单元素养测评卷(一)B
1.B [解析] 因为角-α与角α的终边关于x轴对称,所以角β与角-α的终边相同,即β=2kπ-α(k∈Z),所以α+β=α+2kπ-α=2kπ(k∈Z),故选B.
2.B [解析] 因为sin=,cos=-,所以P,故点P在第四象限,即角α的终边在第四象限,则角3π+α的终边为角α的终边的反向延长线,故3π+α是第二象限角.故选B.
3.D [解析] 由题意知,=×200=50π(米),设两人经过x分钟后相遇,则300x-290x=50π+2π×200k,k∈Z,解得x=5π+40kπ,k∈Z,所以乙跑的总路程为300x=1500π+12 000kπ,k∈Z,当k=0时,乙跑的总路程为1500π米.故选D.
4.D [解析] 对sin α+3cos α=两边平方得sin2α+9cos2α+6sin αcos α=5sin2α+5cos2α,∴2sin2α-3sin αcos α-2cos2α=0,∴2tan2α-3tan α-2=0,解得tan α=2或tan α=-,故充分性不成立;当tan α=2时,若α为第三象限角,则sin α+3cos α<0,故必要性不成立.故“sin α+3cos α=”是“tan α=2”的既不充分也不必要条件.故选D.
5.A [解析] 由题意可得P,Q都在f(x)=sin(ωx+φ)的图象上,故f(0)=sin φ=,又|φ|<,所以φ=,又f(π)=sin=,结合f(x)的图象得,ωπ+=+2kπ,k∈Z,故ω=+2k,k∈Z.因为T>PQ,所以>π,故0<ω<1,所以ω=,故T==4π.故选A.
6.B [解析] 因为函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为,所以=,解得ω=3,所以f(x)=sin(3x+φ),因为函数f(x)的图象的一个对称中心为,所以f=sin=0,又0<φ<π,所以φ=,所以g(x)=tan,令3x+=,k∈Z,解得x=-,k∈Z,所以函数g(x)=tan(ωx+φ)的图象的对称中心为,k∈Z.故选B.
7.A [解析] f(x)=1+=1+sin ax,显然a≠0.对于A,由题图知f(x)max>2,因为-1≤sin ax≤1,所以1+>2,所以0<|a|<1,所以f(x)的最小正周期T=>2π,其最小值为1-<0,故A正确;对于B,显然不恒为0,故B错误;对于C,由题图知f(x)max>2,由A可知T>2π,但图C中其最小正周期小于2π,故C错误;对于D,由题图知f(x)max∈(1,2),则1+∈(1,2),所以∈(0,1),所以f(x)的最小正周期T=<2π,但图D中其最小正周期大于2π,故D错误.故选A.
8.B [解析] 对于①,因为g(x)=x+tan x在(0,1)上单调递增,且g(0)=0,g(1)=1+tan 1>1+tan=2,所以 x∈(0,1),x+tan x=2,故①正确;对于②,当x∈时,tan x>1,则tan x+=tan x-1++1≥2+1=3,当且仅当tan x=2时等号成立,故②错误;对于③,因为f(-x)=-xcos x-tan x=-f(x),所以f(x)=xcos x+tan x为奇函数, 所以f(x)的图象关于原点对称,故③正确;对于④,函数h(x)=tan的最小正周期T=,故④错误.故选B.
9.AB [解析] 对于A,300°=300×=,故A正确;对于B,若α为第一象限角,则2kπ<α<2kπ+,k∈Z,则kπ<10.ABD [解析] 对于A,函数f(x)的最大值为2,故A正确;对于B,将函数y=2sin x的图象向右平移个单位可得y=2sin的图象,故B正确;对于C,令x-=+kπ,k∈Z,解得x=π,k∈Z,故C错误;对于D,取x1=,x2=π,满足x1f(x2)=,故D正确.故选ABD.
11.AD [解析] ∵f=2,f(π)=0,∴+=π-=,k∈N,解得T=,k∈N,∴ω=,k∈N.∵f(x)在区间上单调,∴-≤,解得T≥,∴ω=≤12,即≤12,k∈N,解得k≤,k∈N,∴k=0,1,2,…,7,∴符合条件的ω的值有8个,故A正确,B错误;当k=0时,ω=,故C错误;当k=6时,ω=,故D正确.故选AD.
12.1或4 [解析] 设扇形的圆心角的弧度数为α,半径为r,则由题可得解得或
13.- [解析] 依题意得sin α==,又β=α+,所以cos β=cos=-sin α=-.
14.1(答案不唯一) [解析] 因为T=,所以f(T)=f=cos=cos φ=,因为0<φ<,所以φ=,所以f(x)=cos(ω>0).将f(x)的图象向右平移个单位得到y=cos的图象,因为所得图象关于y轴对称,所以-ω+=kπ(k∈Z),则ω=1-3k(k∈Z),又ω>0,所以ω的值可以是1.
15.解:(1)由三角函数的定义可知sin α==,解得m=±1.
因为α为第一象限角,所以m=1.
(2)由(1)可知tan α=2,又tan β=,所以=
=-=-=-=-.
16.解:(1)列表:
x -
u=2x+ 0 π 2π
f(x) 0 3 0 -3 0
描点,连线,作图,如图所示.
(2)将函数y=sin x的图象上所有点的横坐标不变,纵坐标变为原来的3倍,得到y=3sin x的图象;将y=3sin x的图象向左平移个单位,得到y=3sin的图象;将y=3sin的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的,得到f(x)=3sin的图象.
(3)因为f(x0)=,所以3sin=,即sin=,
则2x0+=2kπ+,k∈Z或2x0+=2kπ+,k∈Z,
即x0=kπ,k∈Z或x0=kπ+,k∈Z.
又因为x0∈[2π,3π],所以x0的值为2π,3π,.
17.解:(1)建立如图所示的直角坐标系,设y与t之间的函数式为y=Msin(ωt+φ)+N,其中ω>0,t>0.
依题意可知y的最大值为18,最小值为-2,则解得
因为水车每10分钟转一圈,所以水车每分钟内所转过的角度为=.所以y=10sin+8.
当t=0时,y=10sin φ+8=3,故sin φ=-,由图可知φ∈,所以φ=-,故函数y=10sin+8(t≥0).
(2)由y>13,即10sin+8>13,整理得sin>.
令+2kπ18.解:(1)当m=2时,f(x)=2cos+1,令f(x)=0,
则cos=-,即2x-=2kπ+(k∈Z)或2x-=2kπ+(k∈Z),解得x=kπ+(k∈Z)或x=kπ+(k∈Z),
故f(x)的零点是x=kπ+(k∈Z)或x=kπ+(k∈Z).
(2)由0≤x≤可得-≤2x-≤,所以-≤cos≤1.
①当m>0时,可得-1≤f(x)≤2m-1,由-3≤f(x)≤4恒成立,可得解得0②当m<0时,可得2m-1≤f(x)≤-1,由-3≤f(x)≤4恒成立,可得解得-1≤m<0.
综上可得,实数m的取值范围是[-1,0)∪.
19.解:(1)由函数f(x)的最小正周期为π,可得ω==2,则f(x)=sin(2x+φ).
因为函数f(x)在上单调递增,且-=,f(x)的最小正周期为π,所以2×+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=+2kπ,k∈Z,又0≤φ<2π,所以φ=,所以f(x)=sin.
(2)由(1)得g(x)=2f+1=2sin+1=2sin+1,因为x∈,所以2x+∈,所以sin∈,所以g(x)∈[2,3].因为对任意的x∈,不等式[g(x)]2-mg(x)-1≤0恒成立,所以m≥对g(x)∈[2,3]恒成立,令t=g(x),则m≥=t-对t∈[2,3]恒成立,
令h(t)=t-(t∈[2,3]),易知h(t)在[2,3]上单调递增,所以h(t)max=h(3)=,所以m≥.故实数m的取值范围为.单元素养测评卷(一)B
第七章
(时间:120分钟 分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.在直角坐标系中,若角α与角β的终边关于x轴对称,则α与β的关系是 ( )
A.α=-β B.α+β=2kπ(k∈Z)
C.α=β D.α-β=2kπ(k∈Z)
2.[2024·河南南阳高一期中] 已知角α的顶点在坐标原点,以x轴的正半轴为始边,终边经过点P,则3π+α是 ( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
3.甲、乙两人计划每日绕着半径为200米(为了计算方便,跑道的宽度忽略不计)的圆形跑道逆时针匀速跑步,以提高身体素质.圆形跑道示意图如图所示,O为圆形跑道的圆心.已知甲以290米/分钟的速度从A点出发,乙以300米/分钟的速度从B点出发,两人同时出发.若∠AOB=,则当甲、乙相遇时,乙跑的总路程可能为( )
A.2700 π米 B.1050 π米
C.1800 π米 D.1500 π米
4. 已知α∈R,则“sin α+3cos α=”是“tan α=2”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.[2024·长沙高一期末] 如图所示,P,Q是函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象与直线y=的两个交点,且点P在y轴上,若PQ=π,则f(x)的最小正周期为 ( )
A.4π B.
C.3π D.2π
6.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为,其图象的一个对称中心为,则函数g(x)=tan(ωx+φ)的图象的对称中心为 ( )
A.,k∈Z B.,k∈Z
C.,k∈Z D.,k∈Z
7.[2024·北京一零一中学高一期中] 已知a是实数,则函数f(x)=1+的图象可能是 ( )
A B C D
8.现有下列四个说法:
① x∈(0,1),x+tan x=2;
② x∈,tan x+≥4;
③函数f(x)=xcos x+tan x的图象存在对称中心;
④函数h(x)=tan的最小正周期为π.
其中正确说法的个数是 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.[2024·南昌十中高一月考] 下列说法中正确的是 ( )
A.300°=
B.若α为第一象限角,则为第一或第三象限角
C.第一象限角都是锐角
D.终边在直线y=-x上的角的集合是
10.[2024·湖南师大附中高一月考] 已知函数f(x)=2sin,x∈R,则下列说法正确的是( )
A.函数f(x)的最大值为2
B.函数y=f(x)的图象可由函数y=2sin x的图象向右平移个单位得到
C.函数f(x)的图象的对称轴方程为x=π(k∈Z)
D.存在x1,x2∈R,使得x1f(x2)
11.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)满足f=2,f(π)=0,且f(x)在区间上单调,则 ( )
A.ω的可能取值有8个 B.ω的可能取值有无限个
C.ω不能为 D.ω可以为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知扇形的周长是12,面积是8,则扇形的圆心角的弧度数是 .
13.已知角α的终边经过点(3,4),将角α的终边绕原点O逆时针旋转与角β的终边重合,则cos β= .
14.已知函数f(x)=cos(ωx+φ)的最小正周期为T,且f(T)=,将f(x)的图象向右平移个单位,所得图象关于y轴对称,则ω的值可以是 (写出符合条件的一个具体数值即可).
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知角α的终边经过点P(m,2),sin α=且α为第一象限角.
(1)求m的值;
(2)若tan β=,求的值.
16.(15分)已知函数f(x)=3sin.
(1)用“五点法”画出函数y=f(x)在一个周期内的简图.
(2)y=sin x的图象经过怎样的变换能得到函数y=f(x)的图象
(3)若f(x0)=,x0∈[2π,3π],写出x0的所有值.
17.(15分)[2024·黑龙江齐齐哈尔恒昌中学高一月考] 水车是古代中国劳动人民发明的灌溉工具,相传为汉灵帝时华岚造出雏形,经三国时孔明改造完善后在蜀国推广使用.作为中国农耕文化的重要组成部分,它体现了中华民族的创造力,为中国农业文明和水利史研究提供了见证.被誉为“水车之都”的兰州建起了一处水车博览园,再现了以前黄河两岸水车林立的壮观景象.如图为一架新制作的水车模型,其最高点距离水面为18米,最低点在水面下2米,该水车每10分钟转一圈,若从水轮左侧距离水面3米的点处开始计算时间(假定水车逆时针方向旋转).
(1)将水轮上的动点P距离水面的高度y(单位:m)表示为时间t(单位:min)的函数;
(2)在水轮转动的一圈内,有多长时间点P距水面的高度超过13 m
18.(17分)设f(x)=mcos+m-1(m≠0).
(1)若m=2,求函数f(x)的零点;
(2)当x∈时,-3≤f(x)≤4恒成立,求实数m的取值范围.
19.(17分)已知f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ<2π),且f(x)的最小正周期为π,f(x)在上单调递增.
(1)求f(x)的解析式;
(2)设函数g(x)=2f+1,若对任意的x∈,不等式[g(x)]2-mg(x)-1≤0恒成立,求实数m的取值范围.
