滚动习题(三)
1.A [解析] T==π,f(-x)=3cos(-2x)+4=3cos 2x+4=f(x),所以函数f(x)是最小正周期为π的偶函数,故选A.
2.C [解析] 令2x-≠kπ+,k∈Z,解得x≠+,k∈Z,则函数y=tan的定义域为A=,显然∈A, A,因此直线x=与函数y=tan的图象相交,直线x=与函数y=tan的图象不相交;函数y=tan的值域为R,因此直线y=,y=与函数y=tan的图象相交.故选C.
3.A [解析] 因为cos(π-x)=-cos x,tan(π-x)=-tan x,所以曲线y=6cos x 和曲线y=tan x 都关于点对称,所以点M,N也关于点对称,则线段MN的中点的坐标是.故选A.
4.D [解析] 因为对任意的x∈R,都有f(x)≤,所以f=sin=±1,故+=+kπ,k∈Z,则ω=+2kπ,k∈Z,又f(x)在区间上单调,所以≥+=,所以≥,解得0<ω≤3,故ω=.故选D.
5.A [解析] 由题意得f(x)=3cos+1,x∈的最小值是-,因为f=3cos+1=3cos+1=-,所以3cos+1≥-,得cos≥-,所以2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,即kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,当k=0时,-≤x≤,所以-6.B [解析] 由题图可知A=2,T=-=,则T=2π,故ω==1,所以f(x)=2sin(x+φ),又f=2sin=-2,所以+φ=+2kπ,k∈Z,所以φ=+2kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=2sin.对于A,f=2sin=0≠±2,故A中说法错误;对于B,当x∈时,x+∈ ,则y=f(x)在上单调递减,故B中说法正确;对于C,y=f=2sin=2sin=2cos x,所以y=f是偶函数,故C中说法错误;对于D,y=2cos x的图象向左平移个单位得y=2cos=2cos=2sin的图象,故D中说法错误.故选B.
7.AD [解析] 对于A,f(x)=的最小正周期T==2π,故A正确;对于B,f(x)=的值域是[0,+∞),故B不正确;对于C,易知函数y=|tan x|的图象的对称轴方程为x=(k∈Z),当x=时,×-=≠(k∈Z),即直线x=不是函数f(x)的图象的一条对称轴,故C不正确;对于D,令-+kπ8.BD [解析] 由题图得A=2,f(x)的最小正周期T满足=π-=,故T=3π,则ω=,所以f(x)=2cos,由题意得f=2,即+φ=2kπ,k∈Z,所以φ=-+2kπ,k∈Z,又0<φ<2π,所以φ=,所以f(x)=2cos=2cos=2sin,故A错误;f=2cos=0,故B正确;令2kπ≤x-≤π+2kπ,k∈Z,解得+3kπ≤x≤+3kπ,k∈Z,所以函数f(x)的单调递减区间是,k∈Z,故C错误;把函数y=2sin x的图象上所有点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,得到y=2sinx的图象,再向左平移个单位得到y=2sin=2sin的图象,故D正确.故选BD.
9. [解析] 函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象相邻对称轴之间的距离为,则=,得T=π=,所以ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ),因为函数f(x)的图象关于点(φ,0)对称,所以f(φ)=sin 3φ=0,则3φ=kπ,k∈Z,即φ=,k∈Z,又φ∈,所以φ=.
10.(-π,0)(答案不唯一) [解析] 将f(x)的图象向左平移个单位后得到曲线C,则曲线C对应的函数解析式为y=sin=sin.由题意可知,函数y=sin(0<ω<1)为偶函数,则+=kπ+(k∈Z),解得ω=2k+(k∈Z),又0<ω<1,所以ω=,则f(x)=sin.令+=kπ(k∈Z),得x=(3k-1)π(k∈Z),所以函数f(x)的图象的一个对称中心为(-π,0).(答案不唯一)
11.2或3 [解析] 由5cos=(k∈N*),得cos=(k∈N*).∵函数y=cos x在每个周期内出现2次函数值,[a,a+3]的区间长度为3,∴为了使长度为3的区间内函数值出现的次数不少于4次且不多于8次,必须使3不小于2个周期且不大于4个周期,即2×≤3,且4×≥3,解得≤k≤.又k∈N*,∴k=2或k=3.
12.解:(1)取点列表如下.
x
u=x- 0 π 2π
y=3sin u=3sin 0 3 0 -3 0
描点作图,如图所示.
(2)由f(α)=3sin=,得sin=,
所以α-=+2kπ,k∈Z或α-=+2kπ,k∈Z,
即α=+4kπ,k∈Z或α=+4kπ,k∈Z,
又因为α∈,所以α=或α=.
13.解:(1)当f(x)为偶函数时,φ=kπ+,k∈Z,∵0<φ<,∴φ=.
(2)∵函数f(x)的最小正周期为π,∴=π,∴ω=±2.
当ω=2时,f(x)=sin(2x+φ),若f(x)的图象过点,则sin=,
∵0<φ<,∴<+φ<π,∴φ=,则f(x)=sin,
由-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),∴函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z);当ω=-2时,f(x)=sin(-2x+φ),
若f(x)的图象过点,则sin=,
∵0<φ<,∴-<-+φ<,φ的值不存在.
综上,f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
14.解:(1)∵f(x)的图象与x轴的两个相邻交点之间的距离为,
∴f(x)的最小正周期T==π,解得ω=2.
∵f(x)的图象上一个最低点的坐标为,
∴A=2,f=2sin=-2,
则+φ=-+2kπ(k∈Z),∴φ=-+2kπ(k∈Z),
又0<φ<,∴φ=,故f(x)=2sin.
(2)由(1)知h(x)=4sin+1-m.
∵函数h(x)=2f(x)+1-m在上仅有一个零点,
∴方程2f(x)=m-1对x∈有且仅有一个解,即y=2f(x)的图象与直线y=m-1在上有且仅有一个交点.
作出y=2f(x)在上的图象与直线y=m-1,如图所示,
由图可知-4≤m-1<2或m-1=4,解得-3≤m<3或m=5,
故实数m的取值范围为[-3,3)∪{5}.(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题:本题共6小题,每小题5分,共30分.
1.函数f(x)=3cos 2x+4(x∈R)是 ( )
A.最小正周期为π的偶函数
B.最小正周期为2π的偶函数
C.最小正周期为π的奇函数
D.最小正周期为2π的奇函数
2.[2024·安徽马鞍山高一期末] 下列直线中,与函数y=tan的图象不相交的是 ( )
A.x= B.y=
C.x= D.y=
3.函数y=6cos x(0A. B.
C. D.
4.[2024·山东青岛二中高一月考] 已知函数f(x)=sin(ω>0),对任意的x∈R,都有f(x)≤,且f(x)在区间上单调,则ω的值为 ( )
A. B. C. D.
5.对于函数f(x),在使f(x)≥M成立的所有常数M中,我们把M的最大值称为函数f(x)的“下确界”.若函数f(x)=3cos+1,x∈的“下确界”为-,则m的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
6.[2024·湖北咸宁崇阳二中高一月考] 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则下列说法正确的是 ( )
A.函数y=f(x)的图象关于直线x=-对称
B.函数y=f(x)在上单调递减
C.函数y=f是奇函数
D.该函数的图象可由y=2cos x的图象向左平移个单位得到
二、多项选择题:本题共2小题,每小题6分,共12分.
7.已知函数f(x)=,则下列说法正确的是 ( )
A.f(x)的最小正周期是2π
B.f(x)的值域是{y|y∈R,且y≠0}
C.直线x=是f(x)的图象的一条对称轴
D.f(x)的单调递减区间是(k∈Z)
8.[2023·南京师大附中高一期中] 函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<2π)在一个周期内的图象如图所示,则 ( )
A.f(x)=2cos
B.点是函数f(x)图象的一个对称中心
C.函数f(x)的单调递减区间是,k∈Z
D.把函数y=2sin x的图象上所有点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,再向左平移个单位可得到函数f(x)的图象
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
9.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象关于点(φ,0)对称,且其相邻对称轴之间的距离为,则φ= .
10.[2023·山东德州高一期中] 将函数f(x)=sin(0<ω<1)的图象向左平移个单位后得到曲线C,若曲线C关于y轴对称,则函数f(x)的图象的一个对称中心为 .
11.对于任意实数a,要使函数y=5cos(k∈N*)在区间[a,a+3]上的函数值出现的次数不少于4次,又不多于8次,则k的值是 .
四、解答题:本题共3小题,共43分.
12.(13分)[2024·江西瑞昌一中、修水一中高一月考] 已知函数f(x)=3sin,x∈R.
(1)用五点法画出函数y=f(x)在上的图象;
(2)已知f(α)=,若α∈,求α的值.
13.(15分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π.
(1)求当f(x)为偶函数时φ的值;
(2)若f(x)的图象过点,求f(x)的单调递增区间.
14.(15分)在函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象与x轴的交点中,两个相邻交点之间的距离为,且图象上一个最低点的坐标为.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若当x∈时,函数h(x)=2f(x)+1-m仅有一个零点,求实数m的取值范围.
