滚动习题(四)
1.D [解析] 由tan x=0,得x=k1π,k1∈Z,所以A={x|x=k1π,k1∈Z}.由cos x=0,得x=+k2π,k2∈Z,所以B=,所以A∩B= .故选D.
2.B [解析] 因为P,所以θ是第二象限角,且tan θ==-,又θ∈[0,2π),所以θ=.故选B.
3.A [解析] 由α=arccos 可得α∈,且cos α=,故sin α=,充分性成立;由sin α=可得cos α=±,不能得到α=arccos ,必要性不成立.故“α=arccos ”是“sin α=”的充分不必要条件.故选A.
4.A [解析] 设f(a)=f(b)=f(c)=t,作出f(x)的图象,如图.不妨设a
5.D [解析] 因为sin2α+cos2α=1,所以点P(sin α,cos α)在单位圆上,-≤sin α≤,≤cos α≤1.记点B,C,所以点P的轨迹是劣弧CB,如图所示,所以动线段AP所形成的图形为图中阴影部分区域.因为S△ABC=S△OBC,所以阴影部分区域的面积为π×12=.故选D.
6.C [解析] 设当质点Q与P第二次相遇时,用时为t(s).依题意有5t-3t=2π+,解得t=,此时质点Q转过的角度为π,则第二次相遇时,质点Q在角的终边与圆的交点处,又圆的半径为1,所以Q的坐标为.故选C.
7.AC [解析] 对于选项A,因为1.72.5>1.70.3>1>0.93.1,所以a>b>c,故A满足;对于选项B,因为tan 1>0>tan 3>tan 2,所以a>c>b,故B不满足;对于选项C,如图所示,单位圆中,设∠BOA=1>,则tan 1=AD,OA=1,BC=sin 1,因为AD>OA>BC,所以a>b>c,故C满足;对于选项D,由a=log45=log25=log2,c=log23,可知log28.CD [解析] 因为x∈[0,2π],所以ωx+∈,设t=ωx+,则t∈,画出函数y=cos t的图象如图所示,由图可知,若方程f(x)=-1在[0,2π]上有且仅有3个解,则5π≤2πω+<7π,故f(x)在(0,2π)上可能有5个、6个或7个零点,故A错误;方程f(x)=1在(0,2π)上可能有2个或3个解,故B错误;由5π≤2πω+<7π,可得≤ω<,故D正确;当x∈时,ωx+∈,因为≤ω<,所以≤ω+<,则f(x)在上单调递减,故C正确.故选CD.
9. [解析] 由tan α=3可知sin α=3cos α.由α是第三象限角,可知sin α<0,cos α<0,又sin2α+cos2α=1,所以sin α=-,cos α=-,则cos2α-sin α=.
10.2π-arcsin 或π+arcsin [解析] 由题知arcsin=-arcsin ∈,所以x=2π-arcsin 或x=π+arcsin .
11.f(x)=2000sinx+7000[解析] 作出函数f(x)的大致图象如图.∵3月份达到最高价9000元,9月份达到最低价5000元,∴A+B=9000,-A+B=5000,解得A=2000,B=7000.由题意知f(x)的周期T=2×(9-3)=12,∴ω==,故f(x)=2000sin+7000.∵f(3)=9000,∴9000=2000sin+7000,得sin=1,∴+φ=2kπ+(k∈Z),即φ=2kπ(k∈Z),又|φ|<,∴φ=0,故f(x)=2000sinx+7000.
12.解:(1)由-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,得-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z.取k=0,可得-≤x≤.
∵函数f(x)=sin-在区间[0,a]上单调递增,∴0(2)由f(x)=sin-=0,得sin=,则x+=+2kπ,k∈Z或x+=+2kπ,k∈Z,
即x=2kπ,k∈Z或x=+2kπ,k∈Z.又x∈[0,2π],∴x=0,,2π.
故函数f(x)在区间[0,2π]上的所有零点是0,,2π.
13.解:(1)当f(x)取得最大值时,有2x+=2kπ,k∈Z,
所以x=kπ-,k∈Z,所以x的取值集合为.
(2)取点列表如下.
x 0 π
a=2x+ π 2π
y=f(x) 0 -2 0 2
描点作图,如图所示.
14.解:(1)由f=0=f,可得f+f=0,故f(x)=|cos x|(x≠0)是“G函数”.
(2)因为f(x)为“G函数”,所以存在x∈∪,使f(x)+f(-x)=0,即log2(tan x+m)+1+log2(-tan x+m)+1=0,整理得关于x的方程m2-tan2x=在∪上有解.
因为tan x∈[-,0)∪(0,],所以m2=tan2x+∈,可得<|m|≤,
又tan x+m>0对x∈∪恒成立,所以m>(-tan x)max=.综上所述,即实数m的取值范围是.(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题:本题共6小题,每小题5分,共30分.
1.[2024·湖北十四校协作体高一月考] 已知集合A={x|tan x=0},B={x|cos x=0},则 ( )
A.A=B B.A B
C.A B D.A∩B=
2.已知点P在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则角θ的大小为 ( )
A. B. C. D.
3.“α=arccos”是“sin α=”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.[2024·北京延庆区高一期中] 已知函数f(x)=若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则a+b+c的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
5.在平面上,已知定点A(,0),动点P(sin α,cos α),当α∈时,动线段AP所形成的图形的面积为 ( )
A.1+ B.1-
C. D.
6.[2023·辽宁省实验中学高一月考] 质点P和Q在以坐标原点O为圆心,半径为1的圆周上顺时针做匀速圆周运动,它们同时出发.P的角速度为3 rad/s,起点为射线y=-x(x≥0)与圆的交点;Q的角速度为5 rad/s,起点为圆与x轴正半轴的交点,则当质点Q与P第二次相遇时,Q的坐标为 ( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题:本题共2小题,每小题6分,共12分.
7.[2024·广东深圳实验学校高一期末] 下列四组数中,满足a>b>c的有 ( )
A.a=1.72.5,b=1.70.3,c=0.93.1
B.a=tan 1,b=tan 2,c=tan 3
C.a=tan 1, b=1,c=sin 1
D.a=log45,b=log34,c=log23
8.已知函数f(x)=cos(ω>0),若方程f(x)=-1在[0,2π]上有且仅有3个解,则( )
A.f(x)在(0,2π)上有且仅有5个零点
B.方程f(x)=1在(0,2π)上有且仅有2个解
C.f(x)在上单调递减
D.ω的取值范围是
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
9.[2023·北京师范大学第二附属中学高一月考] 已知tan α=3,α是第三象限角,则cos2α-sin α的值为 .
10.若sin x=-,x∈[0,2π],则x= .
11.根据市场调查,某种商品一年内每件的出厂价格在7000元的基础上,按f(x)=Asin(ωx+φ)+B的模型波动,已知3月份达到最高价9000元,9月份达到最低价5000元.根据以上条件可确定f(x)的解析式为 .
四、解答题:本题共3小题,共43分.
12.(13分)已知函数f(x)=sin-.
(1)若函数f(x)在区间[0,a]上单调递增,求实数a的取值范围;
(2)求函数f(x)在区间[0,2π]上的所有零点.
13.(15分)[2024·湖北十堰高一期中] 已知函数f(x)=2cos.
(1)当f(x)取得最大值时,求x的取值集合;
(2)画出函数f(x)在[0,π]上的图象.
14.(15分)[2024·上海浦东复旦附中高一月考] 对于函数f(x),若f(x)的图象上存在关于原点对称的点,则称f(x)为定义域上的“G函数”.
(1)试判断f(x)=|cos x|(x≠0)是否为“G函数”,简要说明理由;
(2)若f(x)=log2(tan x+m)+1是定义在区间∪上的“G函数”,求实数m的取值范围;