滚动习题(二)
1.D [解析] 由2x+=+kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z.故选D.
2.C [解析] 在同一平面直角坐标系中作出函数y=1+sin x,x∈[0,2π]的图象与直线y=,如图所示.由图可知,函数y=1+sin x,x∈[0,2π]的图象与直线y=有2个交点,故选C.
3.A [解析] 根据函数的图象得,A=2,T=4×=3π,所以ω=,所以f(x)=2sin,又f=2,所以×+φ=+2kπ(k∈Z),解得φ=+2kπ(k∈Z),又-<φ<,所以φ=.故选A.
4.D [解析] 因为f(x)的定义域是,所以-1≤sin 2x≤,解得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),所以函数f(sin 2x)的定义域为(k∈Z).故选D.
5.B [解析] ∵f(x)=sin(ωx+φ)为偶函数,∴φ=kπ+,k∈Z,又0<φ<π,∴φ=,∴f(x)=sin.∵f(x)+f(2-x)=0,∴函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,∴ω+=kπ,k∈Z,即ω=kπ-,k∈Z,又ω>0,∴ω的最小值为,此时f(x)=sin.由+2kπ≤x+≤2kπ+,k∈Z,得4k≤x≤4k+2,k∈Z,则f(x)的单调递减区间为[4k,4k+2],k∈Z.故选B.
6.C [解析] 由题图知,f(x)的最小正周期T=×=π,则ω==2,所以f(x)=Asin(2x+φ),将代入得Asin=0,则-+φ=kπ(k∈Z),解得φ=+kπ(k∈Z),又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=Asin,将代入得Asin=-2,可得A=2,所以f(x)=2sin,故A错误;因为f=2sin=-,所以点不是f(x)的图象的一个对称中心,故B错误;因为f=2sin=,所以直线x=不是f(x)的图象的一个对称轴,故D错误;易知f(x)在上单调递增,且f=2sin=2sin=2,所以a>,即实数a的取值范围为,故C正确.故选C.
7.ABC [解析] 因为y=2sin(4x+φ)+B为偶函数,所以2sin(-4x+φ)+B=2sin(4x+φ)+B,所以-4x+φ+4x+φ=π+2kπ,k∈Z,解得φ=+kπ(k∈Z),B为任意实数.故选ABC.
8.ABD [解析] 由题知=,所以f=0,故A正确;若f=f(x),则函数f(x)的图象关于直线x==对称,又是f(x)的图象上与直线x=相邻的一个对称中心,所以=-=,即T=π,故B正确;因为f(x)在区间上单调,且f=0,所以≥-,得T≥,所以f(x)在[0,2π)上最多有3个完整周期,而f(x)=1在1个完整周期内只有1个解,故f(x)=1在[0,2π)上最多有3个不相等的实数解,故C错误;若函数f(x)在区间上恰有5个零点,则2T<-≤,即2·<-≤·,解得<ω≤,又≥-=,所以×≥,即ω≤3,所以<ω≤3,故D正确.故选ABD.
9. [解析] 由题意可得g(x)=f=sin,因为g(x)为奇函数,所以-3m+=kπ,k∈Z,解得m=-,k∈Z,又m>0,所以m的最小值为.
10. [解析] 由题得f(x)的最小正周期为π,则=π,故ω=2.因为f(m)≤f(x)≤f对任意x∈R恒成立,所以f是f(x)的最大值,故2×+φ=2kπ+(k∈Z),解得φ=2kπ+(k∈Z),又0<φ<π,所以φ=.
11. [解析] 由题知f(T)=sin(ωT-φ)=sin(2π-φ)=sin(-φ)=-sin φ=-,所以sin φ=,又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=sin,令f(x)=0,得ωx-=kπ(k∈Z),解得x=+(k∈Z).由题可知解得k+≤ω≤+(k∈Z),又ω>0,k∈Z,所以k=0,≤ω≤,故ω的取值范围为.
12.解:(1)因为函数f(x)的图象上相邻两个最高点之间的距离为π,所以f(x)的最小正周期T=π,
又ω>0,所以ω==2,所以f(x)=sin(2x+φ).
因为函数f(x)的图象过点,所以sin φ=,
又0<φ<,所以φ=,所以f(x)=sin.
(2)由(1)可知y=f=sin=sin 2x,
令2kπ+≤2x≤2kπ+(k∈Z),解得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),所以函数y=f的单调递减区间为(k∈Z).
13.解:(1)由题图知,周期T=-=π,∴ω==2.
∵点在函数图象上,
∴Asin=0,
即sin=0,结合图象知φ-=2kπ(k∈Z),
又-<φ<,∴φ=.
∵点(0,1)在函数图象上,∴1=Asin,∴A=2.
故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin.
(2)依题意,得g(x)=2sin.
∵g(x)=2sin的周期为2π,
∴g(x)=2sin在区间内有2个周期.
由x+=kπ+(k∈Z),得x=kπ+(k∈Z),
即函数g(x)=2sin的图象的对称轴方程为x=kπ+(k∈Z).
由x∈,得x+∈[0,4π],
∴g(x)=m(0∴关于x的方程g(x)=m(014.解:(1)因为f(x)在上单调,所以-≤×,可得0<ω≤3,
由x∈,0<ω≤3,可得<ω+<ωx+<ω+≤,
若f(x)在上单调,则ω+≤或或ω+≥,
解得0<ω≤或1≤ω≤2或无解,
所以ω的取值范围为∪[1,2].
①由f+f=0,且f(x)在上单调,
可知f(x)图象的一个对称中心为.
②因为f(x)图象的一个对称中心为,
所以f=2sin=0,可得ω+=kπ,k∈Z,解得ω=2k-,k∈Z,又ω∈∪[1,2],所以k=1,ω=.
(2)若ω∈,由x∈,得<ω+≤ωx+≤2πω+≤,
因为y=sin x在上只有1个零点,所以不符合题意.
若ω∈[1,2],由x∈,得≤ω+≤ωx+≤2πω+≤,
可得或解得无解或≤ω≤2,所以ω的取值范围为.(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题:本题共6小题,每小题5分,共30分.
1.函数f(x)=4sin的图象的对称轴方程为 ( )
A.x=+,k∈Z B.x=+kπ,k∈Z
C.x=+,k∈Z D.x=+,k∈Z
2.已知函数y=1+sin x,x∈[0,2π],则该函数的图象与直线y=的交点个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则 ( )
A.ω=,φ= B.ω=,φ=-
C.ω=,φ=- D.ω=,φ=
4.[2024·长沙明德中学高一期中] 已知f(x)的定义域是,则f(sin 2x)的定义域为 ( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
5.[2023·南昌二中高一月考] 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为偶函数,且f(x)+f(2-x)=0,则当ω取最小值时,下列区间中f(x)单调递减的是 ( )
A.[-2,0] B.[0,2]
C.[-π,0] D.[0,π]
6.[2023·郑州一中高一月考] 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则下列说法中正确的是 ( )
A.φ=
B.f(x)的图象关于点中心对称
C.若f(x)在区间上存在最大值,则实数a的取值范围为
D.f(x)的图象关于直线x=对称
二、多项选择题:本题共2小题,每小题6分,共12分.
7.[2024·辽宁本溪高级中学高一月考] 已知y=2sin(4x+φ)+B为偶函数,则φ和B的可能取值分别为 ( )
A.,0 B.,-2
C.,0 D.π,-2
8.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈R)在区间上单调,且满足f=-f,则下列结论正确的是 ( )
A.f=0
B.若f=f(x),则函数f(x)的最小正周期为π
C.关于x的方程f(x)=1在区间[0,2π)上最多有2个不相等的实数解
D.若函数f(x)在区间上恰有5个零点,则ω的取值范围为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
9.[2024·湖南师大附中高一期末] 将函数f(x)=sin的图象向右平移m(m>0)个单位,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,若g(x)为奇函数,则m的最小值为 .
10.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π),若f(m)≤f(x)≤f对任意x∈R恒成立,且的最小值为,则φ= .
11.[2024·辽宁实验中学高一月考] 若函数f(x)=sin(ωx-φ)的最小正周期为T,且f(T)=-,若f(x)在区间(π,2π)内没有零点,则ω的取值范围为 .
四、解答题:本题共3小题,共43分.
12.(13分)[2024·山东济宁高一期末] 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象过点,且其图象上相邻两个最高点之间的距离为π.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求函数y=f的单调递减区间.
13.(15分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)把函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移个单位,得到函数g(x)的图象,求关于x的方程g(x)=m(014.(15分)[2024·贵州遵义四中高一月考] 已知函数f(x)=2sin(ω>0)在上单调.
(1)若f+f=0.
①写出f(x)图象的一个对称中心;
②求ω的值.
(2)若f(x)在上恰有3个零点,求ω的取值范围.
