(共52张PPT)
7.3 三角函数的性质与图象
7.3.4 正切函数的性质与图象
探究点一 正切函数及其复合函数的定义域、值域、最值问题
探究点二 正切（型）函数的图象及其应用
探究点三 正切（型）函数的单调性及其应用
探究点四 正切（型）函数性质的综合应用
【学习目标】
1.掌握正切函数的定义域、值域；
2.会利用正切函数的图象研究其单调性,并利用单调性解决相应问题；
3.掌握正切函数的周期性及奇偶性；
4.对比正弦型函数图象的变化方式，对正切型函数图象及性质进
行讨论.
知识点一 正切函数的性质与图象
函数
定义域 ____________________
值域
周期性 周期为___
奇偶性 ____函数
单调性 单调递增区间：________________________，无单调递减
区间
零点 __________
奇
图象 正切曲线：
________________________________________________________
图象的 对称性 对称中心： ，无对称轴
续表
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数 在整个定义域上为增函数.( )
×
解：若，，则,但 .
（2）函数的图象的对称中心是图象与 轴的交点.( )
×
解：函数的图象的对称中心为.
当 为奇数时，对称中心不是函数图象与轴的交点，
当 为偶数时，对称中心是函数图象与 轴的交点.
（3）函数的定义域为 , }.( )
×
解：可看作由， 复合而成，
故要考虑到自身的定义域，
所以所求函数的定义域为 .
（4）函数是周期函数，且 .( )
√
（5）正切函数既没有最大值也没有最小值.( )
√
知识点二 正切型函数 的性质
函数
定义域 ______________________
值域 ___
周期性 周期为___(若直线 为常数)与函数
的图象的相邻两个交点为 和
，则该函数的周期为
奇偶性 ①当 时,____函数;
②当 时，__________函数
奇
非奇非偶
续表
单调性 单调递增区间为___________________________，无单调
递减区间
零点 ____________
图象的 对称性 对称中心：_________________
续表
探究点一 正切函数及其复合函数的定义域、值域、最值问题
［探索］
（1）若，则 _____________________.
（2）函数 的定义域是____________________.
例1（1） 若，则函数 的定义域为
( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意得解得 ，
所以函数的定义域为 .故选C.
√
（2）[2024·江西九江高一期末]函数 ，
的值域为( )
A. B. C. D.
[解析] ,, ,
，即函数的值域为 .故选C.
√
变式（1） 函数， 的值域为( )
A. B. C. D.
[解析] 函数 ，
因为，所以，
所以函数 的值域为 .故选C.
√
（2）求函数 的定义域.
解：根据题意得 ，
解得 ，
所以所求函数的定义域为， .
［素养小结］
（1）求与正切函数有关的函数的定义域和值域的方法及注意点：
①求与正切函数有关的函数的定义域时，除了保证函数有意义外，
还要保证正切函数有意义，即 ， ；
②求与正切函数有关的函数的值域时，要注意函数的定义域，在定
义域内求值域.求由正切函数复合而成的函数的值域时，常利用换元
法，但要注意新“元”的取值范围.
（2）解与正切函数有关的不等式的两种方法：
①图象法：先画出相应的函数图象，再写出符合条件的自变量的集合；
②三角函数线法：先在单位圆中作出角的边界值的正切线，得到边界
角的终边，在单位圆中画出符合条件的区域.要特别注意函数的定义域.
探究点二 正切（型）函数的图象及其应用
［探索］ 要得到函数的图象，只需将函数
的图象如何变化？
解：方法一：先将的图象向右平移 个单位，得到
的图象，
再将 的图象上的所有点的纵坐标不变，
横坐标变为原来的2倍，就可得到 的图象.
方法二：先将 图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标变为
原来的2倍，得到的图象，
再将的图象向右平移 个单位，就可得到 的
图象.
例2（1） 函数 在一个周期内的大致图象是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 方法一：由题意得函数的周期 ，故排除B，D；
当时， ，排除C.故选A.
方法二：令，由 , ，
得 ,，当时，，所以函数图象与 轴的
一个交点的横坐标为，故排除C，D；
由 , ，得 , ，故排除B.故选A.
（2）方程在区间 上的根的个数为___.
2
[解析] 由题意，在同一坐标系中画出函数 与
的图象，如图所示.
由图可得函数与的图象在 上有2个
交点，即原方程有2个根.
变式 若直线与函数 的图象不相交，
则 _______.
或
[解析] 要使有意义，则
直线与函数 的图象不相交，
，整理得 ，且，.
当，时满足条件；当， 时满足条件；
当，时不满足条件；当， 时，不满足条件.
故满足条件的的值为或 .
［素养小结］
（1）研究正切（型）函数的图象问题时要注意与正弦函数、余弦函
数的图象的不同之处是它的图象不是连续的.
（2）正切函数只有单调递增区间，图象在一个周期内是单调递增的.
探究点三 正切（型）函数的单调性及其应用
例3（1） 已知函数 ，则( )
A.该函数的单调递增区间为，
B.该函数的单调递增区间为，
C.该函数的单调递减区间为，
D.该函数的单调递减区间为，
[解析] 由 , ，可得
,，所以函数 的单调递
减区间为， .故选C.
√
（2）， ， 的大小关系是( )
A.
B.
C.
D.
[解析] ，因为函数在 上
单调递增，所以 ,
所以 .故选B.
√
（3）[2024·湖北武汉华中师大附中高一期末] 已知函数
,，若函数在 上单调
递减，则 的取值范围为__________.
[解析] ，函数
的图象是开口向上，对称轴方程为 的抛物线.
若函数在上单调递减，则，即 ，
又，所以 .
变式（1） [2024·浙江温州高一期末] 若函数 在
上是增函数，则 的最大值是___．
[解析] 由已知得解得，即 的最大值是 .
（2）比较与 的大小.
解： ，
，
因为，且在 上单调递增，
所以，所以 ，
即 .
［素养小结］
（1）利用正切函数的单调性比较大小的方法：
①利用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内；
②运用函数的单调性比较大小.
（2）求函数，， 是常数)的单调区
间的方法：
①若，因为 在每一个单调区间上都是增函数，所以可
用“整体代换”的思想，令，，解得
的取值范围即可；
②若，则可利用诱导公式先把 转化为
，即把 的系数化为正值，
再利用“整体代换”的思想，求得 的取值范围即可.
探究点四 正切（型）函数性质的综合应用
［探索］ 若函数的图象与直线 的两个相邻交
点间的距离为 ，则_____；若点是函数 的
图象的一个对称中心，则 _____________.
例4 （多选题）[2024·广东肇庆高一期末] 如图，函数
的图象与轴相交于，两点，与 轴
相交于点，且的面积为 ，则下列结论不正确的是( )
A.
B.函数的图象的对称中心为，
C.的单调递增区间是，
D.将函数的图象向右平移 个单位长度得到函数
的图象
√
√
√
[解析] 对于A，当时， ，
又，所以 ，
得，即函数的最小正周期为，
由 得 ，故A中结论不正确；
对于B，由选项A可知，令， ，
解得，，即函数 的图象的对称中心为
， ，故B中结论不正确；
对于C，由 ，
得， ，故C中结论正确；
对于D，将函数的图象向右平移 个单位长度，
得到函数的图象，故D中结论不正确．
故选 .
变式 [2023·湖北荆州沙市中学高一月考]已知函数
,,其周期 ，
点是的图象的一个对称中心，则 的值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由，得，即，
又 ，所以.
因为点是 的图象的一个对称中心，所以,，
解得,，因为 ，所以，
解得，所以 ，所以，
所以 .故选D.
［素养小结］
（1）求解正切（型）函数的性质问题时，首先要能够准确记忆正切
函数的各个性质，其次是应用整体换元思想，令 满足正切函
数的性质，最后是求解相应的 的取值范围（或值）.
（2）检验问题时，可以将所给范围代入 ，进而验证正切函
数在 的取值范围内是否具有相应的性质.
1.若函数为奇函数，则
( )
A. B.
C. D.
[解析] 若0在定义域内，由得， ；
若0不在定义域内，由时， 无意义，得 )．
综上， )．故选C.
√
2.设，，，则，， 的大小关系为
( )
A. B. C. D.
[解析] 函数在上单调递增且，在 上单
调递增且.
因为 ，所以，，
所以 .故选A.
√
3.函数 的单调递增区间是( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 由 ，
得，
所以函数 的单调递增区间是 .
故选B.
4.[2024·陕西渭南富平一中高一月考] 函数 的定
义域为____________________.
[解析] 令,，解得, ，
所以函数的定义域为 .
5.[2024·福建莆田二十五中高一期中] 函数 ，
的值域为_______．
[解析] 当 时，
，
当时，；当时， .
故，的值域为 .
1.类似于正、余弦曲线的五点法作图，作正切函数的图象可以采用
“三点两线法”，即由， ，
这三点及直线 ，
这两条直线作出正切函数的图象.
2.正、余弦曲线在整个定义域内是连续的，而正切曲线是由被互相平
行的直线 所隔开的无穷多支曲线组成的.因此，需
注意以下几点：
（1）正切函数在 上不具有单调性.
（2）正切函数无单调递减区间，有无数个单调递增区间，在
，， 上都是增函数.
（3）正切函数的每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间，也不
能说正切函数在 上是增函数.
1.利用正切函数的图象解不等式
解含有正切函数的简单三角不等式时,可先画出正切函数在一个周期
内的图象,由图象可得到在一个周期内满足不等式的解集,然后再加上
周期的整数倍,即可得到满足不等式的解集.
例1 先将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标
不变，再将所得图象向左平移个单位长度后得到函数 的图象，
若，且，则 的取值范围是__________.
[解析] 将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不
变，再将所得图象向左平移 个单位长度后可得的图象.
由，得 .
由，得，则 ，
解得 .
2.正切函数在 上单调递增，不能写成闭区间.
正切函数无单调递减区间.
3.含正切函数的复合函数的单调性
因为正切函数在区间, 上是增函数,所以对每一
个由正切函数构成的复合函数的单调性要利用“同增异减”的法则求
解.其讨论方法如下:从定义域出发,先确定内层函数的单调性,再判断
外层函数的单调性,最后利用“同增异减”的法则得到复合函数的单调性.
例2 函数 的单调递减区间为_________________
________.
[解析] ,,即 ,
解得，,
当 时，是增函数，
是减函数，即的单调递减
区间为 .7.3.4 正切函数的性质与图象
【课前预习】
知识点一
π 奇 (k∈Z) kπ(k∈Z)
诊断分析
(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ [解析] (1)若x1=,x2=,则x1tan.
(2)函数y=tan x的图象的对称中心为(k∈Z).当k为奇数时,对称中心不是函数图象与x轴的交点,当k为偶数时,对称中心是函数图象与x轴的交点.
(3)y=可看作由y=,u=tan x复合而成,故要考虑到u=tan x自身的定义域,所以所求函数的定义域为.
知识点二
R 奇 非奇非偶
(k∈Z) (k∈Z)
(k∈Z)
【课中探究】
探究点一
探索 (1)(-∞,-]∪[,+∞) (2)
例1 (1)C (2)C [解析] (1)由题意得解得π≤x<,所以函数y=+的定义域为.故选C.
(2)∵x∈,∴2x+∈,∴tan∈,∴3tan∈[,3],即函数f(x)的值域为[,3].故选C.
变式 (1)C [解析] 函数y=tan2x-tan x+2=+,因为x∈,所以tan x∈[-1,1],所以函数y=tan2x-tan x+2的值域为.故选C.
(2)解:根据题意得k∈Z,
解得k∈Z,所以所求函数的定义域为∪,k∈Z.
探究点二
探索 解:方法一:先将y=tan x的图象向右平移个单位,得到y=tan的图象,再将y=tan的图象上的所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,就可得到y=tan的图象.
方法二:先将y=tan x图象上的所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,得到y=tan的图象,再将y=tan 的图象向右平移个单位,就可得到y=tan的图象.
例2 (1)A (2)2 [解析] (1)方法一:由题意得函数的周期T=2π,故排除B,D;当x=时,y=tan=0,排除C.故选A.
方法二:令y=tan=0,由x-=kπ,k∈Z,得x=+2kπ,k∈Z,当k=0时,x=,所以函数图象与x轴的一个交点的横坐标为,故排除C,D;由x-≠+kπ,k∈Z,得x≠+2kπ,k∈Z,故排除B.故选A.
(2)由题意,在同一坐标系中画出函数y=与y=tan x的图象,如图所示.由图可得函数y=与y=tan x的图象在∪上有2个交点,即原方程有2个根.
变式 或- [解析] 要使y=tan有意义,则2x+≠+mπ(m∈Z).∵直线x=(|k|≤1)与函数y=tan的图象不相交,∴2×+=+mπ(m∈Z,|k|≤1),整理得4k=4m+1,且m∈Z,|k|≤1.当m=0,k=时满足条件;当m=-1,k=-时满足条件;当m=1,k=时不满足条件;当m=-2,k=-时,不满足条件.故满足条件的k的值为或-.
探究点三
例3 (1)C (2)B (3) [解析] (1)由-+kπ(2)tan(-40°)=-tan 40°<0,因为函数y=tan x在(0°,90°)上单调递增,所以0tan 38°>tan(-40°).故选B.
(3)f(x)=x2+2xtan θ-1=(x+tan θ)2-1-tan2θ,函数f(x)的图象是开口向上,对称轴方程为x=-tan θ的抛物线.若函数f(x)在[-1,]上单调递减,则-tan θ≥,即tan θ≤-,又 θ∈,所以θ∈.
变式 (1) [解析] 由已知得解得0<ω≤,即ω的最大值是.
(2)解:tan=tan=tan=-tan,tan=-tan=-tan,
因为0<<<,且y=tan x在上单调递增,
所以tan-tan,即tan>tan.
探究点四
探索 ±1 -(k∈Z)
例4 ABD [解析] 对于A,当x=0时,|OC|=f(0)=2tan=2,又S△ABC=,所以S△ABC=|AB||OC|=×2|AB|=,得|AB|=,即函数f(x)的最小正周期为,由T==得ω=2,故A中结论不正确;对于B,由选项A可知f(x)=2tan,令2x+=,k∈Z,解得x=-,k∈Z,即函数f(x)的图象的对称中心为,k∈Z,故B中结论不正确;对于C,由+kπ<2x+<+kπ,k∈Z,得+变式 D [解析] 由f(0)=,得2tan φ=,即tan φ=,又|φ|<,所以φ=.因为点是f(x)的图象的一个对称中心,所以ω+=,k∈Z,解得ω=3k-1,k∈Z,因为T∈,所以<<,解得<ω<4,所以ω=2,所以f(x)=2tan,所以f=2tan=-.故选D.
【课堂评价】
1.C [解析] 若0在定义域内,由f(0)=0得,φ=kπ(k∈Z);若0不在定义域内,由x=0时,tan φ无意义,得φ=+kπ(k∈Z).综上,φ=(k∈Z).故选C.
2.A [解析] 函数y=tan x在上单调递增且tan x>0,在上单调递增且tan x<0.因为<1<<2<3<π,所以tan 20,所以a>c>b.故选A.
3.B [解析] 由kπ-<+4. [解析] 令2x+≠kπ+,k∈Z,解得x≠+,k∈Z,所以函数f(x)的定义域为.
5.[-4,4] [解析] 当x∈时,tan x∈[-1,1].∵y=tan2x+4tan x-1=(tan x+2)2-5,∴当tan x=-1时,ymin=-4;当tan x=1时,ymax=4.故y=tan2x+4tan x-1,x∈的值域为[-4,4].7.3.4 正切函数的性质与图象
【学习目标】
1.掌握正切函数的定义域、值域;
2.会利用正切函数的图象研究其单调性,并利用单调性解决相应问题;
3.掌握正切函数的周期性及奇偶性;
4.对比正弦型函数图象的变化方式,对正切型函数图象及性质进行讨论.
◆ 知识点一 正切函数的性质与图象
函数 y=tan x
定义域
值域 R
周期性 周期为
奇偶性 函数
单调性 单调递增区间: , 无单调递减区间
(续表)
函数 y=tan x
零点
图象 正切曲线:
图象的 对称性 对称中心:(k∈Z),无对称轴
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=tan x在整个定义域上为增函数.( )
(2)函数y=tan x的图象的对称中心是图象与x轴的交点. ( )
(3)函数y=的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}.( )
(4)函数y=|tan x|是周期函数,且T=π. ( )
(5)正切函数既没有最大值也没有最小值. ( )
◆ 知识点二 正切型函数y=Atan(ωx+φ)的性质
函数 y=Atan(ωx+φ)(A>0,ω>0)
定义域
值域
周期性 周期为 (若直线y=a(a为常数)与函数y= Atan(ωx+φ)的图象的相邻两个交点 为M(x1,a)和N(x2,a),则该函数的周期 为|x2-x1|)
奇偶性 ①当φ= (k∈Z)时, 函数; ②当φ≠(k∈Z)时, 函数
单调性 单调递增区间为 ,无单调递减区间
零点
图象的 对称性 对称中心:
◆ 探究点一 正切函数及其复合函数的定义
域、值域、最值问题
[探索] (1)若x∈,则y=tan x∈ .
(2)函数f(x)=tan的定义域是 .
例1 (1)若x∈[0,2π],则函数y=+的定义域为 ( )
A. B.
C. D.
(2)[2024·江西九江高一期末] 函数f(x)=3tan,x∈的值域为 ( )
A. B.
C.[,3] D.
变式 (1)函数y=tan2x-tan x+2,x∈的值域为 ( )
A. B.
C. D.[2,4]
(2)求函数y=的定义域.
[素养小结]
(1)求与正切函数有关的函数的定义域和值域的方法及注意点:
①求与正切函数有关的函数的定义域时,除了保证函数有意义外,还要保证正切函数y=tan x有意义,即x≠+kπ,k∈Z;
②求与正切函数有关的函数的值域时,要注意函数的定义域,在定义域内求值域.求由正切函数复合而成的函数的值域时,常利用换元法,但要注意新“元”的取值范围.
(2)解与正切函数有关的不等式的两种方法:
①图象法:先画出相应的函数图象,再写出符合条件的自变量的集合;
②三角函数线法:先在单位圆中作出角的边界值的正切线,得到边界角的终边,在单位圆中画出符合条件的区域.要特别注意函数的定义域.
◆ 探究点二 正切(型)函数的图象及其应用
[探索] 要得到函数y=tan的图象,只需将函数y=tan x的图象如何变化
例2 (1)函数y=tan在一个周期内的大致图象是 ( )
A B C D
(2)方程-tan x=0在区间∪上的根的个数为 .
变式 若直线x=(|k|≤1)与函数y=tan的图象不相交,则k= .
[素养小结]
(1)研究正切(型)函数的图象问题时要注意与正弦函数、余弦函数的图象的不同之处是它的图象不是连续的.
(2)正切函数只有单调递增区间,图象在一个周期内是单调递增的.
◆ 探究点三 正切(型)函数的单调性及其应用
例3 (1)已知函数y=-2tan,则 ( )
A.该函数的单调递增区间为(6k-5,6k+1),k∈Z
B.该函数的单调递增区间为(6k-1,6k+5),k∈Z
C.该函数的单调递减区间为(6k-5,6k+1),k∈Z
D.该函数的单调递减区间为(6k-1,6k+5),k∈Z
(2)tan(-40°),tan 38°,tan 56°的大小关系是 ( )
A.tan(-40°)>tan 38°>tan 56°
B.tan 56°>tan 38°>tan(-40°)
C.tan 38°>tan(-40°)>tan 56°
D.tan 56°>tan(-40°)>tan 38°
(3)[2024·湖北武汉华中师大附中高一期末] 已知函数f(x)=x2+2xtan θ-1,θ∈,若函数f(x)在[-1,]上单调递减,则θ的取值范围为 .
变式 (1)[2024·浙江温州高一期末] 若函数f(x)=tan ωx在(-π,π)上是增函数,则ω的最大值是 .
(2)比较tan与tan的大小.
[素养小结]
(1)利用正切函数的单调性比较大小的方法:
①利用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内;
②运用函数的单调性比较大小.
(2)求函数y=Atan(ωx+φ)(A>0,ω≠0,φ是常数)的单调区间的方法:
①若ω>0,因为y=tan x在每一个单调区间上都是增函数,所以可用“整体代换”的思想,令kπ-<ωx+φ②若ω<0,则可利用诱导公式先把y=Atan(ωx+φ)转化为y=Atan[-(-ωx-φ)]=-Atan(-ωx-φ),即把x的系数化为正值,再利用“整体代换”的思想,求得x的取值范围即可.
◆ 探究点四 正切(型)函数性质的综合应用
[探索] 若函数y=tan(ωx+φ)的图象与直线y=1的两个相邻交点间的距离为π,则ω= ;若点是函数y=tan(x+φ)的图象的一个对称中心,则φ= .
例4 (多选题)[2024·广东肇庆高一期末] 如图,函数f(x)=2tan(ω>0)的图象与x轴相交于A,B两点,与y轴相交于点C,且△ABC的面积为,则下列结论不正确的是( )
A.ω=4
B.函数f(x)的图象的对称中心为,k∈Z
C.f(x)的单调递增区间是,k∈Z
D.将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y=2tan ωx的图象
变式 [2023·湖北荆州沙市中学高一月考] 已知函数f(x)=2tan(ωx+φ),f(0)=,其周期T∈,点是f(x)的图象的一个对称中心,则f的值为 ( )
A.- B.
C. D.-
[素养小结]
(1)求解正切(型)函数的性质问题时,首先要能够准确记忆正切函数的各个性质,其次是应用整体换元思想,令ωx+φ满足正切函数的性质,最后是求解相应的x的取值范围(或值).
(2)检验问题时,可以将所给范围代入ωx+φ,进而验证正切函数在ωx+φ的取值范围内是否具有相应的性质.
1.若函数f(x)=Atan(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)为奇函数,则φ= ( )
A.kπ(k∈Z) B.2kπ(k∈Z)
C.(k∈Z) D.(2k+1)π(k∈Z)
2.设a=tan 1,b=tan 2,c=tan 3,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.a>c>b B.aC.a>b>c D.a3.函数y=tan的单调递增区间是 ( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
4.[2024·陕西渭南富平一中高一月考] 函数f(x)=tan的定义域为 .
5.[2024·福建莆田二十五中高一期中] 函数y=tan2x+4tan x-1,x∈的值域为 . 7.3.4 正切函数的性质与图象
1.B [解析] 函数y=-3tan的最小正周期为.故选B.
2.C [解析] 由函数f(x)的最小正周期T==4,可得ω=,则f(x)=.令kπ3.B [解析] 令3x-=(k∈Z),解得x=+(k∈Z),令k=-1,可得x=-,所以函数f(x)的图象的一个对称中心为.故选B.
4.A [解析] f(0)=tan,f(-1)=tan,f(1)=tan=tan.∵>>-1>1->-,且y=tan x在区间上单调递增,∴tan >tan>tan,即f(0)>f(-1)>f(1).故选A.
5.C [解析] 函数y=2tan x+a在上单调递增,则当x=时,ymax=2tan+a=2+a,因此2+a=4,解得a=2,所以实数a的值为2.故选C.
6.C [解析] 由题意知,函数f(x)的最小正周期T=,则=,解得ω=3,所以f(x)=tan(3x-φ).将函数f(x)的图象向左平移个单位,得到y=tan=tan的图象,因为该图象关于原点对称,所以-φ=,k∈Z,解得φ=-,k∈Z,又0<φ<π,所以φ=或φ=,故φ的最大值为.故选C.
7.A [解析] f(x)=tan|x|+|tan x|的定义域为,因为f(-x)=tan|-x|+|tan(-x)|=tan|x|+|tan x|=f(x),所以f(x)是偶函数,故①正确.当08.AB [解析] f=tan 0=0,故A正确;当x∈时,x+∈,所以f(x)在上单调递增,故B正确;=0,但不存在,故C,D不正确.故选AB.
9.ABD [解析] 对于A,由题图可知,函数f(x)的最小正周期T=2×=,故A正确;对于B,由已知得ω===2,所以f(x)=Atan(2x+φ),因为f=Atan=0,所以+φ=kπ(k∈Z),则φ=kπ-(k∈Z),又|φ|<,所以φ=,所以sin φ=,故B正确;对于C,f(x)=Atan,由10. [解析] 由题意得-tan≥0,即tan≤,所以-+kπ[易错点] 求解含有正切函数的定义域问题,容易忽视了正切函数本身的定义域而致误.
11. [解析] ∵当x≥0时,函数f(x)=∴函数f(x)在[0,+∞)上单调递减.不等式f12. [解析] 当x∈(0,π)时,ωx+∈.由题可得ωπ+∈(3π,4π],解得ω∈.
13.解:(1)令-≠kπ+,k∈Z,则x≠2kπ+,k∈Z,
故f(x)的定义域为;f(x)的最小正周期为T==2π.
令-=,k∈Z,则x=+kπ,k∈Z,故f(x)的图象的对称中心为,k∈Z.
(2)由f(x)≤,得tan≤,
则kπ-<-≤kπ+,k∈Z,所以2kπ-即不等式f(x)≤的解集为,k∈Z.
14.解:根据题意得a>0.当x=0时,y=-2,即-2=3tan+b,解得b=.
当x=时,y=0,即3tan+=0,所以-=kπ-(k∈Z),解得a=(k∈Z).
由题易知函数的周期T==aπ≥,即a=≥(k∈Z),
所以-15.6 [解析] 由题可得函数f(x)=tan(ωx+φ)的最小正周期为2,则=2,解得ω=,于是f(x)=tan.由f(1)=tan=-1,得+φ=+kπ,k∈Z,即φ=+kπ,k∈Z,又0<φ<,所以φ=,因此f(x)=tan.显然f=tan=0,则函数y=f(x)的图象关于点对称,易知函数y=的图象也关于点对称.在同一坐标系内作出函数y=f(x)和y=的图象,由图可知,两个函数在上的图象共有4个公共点,且关于点对称,所以4个交点的横坐标之和为×4=6.
16.解:(1)如图,阴影部分的面积等价于矩形ABCO的面积.
令ωx=kπ,k∈Z,则x=,k∈Z,所以函数f(x)=tan ωx的图象与x轴的交点坐标为,k∈Z,
所以过点C且垂直于x轴的直线的方程为x=,
又-1≤cos ωx≤1,所以S矩形ABCO=1×=4,解得ω=,
所以f(x)=tanx.由x≠+kπ,k∈Z,得x≠2+4k,k∈Z,
即函数f(x)的定义域为{x|x≠2+4k,k∈Z}.
(2)由(1)知f(x)=tanx,所以h(x)=3tanx+x2-4,x∈(-2,2).
由h(x)≤0得3tanx≤-x2+4,x∈(-2,2).
设v(x)=3tanx,x∈(-2,2),u(x)=-x2+4,x∈(-2,2).
在同一个平面直角坐标系中作出函数y=u(x),y=v(x)的图象,如图,当x=1时,u(1)=v(1),所以当-2一、选择题
1.[2024·贵州安顺高一期末] 函数y=-3tan的最小正周期为 ( )
A. B. C.π D.2π
2.[2023·河北衡水中学高一月考] 若函数f(x)=|tan(ωx-ω)|(ω>0)的最小正周期为4,则下列区间中f(x)单调递增的是 ( )
A. B.
C. D.(3,4)
3.[2024·山西长治高一期末] 函数f(x)=tan的图象的一个对称中心是 ( )
A. B.
C. D.
4.若f(x)=tan,则 ( )
A.f(0)>f(-1)>f(1)
B.f(0)>f(1)>f(-1)
C.f(1)>f(0)>f(-1)
D.f(-1)>f(0)>f(1)
5.[2024·黑龙江哈尔滨一中高一期末] 函数y=2tan x+a在上的最大值为4,则实数a的值为 ( )
A.0 B.-2
C.2 D.4
6.[2023·沈阳一二○中学高一月考] 已知函数f(x)=tan(ωx-φ)(ω>0,0<φ<π)的图象与直线y=a的交点中,任意两点间的距离的最小值为,若将函数f(x)的图象向左平移个单位后恰好关于原点对称,则φ的最大值为 ( )
A. B.
C. D.
7.[2023·沈阳高一期中] 已知f(x)=tan|x|+|tan x|有下述四个结论:
①f(x)是偶函数;
②f(x)在区间上是增函数;
③f(x)在[-π,π]上有3个零点;
④f(x)的最小正周期为π.
其中所有正确结论的序号是 ( )
A.①② B.②④
C.①④ D.①③
8.(多选题)[2023·辽宁铁岭清河中学高一月考] 已知函数f(x)=tan,则下列叙述中正确的是 ( )
A.函数f(x)的图象关于点对称
B.函数f(x)在上单调递增
C.函数y=|f(x)|的最小正周期为
D.函数y=|f(x)|是偶函数
9.(多选题)已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)的部分图象如图所示,则下列说法正确的是 ( )
A.函数f(x)的最小正周期为
B.sin φ=
C.函数f(x)在上单调递增
D.方程f(x)=sin(0≤x≤π)的解为,
二、填空题
★10.已知函数f(x)=,则函数f(x)的定义域为 .
11.已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,函数f(x)=则满足f12.[2024·四川眉山仁寿二中高一期中] 若函数f(x)=tan(ω>0)在(0,π)上有且仅有三个零点,则ω的取值范围是 .
三、解答题
13.[2024·江西南昌十中高一月考] 设函数f(x)=tan.
(1)求函数f(x)的定义域、最小正周期及其图象的对称中心;
(2)解不等式f(x)≤.
14.已知函数y=3tan+b,x∈是增函数,值域为[-2,0],求a,b的值.
15.[2024·安徽部分重点中学高一期末] 已知直线y=a与函数f(x)=tan(ωx+φ)的图象所有交点之间的最小距离为2,且其中一个交点为(1,-1),则函数y=f(x)的图象与函数y=的图象所有交点的横坐标之和为 .
16.[2024·江西部分高中高一联考] 已知函数f(x)=tan ωx(ω>0)与函数g(x)=cos ωx的部分图象如图所示,图中阴影部分的面积为4.
(1)求f(x)的定义域;
(2)若h(x)=3f(x)+x2-4是定义在上的函数,求关于x的不等式h(x)≤0的解集.
