点 是函数的图象的对称
中心，故C正确；
对于D，因为 ，所以点不是函数 的图象的
对称中心，故D错误.故选C.
［素养小结］
（1）奇偶性：因为函数 是奇函数，所以
判断函数 是否为奇函数，关键是看
它能否利用诱导公式转化为 的形式.若
,则 为奇函数；若
,则 为偶函数.
（2）对称性：当 时，函数
取得最大值或最小值，因此函数
的图象的对称轴方程由 求出.同理，其图象
的对称中心的横坐标由 求出.
探究点四 函数 性质的综合应用
例5 （多选题）[2024·西安三中高一期中] 已知函数
，则( )
A.的最小正周期为
B. 为奇函数
C.在 上单调递增
D.的图象关于直线 对称
√
√
√
[解析] 对于A，的最小正周期 ，故A正确；
对于B，，函数
为奇函数，故B正确；
对于C，当时， ，因为函数在
上不单调，所以在 上不单调，故C错误；
对于D，，则 的图象关于直线对称，
故D正确.故选 .
变式 （多选题）[2024·河北张家口成龙高级中学高一月考] 将函数
的图象向左平移 个单位后，其图象关
于 轴对称，则下列说法正确的是( )
A. 可能等于3 B.的周期可以是
C.一定为奇函数 D.在 上单调递减
√
√
[解析] 将函数的图象向左平移 个单位
后得到 的图象，
因为的图象关于轴对称，所以 ，
解得.若，则，解得，
因为 ，所以不成立，故A错误.
若的周期是 ，则 ，解得，又因为，所以，符合 ，故B正确.
，因为，所以
，
令 ，则
，所以一定为奇函数，故C正确.
令，因为 ，所以，所以在上不单调，
故D错误.故选 .
［素养小结］
求解与函数 的性质有关的问题，关
键要注意三点：一是整体代换思想，即求解函数的单调性、零点、
奇偶性等问题时常常令，进而将函数 的
问题转化为函数 的问题，化“陌生”为“熟悉”，最后一定要
将问题转化为关于 的问题；二是数形结合，具体问题能够借助正弦
曲线求解；三是要充分理解“ ”的意义.
探究点五 函数 的实际应用
例6 [2024·江西新余高一期末] 春节前后，各地积极开展各种非遗展
演、文化庙会活动.某地庙会每天8点开始，17点结束.通过观察发现，
游客数量（单位：人）与时间 之间可以近似地用函数
来刻画，其中
点开始后，游客逐渐增多，10点时大约有350人，14点时
游客最多，大约有1250人，之后游客逐渐减少.
（1）求出函数 的解析式；
解：由题意得，，且 ，
,
则
即
又，所以, ，
所以， .
（2）为了营造幸福祥和的氛围，该庙会筹办方邀请本地书法家书写
了950幅福字，计划选一时段分发给每位游客，为了保证在场的游客
都能得到福字，应选择在什么时间段赠送福字？
解：当时， ，
令，可得或 ，
结合函数图象及，可得或 .
为了保证在场的游客都能得到福字，应选择在12点前或16点之后两
个时间段赠送福字.
变式 [2024·河南南阳高一期中] 阻尼器是一种以提供运动的阻力从
而达到减振效果的专业工程装置．某阻尼器模型的运动过程可近似
看为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间 的函数关系
式为，其中 ，若该阻尼器模型在摆动过程
中连续三次位移为的时间分别为， ，
且， ，则在一个周期内阻尼器
偏离平衡位置的位移的大小小于 的总时间为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意得， ，
故函数的周期，
所以 ，所以.
令 ，得 ，
所以 ， 或 ， ，
， 或
，．
故所求总时间为 ．故选D.
［素养小结］
解三角函数应用问题的基本步骤：
1.函数 的单调递增区间为( )
A.， B.，
C.， D.，
[解析] 由， ，
得，，
所以函数 的单调递增区间为, .故选A.
√
2.[2024·广州铁一中学高一月考]若将
的图象向左平移个单位后得到的图象关于轴对称，则在
上的最小值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 函数的图象向左平移 个单位后，
得到的图象所对应的解析式为，
因为 的图象关于轴对称，所以，，
解得， ，又，所以，所以.
当 时，，所以当，即时，
取得最小值 .故选C.
3.（多选题）[2024·湖南衡阳高一期末] 已知函数
的部分
图象如图所示，则( )
A.
B.函数 为奇函数
C.在 上单调递增
D.的图象关于直线 对称
√
√
√
[解析] 由题图可知， ，
所以 ，所以 ，所以，
又函数 的图象过点，
所以 ，
所以 ,，解得 ,，
又 ，所以，所以 ，故A错误；
因为 ，
所以函数为奇函数，故B正确；
当 时，，因为
在 上单调递增，所以在 上单调递增，故C正确；
因为 ，
所以的图象关于直线 对称，故D正确.
故选 .
4.若的图象关于点对称，则 ___.
[解析] 依题意可得,解得 ，
又，所以 .
5.把函数图象上的所有点向左平移 个单位，纵坐标变为
原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象，对于函数 有
以下四个说法：
① ；
②函数的图象关于点 对称；
③函数在 上单调递增；
④若函数在上的最小值为，则 .
其中正确说法的序号是______.
②④
[解析] 把函数图象上的所有点向左平移 个单位，纵坐标
变为原来的2倍（横坐标不变），得到函数
的图象，
所以，故①不正确；
令 , ，得,，
故函数的图象关于点, 对称，
故函数的图象关于点 对称，故②正确；
令,，得 ，，
故函数的单调递增区间为, ,
故函数在上不单调递增，故③不正确；
当 时，，当时，取得最小值 ，
因为函数在上的最小值为,所以 ，
解得 ，故④正确.
故正确说法的序号是②④.
1.最值与单调性之间的关系
函数, , 为常数，且, 的图象上相
邻两个最高点的横坐标之差的绝对值为最小正周期 ，相邻两个最高
点之间有一个最低点.因此，若记从左至右第一个最大值点为 ,
最小值点为,第二个最大值点为 ,则函数
的单调递减区间为
,单调递增区间为
.
2.最值与奇偶性之间的关系
对于函数, , 为常数，且, ,当
且仅当取得最值时，的图象关于轴对称， 为偶函数；
当且仅当时，的图象关于原点对称， 为奇函数.
3.三角函数的最值与周期性之间的关系
由三角函数的图象可知，相邻两个最大值点之间的区间长度为周期 ，
相邻两个最大值点与最小值点之间的区间长度为 ,相邻的最值点与零
点之间的区间长度为 .
函数 性质的运用:
（1）①对称性:函数图象与 轴的交点是对称中心,即函数图象的对称
中心是 ,对称轴与函数图象的交点的纵坐标是函数的
最值,即函数图象的对称轴是直线 .
②对于函数 的图象,相邻的两个对称
中心或两条对称轴之间的水平距离为 个周期;相邻的一个对称中心和
一条对称轴之间的水平距离为 个周期.
③求函数 的性质,要善于采用整体策
略,即把 看成一个整体,将问题化归为正弦函数的性质来解决.
（2）函数 的性质较为综合,在历年
高考题中都有所体现和考查，即围绕着函数单调性、最值、奇偶性、
图象的对称性等都有所体现和考查.
例 （多选题）[2024·陕西渭南高一期末] 已知函数
，则下列说法错误的是( )
A.的最小正周期为 B.的图象关于点 对称
C.为偶函数 D. 是周期函数
√
√
√
[解析] 对于A，的最小正周期 ，
故A中说法正确；
对于B， ，
故B 中说法错误；
对于C，
，因为 ，所以
不为偶函数，故C中说法错误；
对于D，显然的图象关于 轴对称，作出的图象如图所示，
由图可知 不是周期函数，故D中说法错误.故选 .第2课时 正弦型函数的性质与图象(二)
【课前预习】
知识点一
(1)φ=kπ(k∈Z) (2)φ=kπ+(k∈Z)
(3)φ≠(k∈Z)
诊断分析
(1)× (2)√ (3)√
知识点二
(1)x=kπ+(k∈Z) ωx+φ=kπ+(k∈Z)
x=(k∈Z)
(2)(kπ,0)(k∈Z) ωx+φ=kπ(k∈Z) x=(k∈Z)
(k∈Z)
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)× [解析] (4)函数f(x)的图象的对称中心为(k∈Z).
(5)将函数的图象进行上、下平移时,函数图象的对称中心也发生改变.
知识点三
(1)①(k∈Z)
②(k∈Z)
诊断分析
(1)√ (2)× (3)√ (4)√ [解析] (2)由题意得f(x)=-sin,令-+2kπ≤x-≤+2kπ(k∈Z),得-+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z),故函数f(x)的单调递减区间是(k∈Z).
【课中探究】
探究点一
探索 [解析] 由题意得y=3sin=-3sin(x∈[0,π]),求该函数的单调递增区间就是求y=sin(x∈[0,π])的单调递减区间.由2kπ+≤2x+≤2kπ+(k∈Z),得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z).因为x∈[0,π],所以取k=0,所以函数y=3sin(x∈[0,π])的单调递增区间是.
例1 (1)C (2)C [解析] (1)依题意可得A+1=3,解得A=2,设函数f(x)的最小正周期为T,则=-=,所以T=π,又ω>0,所以ω==2,所以f(x)=2sin(2x+φ)+1,又f(x)的图象过点,所以f=2sin+1=3,即sin=1,所以+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=+2kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=2sin+1.g(x)=f-1=2sin+1-1=2sin,令2kπ+≤2x-≤+2kπ,k∈Z,解得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,则g(x)的单调递减区间为,k∈Z.故选C.
(2)由题意得y=sin=-sin,x∈(0,π).令2kπ+<2x-<2kπ+,k∈Z,解得kπ+例2 (1)B (2)C [解析] (1)当x∈时,3x+φ∈,因为φ是三角形的一个内角,所以0<φ<π,所以-<-+φ<,<+φ<,因为函数y=2sin(3x+φ)在区间上单调,所以解得≤φ≤,即φ的取值范围为.故选B.
(2)由题意知ω>0,令2kπ+≤ωx+≤+2kπ,k∈Z,解得+≤x≤+,k∈Z,又函数f(x)在区间上单调递减,所以k∈Z,解得6k+1≤ω≤+2k,k∈Z,所以k=0,1≤ω≤.故选C.
变式 D [解析] 因为f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减,所以y=sin x在上单调递增,在上单调递减,所以=,解得ω=,即y=sin x在上单调递增,在上单调递减,符合题意.故选D.
探究点二
探索 (1)+2kπ(k∈Z) -+2kπ(k∈Z)
(2)
例3 (1)B (2)A [解析] (1)因为x∈,所以2x+∈.当2x+=-,即x=-时,f(x)在区间上取到最小值f=2sin=2×=-1;当2x+=,即x=时,f(x)在区间上取到最大值f=2sin=2×1=2.故选B.
(2)当x∈(0,π)时,2ωx-∈,依题意可得2π<2ωπ-≤,解得<ω≤,即ω的取值范围是.故选A.
变式 (1)A (2)B [解析] (1)当x∈[0,π]时,ωx+∈.由f(0)=sin=,sin=,sin=,f(x)在[0,π]上的取值范围为,可得≤πω+≤,解得ω∈,故选A.
(2)函数f(x)=sin ωx(ω>0),令-≤ωx≤,得-≤x≤,则函数f(x)在上单调递增,依题意知, ,即解得0<ω≤.当x∈[0,π]时,ωx∈[0,πω],由f(x)在[0,π]上恰好取得一次最大值1,得≤πω<,解得≤ω<.综上,ω的取值范围是.故选B.
探究点三
探索 --kπ(k∈Z) -kπ(k∈Z)
例4 (1)ACD (2)AC [解析] (1)将函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移个单位后得到y=sin的图象,因为该函数为偶函数,所以+φ=+kπ,k∈Z,解得φ=+kπ,k∈Z.故选ACD.
(2)因为f(x)的定义域为R,且f(-x)=sin(-x)=-sin x=-f(x),所以f(x)为奇函数,故A正确;正弦函数的图象的对称中心为点(kπ,0)(k∈Z),故B错误;根据三角函数的图象变换可得g(x)=sin,令3x-=+kπ(k∈Z),得x=+(k∈Z),故g(x)的图象的对称轴为直线x=+(k∈Z),若x1+x2=,则g(x1)=g(x2),故C正确;令3x-=kπ(k∈Z),得x=+(k∈Z),故g(x)的图象的对称中心为点(k∈Z),无论k取何整数,+≠,故D错误.故选AC.
变式 (1)B (2)C [解析] (1)由题图可知A=2,=-=,即T=π,所以ω==2.由f=2,可得2sin=2,所以+φ=+2kπ,k∈Z,得φ=+2kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=2sin,故A错误;f=2sin=2sin =-2,故B正确;f=2sin=2sin=-2≠0,故C错误;当x∈时,2x+∈[-π,0],此时函数f(x)不单调递减,故D错误.故选B.
(2)由已知可得=,所以T=π,所以ω==2,所以f(x)=sin(2x+φ).将函数f(x)的图象向左平移个单位后,得到函数y=sin的图象.因为得到的图象关于y轴对称,所以2×+φ=kπ+,k∈Z,即φ=kπ-,k∈Z,又|φ|<,所以φ=-,所以f(x)=sin.对于A,因为2×-=,所以点不是函数f(x)的图象的对称中心,故A错误;对于B,因为2×-=,所以点不是函数f(x)的图象的对称中心,故B错误;对于C,因为2×-=0,所以点是函数f(x)的图象的对称中心,故C正确;对于D,因为2×-=,所以点不是函数f(x)的图象的对称中心,故D错误.故选C.
探究点四
例5 ABD [解析] 对于A,f(x)的最小正周期T==,故A正确;对于B,f=sin=sin 4x,函数y=f为奇函数,故B正确;对于C,当x∈时,4x-∈,因为函数y=sin x在上不单调,所以f(x)在上不单调,故C错误;对于D,f=sin=1,则f(x)的图象关于直线x=对称,故D正确.故选ABD.
变式 BC [解析] 将函数f(x)=2sin(ω>0)的图象向左平移个单位后得到g(x)=2sin=2sin的图象,因为g(x)的图象关于y轴对称,所以+=+kπ(k∈Z),解得ω=+3k(k∈Z).若ω=3,则+3k=3,解得k=,因为k∈Z,所以k=不成立,故A错误.若f(x)的周期是4π,则=4π,解得ω=,又因为ω=+3k,所以k=0,符合k∈Z,故B正确.f=2sin=2sin,因为ω=+3k(k∈Z),所以f=2sin=2sin=2sin=2sin,令h(x)=2sin,则h(-x)=2sin=-2sin=-h(x),所以f一定为奇函数,故C正确.令t=ωx+,因为0探究点五
例6 解:(1)由题意得f(10)=350,f(14)=1250,且sin(14ω+φ)=1,≥9,
则即
又|φ|<,所以ω=,φ=,所以f(x)=600sin+650,x∈[8,17].
(2)当x∈[8,17]时,x+∈,
令600sin+650=950,可得x=12或x=16,
结合函数图象及x∈[8,17],可得x∈[8,12]或x∈[16,17].
为了保证在场的游客都能得到福字,应选择在12点前或16点之后两个时间段赠送福字.
变式 D [解析] 由题意得(t1+t2)=1,(t2+t3)=3,故函数s(t)=3sin(ωt+φ)的周期T=2×(3-1)=4,所以ω==,所以s(t)=3sin.令<1.5,得-1.5<3sin<1.5,所以+2kπ【课堂评价】
1.A [解析] 由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.故选A.
2.C [解析] 函数f(x)=2sin(2x+φ)的图象向左平移个单位后,得到的图象所对应的解析式为g(x)=2sin=2sin,因为g(x)的图象关于y轴对称,所以+φ=kπ+,k∈Z,解得φ=kπ+,k∈Z,又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=2sin.当x∈时,2x+∈,所以当2x+=,即x=时,f(x)取得最小值f=2sin=2×=-1.故选C.
3.BCD [解析] 由题图可知A=4,=-=,所以T=π,所以ω==2,所以f(x)=4sin(2x+φ),又函数f(x)的图象过点,所以f=4sin=4,所以+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=+2kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=4sin,故A错误;因为f=4sin=4sin 2x,所以函数f为奇函数,故B正确;当x∈时,2x+∈,因为y=sin x在上单调递增,所以f(x)在上单调递增,故C正确;因为f=4sin=4sin=-4,所以f(x)的图象关于直线x=对称,故D正确.故选BCD.
4. [解析] 依题意可得2ω-=kπ(k∈Z),解得ω=+(k∈Z),又0<ω<,所以ω=.
5.②④ [解析] 把函数y=sin 2x图象上的所有点向左平移个单位,纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变),得到函数f(x)=2sin=2sin的图象,所以f(x)=2sin,故①不正确;令2x+=kπ,k∈Z,得x=-,k∈Z,故函数f(x)的图象关于点,k∈Z对称,故函数f(x)的图象关于点对称,故②正确;令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,故函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z,故函数f(x)在上不单调递增,故③不正确;当x∈时,2x+∈,当2x+=时,f(x)取得最小值-,因为函数y=f(x)+a在上的最小值为,所以-+a=,解得a=2,故④正确.故正确说法的序号是②④.第2课时 正弦型函数的性质与图象(二)
【学习目标】
能借助正弦型函数图象求解与函数性质有关的问题.
◆ 知识点一 正弦型函数的奇偶性
(1)当 时,正弦型函数y=Asin(ωx+φ)可化为y=±Asin ωx的形式,是奇函数;
(2)当 时,正弦型函数y=Asin(ωx+φ)可化为y=±Acos ωx的形式,是偶函数;
(3)当 时,正弦型函数y=Asin(ωx+φ)是非奇非偶函数.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对于函数y=Asin(ωx+φ)+b(A≠0,ω≠0,b≠0),当φ=kπ(k∈Z)时,函数是奇函数,当φ=kπ+(k∈Z)时,函数是偶函数. ( )
(2)若正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象关于原点对称,则φ=kπ(k∈Z),若关于y轴对称,则φ=kπ+(k∈Z). ( )
(3)已知函数f(x)=2sin(x+φ),若f(0)=0,则函数一定是奇函数,且φ=kπ(k∈Z),若f(0)=±2,则函数一定是偶函数,且φ=+kπ(k∈Z). ( )
◆ 知识点二 正弦型函数y=Asin(ωx+φ)
(A≠0,ω≠0)图象的对称性
(1)对称轴:y=sin x的图象的对称轴方程为 ,故正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的图象的对称轴方程为 ,可化为 .
(2)对称中心:y=sin x的图象的对称中心为 ,故正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的图象的对称中心的横坐标满足 ,解得 ,故正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的图象的对称中心为 .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若函数f(x)=2sin,则函数f(x)的图象的对称轴方程为x=+kπ(k∈Z),对称中心为(k∈Z).( )
(2)已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0),若对任意的x∈R,f(x1)≤f(x)≤f(x2),则直线x=x1,x=x2是函数f(x)图象的对称轴. ( )
(3)正弦型函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象与x轴的交点为函数f(x)的图象的对称中心. ( )
(4)函数f(x)=sin+1的图象的对称中心为(k∈Z). ( )
(5)若将正弦型函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象进行左、右平移,则函数图象的对称轴、对称中心可能发生改变,函数的值域不变;若将函数的图象进行上、下平移,则函数图象的对称轴、对称中心都不变,函数的值域发生改变. ( )
◆ 知识点三 正弦型函数的单调性
正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的单调区间的求解方法(以A>0为例):
(1)当ω>0时,把ωx+φ看成一个整体,视为X.
①若把ωx+φ代入到y=sin X的单调递增区间,则得到2kπ-≤ωx+φ≤2kπ+(k∈Z),从中解出x的取值区间 ,就是正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调递增区间;
②若把ωx+φ代入到y=sin X的单调递减区间,则得到2kπ+≤ωx+φ≤2kπ+π(k∈Z),从中解出x的取值区间 ,就是正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调递减区间.
(2)当ω<0时,先利用诱导公式把x的系数转化为正数,再根据复合函数的单调性确定单调区间.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数f(x)=sin在[0,2π]内的单调递减区间是. ( )
(2)函数f(x)=sin的单调递减区间是(k∈Z). ( )
(3)若当x=时,函数f(x)=2sin(2x+φ)取得最大值,则函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z). ( )
(4)若正弦型函数f(x)=Asin(ωx+φ)的一个单调区间为,则一定有T≥π. ( )
◆ 探究点一 与函数y=Asin(ωx+φ)(A≠0,
ω≠0)的单调性有关的问题
[探索] 函数y=3sin(x∈[0,π])的单调递增区间是 .
考向一 求函数的单调区间
例1 (1)[2024·江西瑞昌一中高一月考] 函数f(x)=Asin(ωx+φ)+1的部分图象如图所示,则函数g(x)=f-1的单调递减区间为 ( )
A.,k∈Z
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.,k∈Z
(2)[2023·东北师大附中高一月考] 函数y=sin,x∈(0,π)的单调递增区间是 ( )
A. B.
C. D.
考向二 已知单调区间求解参数问题
例2 (1)[2024·山东聊城高一期末] 若φ是三角形的一个内角,且函数y=2sin(3x+φ)在区间上单调,则φ的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
(2)[2023·辽宁锦州高一期中] 已知函数f(x)=sin在区间上单调递减,则正实数ω的取值范围是 ( )
A.0<ω≤ B.1≤ω≤
C.1≤ω≤ D.≤ω≤
变式 [2024·广东佛山石门中学高一月考] 已知f(x)=sin ωx(ω>0)在区间上单调递增,在区间上单调递减,则ω的值为 ( )
A.2 B.
C. D.
[素养小结]
正弦型函数的单调区间的求解技巧:
(1)结合正弦函数的图象,熟记其单调区间;
(2)将比较复杂的三角函数符号后的整体当作一个角u(或t),再利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间,这就要求同学们熟练掌握基本三角函数的单调区间,如y=sin x在(k∈Z)上单调递增,在(k∈Z)上单调递减;
(3)在求三角函数的单调区间时,一定要注意复合函数的有关知识,忽略复合函数的条件,是同学们在解题中常犯的错误.
◆ 探究点二 正弦型函数的最值问题
[探索] 已知函数f(x)=sin.
(1)当x= 时,f(x)max=1;
当x= 时,f(x)min=-1.
(2)若x∈,则f(x)∈;
若x∈[0,π],则f(x)∈ .
例3 (1)[2023·广东佛山荣山中学高一期中] 已知函数f(x)=2sin,则函数f(x)在区间上的最小值和最大值分别为 ( )
A.-2,2 B.-1,2
C.-,2 D.-2,1
(2)若函数f(x)=2sin(ω>0)在区间(0,π)上恰有三个零点,两个最值点,则ω的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
变式 (1)若函数f(x)=sin(ω>0)在[0,π]上的取值范围为,则实数ω的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
(2)[2024·重庆育才中学高一月考] 已知函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间上是增函数,且在区间[0,π]上恰好取得一次最大值1,则ω的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
[素养小结]
(1)求函数y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0),x∈[m,n]的值域分两步:①由x∈[m,n]求出t=ωx+φ的取值范围;②由t=ωx+φ的取值范围结合正弦函数的单调性或画出函数图象求出sin t的取值范围,从而求出函数的值域.
(2)解决利用正弦型函数的值域求解参数取值范围的问题,关键是能够结合正弦型函数的图象求得角的取值范围,从而得到关于参数的不等式(组).
◆ 探究点三 函数y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的奇偶性和对称性问题
[探索] 若直线x=是函数f(x)=sin(2x-φ)的图象的一条对称轴,则φ= ;若点是函数f(x)=sin(2x-φ)的图象的一个对称中心,则φ= .
例4 (1)(多选题)[2023·甘肃天水高一期末] 将函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移个单位后得到一个偶函数的图象,则φ的可能取值为 ( )
A.- B.- C. D.
(2)(多选题)[2023·武汉一中高一期中] 将函数f(x)=sin x的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的,再将所得图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象,则下列说法正确的是 ( )
A.函数f(x)是奇函数
B.函数f(x)的图象的一个对称中心是点
C.若x1+x2=,则g(x1)=g(x2)
D.函数g(x)的图象的一个对称中心是点
变式 (1)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则下列说法正确的是 ( )
A.该图象对应的函数解析式为f(x)=2sin
B.函数y=f(x)的图象关于直线x=对称
C.函数y=f(x)的图象关于点对称
D.函数f(x)在区间上单调递减
(2)[2023·江西九江一中高一月考] 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象上相邻两条对称轴之间的距离为,将函数f(x)的图象向左平移个单位后,得到的图象关于y轴对称,则函数f(x)图象的一个对称中心是 ( )
A. B.
C. D.
[素养小结]
(1)奇偶性:因为函数y=Asin ωx(A≠0,ω≠0)是奇函数,所以判断函数y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)是否为奇函数,关键是看它能否利用诱导公式转化为y=±Asin ωx(A≠0,ω≠0)的形式.若φ=kπ(k∈Z),则y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)为奇函数;若φ=kπ+(k∈Z),则y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)为偶函数.
(2)对称性:当ωx+φ=kπ+(k∈Z)时,函数y=Asin(ωx+φ)取得最大值或最小值,因此函数y=Asin(ωx+φ)的图象的对称轴方程由ωx+φ=kπ+(k∈Z)求出.同理,其图象的对称中心的横坐标由ωx+φ=kπ(k∈Z)求出.
◆ 探究点四 函数y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)性质的综合应用
例5 (多选题)[2024·西安三中高一期中] 已知函数f(x)=sin,则 ( )
A.f(x)的最小正周期为
B.y=f为奇函数
C.f(x)在上单调递增
D.f(x)的图象关于直线x=对称
变式 (多选题)[2024·河北张家口成龙高级中学高一月考] 将函数f(x)=2sin(ω>0)的图象向左平移个单位后,其图象关于y轴对称,则下列说法正确的是 ( )
A.ω可能等于3
B.f(x)的周期可以是4π
C.f一定为奇函数
D.f(x)在上单调递减
[素养小结]
求解与函数y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的性质有关的问题,关键要注意三点:一是整体代换思想,即求解函数的单调性、零点、奇偶性等问题时常常令ωx+φ=t,进而将函数y=Asin(ωx+φ)的问题转化为函数y=Asin t的问题,化“陌生”为“熟悉”,最后一定要将问题转化为关于x的问题;二是数形结合,具体问题能够借助正弦曲线求解;三是要充分理解“k(k∈Z)”的意义.
◆ 探究点五 函数y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的实际应用
例6 [2024·江西新余高一期末] 春节前后,各地积极开展各种非遗展演、文化庙会活动.某地庙会每天8点开始,17点结束.通过观察发现,游客数量f(x)(单位:人)与时间x之间可以近似地用函数f(x)=600sin(ωx+φ)+k来刻画,其中x∈[8,17].8点开始后,游客逐渐增多,10点时大约有350人,14点时游客最多,大约有1250人,之后游客逐渐减少.
(1)求出函数f(x)的解析式;
(2)为了营造幸福祥和的氛围,该庙会筹办方邀请本地书法家书写了950幅福字,计划选一时段分发给每位游客,为了保证在场的游客都能得到福字,应选择在什么时间段赠送福字
变式 [2024·河南南阳高一期中] 阻尼器是一种以提供运动的阻力从而达到减振效果的专业工程装置.某阻尼器模型的运动过程可近似看为单摆运动,其离开平衡位置的位移s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s(t)=3sin(ωt+φ),其中ω>0,若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为s0(-3A. s B. s C.1 s D. s
[素养小结]
解三角函数应用问题的基本步骤:
1.函数f(x)=sin的单调递增区间为 ( )
A.,k∈Z
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.,k∈Z
2.[2024·广州铁一中学高一月考] 若将f(x)=2sin(2x+φ)的图象向左平移个单位后得到的图象关于y轴对称,则f(x)在上的最小值为 ( )
A.-2 B.- C.-1 D.-
3.(多选题)[2024·湖南衡阳高一期末] 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则 ( )
A.φ=
B.函数f为奇函数
C.f(x)在上单调递增
D.f(x)的图象关于直线x=对称
4.若y=sin的图象关于点(2,0)对称,则ω= .
5.把函数y=sin 2x图象上的所有点向左平移个单位,纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变),得到函数f(x)的图象,对于函数f(x)有以下四个说法:
①f(x)=2sin;
②函数f(x)的图象关于点对称;
③函数f(x)在上单调递增;
④若函数y=f(x)+a在上的最小值为,则a=2.
其中正确说法的序号是 . 第2课时 正弦型函数的性质与图象(二)
1.D [解析] 由题意得单摆来回摆动一次所需的时间为此函数的一个周期,ω=2π,则T==1,故选D.
2.A [解析] 将函数y=2sin的图象向左平移个单位,所得图象对应的函数解析式为y=2sin=2sin.由-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.故选A.
3.C [解析] 函数f(x)=2sin的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,得到g(x)=2sin的图象,故A错误;当x∈时,x-∈,所以函数g(x)在上单调递增,故B错误;当x=时,g=2sin=2sin π=0,所以点是函数g(x)的图象的一个对称中心,故C正确;当x∈时,x-∈,g(x)∈[-2,],故D错误.故选C.
4.A [解析] 设f(x)的最小正周期为T,则T=-=,则T=π,所以ω===2,所以f(x)=sin(2x+φ).因为f(x)=sin(2x+φ)的图象过点,所以sin=sin=1,则+φ=2kπ+(k∈Z),所以φ=2kπ+(k∈Z),又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=sin,所以f(0)=.故选A.
5.B [解析] 由x∈,可得ωx-∈,由f(x)在上的取值范围为[-1,2]及正弦函数的性质可得≤ω-≤π+,解得≤ω≤.故选B.
6.A [解析] 由2kπ-≤ωx+≤2kπ+(k∈Z)且ω>0,得≤x≤(k∈Z),所以(k∈Z),所以(k∈Z),又ω>0,所以0<ω≤.故选A.
[点拨] 已知三角函数的单调性求参数的范围常用方法:求出原函数的单调区间,由已知区间是所求区间的子集,列不等式(组)求解.
7.C [解析] 方法一: 函数f(x)=sin(ω>0)的图象向左平移个单位,得到函数y=sin=sin的图象,函数f(x)=sin(ω>0)的图象向右平移个单位,得到函数y=sin=sin的图象,由题可知-=2kπ(k∈Z),解得ω=k(k∈Z),又ω>0,所以ω的最小值为.故选C.
方法二: 函数f(x)=sin的最小正周期为,依题意有+=k·(k∈N*),解得ω=k(k∈N*),又ω>0,所以ω的最小值为.故选C.
8.AC [解析] 由题意知,某噪声的声波曲线函数为f(x)=3sin,且经过点(2,3),可得3sin=3,即sin=1,因为|φ|<,所以φ=,所以f(x)=3sin.对于A,函数f(x)的最小正周期T==12,故A正确;对于B,φ=,故B不正确;对于C,当x∈(2,8)时,x+∈,根据正弦函数的性质,可得f(x)在(2,8)上单调递减,故C正确;对于D,由f(x)=3sin,可得f(x+2)=3sin,此时函数y=f(x+2)为偶函数,故D不正确.故选AC.
9.AC [解析] 当x∈[0,2π]时,ωx-∈,由题意可知≤2ωπ-<,解得≤ω<,故A正确;因为2ωπ-∈,所以f(x)在[0,2π]上可能有2个、3个或4个零点,故B错误;f(x)的图象向右平移个单位后,得到函数y=sin=sin的图象,因为该图象关于y轴对称,所以--=+kπ,k∈Z,解得ω=--12k,k∈Z,又ω∈,所以ω=,故C正确;将f(x)的图象上各点的横坐标变为原来的,得到函数g(x)=sin的图象,当x∈时,2ωx-∈,因为ω∈,所以-∈,所以g(x)在上不一定单调递增,故D错误.故选AC.
[点睛] 本题综合考查正弦型函数的性质,涉及最值、零点、奇偶性以及平移变换等,综合性强,解答时要能熟练应用正弦函数的相关知识,难点在于要注意采用整体处理的方法,另外就是计算较复杂,要十分细心.
10.f(x)=sin πx(答案不唯一) [解析] 由题意,函数f(x)的定义域为R,且f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数;又f(x+1)-f(-x)=0,所以f(x+1)=f(-x)=-f(x),即f(x+2)=-f(x+1)=-[-f(x)]=f(x),所以f(x)是以2为周期的周期函数.故f(x)的解析式可以为f(x)=sin πx.
11.- [解析] 因为f=0,所以f=sin=0,所以ω-=kπ,k∈Z,解得ω=2+6k,k∈Z,又0<ω<3,所以ω=2,所以f(x)=sin.将f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin的图象,再将得到的图象向左平移个单位,得到g(x)=sin=sin的图象.当x∈时,x-∈,g(x)∈,所以g(x)在区间上的最小值为-.
12. [解析] 由g(x)≤g,可知当x=时,g(x)取得最大值,即+=+2kπ,k∈Z,解得ω=+3k,k∈Z,因为函数g(x)在上单调,所以T≥π,则=T≥π,解得ω≤2,所以ω=.
13.解:(1)由图象可得A=3,且函数f(x)的最小正周期T=-=π,∴ω==2.
∵函数f(x)的图象过点,∴f=3sin=3sin=3,即sin=1,
∴+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=+2kπ,k∈Z,又|φ|<π,∴φ=.故f(x)=3sin.
(2)∵≤x≤π,∴≤2x+≤,
∴当2x+=,即x=时,函数f(x)取得最小值,最小值为-3;当2x+=,即x=π时,函数f(x)取得最大值,最大值为.故函数f(x)在区间上的最大值为,最小值为-3.
(3)由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,故函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
14.解:(1)因为直线x=π是函数f(x)的图象的一条对称轴,所以sin=±1,
所以ωπ-=+kπ,k∈Z,解得ω=+k,k∈Z,
又ω∈,所以ω=,所以T==.
(2)由(1)可得,f(x)=sin,f(0)=sin=-,f(3π)=sin=,作出函数f(x)在[0,3π]内的图象,如图所示.
方程有两个不同的实数根等价于函数f(x)的图象与直线y=2+m有两个不同的交点,
则-1<2+m<-或<2+m<1,解得-315.D [解析] 由题知,f(x)∈[-2,2],因为f(2)-f(4)=4,且f(x)在[2,4]上单调,所以f(2)=2,f(4)=-2,且=4-2=2,所以T==4,解得ω=,所以sin(2π+φ)=sin φ=-1,又|φ|<π,所以φ=-,所以f(x)=2sin(x-1).g(x)=f(x)-=2sin(x-1)-,令g(x)=0,得2sin(x-1)=,所以g(x)的零点即为函数y=sin(x-1)的图象与y=的图象在x∈(-5,8)上的交点的横坐标.作出两函数的图象,如图所示,由图可知共有6个零点,从左到右依次设为x1,x2,x3,x4,x5,x6,则=-2,=2,=6,所以x1+x2+x3+x4+x5+x6=12.故选D.
16.解:(1)令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)将f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,再将所得图象向左平移个单位,得到g(x)=sin的图象.
由f(x1)+g(x2)=m,得g(x2)=m-f(x1),
因为x1∈,所以2x1+∈,
所以sin∈[0,],
因为x2∈,所以x2+∈,
所以sin∈[-,],
因为对任意的x1∈,总存在x2∈,使得f(x1)+g(x2)=m,
所以[-+m,m] [-,],解得0≤m≤.
故m的取值范围为[0,].第2课时 正弦型函数的性质与图象(二)
选择题
1.如图所示,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数解析式为s=6sin,那么单摆来回摆动一次所需的时间为 ( )
A.2π s B.π s
C.0.5 s D.1 s
2.将函数y=2sin的图象向左平移个单位,所得图象对应的函数的单调递增区间为 ( )
A.,k∈Z
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.,k∈Z
3.[2023·南京高淳高级中学高一月考] 将函数f(x)=2sin的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,则下列结论正确的是 ( )
A.g(x)=2sin
B.函数g(x)在上不单调
C.点是函数g(x)的图象的一个对称中心
D.当x∈时,函数g(x)的最大值为2
4.[2024·安徽蚌埠高一期中] 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间上单调递减,且函数值从1减小到-1,那么此函数的图象与y轴交点的纵坐标为 ( )
A. B. C. D.
5.[2024·福建莆田四中高一期末] 已知函数f(x)=2sin(ω>0)在上的取值范围为[-1,2],则ω的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
★6.[2024·广东肇庆高一期末] 已知函数y=sin(ω>0)在区间上单调递增,则ω的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
7.已知将函数f(x)=sin(ω>0)的图象仅向左平移个单位和仅向右平移个单位都能得到同一个函数的图象,则ω的最小值为( )
A. B. C. D.
8.(多选题)主动降噪耳机的工作原理是:先通过微型麦克风采集周围的噪声,然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声,已知某噪声的声波曲线函数为f(x)=3sin,且经过点(2,3),则下列说法正确的是 ( )
A.函数f(x)的最小正周期T=12
B.φ=-
C.函数f(x)在区间(2,8)上单调递减
D.函数y=f(x+2)是奇函数
★9.(多选题)[2023·内蒙古赤峰二中高一月考] 设函数f(x)=sin(ω>0),若f(x)的图象与直线y=-1在[0,2π]上有且仅有1个交点,则下列说法正确的是 ( )
A.ω的取值范围是
B.f(x)在[0,2π]上有且仅有2个零点
C.若f(x)的图象向右平移个单位后关于y轴对称,则ω=
D.若将f(x)的图象上各点的横坐标变为原来的,得到函数g(x)的图象,则g(x)在上单调递增
二、填空题
10.[2024·浙江临平萧山学校高一期末] 已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x)+f(-x)=0,f(x+1)-f(-x)=0,则f(x)的解析式可以是 .(写出一个即可)
11.[2023·山东青岛高一期中] 设函数f(x)=sin,其中0<ω<3,且f=0,将f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到g(x)的图象,则g(x)在区间上的最小值为 .
12.[2023·辽宁锦州高一期中] 已知函数g(x)=2sin,若ω>0,g(x)≤g,且函数g(x)在上单调,则ω= .
三、解答题
13.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值;
(3)写出f(x)的单调递增区间.
14.已知函数f(x)=sin的图象关于直线x=π对称,其中ω为实数.
(1)若ω∈,求函数f(x)的周期;
(2)在(1)的条件下,当x∈[0,3π]时,关于x的方程f(x)=2+m有两个不同的实数根,求实数m的取值范围.
15.[2024·河北沧州高一期中] 已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π),f(2)-f(4)=4,且f(x)在[2,4]上单调.设函数g(x)=f(x)-,且g(x)的定义域为(-5,8),则函数g(x)的所有零点之和为 ( )
A.7 B.9
C.10 D.12
16.已知函数f(x)=sin,将f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,再将所得图象向左平移个单位,得到g(x)的图象.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)若对任意的x1∈,总存在x2∈,使得f(x1)+g(x2)=m,求m的取值范围.
