(共45张PPT)
8.1 向量的数量积
8.1.1 向量数量积的概念
探究点一 向量数量积定义及其应用
探究点二 向量的夹角
探究点三 向量的投影与向量数量积的
几何意义
【学习目标】
1.理解平面向量数量积的概念及其几何意义;
2.理解向量投影的数量的含义并会应用；
3.掌握数量积的定义公式,并会利用其解决有关长度、夹角、垂
直等问题.
知识点一 两个向量的夹角
1.定义：给定两个______向量， （如图所示）,在平
面内任选一点，作,,则称 内的
为向量与向量的______ ,记作， .
非零
夹角
2.向量的夹角，的取值范围是_______________.当与 同向时,
夹角，为___;当与反向时,夹角，为___.且,, .
3.当，__时，称向量与向量 垂直,记作______.
，
0
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）当两个非零向量共线时，两个向量的夹角为0.( )
×
[解析] 当两个非零向量同向时，夹角为0，反向时，夹角为 .
（2）零向量与任意向量垂直.( )
√
（3）在正三角形中，, .( )
×
[解析] , .
（4）, .( )
×
[解析] 两个向量中存在零向量时，满足垂直，但是零向量的方向不
确定.
知识点二 向量的数量积的定义
1.定义：一般地，当与 都是非零向量时，称_______________为向
量与的数量积（也称为内积）,记作_____,即_____ ____________.
特别地,零向量与任一向量的数量积为___.
，
0
（1）当，时， ___0;
（2）当，时， ___0；
（3）当，时， ___0.
2.两个向量的夹角公式：求两个向量的夹角时可以利用数量积的变形
公式， _ ____.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）向量,的数量积能表示为和，不能表示为 .( )
×
[解析] 向量,的数量积只能表示为，不能表示为和 .
（2）两个向量的数量积不同于两个向量的线性运算，结果是一个实
数而不是向量.( )
√
（3） .( )
√
（4）若,则向量,的夹角为钝角；若，则向量,
的夹角为锐角.( )
×
[解析] 若,则向量,的夹角为钝角或 ；
若 ，则向量, 的夹角为锐角或0.
知识点三 数量积的性质
不等式
恒等式
向量垂直的充要条件
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）当时， .( )
√
（2）在中，如果，那么 为直角三角形.
( )
√
（3）无论向量与是否为零向量，若，则一定有 .
( )
√
（4）如果向量与是两个单位向量，那么 .( )
√
（5）若,，则 .( )
√
知识点四 向量的投影与向量数量积的几何意义
1.投影定义：如图所示，设非零向量,过，分别作直线 的
垂线，垂足分别为，，则称向量为向量在直线 上的______
____或______.
投影向量
投影
2.投影的数量定义:一般地，如果， 都是非零向量，则称
____________为向量在向量 上的投影的数量.投影的数量与投影
的长度有关，但是投影的数量既可能是非负数，也可能是负数.
特别地，当为单位向量时，因为 ，所以_________________，
即任意向量与单位向量的数量积，等于这个向量在单位向量 上的投
影的数量.
,
3.数量积的几何意义：两个非零向量，的数量积，等于 在
_____________________与_______的乘积.
向量上的投影的数量
的模
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若,,与的夹角为 ,则向量在向量 上的投影
为 .( )
×
[解析] 投影是向量，向量在向量上的投影为 .
（2）已知,，在向量上的投影的数量是 ,则
.( )
×
[解析] 向量与向量的数量积等于在向量上的投影的数量与
的积，所以 .
（3）已知,为两个非零向量，则在上的投影一定与向量 同向.
( )
×
[解析] 在上的投影与向量 的方向相同或相反.
（4）已知，，且，则在 上的投影的数
量为，在上的投影的数量为 .( )
√
[解析] ，，所以向量在向量 上的投
影的数量为，；
向量在向量 上的投影的数量为， .
（5）若,都是非零向量，则向量在上的投影的数量为 .( )
√
（6）若,都是非零向量，则向量在上的投影向量为 .( )
√
（7）若是非零向量，则与同向的单位向量为 .( )
√
探究点一 向量数量积定义及其应用
［探索］ 要求 ，需要知道哪些量？
解：要求，需要知道，及，的夹角， .
例1（1） [2023·辽宁盘锦辽东湾高一期末] 给出以下结论：
；；③；④若,则
或 ；⑤若，则 .
其中正确结论的序号是____.
⑤
[解析] ，故①错误；
，故②错误；
,，故③错误；
④若，则 ，故④错误；
⑤若，则，所以 ，故⑤正确.
故正确结论的序号是⑤.
（2）如图，在中，， ，
，求：
① ；
解：因为，且与的方向相同，所以与 的夹角是 ，
所以 .
② .
解：因为与的夹角为 ，所以与的夹角为 ，
所以 .
变式（1） [2024·四川绵阳高一期末]在半径为的圆中，弦 的长
度为，则 的值为( )
A. B.
C. D.与 有关
[解析] 如图，取线段的中点D，连接，则 ，
所以 ，
所以 .故选B.
√
（2）已知正方形的边长为1，是边 上的动点（包括端点），
则的值为___， 的最大值为___.
1
1
[解析] 如图所示，设与的夹角为 ，与 的夹角为
根据向量的数量积的定义可得
由图可知， ，
，
而就是向量在上的投影的数量，
当在 上的投影的数量最大，即投影的数量为时，取得
最大值，所以 的最大值为1.
［素养小结］
求向量数量积的步骤
（1）求与的夹角,，, ；
（2）求和 ；
（3）代入公式求 的值.
探究点二 向量的夹角
［探索］ 如何求与的夹角, ？
解：利用,求出,的值，然后借助,
求, .
例2（1） 已知向量,满足,,,则与 的夹角
为___.
[解析] 由已知得,，
因为, ，所以, .
（2）若非零向量，满足，，则与 夹角的
余弦值为__.
[解析] 由题得, .
［素养小结］
（1）求向量的夹角应用数量积的变形公式, ,一般要求
两个整体, ,不方便求出时，可寻求两者之间的关系，转化
条件解方程组，利用向量的几何意义简捷直观地得出.
（2）要注意向量夹角 的范围为，当时， ；
当时，；当时， .
探究点三 向量的投影与向量数量积的几何意义
例3（1） [2024·江西宜春中学高一月考]已知向量与 的夹角为
，且，，则向量在向量 上的投影的数量为
( )
A.1 B. C.2 D.
[解析] 因为向量与的夹角为 ，且， ，
所以，
所以向量在向量 上的投影的数量为 .故选B.
√
（2）[2024·安徽淮南二中高一期中]已知的外接圆圆心为 ，
且，，则向量在向量 上的投影为
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图，由可得为 的中点，
又因为为 的外接圆圆心，所以，
又因为 ，所以，
所以 为等边三角形，即 ，
为等腰三角形，且 ，
所以向量在向量上的投影为 .故选B.
变式（1） [2024·上海嘉定一中高一期中] 已知向量 ，
，与的夹角为 ，则在 上的投影是____．
[解析] 因为向量，，与的夹角为 ，
所以，
所以在上的投影是 .
（2）已知非零向量,满足，，且在 上的投影的数
量与在上的投影的数量相等，则, ___.
[解析] 设与的夹角为 ，因为在上的投影的数量与在 上的
投影的数量相等，所以，即 ，
又，所以 .
［素养小结］
求投影的数量的两种方法
（1）向量在上的投影的数量为,,向量在 上的投影的
数量为, ；
（2）向量在上的投影的数量为,向量在上的投影的数量为 .
1.已知平面上有三个点，，，则“，，可以构成一个角 为
钝角的钝角三角形”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
[解析] 当A，B，C可以构成一个角A为钝角的钝角三角形时，
，则“A，B，C可以构成一个角A为钝角的钝角三角形”
是“”的充分条件；
当A，B，C三点共线且 时，满足 ，
但是A，B，C不能构成三角形，则“A，B，C可以构成一个角A为
钝角的钝角三角形”不是“ ”的必要条件.
故“A，B，C可以构成一个角A为钝角的钝角三角形”是“ ”
的充分不必要条件.故选A.
2.在中， ，，设点 满足
，且，则向量在 上的投影的数量
为( )
A. B. C. D.
[解析] ，为 边的中点，如图所示，
，， ，
，，在 上的投影的数量为
.故选D.
√
3.[2023·江西宜春高一期末]已知向量在向量 上的投影的数量为
，，则与 的夹角为( )
A. B. C. D.
[解析] 设向量与向量的夹角为 ，则在 上的投影的数量为
，，
又， .故选B.
√
4.已知，为单位向量且与的夹角为 ，则在 上的投影为
( )
A. B. C. D.
[解析] 在上的投影为 .故选B.
√
5.在等腰梯形中，，，，点在边
（包括端点）上运动，则 的取值范围为______.
[解析] 如图，过点作的垂线交于点 ，过点
作的垂线交于点，则 ，
因为点在上的射影在线段 （包括端点）上，
所以，，
故 的取值范围为 .
1.在上的投影的数量也可以写成，它的符号取决于夹角，
的余弦值．
2.在运用向量数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的取值范围
是 .
3.的符号与与的夹角， 的关系
（1）， 为锐角或零角，
当，时，与同向共线， .
（2），或与中至少有一个为 .
（3）， 为钝角或平角，
当， 时，与反向共线， .
特别要注意，同向共线与反向共线的特殊情况，即
时，向量, 的夹角不一定为锐角（钝角）．
4.向量的数量积， 的主要应用
（1）利用公式求数量积，应先求向量的模，再正确求出向量的夹角
（向量的夹角由向量的方向确定）．
（2）利用变形公式， 求夹角，应正确求出两个整体：
数量积与模的积，同时注意， ．
（3）利用 证明垂直问题．
1.求向量夹角的步骤
求两个向量的夹角,关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合,然
后确定夹角,再依据平面图形的知识求解向量的夹角.
例 [2024·湖南长沙外国语学校高二月考] 设，若在 上的
投影为，且在上的投影为3，则和 的夹角为__．
[解析] 由已知得可得
,，又,，, .
2.求向量数量积的步骤
进行向量数量积的运算,需分三步走:求模长 求夹角 求数量积.
涉及图形的向量数量积的运算,要充分利用图形特点及其含有的特殊
向量,这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量.
3.求向量与的夹角, 的方法
（1）求出，，，代入公式, 求解.
（2）用同一个量表示，， ，代入公式求解.
（3）借助向量运算的几何意义，数形结合求夹角.
要注意夹角,的范围是，当,时，, ；
当,时，,；当,时，, .8.1 向量的数量积
8.1.1 向量数量积的概念
【课前预习】
知识点一
1.非零 夹角 2.0≤
≤π 0 π 3. a⊥b
诊断分析
(1)× (2)√ (3)× (4)× [解析] (1)当两个非零向量同向时,夹角为0,反向时,夹角为π.
(3)<,>=π-=.
(4)两个向量中存在零向量时,满足垂直,但是零向量的方向不确定.
知识点二
1.|a||b|cos a·b a·b |a||b|cos 0
(1)> (2)= (3)<
2.
诊断分析
(1)× (2)√ (3)√ (4)× [解析] (1)向量a,b的数量积只能表示为a·b,不能表示为ab和a×b.
(4)若a·b<0,则向量a,b的夹角为钝角或π;若a·b>0,则向量a,b的夹角为锐角或0.
知识点三
≤ |a|2 a·b
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)√
知识点四
1.投影向量 投影 2.|a|cos a·e=|a|cos
3.向量b上的投影的数量 b的模
诊断分析
(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)√ (7)√
[解析] (1)投影是向量,向量a在向量e上的投影为2e.
(2)向量a与向量b的数量积等于a在向量b上的投影的数量与|b|的积,所以a·b=.
(3)a在b上的投影与向量b的方向相同或相反.
(4)a·b=|a|·|b|cos=-12,所以向量a在向量b上的投影的数量为|a|·cos==-;向量b在向量a上的投影的数量为|b|·cos===-4.
【课中探究】
探究点一
探索 解:要求a·b,需要知道|a|,|b|及a,b的夹角.
例1 (1)⑤ [解析] ①0·0=0,故①错误;②0·a=0,故②错误;③|a·b|=|a||b||cos|,故③错误;④若a·b=0,则a⊥b,故④错误;⑤若a⊥b,则a·b=0,所以(a·b)·c=0·c=0,故⑤正确.故正确结论的序号是⑤.
(2)解:①因为∥,且与的方向相同,所以与的夹角是0°,所以·=||||·cos 0°=3×3×1=9.
②因为与的夹角为60°,所以与的夹角为120°,所以·=||||·cos 120°=4×3×=-6.
变式 (1)B (2)1 1 [解析] (1)如图,取线段AB的中点D,连接OD,则OD⊥AB,所以||cos∠OAB=||=||,所以·=||·||cos∠OAB==.故选B.
(2)如图所示,设与的夹角为θ,与的夹角为α,根据向量的数量积的定义可得·=·=||||cos θ.由图可知,||cos θ=||,因此·=||2=1.·=||||cos α=||cos α,而||cos α就是向量在上的投影的数量,当在上的投影的数量最大,即投影的数量为||时,·取得最大值,所以·的最大值为1.
探究点二
探索 解:利用cos=求出cos的值,然后借助∈[0,π]求.
例2 (1) (2) [解析] (1)由已知得cos===-, 因为∈[0,π],所以=.
(2)由题得cos===.
探究点三
例3 (1)B (2)B [解析] (1)因为向量a与b的夹角为120°,且|a|=2,|b|=4,所以a·b=|a|·|b|cos 120°=2×4×=-4,所以向量a在向量b上的投影的数量为=-1.故选B.
(2)如图,由2=+可得O为BC的中点,又因为O为△ABC的外接圆圆心,所以OA=OB=OC,又因为||=||,所以AC=OA=OB=OC,所以△ACO为等边三角形,即∠ACO=60°,△AOB为等腰三角形,且∠OAB=∠OBA=30°,所以向量在向量上的投影为=.故选B.
变式 (1)b (2) [解析] (1)因为向量|a|=3,|b|=4,a与b的夹角为60°,所以a·b=3×4cos 60°=6,所以a在b上的投影是b=b=b.
(2)设a与b的夹角为θ,因为a在b上的投影的数量与b在a上的投影的数量相等,所以|a|cos θ=|b|cos θ,即4cos θ=2cos θ,又θ∈[0,π],所以θ=.
【课堂评价】
A [解析] 当A,B,C可以构成一个角A为钝角的钝角三角形时,·<0,则“A,B,C可以构成一个角A为钝角的钝角三角形”是“·<0”的充分条件;当A,B,C三点共线且∠BAC=180°时,满足·<0,但是A,B,C不能构成三角形,则“A,B,C可以构成一个角A为钝角的钝角三角形”不是“·<0”的必要条件.故“A,B,C可以构成一个角A为钝角的钝角三角形”是“·<0”的充分不必要条件.故选A.
2.D [解析] ∵=(+),∴O为BC边的中点,如图所示,∵∠BAC=90°,||=||,BC=2,∴AC=AO=1,AB=,∴在上的投影的数量为||cos∠ABC=||·=×=.故选D.
3.B [解析] 设向量a与向量b的夹角为θ,则a在b上的投影的数量为|a|cos θ=2cos θ=,∴cos θ=,又θ∈[0,π],∴θ=.故选B.
4.B [解析] a在b上的投影为|a|cos 120°·=1×b=-b.故选B.
5.[1,3] [解析] 如图,过点A作BC的垂线交BC于点M,过点D作BC的垂线交BC于点N,则BM=CN=MN=,因为点E在BC上的射影在线段MN(包括端点)上,所以·≥||||=1,·≤||||=3,故·的取值范围为[1,3].8.1 向量的数量积
8.1.1 向量数量积的概念
【学习目标】
1.理解平面向量数量积的概念及其几何意义;
2.理解向量投影的数量的含义并会应用;
3.掌握数量积的定义公式,并会利用其解决有关长度、夹角、垂直等问题.
◆ 知识点一 两个向量的夹角
1.定义:给定两个 向量a,b(如图所示),在平面内任选一点O,作=a,=b,则称[0,π]内的∠AOB为向量a与向量b的 ,记作.
2.向量的夹角的取值范围是 .当a与b同向时,夹角为 ;当a与b反向时,夹角为 .且=.
3.当= 时,称向量a与向量b垂直,记作 .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当两个非零向量共线时,两个向量的夹角为0. ( )
(2)零向量与任意向量垂直. ( )
(3)在正三角形ABC中,<,>=. ( )
(4)a⊥b =. ( )
◆ 知识点二 向量的数量积的定义
1.定义:一般地,当a与b都是非零向量时,称 为向量a与b的数量积(也称为内积),记作 ,即 = .特别地,零向量与任一向量的数量积为 .
(1)当∈时,a·b 0;
(2)当=时,a·b 0;
(3)当∈时,a·b 0.
2.两个向量的夹角公式:求两个向量的夹角时可以利用数量积的变形公式cos= .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)向量a,b的数量积能表示为a·b和ab,不能表示为a×b. ( )
(2)两个向量的数量积不同于两个向量的线性运算,结果是一个实数而不是向量. ( )
(3)a·0=0. ( )
(4)若a·b<0,则向量a,b的夹角为钝角;若a·b>0,则向量a,b的夹角为锐角. ( )
◆ 知识点三 数量积的性质
不等式 |a·b| |a||b|
恒等式 a·a=a2= , 即|a|= =
向量垂直的充要条件 a⊥b =0
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当a∥b时,|a·b|=|a|·|b|. ( )
(2)在△ABC中,如果·=0,那么△ABC为直角三角形. ( )
(3)无论向量a与b是否为零向量,若a·b=0,则一定有a⊥b . ( )
(4)如果向量a与b是两个单位向量,那么a2=b2.( )
(5)若|a|=2,|b|=3,则|a·b|≤6. ( )
◆ 知识点四 向量的投影与向量数量积的几何意义
1.投影定义:如图所示,设非零向量=a,过A, B分别作直线l的垂线,垂足分别为A',B',则称向量 为向量a在直线l上的 或 .
2.投影的数量定义:一般地,如果a,b都是非零向量,则称 为向量a在向量b上的投影的数量.投影的数量与投影的长度有关,但是投影的数量既可能是非负数,也可能是负数.
特别地,当e为单位向量时,因为|e|=1,所以 ,即任意向量与单位向量的数量积,等于这个向量在单位向量e上的投影的数量.
3.数量积的几何意义:两个非零向量a,b的数量积a·b,等于a在 与 的乘积.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若|a|=4,|e|=1,a与e的夹角为30°,则向量a在向量e上的投影为2. ( )
(2)已知|b|=3,|a|=9,a在向量b上的投影的数量是,则a·b=. ( )
(3)已知a,b为两个非零向量,则a在b上的投影一定与向量b同向. ( )
(4)已知|a|=3,|b|=5,且a·b=-12,则a在b上的投影的数量为-,b在a上的投影的数量为-4. ( )
(5)若a,b都是非零向量,则向量a在b上的投影的数量为. ( )
(6)若a,b都是非零向量,则向量a在b上的投影向量为·. ( )
(7)若a是非零向量,则与a同向的单位向量为. ( )
◆ 探究点一 向量数量积定义及其应用
[探索] 要求a·b,需要知道哪些量
例1 (1)[2023·辽宁盘锦辽东湾高一期末] 给出以下结论:
①0·0=0;②0·a=0;③|a·b|=|a||b|;④若a·b=0,则a=0或b=0;
⑤若a⊥b,则(a·b)·c=0.
其中正确结论的序号是 .
(2)如图,在 ABCD中,||=4,||=3,∠DAB=60°,求:
①·;②·.
变式 (1)[2024·四川绵阳高一期末] 在半径为r的圆O中,弦AB的长度为a(a<2r),则·的值为 ( )
A. B.
C.ar D.与∠OAB有关
(2)已知正方形ABCD的边长为1,E是边AB上的动点(包括端点),则·的值为 ,·的最大值为 .
[素养小结]
求向量数量积的步骤
(1)求a与b的夹角,∈[0,π];
(2)求|a|和|b|;
(3)代入公式求a·b的值.
◆ 探究点二 向量的夹角
[探索] 如何求a与b的夹角
例2 (1)已知向量a,b满足|a|=4,|b|=3,a·b=-6,则a与b的夹角为 .
(2)若非零向量a,b满足|b|=2|a|,a·b=b2,则a与b夹角的余弦值为 .
[素养小结]
(1)求向量的夹角应用数量积的变形公式cos =,一般要求两个整体a·b,|a||b|,不方便求出时,可寻求两者之间的关系,转化条件解方程组,利用向量的几何意义简捷直观地得出.
(2)要注意向量夹角θ的范围为[0,π],当cos θ>0时,θ∈;当cos θ<0时,θ∈;当cos θ=0时,θ=.
◆ 探究点三 向量的投影与向量数量积的几何意义
例3 (1)[2024·江西宜春中学高一月考] 已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=2,|b|=4,则向量a在向量b上的投影的数量为 ( )
A.1 B.-1
C.2 D.-2
(2)[2024·安徽淮南二中高一期中] 已知△ABC的外接圆圆心为O,且2=+,||=||,则向量在向量上的投影为 ( )
A. B.
C.- D.-
变式 (1)[2024·上海嘉定一中高一期中] 已知向量|a|=3,|b|=4,a与b的夹角为60°,则a在b上的投影是 .
(2)已知非零向量a,b满足|a|=4,|b|=2,且a在b上的投影的数量与b在a上的投影的数量相等,则= .
[素养小结]
求投影的数量的两种方法
(1)向量b在a上的投影的数量为|b|cos,向量a在b上的投影的数量为|a|cos;
(2)向量b在a上的投影的数量为,向量a在b上的投影的数量为.
1.已知平面上有三个点A,B,C,则“A,B,C可以构成一个角A为钝角的钝角三角形”是“·<0”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,BC=2,设点O满足=(+),且||=||,则向量在上的投影的数量为 ( )
A.- B.
C.- D.
3.[2023·江西宜春高一期末] 已知向量a在向量b上的投影的数量为,|a|=2,则a与b的夹角为 ( )
A. B.
C. D.
4.已知a,b为单位向量且a与b的夹角为120°,则a在b上的投影为 ( )
A.b B.-b
C.a D.-a
5.在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=1,BC=2,点E在边AD(包括端点)上运动,则·的取值范围为 . 8.1 向量的数量积
8.1.1 向量数量积的概念
1.B [解析] 由m·n<0,可得m,n的夹角为钝角或180°,不能推出m=λn(λ<0).由存在负数λ,使得m=λn,可得m,n反向共线,它们的夹角为180°,则m·n=-|m||n|<0.所以“m·n<0”是“存在负数λ,使得m=λn”的必要不充分条件,故选B.
2.A [解析] 由a·b=|a|·|b|,可得=0,此时a与b共线;由a与b共线,可得=0或=π,此时有a·b=|a|·|b|或a·b=-|a|·|b|.故“a·b=|a|·|b|”是“a与b共线”的充分不必要条件.故选A.
3.B [解析] 由题意可得与的夹角为180°-∠ABC=180°-60°=120°,故A错误;如图,作DE∥CB,交AB于点E,则∠ADE=60°,故<,>=∠ADE=60°,故B正确;由于∥,因此与的夹角等于与的夹角,即为180°-∠ABC=180°-60°=120°,故C错误;与的夹角为∠ADC=180°-60°=120°,故D错误.故选B.
4.A [解析] 由题意知,向量a在b上的投影为·=×=b.故选A.
[易错点] 解此类题需注意:一是向量的投影与向量的投影的数量不要混淆,向量a在b上的投影是一个向量,向量a在b上的投影的数量是一个实数;二是a在b上的投影与b在a上的投影不一样,审题时要看清楚.
5.D [解析] 因为|a|=5,且a,b的夹角θ满足cos θ=-,所以向量a在向量b上的投影的数量为|a|cos=|a|·cos θ=5×=-4,故选D.
6.A [解析] 依题意过点D作DE⊥AB交BA的延长线于点E,则AE=ADcos 60°=.设与的夹角为θ,因为点P为直角梯形ABCD内一点(不包含边界),所以在方向上的投影的数量为||cos θ,又-<||cos θ<1,所以·=||·||cos θ=1×||cos θ∈.故选A.
7.C [解析] 由题意易知△ADE∽△CBE,则=,=.如图,过E作EF⊥AD于F,则·=3·=27,∴·=9=||·||.·=2·3=24,∴·=4=||·||,则=.不妨设||=4x,则||=9x,||=13x,则9x·13x=9,即x2=,∴||==3,故||=9.故选C.
8.ACD [解析] 因为向量a,b满足|a|=4,|b|=2,a·b≥3,所以|b|cos=≥,且|b|cos≤|b|=2,所以向量b在向量a上的投影的数量的取值范围为.故选ACD.
9.ABD [解析] 对于A,根据投影的定义可知,向量a在向量b上的投影为·,故A正确;对于B,由a·b=|a||b|cos θ<0,可知cos θ<0,所以a与b的夹角θ的取值范围是,故B正确;对于C,由向量夹角的定义可知,,的夹角为135°,故C错误;对于D,若非零向量a,b满足a·b=0,则cos=0,即a⊥b,故D正确.故选ABD.
10.-5 [解析] 由已知得向量a在向量b上的投影的数量是==-5.
11.-b [解析] 设a,b的夹角为θ,则a·b=|a||b|cos θ=-,又|b|=2,∴|a|cos θ=-,又=,所以向量a在向量b上的投影为|a|cos θ·=-b.
12.32 [解析] 由已知得BC2+CA2=AB2,所以∠C=90°,则点O为AB的中点,所以·=·==32.
13.解:连接AD,因为AB=AC=4,∠BAC=90°,所以△ABC是等腰直角三角形.
又因为D是BC边的中点,所以AD⊥BC,∠ABD=45°,所以BD=2.
延长AB至E(如图所示),则与的夹角为∠DBE=180°-45°=135°.
(1)在上的投影的数量是||cos 135°=4×=-2.
(2)在上的投影的数量是||cos 135°=2×=-2.
14.解:(1)a·b=|a|·|b|cos=5×4×=-10.
(2)a·b=|a|·|b|cos=0.
(3)a·b=|a|·|b|cos=5×4×=10.
(4)当a,b同向共线时,a·b=|a|·|b|cos=5×4×1=20;当a,b反向共线时,a·b=|a|·|b|cos=5×4×(-1)=-20.
15.D [解析] 如图,在正八边形ABCDEFGH中,连接HC,则HC∥AB.又∠ABC=135°,所以∠BCH=45°,则∠HCD=90°.在等腰梯形ABCH中,CH=1+2×1×cos 45°=1+,所以·=||×||cos∠CHD=||=1+.故选D.
16.解:∵·=||||cos θ=6>0,∴cos θ>0,∴θ为锐角.如图,延长AB,过C作CD⊥AB,垂足为D,则CD=BCsin θ.·=||||cos θ=6①,
S=AB×CD=||||sin θ②,
由②÷①得=tan θ,即3tan θ=S.
∵≤S≤3,∴≤3tan θ≤3,即≤tan θ≤1,
又θ为锐角,∴θ∈.8.1 向量的数量积
8.1.1 向量数量积的概念
一、选择题
1.[2024·江苏张家港高一期末] 设m,n为非零向量,则“m·n<0”是“存在负数λ,使得m=λn”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.若a,b均为非零向量,则“a·b=|a|·|b|”是“a与b共线”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.[2023·江西上饶高一期末] 在等腰梯形ABCD 中,AB∥CD,∠DAB=∠ABC=60°,则下列各组向量夹角为60°的是 ( )
A.与 B.与
C.与 D.与
★4.[2024·云南师大附中高一月考] 已知向量a与b的夹角为,|a|=2,|b|=1,则向量a在b上的投影为 ( )
A.b B.b
C.a D.a
5.已知|a|=5,|b|=3,且a,b的夹角θ满足cos θ=-,则向量a在向量b上的投影的数量等于 ( )
A. B.4
C.- D.-4
6.如图,已知四边形ABCD为直角梯形,AB⊥BC,AB∥DC,AB=1,AD=3,∠BAD=,设点P为直角梯形ABCD内一点(不包含边界),则·的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
第6题图 第7题图
7.[2024·江苏泰州高一期中] 如图,在平面图形ABCD中,=2,||=6.若·=27,·=24,则||= ( )
A. B.3
C.9 D.13
8.(多选题)[2023·长沙高一期中] 已知向量a,b满足|a|=4,|b|=2,a·b≥3,则向量b在向量a上的投影的数量可能是 ( )
A.1 B. C. D.2
9.(多选题)[2024·山东泰安高一期末] 下列说法正确的是 ( )
A.向量a在向量b上的投影为·
B.若a·b<0,则a与b的夹角θ的取值范围是
C.若△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形,则,的夹角为45°
D.若非零向量a,b满足a·b=0,则a⊥b
二、填空题
10.设向量a,b满足|a|=6,|b|=4,且a·b=-20,则向量a在向量b上的投影的数量是 .
11.已知|a|=1,|b|=2,a·b=-,则向量a在向量b上的投影为 .
12.在△ABC中,AB=10,BC=6,CA=8,且O是△ABC的外心,则·= .
三、解答题
13.如图,在△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=90°,D是BC边的中点,求:
(1)在上的投影的数量;
(2)在上的投影的数量.
14.已知|a|=5,|b|=4,当a与b满足下列条件时,分别求a·b.
(1)a与b的夹角为π;
(2)a⊥b;
(3)a与b的夹角为;
(4)a∥b.
15.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形ABCDEFGH,其中AB=1,O为正八边形的中心,则·= ( )
A.-1 B.1
C. D.1+
16.已知△ABC的面积S满足≤S≤3,且·=6,设与的夹角为θ,求θ的取值范围.