(共37张PPT)
8.1 向量的数量积
8.1.2 向量数量积的运算律
探究点一 向量数量积运算律的理解
探究点二 利用向量数量积运算律求夹角、模
探究点三 利用向量数量积运算律解决几何问题
【学习目标】
掌握向量数量积的运算律,并会利用其解决有关长度、夹角、垂
直等问题.
知识点 两个向量数量积的运算律
（1）交换律： _____.
（2）________ ．
（3）分配律： ___________.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1） .( )
×
（2） .( )
×
（3） .( )
√
（4）若，则 .( )
×
探究点一 向量数量积运算律的理解
例1 下列各式中正确的个数是( )
① ；
② ；
③若，则 ；
④若，则或 ．
A.1 B.2 C.3 D.4
√
[解析] 对于①，由向量数量积的运算律知①正确；
对于②，由向量数量积的运算律可得②正确；
对于③，若 ，则，
所以，无法说明 ，故③错误；
对于④，若，则 ，无法说明一定满足或 ，
故④错误.
综上，正确的为①②，故选B.
变式 设，， 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列
结论：
① ；
②不与 垂直；
③ ；
④ .
其中正确结论的序号是________．
①③④
[解析] 根据向量数量积的分配律知①正确；
因为 ，
所以与垂直，②错误；
因为， 不共线，所以，，构成三角形的三条边，
所以 成立，③正确；④显然正确．
［素养小结］
向量的数量积与实数，的乘积 有联系，同时也有许多不同
之处.例如，由不能得出或 0.特别是向量的数量积
不满足结合律，即一般情况下 .
探究点二 利用向量数量积运算律求夹角、模
例2（1） [2024·福建厦门外国语学校高一月考]已知
，则与 的夹角的余弦值为( )
A. B. C.0 D.1
[解析] 因为，所以 ，
即，则，
故 , .故选A.
√
（2）[2024·贵州仁怀四中高一月考] 如图，已知向量
,满足,,与的夹角为 ，则
____.
[解析] 因为,,, ，
, ，
则 .
变式（1） [2024·安徽合肥中科大附中高一月考] 已知向量, 满足
,,，则向量与 的夹角的余弦值
为_ ___.
[解析] 由,可得,则 ，
所以 ，
，
所以, .
（2）已知，,，,，且， ，
，则 ____________.
[解析] 因为，所以 ，
所以，
故 ．
［素养小结］
利用向量数量积的运算律解决有关夹角和模的问题的关键是将已知
条件转化为关于和 的值.
探究点三 利用向量数量积运算律解决几何问题
［探索］ 设平面上有四个互异的点,,, ,已知
,则 是______三角形
（填“等腰”或“等边”或“直角”）.
等腰
[解析] 因为 ，
所以，所以 是等腰三角形.
例3（1） 已知满足 ，则
是( )
A.等边三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形
[解析] 由题意得，故 ，
则，所以 是直角三角形.故选C.
√
（2）[2024·辽宁沈阳同泽中学高一月考] 已知点为外接圆
上的任意一点， ，，，则 ___，
的最大值为__.
1
[解析] 因为,
所以
,
显然是向量在向量 上的投影的数
量，则当为锐角时，取得最大值.
如图，当过 延长线上一点，且垂直的直线与圆
相切时，设切点为，连接， ，此时在向
量上的投影的数量最大，等于线段的长度.
由 与圆相切，且得,又 ,
所以四边形是菱形.
又 ，所以菱形 中， ,则，所以直角三角形 中，，故的最大值为 .
变式（1） [2023·海口高一期末]已知在中，向量， ，
满足且，则 为( )
A.等腰直角三角形 B.非等腰的直角三角形
C.等腰非等边三角形 D.等边三角形
√
[解析] 由得，即 ，
则.由得，
而, 分别为与,方向相同的单位向量，则的角平分线
与 垂直，可得，则 为等腰直角三角形.故选A．
（2）（多选题）[2023·苏州高一期中] 点在 所在的平面内，
则以下说法正确的有( )
A.若，则点为 的重心
B.若，则点为 的垂心
C.若 ，则点
为 的外心
D.若，则点为 的内心
√
√
[解析] 对于A，设边，，的中点分别为D，， ，则
,即，所以，所以A， ，
D三点共线，即点在中线上，
同理点在中线,上，则 是的重心，故A正确;
对于B，若 ，则，
所以，所以为 的外心，故B错误;
对于C，因为 ,所以为线段的中垂线，
同理可得，，分别为线段， 的中垂线，所以是 的
外心，故C正确;
对于D，，即
垂直于，则点在边的高上，
同理可得，点也在边， 的高上，所以是的垂心，故D错误.
故选 .
［素养小结］
利用向量法解决几何问题的方法技巧
（1）利用向量表示几何关系，如位置关系、长度关系、角度关系.
（2）进行向量计算，如向量的线性运算、数量积运算.
（3）将向量问题还原成几何问题，如向量共线与三点共线或者直线
平行、向量的夹角与直线的夹角等.
1.[2024·宁夏银川唐徕中学高一月考]若向量,,中， 是一个单位向
量，，与的夹角为，，则 ( )
A.2 B.1 C.0 D.
[解析] 因为是一个单位向量，，与的夹角为 ，
所以 ，
所以 .故选D.
√
2.已知向量,满足，，，则在 上
的投影的数量为( )
A.5 B. C.10 D.
[解析] 因为 ，所以
，所以 ，所以，
则在 上的投影的数量为 .故选A.
√
3.给出下列三个说法：
①若，且，则 ；
②若非零向量，满足，则与的夹角为 ;
③在中，若，则 是锐角三角形.
其中说法正确的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
√
[解析] 对于①，若，则, ,
，因为，即，所以,, ，故①错误；
对于②，由非零向量，满足 ，得
，
所以,，又因为,，所以 , ，
即以与为邻边的平行四边形为菱形，且, ，
所以与的夹角为 ,故②正确；
对于③，，
所以 ，则，即为钝角，
所以 是钝角三角形，故③错误.故选B.
4.[2023·安徽六安一中高一月考]已知向量，满足 ，
，，则与 的夹角为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以 ，
又，，所以，所以, ，
又,，所以, ．故选C.
√
5.已知向量满足，向量与的夹角为，且 ，
则 ____.
[解析] ，与的夹角为，
，解得 ，
.
1.平面向量数量积的运算不满足结合律,即对于向量,, ,
一般不成立,这是因为表示一个与 共
线的向量,而表示一个与共线的向量,而与 不一定共线,所
以 一般不成立.
2.向量数量积运算的常用公式
（1） ;
（2） ;
（3） ;
（4） .
1.向量的数量积与实数乘积的运算性质的比较
满足乘法结合律 不满足乘法结合律
例1 已知向量与的夹角为 ，且 ，那么
的值为____.
[解析] .
2.已知非零向量,,若,则 ,反之也成立.根据这一结论我
们可以解决两类问题:①由垂直条件求参数的值;②利用题设条件证明
向量垂直或直线垂直.
例2 已知，，且与的夹角为 .若
，求实数 的值.
解：因为 ，
所以 ，
即 ，
即，解得 .8.1.2 向量数量积的运算律
【课前预习】
知识点
(1)b·a (2)λ(a·b) (3)a·c+b·c
诊断分析
(1)× (2)× (3)√ (4)×
【课中探究】
探究点一
例1 B [解析] 对于①,由向量数量积的运算律知①正确;对于②,由向量数量积的运算律可得②正确;对于③,若a·b=a·c,则a·b-a·c=a·(b-c)=0,所以a⊥(b-c),无法说明b=c,故③错误;对于④,若a·b=0,则a⊥b,无法说明一定满足a=0或b=0,故④错误.综上,正确的为①②,故选B.
变式 ①③④ [解析] 根据向量数量积的分配律知①正确;因为[(b·c)·a-(c·a)·b]·c=(b·c)·(a·c)-(c·a)·(b·c)=0,所以(b·c)·a-(c·a)·b与c垂直,②错误;因为a,b不共线,所以|a|,|b|,|a-b|构成三角形的三条边,所以|a|-|b|<|a-b|成立,③正确;④显然正确.
探究点二
例2 (1)A (2) [解析] (1)因为|2a-b|=2|b|=4|a|=4,所以|2a-b|2=16,即4a2-4a·b+b2=4-4a·b+4=16,则a·b=-2,故cos
===-1.故选A.
(2)因为|a|=2,|b|=1,=120°,所以a·b=|a||b|cos=2×1×=-1,则|a+b|===.
变式 (1) (2) [解析] (1)由|2a-b|=2,可得4a2-4a·b+b2=12,则a·b=-1,所以(3a+b)·a=3a2+a·b=3-1=2,|3a+b|====,所以cos<3a+b,a>===.
(2)因为a⊥b,所以a·b=0,所以|a+b+c|2=(a+b+c)2=|a|2+|b|2+|c|2+2(a·b+a·c+b·c)=1+4+9+2×=14+2×=17+6,故|a+b+c|=.
探究点三
探索 等腰 [解析] 因为(+-2)·(-)=(-+-)·(-)=(+)·(-)=||2-||2=0,所以||=||,所以△ABC是等腰三角形.
例3 (1)C (2)1 [解析] (1)由题意得=·(+)+·,故·=0,则⊥,所以△ABC是直角三角形.故选C.
(2)因为=-,所以||===
=
=1.(-)·=·=||·||cos∠ABM=||cos∠ABM,显然||cos∠ABM是向量在向量上的投影的数量,则当∠ABM为锐角时,||cos∠ABM取得最大值.如图,当过BA延长线上一点D,且垂直BA的直线与圆O相切时,设切点为M,连接OM,AB,此时在向量上的投影的数量最大,等于线段BD的长度.由MD与圆O相切,且MD⊥AB得OM∥AB,又||=||=||=1,所以四边形OMAB是菱形.又∠AMB=∠ACB=30°,所以菱形OMAB中,∠ABM=30°,则||=2||cos 30°=,所以直角三角形BDM中,BD=BM·cos 30°=,故(-)·的最大值为.
变式 (1)A (2)AC [解析] (1)由·=-得·(+)=0,即·=0,则AB⊥AC.由+=0得·=0,而,分别为与,方向相同的单位向量,则∠BAC的角平分线与BC垂直,可得AB=AC,则△ABC为等腰直角三角形.故选A.
(2)对于A,设边BC,AC,AB的中点分别为D,E,F,则+=2,即+2=0,所以=-2,所以A,O,D三点共线,即点O在中线AD上,同理点O在中线BE,CF上,则O是△ABC的重心,故A正确;对于B,若==,则==,所以||=||=||,所以O为△ABC的外心,故B错误;对于C,因为(+)·=2·=0,所以OF为线段AB的中垂线,同理可得,OD,OE分别为线段BC,AC的中垂线,所以O是△ABC的外心,故C正确;对于D,·-·=·(-)=·=0,即OB垂直于CA,则点O在边AC的高上,同理可得,点O也在边AB,BC的高上,所以O是△ABC的垂心,故D错误.故选AC.
【课堂评价】
1.D [解析] 因为a是一个单位向量,|b|=,a与b的夹角为,所以a·b=1××cos=1,所以c·a=(b-2a)·a=b·a-2a2=1-2=-1.故选D.
2.A [解析] 因为|a+b|=3,所以|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=1+4+|b|2=9,所以|b|2=4,所以|b|=2,则a+2b在b上的投影的数量为===5.故选A.
3.B [解析] 对于①,若a·b=a·c,则|a|·|b|cos=|a|·|c|cos,因为a≠0,即|a|≠0,所以|b|cos=|c|cos,故①错误;对于②,由非零向量a,b满足|a|=|b|=|a+b|,得|a+b|===|a|,所以cos=-,又因为∈[0,π],所以=,即以a与b为邻边的平行四边形为菱形,且=,所以a与a+b的夹角为,故②正确;对于③,·=||·||cos(π-∠ABC)>0,所以cos(π-∠ABC)>0,则cos∠ABC<0,即∠ABC为钝角,所以△ABC是钝角三角形,故③错误.故选B.
4.C [解析] 因为|a+b|=,所以a2+2a·b+b2=14,又|b|=,a·b=2,所以|a|=2,所以cos==,又∈[0,π],所以=.故选C.
5. [解析] ∵|a|=,a与b的夹角为,∴a·b=|a|·|b|cos=-1,解得|b|=1,∴|a-b|====.8.1.2 向量数量积的运算律
【学习目标】
掌握向量数量积的运算律,并会利用其解决有关长度、夹角、垂直等问题.
◆ 知识点 两个向量数量积的运算律
(1)交换律:a·b= .
(2)(λa)·b= (λ∈R).
(3)分配律:(a+b)·c= .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1) (a·b)·c=a·(b·c). ( )
(2)(a·b)2=a2·b2. ( )
(3)(a+b)·(a-b)=a2-b2. ( )
(4)若a·b=a·c,则b=c. ( )
◆ 探究点一 向量数量积运算律的理解
例1 下列各式中正确的个数是 ( )
①(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb);
②(a+b)·c=a·c+b·c;
③若a·b=a·c,则b=c;
④若a·b=0,则a=0或b=0.
A.1 B.2
C.3 D.4
变式 设a,b,c是任意的非零向量,且它们相互不共线,给出下列结论:
①a·c-b·c=(a-b)·c;
②(b·c)·a-(c·a)·b不与c垂直;
③|a|-|b|<|a-b|;
④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.
其中正确结论的序号是 .
[素养小结]
向量的数量积a·b与实数a,b的乘积ab有联系,同时也有许多不同之处.例如,由a·b=0不能得出a=0或b=0.特别是向量的数量积不满足结合律,即一般情况下(a·b)·c≠a·(b·c).
◆ 探究点二 利用向量数量积运算律求夹角、模
例2 (1)[2024·福建厦门外国语学校高一月考] 已知|2a-b|=2|b|=4|a|=4,则a与b的夹角的余弦值为 ( )
A.-1 B.-
C.0 D.1
(2)[2024·贵州仁怀四中高一月考] 如图,已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为120°,则|a+b|= .
变式 (1)[2024·安徽合肥中科大附中高一月考] 已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,|2a-b|=2,则向量3a+b与a的夹角的余弦值为 .
(2)已知a⊥b,=,=,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则|a+b+c|= .
[素养小结]
利用向量数量积的运算律解决有关夹角和模的问题的关键是将已知条件转化为关于a·b和|a||b|的值.
◆ 探究点三 利用向量数量积运算律解决几何问题
[探索] 设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(+-2)·(-)=0,则△ABC是 三角形(填“等腰”或“等边”或“直角”).
例3 (1)已知△ABC满足=·+·+·,则△ABC是 ( )
A.等边三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.钝角三角形
(2)[2024·辽宁沈阳同泽中学高一月考] 已知点M为△ABC外接圆O上的任意一点,∠ACB=30°,AC=2,BC=,则||= ,(-)·的最大值为 .
变式 (1)[2023·海口高一期末] 已知在△ABC中,向量,,满足·=-且+=0,则△ABC为 ( )
A.等腰直角三角形
B.非等腰的直角三角形
C.等腰非等边三角形
D.等边三角形
(2)(多选题)[2023·苏州高一期中] 点O在△ABC所在的平面内,则以下说法正确的有( )
A.若++=0,则点O为△ABC的重心
B.若==,则点O为△ABC的垂心
C.若(+)·=(+)·=(+)·=0,则点O为△ABC的外心
D.若·=·=·,则点O为△ABC的内心
[素养小结]
利用向量法解决几何问题的方法技巧
(1)利用向量表示几何关系,如位置关系、长度关系、角度关系.
(2)进行向量计算,如向量的线性运算、数量积运算.
(3)将向量问题还原成几何问题,如向量共线与三点共线或者直线平行、向量的夹角与直线的夹角等.
1.[2024·宁夏银川唐徕中学高一月考] 若向量a,b,c中,a是一个单位向量,|b|=,a与b的夹角为,c=b-2a,则c·a= ( )
A.2 B.1 C.0 D.-1
2.已知向量a,b满足|a|=1,a·b=2,|a+b|=3,则a+2b在b上的投影的数量为 ( )
A.5 B. C.10 D.
3.给出下列三个说法:
①若a·b=a·c,且a≠0,则b=c;
②若非零向量a,b满足|a|=|b|=|a+b|,则a与a+b的夹角为;
③在△ABC中,若·>0,则△ABC是锐角三角形.
其中说法正确的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
4.[2023·安徽六安一中高一月考] 已知向量a,b满足|b|=,a·b=2,|a+b|=,则a与b的夹角为 ( )
A. B. C. D.
5.已知向量a满足|a|=,向量a与b的夹角为,且a·b=-1,则|a-b|= . 8.1.2 向量数量积的运算律
1.A [解析] 由题意可得向量a在向量b上的投影的数量为|a|cos=,又|b|=1,所以a·b=|a||b|cos=,所以|a-2b|===,故选A.
2.D [解析] 由·=·=·,得(-)·=0,即·=0,所以AC⊥PB,同理可得AB⊥PC,所以点P为△ABC的垂心.故选D.
3.B [解析] 设=λ,则=-=λ-,+=-2,所以·(+)=(λ-)·(-2)=λ-(2λ+1)·+2.因为AB=2,BC=2,∠B=30°,所以·=2×2×=6,所以·(+)=12λ-6(2λ+1)+8=2.故选B.
4.D [解析] 由|a-b|=2可得(a-b)2=a2+b2-2a·b=8,即4+1-2a·b=8,所以a·b=-,故a在b上的投影为·=-b.故选D.
5.B [解析] 由题得e1·e2=2×1×cos 60°=1,由题意知(2te1+7e2)·(e1+te2)<0,即2t2+15t+7<0,解得-76.A [解析] (+)·- =(+-)· =(++)· =2· =0,∴BA⊥AC,∴△ABC一定是直角三角形,故选A.
7.C [解析] 作出示意图,如图所示.因为=,所以=.因为点N为AB的中点,所以=,则=-=-,+=-+-=-2=-2,所以·(+)=·=-·+2=-||·||cos+2=×82-×8×4×+2×42=24.故选C.
8.ACD [解析] 对于A,由已知得|a|===
==,故A正确;对于B,a·b=(e1+2e2)·(e1-e2)=|e1|2-2|e2|2+|e1|·|e2|cos=1-2+1×=-,故B错误;对于C,|b|=====,则cos===-,又∈[0,π],所以=,故C正确;对于D,e1在e2上的投影为·=|e1|cos·=-e2,故D正确.故选ACD.
9.BCD [解析] 连接AB,OM.·=(+)·(+)=||2+·+·+
·=||2+·(+)-1=||2-1.当点M位于正六边形各边的中点时,MO有最小值,此时||2-1=2;当点M位于正六边形的顶点时,MO有最大值2,此时||2-1=3,故2≤·≤3.故选BCD.
10. [解析] 因为向量|a|=2,|b|=,a与b的夹角为,所以|2a+b|2=(2a+b)2=4a2+4a·b+b2=4×22+4×2××cos+()2=31,所以|2a+b|=.
11.1 [解析] 因为|a|=4,|b|=6且a与c的夹角是,b与c的夹角是,所以a·c=|a|·|c|·cos=4×|c|×=-2|c|,b·c=|b|·|c|·cos=6×|c|×=3|c|,所以a+b在c上的投影的数量为====1.
12.120° [解析] 由题知e1·e2=|e1|·|e2|cos 60°=,所以a·b=(2e1+e2)·(-3e1+2e2)=-6+e1·e2+2=-6++2=-,|a|===
=,|b|==
==,所以cos==-,又0°≤≤180°,所以=120°.
13.解:(1)因为(a+b)2=a2+b2+2a·b=16+4+2×4×2×=12,所以|a+b|=2.
(2)(a+2b)·(a+b)=a2+3a·b+2b2=16+3×4×2×+2×4=12.
(3)a·(a+b)=a2+a·b=16+4×2×=12,所以cos θ===,所以θ=.
14.解:(1)因为△ABC为等边三角形,且AD∥BC,所以∠DAB=120°.
又AD=2AB,所以AD=2BC,因为E是边CD的中点,所以=(++)=+.
又=-,所以·=·(-)=--·=×16-×4-×4×2×=11.
(2)因为AB=AC,AB=2,所以AC=2.因为·=,所以·(-)=,所以·-·=.
又·=||||cos∠CAB=4×=,
所以·=+·=,所以||2=|-|2=4+16-2×=,故||=.
15.ABD [解析] 因为b为单位向量,且a+2b和a-2b相互垂直,所以(a+2b)·(a-2b)=a2-4b2=0,可得|a|=2.对于选项A,如图,设=a,=b,=λb,则|a-b|=||,|a-λb|=||,又对任意λ∈R不等式|a-λb|≥|a-b|恒成立,所以(a-b)⊥b,故选项A正确;对于选项B,由(a-b)·b=0,得a·b=b2=1,所以cos==,又∈[0,π],所以=,故选项B正确;因为c=a+b,a·b=1,|a|=2,|b|=1,所以|c|2=a2+b2+a·b=,当u=-时,|c=,即|c|min=,故选项C错误,选项D正确.故选ABD.
16.解:(1)设游船的实际速度为v,则v=v1+v2.由AA'=1 km,6 min=0.1 h,得|v|=10 km/h.
如图所示,作出示意图,由|v1|2=|v|2+|v2|2=102+42=116,得|v1|=2 km/h,则cos θ=-=-,
所以v1的大小为2 km/h,cos θ的值为-.
(2)设游船实际到达北岸点B所用时间为t h,作出示意图,如图所示,
则AB2=|tv|2=t2(v1+v2)2=t2(102+42+2×10×4×cos 60°)=156t2,则AB=2t km.
在Rt△AA'C中,t|v1|cos 30°=1,从而t= h,因此AB=×2= km,
故游船的实际航程为 km.8.1.2 向量数量积的运算律
一、选择题
1.[2024·山东德州高一期末] 已知平面内的向量a在向量b上的投影的数量为,且|a|=|b|=1,则|a-2b|的值为 ( )
A. B.1 C. D.
2.[2024·新疆乌鲁木齐高一期中] 已知点P在△ABC所在平面内,且·=·=·,则点P是△ABC的 ( )
A.重心 B.外心
C.内心 D.垂心
3.[2024·江苏南通高一期中] 已知△ABC中,AB=2,BC=2,∠B=30°,若P为边BC上的动点,则·(+)= ( )
A.1 B.2 C.2 D.4
4.[2024·湖北部分学校高一期中] 已知向量a,b满足|a|=2|b|=2,且|a-b|=2,则a在b上的投影为 ( )
A.-b B.-b
C.-b D.-b
5.设两个向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2的夹角为60°.若2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,则实数t的取值范围是 ( )
A. B.∪
C. D.
6.在△ABC中,(+)·=||2,则△ABC一定是 ( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
7.[2023·山东德州高一期中] 已知平行四边形ABCD中,||=8,||=4,∠A=.若点M满足=,点N为AB的中点,则·(+)= ( )
A.6 B.12
C.24 D.30
8.(多选题)已知e1,e2是夹角为的单位向量,且a=e1+2e2,b=e1-e2,则下列说法正确的是( )
A.|a|=
B.a·b=-
C.a与b的夹角为
D.e1在e2上的投影为-e2
9.(多选题)已知图中正六边形的边长为2,圆O的圆心为正六边形的中心,半径为1.若点M在正六边形的边上运动,动点A,B在圆O上运动且关于圆心O对称,则·的值可以是 ( )
A. B.2 C. D.3
二、填空题
10.[2023·北京一六一中高一期中] 已知向量|a|=2,|b|=,a与b的夹角为,则|2a+b|= .
11.已知向量a,b,c中,|a|=4,|b|=6且a与c的夹角是,b与c的夹角是,则a+b在c上的投影的数量为 .
12.已知e1,e2均为单位向量,且e1与e2的夹角为60°,则a=2e1+e2与b=-3e1+2e2的夹角为 .
三、解答题
13.[2024·黑龙江齐齐哈尔恒昌中学高一月考] 已知向量a,b的夹角为120°,且|a|=4,|b|=2,求:
(1)|a+b|;
(2)(a+2b)·(a+b);
(3)a与a+b的夹角θ.
14.如图,在四边形ABCD中,AD=4,AB=2.
(1)若△ABC为等边三角形,且AD∥BC,E是边CD的中点,求·;
(2)若AC=AB,cos∠CAB=,·=,求||.
15.(多选题)[2024·四川成都高一期中] 已知向量a,b,c满足:b为单位向量,且a+2b和a-2b相互垂直,对任意λ∈R不等式|a-λb|≥|a-b|恒成立.若c=a+b(u∈R),则 ( )
A.(a-b)⊥b
B.=
C.当u=时,|c|最小
D.|c|的最小值为
16.[2024·山东百师联盟高一期末] 一条河南北两岸平行.如图所示,河面宽度d=1 km,一艘游船从南岸码头A点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是v1,水流速度v2的大小为|v2|=4 km/h.设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°),北岸上的点A'在点A的正北方向.
(1)若游船沿AA'到达北岸A'点所需时间为6 min,求v1的大小和cos θ的值;
(2)当θ=60°,|v1|=10 km/h时,游船航行到北岸的实际航程是多少