单元素养测评卷(一)A
1.A [解析] 对于A,y=cos 2x的最小正周期为π,且y=cos 2x是偶函数,故A正确;对于B,y=tan x为奇函数,故B错误;对于C,y=sin的最小正周期为2π,故C错误;对于D,y=sin 2x为奇函数,故D错误.故选A.
2.B [解析] 因为点P(tan α,cos α)在第三象限,所以tan α<0,cos α<0,所以角α的终边落在第二象限.故选B.
3.B [解析] 设扇形所在圆的半径为R,根据题意可得R===2,所以扇形的面积S=×α×R2=×2×22=4.故选B.
4.A [解析] 因为所以sin2α=,cos2α=,又α∈,所以sin α=,cos α=,所以cos=-sin α=-.故选A.
5.B [解析] y=sin x的最小正周期是2π,不符合题意.y=tan x在区间上单调递增,不符合题意.对于y=cos 2x,当6.A [解析] 因为sin=,所以cos=cos=sin=.故选A.
7.B [解析] 因为直线y=a与函数f(x)的图象的相邻两个交点的距离为一个周期,所以ω=,所以f(x)=tan.由kπ-8.C [解析] 当t∈[6,14]时,t+∈,则函数T=25+10sin在[6,14]上单调递增.设花开、花谢的时间分别为t1,t2.由T=20,得sin=-,可得t1=≈8.7;由T=31,得sin=0.6≈sin,可得t2≈11.6.故在6时~14时内,观花的最佳时段约为8.7时~11.6时.故选C.
9.BCD [解析] 对于A,在△ABC中,cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C,故A错误;对于B,若α是第三象限角,则2kπ+π<α<2kπ+,k∈Z,所以+<<+,k∈Z,当k=3n+1,n∈Z时,是第三象限角,故B正确;对于C,因为tan θ=2, 所以sin2θ-2cos2θ====,故C正确;对于D,点(-cos 2,sin 2)关于y轴对称的点的坐标为(cos 2,sin 2), 则α+2=π,所以α=π-2,故D正确.故选BCD.
10.AD [解析] 由题图可得T=-=,所以T=π,所以ω==2,又f为f(x)的最大值,所以2×+φ=+2kπ,k∈Z,所以φ=+2kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=sin.f(x)=sin=cos,故A正确,B错误;令2x+=kπ,k∈Z,得x=-,k∈Z,当k=1时,x=,故函数f(x)的图象的一个对称中心为,所以f=-f,故C错误,D正确.故选AD.
11.AD [解析] ∵直线x=为函数f(x)的图象的一条对称轴,所以ω+φ=kπ+,k∈Z,由f=,得ω+φ=2mπ+,m∈Z或ω+φ=2mπ+,m∈Z,两式联立解得ω=8(k-2m)+,k∈Z,m∈Z或ω=8(k-2m)-,k∈Z,m∈Z.∵f(x)在上单调,∴--=≤,∴0<ω≤8,∴ω=或ω=.故选AD.
12. [解析] 因为点M转一周所需的时间为12秒,所以经过3秒后,转了×2π=,设点M的初始位置的坐标为(cos α,sin α),则cos α=,sin α=,则经过3秒后,动点M所处的位置的坐标为,即(-sin α,cos α),所以经过3秒后,动点M所处的位置的坐标为.
13.-5 [解析] 由题意可知,f(x)的定义域为,关于原点对称.令g(x)=atan x+bsin x,则g(x)+g(-x)=0,所以g(x)为奇函数,所以g(2)+g(-2)=0,又f(2)=g(2)-3=-1,所以g(2)=2,所以g(-2)=-2,所以f(-2)=g(-2)-3=-5.
14. [解析] 因为函数f(x)的图象经过点A,所以sin φ=,又|φ|<,所以φ=.当x∈时,ωx+∈,因为f(x)在区间上单调递增,所以 ,k∈Z,所以
k∈Z,解得-4+12k≤ω≤+3k,k∈Z,由ω>0,k∈Z,可得k=0,0<ω≤.
15.解:(1)f(α)===-sin α.
(2)因为f(α)=-sin α=,α∈,所以cos α===,所以cos(π-α)=-cos α=-.
16.解:(1)由题意得=π,则ω=2,因为函数f(x)的图象关于点中心对称,所以2×+φ=kπ(k∈Z),即φ=-+kπ(k∈Z),
又-<φ<,所以φ=,所以f(x)=2sin.
(2)因为x∈,所以2x+∈,所以当2x+=-,即x=-时,f(x)取得最小值f=2sin=-,当2x+=,即x=时,f(x)取得最大值f=2sin=2.
17.解:(1)∵函数f(x)=2cos(ωx-φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为4π,∴=4π,解得ω=.
∵f(x)的图象经过点(0,1),∴f(0)=2cos(-φ)=2cos φ=1,即cos φ=,又0<φ<π,∴φ=,∴f(x)=2cos.
令2kπ≤-≤2kπ+π,k∈Z,解得4kπ+≤x≤4kπ+,k∈Z,
故函数f(x)的单调递减区间为,k∈Z.
(2)当x∈[0,2π]时,-∈,则cos∈,则f(x)∈[-1,2].当-=0,即x=时,函数f(x)取得最大值2;当-=,即x=2π时,函数f(x)取得最小值-1.
18.解:(1)由2cos2θ-cos θ-1=0,得(2cos θ+1)(cos θ-1)=0,解得cos θ=-或cos θ=1,又θ为三角形的一个内角,所以cos θ=-,所以θ=,所以f(x)=tan=-tan.
令2x-≠nπ+,n∈Z,解得x≠+,n∈Z,所以函数f(x)的定义域为.
(2)令2x-=,k∈Z,解得x=+,k∈Z,所以f(x)的图象的对称中心为,k∈Z.令kπ-<2x-19.解:(1)由题图可知A=2,=-=,所以T=π,
又ω>0,T==π,所以ω=2.
因为函数f(x)的图象经过点,所以2sin=2,
所以+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=-+2kπ,k∈Z,
又-<φ<,所以φ=-,所以f(x)=2sin.
(2)因为x∈,所以2x-∈,所以2sin∈[-1,2],令t=2sin,t∈[-1,2].
要求F(x)=[f(x)]2-2mf(x),x∈的最小值,即求g(t)=t2-2mt,t∈[-1,2]的最小值.①当m≤-1时,g(t)在[-1,2]上单调递增,则g(t)min=g(-1)=1+2m=m,解得m=-1;②当-1综上所述,m的取值集合为{0,-1}.单元素养测评卷(一)A
第七章
时间:120分钟 分值:150分
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.[2024·北京顺义区高一期中] 下列函数中,最小正周期为π且是偶函数的是 ( )
A.y=cos 2x B.y=tan x
C.y=sin D.y=sin 2x
2.已知点P(tan α,cos α)在第三象限,则角α的终边落在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.[2024·山西浑源七中高一月考] 一个扇形的圆心角α=2,弧长l=4,则这个扇形的面积是( )
A.2 B.4
C.8 D.16
4.已知tan α=3,α∈,则cos= ( )
A.- B.
C.- D.
5.[2023·辽宁锦州高一月考] 下列四个函数中,以π为最小正周期且在区间上单调递减的是( )
A.y=sin x B.y=|sin x|
C.y=cos 2x D.y=tan x
6.[2024·河北张家口高一期中] 已知sin=,则cos= ( )
A. B.
C.- D.-
7.已知直线y=a与函数f(x)=tan(ω>0)的图象的相邻两个交点的距离为2π,若f(x)在(-m,m)(m>0)上单调递增,则m的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
8.在西双版纳热带植物园中有一种原产于南美热带雨林的时钟花,其花开花谢非常有规律.有研究表明,时钟花开花的规律与温度密切相关,时钟花开花所需要的温度约为20 ℃,但当气温上升到31 ℃时,时钟花基本都会凋谢.在花期内,时钟花每天开闭一次.已知某景区有时钟花观赏区,且该景区6时~14时的气温T(单位:℃)与时间t(单位:时)近似满足函数关系式T=25+10sin,则在6时~14时内,观花的最佳时段约为 ( )
A.6.7时~11.6时 B.6.7时~12.2时
C.8.7时~11.6时 D.8.7时~12.2时
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列说法中正确的是 ( )
A.在△ABC中,cos(A+B)=cos C
B.若α是第三象限角,则可能是第三象限角
C.若tan θ=2,则sin2θ-2cos2θ=
D.若锐角α的终边过点(-cos 2,sin 2),则α=π-2
10.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则下列结论正确的是( )
A.f(x)=cos B.f(x)=sin
C.f=f D.f=-f
11.[2023·山东威海高一期中] 已知函数f(x)=2sin(ωx+φ),直线x=为函数f(x)的图象的一条对称轴,且f=.若f(x)在上单调,则ω的值可以是 ( )
A. B. C. D.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.在平面直角坐标系中,动点M在单位圆上沿逆时针方向作匀速圆周运动,点M转一周所需的时间为12秒,若点M的初始位置为,则经过3秒后,动点M所处的位置的坐标为 .
13.[2024·四川眉山高一期中] 已知f(x)=atan x+bsin x-3,且f(2)=-1,则f(-2)= .
14.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象经过点A,则φ= ;若f(x)在区间上单调递增,则ω的取值范围为 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知α∈,f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若f(α)=,求cos(π-α)的值.
16.(15分)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的最小正周期为π,且f(x)的图象关于点中心对称.
(1)求f(x)的解析式;
(2)当x∈时,求f(x)的最大值和最小值,并指出相应的x的取值.
17.(15分)[2024·山东临沂高一期末] 已知函数f(x)=2cos(ωx-φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为4π,且图象经过点(0,1).
(1)求f(x)的单调递减区间;
(2)当x∈[0,2π]时,求f(x)的最值以及取得最值时x的值.
18.(17分)[2024·福建厦门外国语学校高一月考] 已知函数f(x)=tan(-2x+θ),其中θ为三角形的一个内角,且2cos2θ-cos θ-1=0.
(1)求函数f(x)的解析式及定义域;
(2)求函数f(x)的单调区间及其图象的对称中心.
19.(17分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若函数F(x)=[f(x)]2-2mf(x),x∈的最小值为m,求m的取值集合.
