(共59张PPT)
7.3 三角函数的性质与图象
7.3.3 余弦函数的性质与图象
探究点一 求函数的解析式与“五点法”作图
探究点二 余弦型函数的单调性问题
探究点三 值域与最值问题
探究点四 奇偶性、对称性与周期性问题
【学习目标】
1.能用五点法画出余弦函数的图象，能利用诱导公式和正弦函数
图象的平移得到余弦函数的图象；
2.能利用图象研究余弦函数的性质；
3.理解余弦函数的性质,会求余弦函数的最小正周期、单调区间
及最值，并会对比正弦型函数的图象及性质求解余弦型函数的图象
及性质.
知识点一 余弦函数的定义
余弦函数：因为对于任意一个角,都有唯一确定的余弦 与之对
应,所以是一个函数,一般称为__________.函数 的
图象称为__________.
余弦函数
余弦曲线
知识点二 余弦函数的性质与图象
函数
定义域 ___
值域 _______
奇偶性 __________
周期性 最小正周期为_____________________
单调性 当 _____________________时，单调递增；
当 _____________________时，单调递减
偶函数
最大值与最小值 当_____ 时，取得最大值_____；
当_________ 时，取得最小值_____
零点 ____________________
图象
______________
图象的对称性 对称轴：______________；
对称中心：_________________
1
续表
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数的性质与 的性质不一样. ( )
×
[解析] 因为 ，所以两个函数的性质一样.
（2）若直线是函数 的图象的对称轴，则函数
在处取得最大值或最小值.函数的图象与 轴
的交点的横坐标是函数的零点.( )
√
（3） .( )
×
[解析] 因为在 上单调递减，且
，所以 .
（4）将余弦曲线向左平移 个单位可得到正弦曲线. ( )
√
（5）用五点法作余弦曲线的五个点分别为,， ，
， .( )
√
（6）函数的周期是 .( )
√
知识点三 余弦型函数 的性质
1.定义域为___，值域为__________.
2.余弦型函数也是周期函数，且其周期为____.
3.余弦型函数 的奇偶性
①当______________时，可化为 的
形式，是偶函数；
②当__________________时， 可化为
的形式，是奇函数；
③当______________时，函数 是非奇非偶函数.
4.余弦型函数图象的对称性
①对称轴： 的图象的对称轴方程为
___________________，可化为________________；
)
②对称中心： 的图象的对称中心的
横坐标满足_______________________，解得____________________，
故图象的对称中心为____________________.
5.余弦型函数的单调区间的求解方法：
（1）根据,化 为正数，得到形如
的函数.
（2）当 时，可由______________________________求解得到
单调递增区间；由_____________________________求解得到单调
递减区间（简记为“增内求增，减内求减”）.
)
（3）当 时，可由_______________________________求解得到
单调递减区间；由__________________________________求解得到
单调递增区间（简记为“增内求减，减内求增”）.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数的图象是由函数 图象上的所有点
的纵坐标不变，横坐标变为原来的，再将所得图象向左平移 个单
位得到的.( )
×
[解析] ，该函数的图象是由
图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 ，再将
所得图象向左平移 个单位得到的.
（2）若直线是函数 的图象的一条对称轴，
则满足，且 , .( )
×
[解析] 若直线是函数 的图象的一条对称
轴，则满足，且 , ，
即 , .
（3）函数的图象的一个对称中心为 .( )
×
[解析] 当时， ，
，
所以函数 的图象的一个对称中心为 .
探究点一 求函数的解析式与“五点法”作图
［探索］ 用五点法作函数， 的图象时，首先应描
出的五个点的横坐标是________________.
，，，，
[解析] 分别令，， ，， ，得，，，， .
例1（1）函数
的部分图象如图所示，则函数 的解析式是
( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 由题图知， ，故.
由 ，
得 , ，
解得 ,,
又,所以，
故 . 故选D.
（2）[2024·河南商丘高一期末] 已知函数 ，填
写下表，并作出在 上的图象.
0
解：
0
0 0
变式 [2024·成都石室中学高一月考] 已知函
数 的部
分图象如图所示，则 ______________.
[解析] 由题图可知， ，
则 ，又，所以.
因为 ，，所以 ，
所以 ,，解得, ，
，所以，所以 ，
所以 .
［素养小结］
（1）用五点法画函数的图象，令 ，
， ，, ，进而求出 的值，然后描点作图即可.
（2）由函数图象或性质求函数
的解析式的方法：
①， 可由图象上最高点和最低点的纵坐标确定；
② ,可由图象上最高点和最低点的横坐标确定，先求出 ，再由
求出 ;
③ 可以由某一点处的函数值求得，要注意 的取值范围.
探究点二 余弦型函数的单调性问题
例2（1） [2024·重庆南开中学高一期中] 已知函数，
将的图象向左平移 个单位，得到函数的图象，的图象关于
原点对称，且在 上单调递减，则 ___．
3
[解析] 由题意知,因为 的图象关于原点对称，
所以 ,，解得,.
因为 在上单调递减，且当 时，
，所以 ，
解得，，
又,, ,所以 ．
（2）函数 的单调递增区间是________________
_______.
，
[解析] 令 , ,
解得，，
所以函数 的单调递增区间是， .
变式 比较下列各组三角函数值的大小:
（1）___ ;
[解析] ,
.
,且在上单调递增，
,即 .
（2）___ .
[解析] ,,
和 均为锐角,且.
在区间 上单调递减,
,即 .
［素养小结］
（1）确定函数 的单调区间的基本思想是整体换元
思想，即将 看作一个整体，利用基本三角函数的单调性来求
复合三角函数的单调区间.若 的系数为负，则通常利用诱导公式化
为正数再求解.有时还应兼顾函数的定义域.
（2）比较两个函数值大小时，一般先利用诱导公式把它们化为同名
三角函数，再把它们转化到同一单调区间上，利用函数单调性对它
们进行比较.
探究点三 值域与最值问题
例3（1） [2024·浙江金华十校高一期末] 函数
,2,3, , 为月份)近似表示
某地每年各个月份从事旅游服务工作的人数，游客流量越大所需旅
游服务工作人员越多，则可以推断当 ___时游客流量最大．
8
[解析] 因为,2,3, , ，
所以 ，
所以当 ，即时，取最大值1，
所以当 时， 取最大值，
又游客流量越大所需旅游服务工作人员越多，
所以当 时游客流量最大．
（2）已知函数， 的最大值为4，求实
数 的值.
解：， ，
.
若，则当时，取得最大值 ，
，解得 ；
若，则当时，取得最大值 ，
，解得 .
综上可知，实数的值为2或 .
变式（1） [2024·广西玉林高一期末] 已知函数
，，则 的最小值为_ ____．
[解析] 因为，所以 ，
所以，所以的最小值为 .
（2）函数, 的值域是______.
[解析] .
因为,所以,所以当,即 时,函数
,取得最大值,最大值为3.
当 ,即时,函数,取得最小值,最小值为 . 所以函数,的值域是 .
［素养小结］
求三角函数最值的两种方法：
（1）将三角函数式化为 的形式，
结合有界性求最值；
（2）将三角函数式化为关于(或 的二次函数的形式，利用
二次函数的性质求最值.
探究点四 奇偶性、对称性与周期性问题
［探索］ 函数 的图象的对称中心为_________
_________，对称轴方程为__________________.
[解析] 由，得 ，
故函数的图象的对称中心为 .
由，得 ，
故函数的图象的对称轴方程为 .
例4（1） [2023·上海闵行中学高一期末]函数 的图象
可按向量的方向平移得到函数的图象，当 为奇函
数时，向量 可以为( )
A. B. C. D.
[解析] 设，则，
因为 为奇函数，所以，
令 , ，得,，
所以可以为 .故选B.
√
（2）（多选题）[2024·贵州安顺高一期末] 设函数
，则下列结论正确的是( )
A.的一个零点为
B.的图象关于直线 对称
C. 是周期函数
D.方程 有3个解
√
√
√
[解析] 对于A， ，故A错误.
对于B，因为 ，
，所以
，所以的图象关于直线 对称，故B正确.
对于C，设，则
，所以 是周期函数，故C正确.
对于D，作出与 的图象，如图所示，
由图知，在 内两函数的图象有1个交点；
当 时，，且 ，又 ，
所以由图可得在 内两函数图象有2个交点；
当时， ， ，两函数图象无交点.
综上，方程 有3个解，故D正确.故选 .
变式（1） [2023·重庆八中高一月考]已知函数
，若直线 是函数 的图象
的一条对称轴，则 的图象的一个对称中心为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为直线 是函数 的图象的一条对称轴，
所以，即，又 ，所以 .
令，解得 ，
所以函数的图象的一个对称中心为 .故选A.
√
（2）[2024·山西长治高一期末] 将函数 的图象向
左平移个单位，得到函数的图象，若 是偶函
数，则 ____．
[解析] 将函数的图象向左平移 个单位，
得到函数 的图象，
因为是偶函数，所以 ,，解得, ，
又，所以 ．
［素养小结］
（1）求余弦型函数 的图象的对称轴
或对称中心时可以应用整体换元的思想，可令
（对称中心）或 （对称轴），其中，进而求解
的值.要注意对称轴最后要写成直线方程的形式，对称中心要写成点
的坐标的形式.
（2）判断所给直线是否为图象的对称轴，只需将相应的 值代入三
角函数解析式，若对应的函数值为最值，则该直线为图象的对称轴；
判断所给点是否为图象的对称中心，只需看该点坐标是否满足函数
解析式，且该点的纵坐标是否为函数的最大值与最小值的平均数.函
数图象与对称轴的交点为图象的最高（低）点，函数图象与平衡位
置的交点为图象的对称中心.
1.函数 的图象的对称轴方程可以是( )
A. B. C. D.
[解析] 由 ，，得， ，
所以的图象的对称轴方程为， .
结合选项知，令，得 .故选B.
√
2.下列函数中，既在区间上单调递减又是以 为周期的偶函数
的是( )
A. B. C. D.
[解析] 对于A，函数的最小正周期 ，不符合题意；
对于B，函数的最小正周期 ，不符合题意；
对于C，函数的最小正周期 ，当 时，函数
单调递增，不符合题意；
对于D，函数 的最小正周期 ，当时，函数
单调递减，且为偶函数，符合题意.故选D.
√
3.已知函数 的部分
图象如图所示，直线与其交于， 两
点．若，则 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
[解析] 令，可得 ， ，
，，则 ，
又，所以 .故选A.
√
4.[2023·内蒙古包头高一期中]已知函数 在
上的大致图象如图所示，则 ( )
A. B. C. D.1
√
[解析] 设函数的最小正周期为 ，
由题图可知，则 ，
所以，解得 ，
，所以 .故选A.
5.[2023·山西朔州怀仁一中高一月考] 函数 ，
的值域为______.
[解析] 当时，，则的值域为 .
1.用五点法或图象变换法作函数， ，
, ， 为常数)的图象，求这个函数的最大值、最小值、周期以及
单调区间等，方法与求正弦型函数 的相应性质是
类似的.
2.余弦曲线是把正弦曲线向左平移 个单位而得到的，相应
地，对称中心、对称轴、单调区间都向左平移 个单位，可以结合正
弦曲线来理解余弦曲线的特性.由于是曲线向左平移，故周期性不改
变，最值不改变.
3.与余弦函数相关的值域（最值）问题的解法：
（1）对于 的形式，借助余弦函数的有界性
求解.
（2）对于(其中， ，， 为常数，
,的形式，采用整体代换法求解，令 ，借助
的图象及性质求解，注意的取值范围对 的影响.
（3）对于的形式，采用分离常数法或反解出 ，再
利用余弦函数的有界性求解.
（4）对于 的形式，利用二次函数的
有关知识求解.
1.在研究，，, ， 为常数)的性
质时，应注意整体代换思想的应用.如当 ，
时，函数取得最大值，当 ，
时，函数取得最小值.
2.类比法
的图象变换,可类比函数
的图象变换,由 的图象变换得到.
例1 [2024·天津南开区高一期中] 为得到函数 的图
象，需将函数的图象向左平移个单位，则 的
最小值为___．
[解析] 将函数的图象向左平移 个单位，得到
的图象，
由题可得,，解得,，
又，所以 的最小值为 .
3.余弦型函数周期的求解策略:
（1）定义法.
（2）公式法：对于简单的周期求解问题，直接用周期公式求解即可.
的周期 .
的周期求法：当时,用公式 求
解;当时,用公式 求解.
（3）图象法：画图象观察求解周期.
例2 求下列函数的周期.
（1） ;
解：的周期是 ,且 的图象是将
的图象在轴下方的部分折到轴上方,并且保留 轴上方
的图象而得到的,所以周期 .
（2） .
解： ,
所以其周期 .
4.解与余弦函数有关的最值（值域）问题
（1）求形如的函数的最值要注意对 进行讨论.
（2）当函数可化为(其中, ,为常数, ,
的形式时,利用余弦函数的性质求最值,易得最大值为 ,
最小值为 .
（3）求形如 的函数的最大值、最小
值，可利用二次函数在区间 上的最大值、最小值来求.7.3.3 余弦函数的性质与图象
【课前预习】
知识点一
余弦函数 余弦曲线
知识点二
R [-1,1] 偶函数 2π [2kπ-π,2kπ](k∈Z) [2kπ,2kπ+π](k∈Z) 2kπ 1 2kπ+π -1 kπ+(k∈Z)
x=kπ(k∈Z) (k∈Z)
诊断分析
(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)√
[解析] (1)因为y=sin=cos x,所以两个函数的性质一样.
(3)因为y=cos x在[0°,180°]上单调递减,且0°<15°<35°<180°,所以cos 15°>cos 35°.
知识点三
1.R [-|A|,|A|] 2.
3.①φ=kπ(k∈Z) ②φ=kπ+(k∈Z) ③φ≠(k∈Z)
4.①ωx+φ=kπ(k∈Z) x=(k∈Z) ②ωx+φ=kπ+(k∈Z) x=(k∈Z) (k∈Z)
5.(2)2kπ-π≤ωx+φ≤2kπ(k∈Z) 2kπ≤ωx+φ≤2kπ+π(k∈Z) (3)2kπ-π≤ωx+φ≤2kπ(k∈Z) 2kπ≤ωx+φ≤2kπ+π(k∈Z)
诊断分析
(1)× (2)× (3)× [解析] (1)y=cos=cos 2,该函数的图象是由y=cos x图象上的所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的,再将所得图象向左平移个单位得到的.
(2)若直线x=是函数f(x)=2cos(2x+φ)的图象的一条对称轴,则满足f=±2,且2×+φ=kπ,k∈Z,即φ=-+kπ,k∈Z.
(3)当x=时,2×+=,y=cos+1=cos+1=1,所以函数y=cos+1的图象的一个对称中心为.
【课中探究】
探究点一
探索 0,,,,π [解析] 分别令2x=0,,π,,2π,得x=0,,,,π.
例1 (1)D [解析] 由题图知,T=4×=π,故ω=2.由f=cos=-1,得+φ=π+2kπ,k∈Z,解得φ=-+2kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=-,故f(x)=cos.故选D.
(2)解:
2x+ π 2π
x 0 π
f(x) 0 - 0
变式 1 [解析] 由题图可知,T=-=,则T=π,又ω>0,所以ω=2.因为=,f=2,所以2cos=2,所以+φ=2kπ,k∈Z,解得φ=2kπ-,k∈Z,又|φ|<π,所以φ=-,所以f(x)=2cos,所以f(0)=2cos=1.
探究点二
例2 (1)3 (2),k∈Z [解析] (1)由题意知g(x)=cos,因为g(x)的图象关于原点对称,所以=+kπ,k∈Z,解得ω=6k+3,k∈Z.因为g(x)在上单调递减,且当x∈时,ωx+∈,所以k∈Z,解得≤ω≤,k∈Z,又ω>0,ω=6k+3,k∈Z,所以ω=3.
(2)令2kπ-π≤x+≤2kπ,k∈Z,解得4k-≤x≤4k-,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间是,k∈Z.
变式 (1)< (2)< [解析] (1)cos=cos=cosπ,cos=cos=cosπ.∵π<π<π<2π,且y=cos x在[π,2π]上单调递增,∴cosπ
(2)sin=cos,cos 6=cos(2π-6),-和2π-6均为锐角,且2π-6<-.∵y=cos x在区间[0,π]上单调递减,∴cos探究点三
例3 (1)8 [解析] 因为n∈{1,2,3,…,12},所以+∈,所以当+=2π,即n=8时,cos取最大值1,所以当n=8时,f(n)取最大值,又游客流量越大所需旅游服务工作人员越多,所以当n=8时游客流量最大.
(2)解:∵x∈,∴2x+∈,∴-1≤cos≤.
若a>0,则当cos=时,y取得最大值a+3,
∴a+3=4,解得a=2;
若a<0,则当cos=-1时,y取得最大值-a+3,∴-a+3=4,解得a=-1.
综上可知,实数a的值为2或-1.
变式 (1)- (2) [解析] (1)因为x∈,所以2x-∈,所以cos∈,所以f(x)的最小值为-.
(2)y=sin2x-cos x+2=1-cos2x-cos x+2=-cos2x-cos x+3=-+3=-+.因为≤x≤,所以0≤cos x≤,所以当cos x=0,即x=时,函数y=sin2x-cos x+2,x∈取得最大值,最大值为3.当cos x=,即x=时,函数y=sin2x-cos x+2,x∈取得最小值,最小值为.所以函数y=sin2x-cos x+2,x∈的值域是.
探究点四
探索 (k∈Z) x=+(k∈Z) [解析] 由2x-=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z),故函数y=3cos+1的图象的对称中心为(k∈Z).由2x-=kπ(k∈Z),得x=+(k∈Z),故函数y=3cos+1的图象的对称轴方程为x=+(k∈Z).
例4 (1)B (2)BCD [解析] (1)设d=(θ,0),则g(x)=cos,因为g(x)为奇函数,所以g(0)=cos=0,令-2θ=+kπ,k∈Z,得θ=--,k∈Z,所以d可以为.故选B.
(2)对于A,f=cos=1,故A错误.对于B,因为f=cos=cos x,f=cos=cos x,所以f=f,所以f(x)的图象关于直线x=对称,故B正确.对于C,设g(x)=,则g(x+2π)===g(x),所以y=是周期函数,故C正确.对于D,作出f(x)=cos与h(x)=-lg x的图象,如图所示,由图知,在(0,1)内两函数的图象有1个交点;当x∈(1,10]时,h(x)∈[-1,0),且f=-1,又f(10)>-1=h(10),所以由图可得在(1,10]内两函数图象有2个交点;当x∈(10,+∞)时,h(x)<-1,-1≤f(x)≤1,两函数图象无交点.综上,方程f(x)=-lg x有3个解,故D正确.故选BCD.
变式 (1)A (2) [解析] (1)因为直线x=φ是函数f(x)的图象的一条对称轴,所以3φ=kπ(k∈Z),即φ=(k∈Z),又<φ<π,所以φ=.令2x+=+kπ(k∈Z),解得x=-+(k∈Z),所以函数f(x)的图象的一个对称中心为.故选A.
(2)将函数f(x)=cos的图象向左平移φ个单位,得到函数g(x)=cos=cos的图象,因为g(x)是偶函数,所以2φ-=kπ,k∈Z,解得φ=+,k∈Z,又0<φ<,所以φ=.
【课堂评价】
1.B [解析] 由2x+=kπ,k∈Z,得x=-,k∈Z,所以y=cos的图象的对称轴方程为x=-,k∈Z.结合选项知,令k=0,得x=-.故选B.
2.D [解析] 对于A,函数y=sin x的最小正周期T=2π,不符合题意;对于B,函数y=cos x的最小正周期T=2π,不符合题意;对于C,函数y=|sin x|的最小正周期T=π,当x∈时,函数y=|sin x|=sin x单调递增,不符合题意;对于D,函数y=|cos x|的最小正周期T=π,当x∈时,函数y=|cos x|=cos x单调递减,且为偶函数,符合题意.故选D.
3.A [解析] 令cos(ωx+φ)=,可得ωxA+φ=+2kπ,k∈Z,ωxB+φ=+2kπ,k∈Z,则ω(xB-xA)=,又|AB|=xB-xA=,所以ω=4.故选A.
4.A [解析] 设函数f(x)的最小正周期为T,由题图可知=-=,则T=,所以=,解得ω=,所以f(x)=cos,所以f=cos=cos=.故选A.
5. [解析] 当x∈时,x+∈,则f(x)的值域为.7.3.3 余弦函数的性质与图象
【学习目标】
1.能用五点法画出余弦函数的图象,能利用诱导公式和正弦函数图象的平移得到余弦函数的图象;
2.能利用图象研究余弦函数的性质;
3.理解余弦函数的性质,会求余弦函数的最小正周期、单调区间及最值,并会对比正弦型函数的图象及性质求解余弦型函数的图象及性质.
◆ 知识点一 余弦函数的定义
余弦函数:因为对于任意一个角x,都有唯一确定的余弦cos x与之对应,所以y=cos x是一个函数,一般称为 .函数y=cos x的图象称为 .
◆ 知识点二 余弦函数的性质与图象
函数 y=cos x
定义域
值域
奇偶性
(续表)
函数 y=cos x
周期性 最小正周期为
单调性 当x∈ 时,单调递增;当x∈ 时,单调递减
最大值与 最小值 当x= (k∈Z)时,取得最大值 ;当x= (k∈Z)时,取得最小值
零点
图象
图象的 对称性 对称轴: ; 对称中心:
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=cos x的性质与y=sin的性质不一样. ( )
(2)若直线x=a是函数y=cos x的图象的对称轴,则函数y=cos x在x=a处取得最大值或最小值.函数y=cos x的图象与x轴的交点的横坐标是函数的零点. ( )
(3)cos 15°(4)将余弦曲线向左平移个单位可得到正弦曲线. ( )
(5)用五点法作余弦曲线的五个点分别为(0,1),,(π,-1),,(2π,1). ( )
(6)函数y=|cos x|的周期是π. ( )
◆ 知识点三 余弦型函数y=Acos(ωx+φ)
(A≠0,ω≠0)的性质
1.定义域为 ,值域为 .
2.余弦型函数也是周期函数,且其周期为 .
3.余弦型函数y=Acos(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的奇偶性
①当 时,y=Acos(ωx+φ)可化为y=±Acos ωx的形式,是偶函数;
②当 时,y=Acos(ωx+φ)可化为y=±Asin ωx的形式,是奇函数;
③当 时,函数y=Acos(ωx+φ)是非奇非偶函数.
4.余弦型函数图象的对称性
①对称轴:y=Acos(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的图象的对称轴方程为 ,可化为 ;
②对称中心:y=Acos(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的图象的对称中心的横坐标满足 ,解得 ,故图象的对称中心为 .
5.余弦型函数的单调区间的求解方法:
(1)根据cos(-x)=cos x,化ω为正数,得到形如y=Acos(ωx+φ)(ω>0)的函数.
(2)当A>0时,可由 求解得到单调递增区间;由 求解得到单调递减区间(简记为“增内求增,减内求减”).
(3)当A<0时,可由 求解得到单调递减区间;由 求解得到单调递增区间(简记为“增内求减,减内求增”).
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=cos的图象是由函数y=cos x图象上的所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的,再将所得图象向左平移个单位得到的. ( )
(2)若直线x=是函数f(x)=2cos(2x+φ)的图象的一条对称轴,则满足f=2,且φ=-+2kπ,k∈Z. ( )
(3)函数y=cos+1的图象的一个对称中心为. ( )
◆ 探究点一 求函数的解析式与“五点法”作图
[探索] 用五点法作函数y=cos 2x,x∈R的图象时,首先应描出的五个点的横坐标是 .
例1 (1)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式是 ( )
A.f(x)=cos
B.f(x)=cos
C.f(x)=cos
D.f(x)=cos
(2)[2024·河南商丘高一期末] 已知函数f(x)=cos,填写下表,并作出f(x)在[0,π]上的图象.
2x+
x 0 π
f(x)
变式 [2024·成都石室中学高一月考] 已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则f(0)= .
[素养小结]
(1)用五点法画函数y=Acos(ωx+φ)的图象,令ωx+φ=0,,π,,2π,进而求出x的值,然后描点作图即可.
(2)由函数图象或性质求函数y=Acos(ωx+φ)+b(A≠0,ω>0)的解析式的方法:
①A,b可由图象上最高点和最低点的纵坐标确定;
②ω,T可由图象上最高点和最低点的横坐标确定,先求出T,再由T=求出ω;
③φ可以由某一点处的函数值求得,要注意φ的取值范围.
◆ 探究点二 余弦型函数的单调性问题
例2 (1)[2024·重庆南开中学高一期中] 已知函数f(x)=cos ωx(ω>0),将f(x)的图象向左平移个单位,得到函数g(x)的图象,g(x)的图象关于原点对称,且g(x)在上单调递减,则ω= .
(2)函数f(x)=2cos的单调递增区间是 .
变式 比较下列各组三角函数值的大小:
(1)cos cos;
(2)sin cos 6.
[素养小结]
(1)确定函数y=Acos(ωx+φ)的单调区间的基本思想是整体换元思想,即将ωx+φ看作一个整体,利用基本三角函数的单调性来求复合三角函数的单调区间.若x的系数为负,则通常利用诱导公式化为正数再求解.有时还应兼顾函数的定义域.
(2)比较两个函数值大小时,一般先利用诱导公式把它们化为同名三角函数,再把它们转化到同一单调区间上,利用函数单调性对它们进行比较.
◆ 探究点三 值域与最值问题
例3 (1)[2024·浙江金华十校高一期末] 函数f(n)=200cos+300(n∈{1,2,3,…,12}为月份)近似表示某地每年各个月份从事旅游服务工作的人数,游客流量越大所需旅游服务工作人员越多,则可以推断当n= 时游客流量最大.
(2)已知函数y=acos+3,x∈的最大值为4,求实数a的值.
变式 (1)[2024·广西玉林高一期末] 已知函数f(x)=cos,x∈,则f(x)的最小值为 .
(2)函数y=sin2x-cos x+2,x∈的值域是 .
[素养小结]
求三角函数最值的两种方法:
(1)将三角函数式化为y=Acos(ωx+φ)+k(A≠0,ω≠0)的形式,结合有界性求最值;
(2)将三角函数式化为关于cos x(或sin x)的二次函数的形式,利用二次函数的性质求最值.
◆ 探究点四 奇偶性、对称性与周期性问题
[探索] 函数y=3cos+1的图象的对称中心为 ,对称轴方程为 .
例4 (1)[2023·上海闵行中学高一期末] 函数y=cos的图象可按向量d的方向平移得到函数y=g(x)的图象,当y=g(x)为奇函数时,向量d可以为 ( )
A. B.
C. D.
(2)(多选题)[2024·贵州安顺高一期末] 设函数f(x)=cos,则下列结论正确的是 ( )
A.f(x)的一个零点为x=
B.f(x)的图象关于直线x=对称
C.y=是周期函数
D.方程f(x)=-lg x有3个解
变式 (1)[2023·重庆八中高一月考] 已知函数f(x)=cos(2x+φ),若直线x=φ是函数f(x)的图象的一条对称轴,则f(x)的图象的一个对称中心为 ( )
A. B.
C. D.
(2)[2024·山西长治高一期末] 将函数f(x)=cos的图象向左平移φ个单位,得到函数g(x)的图象,若g(x)是偶函数,则φ= .
[素养小结]
(1)求余弦型函数y=Acos(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的图象的对称轴或对称中心时可以应用整体换元的思想,可令ωx+φ=+kπ(对称中心)或ωx+φ=kπ(对称轴),其中k∈Z,进而求解x的值.要注意对称轴最后要写成直线方程的形式,对称中心要写成点的坐标的形式.
(2)判断所给直线是否为图象的对称轴,只需将相应的x值代入三角函数解析式,若对应的函数值为最值,则该直线为图象的对称轴;判断所给点是否为图象的对称中心,只需看该点坐标是否满足函数解析式,且该点的纵坐标是否为函数的最大值与最小值的平均数.函数图象与对称轴的交点为图象的最高(低)点,函数图象与平衡位置的交点为图象的对称中心.
1.函数y=cos的图象的对称轴方程可以是 ( )
A.x=- B.x=-
C.x= D.x=
2.下列函数中,既在区间上单调递减又是以π为周期的偶函数的是 ( )
A.y=sin x
B.y=cos x
C.y=|sin x|
D.y=|cos x|
3.已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示,直线y=与其交于A,B两点.若|AB|=,则ω=( )
A.4 B.3 C.2 D.1
4.[2023·内蒙古包头高一期中] 已知函数f(x)=cos(ω>0)在上的大致图象如图所示,则f= ( )
A. B. C. D.1
5.[2023·山西朔州怀仁一中高一月考] 函数f(x)=cos,x∈的值域为 . 7.3.3 余弦函数的性质与图象
1.B [解析] 因为x∈,所以cos x∈,所以2cos x∈[-2,1],即a=-2,b=1,则b-a=3,故选B.
2.C [解析] 要使函数y=有意义,只需cos x≥,解得2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z,所以所求函数的定义域为,k∈Z.故选C.
3.B [解析] 因为x∈,所以3x+∈,又函数f(x)=2cos在上单调递减,所以解得04.C [解析] 将函数y=cos(3x+φ)的图象向左平移 个单位后得到函数y=cos=cos的图象,因为函数y=cos的图象关于原点对称,所以+φ=kπ+,k∈Z,解得φ=kπ+,k∈Z,当k=0时,φ=.故选C.
5.D [解析] f=sin=sin,cos ωx=sin,由题可知,-ω+=2kπ+,k∈Z,解得ω=-12k-1,k∈Z,又ω>0,∴当k=-1时,ω取得最小值11.故选D.
6.D [解析] f(x)=2cos2x+2cos x-1-a=2--a,令f(x)=0,可得=+.因为x∈,所以cos x∈[0,1],所以cos x+>0,所以cos x=-.因为关于x的方程cos x=-对x∈有两个解,所以≤-<1,解得≤a<3.故选D.
7.B [解析] ∵f(x)在区间上单调,∴≥+=,∵-=≤,∴点,,在同一个周期内,又f=-f=-f,∴f(x)的图象关于点对称,f(x)的图象关于直线x=对称,且点与对称轴x=相邻,∴=-=,解得T=π.故选B.
8.AC [解析] 对于B,f(x)=2|cos x|-cos|x|=2|cos x|-cos x,因为f(x+π)=2|cos(x+π)|-cos(x+π)=2|cos x|+cos x≠f(x),所以f(x)的最小正周期不为π,故B错误;对于A,当x∈时,f(x)=2|cos x|-cos x=2cos x-cos x=cos x∈[0,1],当x∈时,f(x)=2|cos x|-cos x=-2cos x-cos x=-3cos x∈[0,3],又f(x+2π)=2|cos(x+2π)|-cos(x+2π)=2|cos x|-cos x=f(x),所以函数f(x)的一个周期为2π,所以f(x)的最大值为3,故A正确;对于C,f(2π-x)=2|cos(2π-x)|-cos(2π-x)=2|cos x|-cos x=f(x),则函数f(x)的图象关于直线x=π对称,故C正确;对于D,由A得,当x∈时,f(x)=-3cos x不单调,故D错误.故选AC.
[结论] 若f(x+a)+f(-x+b)=c,则函数f(x)的图象关于中心对称;若f(x+a)=f(-x+b),则函数f(x)的图象关于直线x=对称.
9.AB [解析] 由题意知,g(x)=f=cos=cos ωx.当0≤x≤时,0≤ωx≤,∵y=g(x)在上单调递减,∴≤π,又ω>0,∴0<ω≤3,故选AB.
10.x=+(k∈Z) [解析] 由2x-=kπ(k∈Z),得x=+(k∈Z),所以f(x)的图象的对称轴方程为x=+(k∈Z).
11.,k∈Z [解析] 令cos x>0,得-+2kπ12.22.5 ℃ [解析] 因为6月份的平均气温为30 ℃,12月份的平均气温为20 ℃,所以A+B=30且B-A=20,解得A=5,B=25,所以y=5cos+25,令x=10,得y=5cos+25=22.5,所以10月份的平均气温为22.5 ℃.
13.解:(1)令2x+=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z),
∴函数f(x)图象的对称中心为(k∈Z).
(2)∵函数y=cos x的单调递增区间为[-π+2kπ,2kπ](k∈Z),∴函数y=-3cos x的单调递减区间为[-π+2kπ,2kπ](k∈Z).
令-π+2kπ≤2x+≤2kπ(k∈Z),解得-+kπ≤x≤-+kπ(k∈Z),∴函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z).
(3)∵函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z),
∴函数f(x)的一个单调递减区间为.
又是的子集,∴函数f(x)在上单调递减,
又f=-3cos=,f=-3cos=-,∴函数f(x)在上的取值范围为.
14.解:(1)当ω=2时,f(x)=cos,
令-π+2kπ≤2x-≤2kπ,k∈Z,
解得-+kπ≤x≤kπ+,k∈Z,所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)当x∈时,ωx-∈.若 [2kπ,π+2kπ],k∈Z,
则k∈Z,解得2+12k≤ω≤4+6k,k∈Z,可得2≤ω≤4;
若 [-π+2kπ,2kπ],k∈Z,则k∈Z,解得-4+12k≤ω≤1+6k,k∈Z,此时没有满足题设的k值.
综上,ω的取值范围为[2,4].
15.或 [解析] 当a∈时,2a∈[0,π],M[0,a]=1, M[a,2a]=cos a,由M[0,a]=2M[a,2a],可得cos a=, 此时a=.当a∈时,2a∈[π,2π],M[0,a]=1, M[a,2a]=cos a或M[a,2a]=cos 2a.若M[a,2a]=cos a,则由 M[0,a]=2M[a,2a],可得cos a=,又a∈,所以无解;若M[a,2a]=cos 2a,则由 M[0,a]=2M[a,2a],可得cos 2a=,此时2a=,即a=.当a∈[π,+∞)时,2a∈[2π,+∞),M[0,a]=1,M[a,2a]=1,所以M[0,a]=2M[a,2a]显然不成立,舍去.综上,a的值为或.
16.解:(1)由题图知,A=3,=-=2π,则T=4π,所以ω==,将代入f(x)=3cos中,得cos=0,
结合题图可知+φ=2kπ+,k∈Z,解得φ=2kπ+,k∈Z,
又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=3cos.
(2)方法一:将y=sin x=cos的图象向左平移个单位,得到y=cos的图象,再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=cos的图象,再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),得到f(x)=3cos的图象.
方法二:将y=sin x=cos的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=cos的图象,再将所得图象向左平移个单位,得到y=cos的图象,再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),得到f(x)=3cos的图象.
(3)因为x∈,所以x+∈,所以当x+=0,即x=-时,f(x)取得最大值3.
因为关于x的不等式f(x)-t2+2t≤0对x∈恒成立,
所以关于x的不等式f(x)≤t2-2t对x∈恒成立,所以f(x)max≤t2-2t,
即t2-2t-3≥0,解得t≤-1或t≥3.
故实数t的取值范围为(-∞,-1]∪[3,+∞).7.3.3 余弦函数的性质与图象
一、选择题
1.已知函数y=2cos x的定义域为,值域为[a,b],则b-a的值是 ( )
A.2 B.3
C.+2 D.2
2.函数y=的定义域为 ( )
A.
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.R
3.[2024·广州高一期中] 已知函数f(x)=2cos在上单调递减,则实数a的最大值为 ( )
A. B. C. D.
4.[2023·河南南阳高一期中] 将函数y=cos(3x+φ)的图象向左平移 个单位后,得到的函数图象关于原点对称,则φ的值可能为 ( )
A.- B.- C. D.
5.将函数f(x)=sin(ω>0)的图象向右平移个单位后与函数g(x)=cos ωx的图象重合,则ω的最小值为 ( )
A.7 B.5
C.9 D.11
6.[2024·湖北宜昌高一期中] 若函数f(x)=2cos2x+2cos x-1-a在内有两个零点,则a的取值范围是 ( )
A.[0,1] B.[1,2]
C. D.
7.[2023·四川内江威远中学高一期中] 已知函数f(x)=cos(ωx+φ),若f(x)在区间上单调,且f=-f=-f,则函数f(x)的最小正周期是 ( )
A. B.π
C.π D.2π
★8.(多选题)[2024·江苏连云港高一期末] 已知函数f(x)=2|cos x|-cos|x|,则 ( )
A.函数f(x)的最大值为3
B.函数f(x)的最小正周期为π
C.函数f(x)的图象关于直线x=π对称
D.函数f(x)在上单调递减
9.(多选题)将函数f(x)=cos(ω>0)的图象向右平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)在上单调递减,则ω的值可能为 ( )
A.2 B.3
C.4 D.5
二、填空题
10.已知函数f(x)=cos,则函数f(x)的图象的对称轴方程为 .
11.[2024·南昌十中高一月考] 函数f(x)=log2(cos x)的单调递减区间为 .
12.[2024·北京延庆区一中高一月考] 某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=Acos+B(x=1,2,…,12)来表示.已知6月份的平均气温为30 ℃,12月份的平均气温为20 ℃,则10月份的平均气温为 .
三、解答题
13.已知函数f(x)=-3cos.
(1)求函数f(x)图象的对称中心;
(2)求函数f(x)的单调递减区间;
(3)若x∈,求函数f(x)的取值范围.
14.[2023·河北承德高一期中] 已知ω>1,函数f(x)=cos.
(1)当ω=2时,求f(x)的单调递增区间;
(2)若f(x)在区间上单调,求ω的取值范围.
15.对任意闭区间I,用MI表示函数 y=cos x在I上的最大值,若正实数 a 满足 M[0,a]=2M[a,2a],则a的值为 .
16.[2024·云南昭通一中高一期末] 已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)要得到函数f(x)的图象,可由正弦曲线经过怎样的变换得到
(3)若关于x的不等式f(x)-t2+2t≤0对x∈恒成立,求实数t的取值范围.