(共35张PPT)
8.2 三角恒等变换
8.2.1 两角和与差的余弦
探究点一 利用两角和与差的余弦公式化
简与求值
探究点二 给值求值
探究点三 已知三角函数值求角
【学习目标】
灵活掌握两角和与差的余弦公式,并有能力利用公式进行三角函
数式的求值、化简和证明.
知识点 两角差与和的余弦公式
1.两角差的余弦公式:
_____________________.(简记为
2.两角和的余弦公式:
_____________________.(简记为
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）两角和与差的余弦公式中角 ， 是任意的．( )
√
（2）存在角 ， ，使 .( )
√
（3） .( )
√
（4） .( )
√
探究点一 利用两角和与差的余弦公式化简与求值
例1（1） [2024·江苏南京六校联合体高一期中]
( )
A. B. C. D.
[解析] .故选B.
√
（2）[2024·贵阳清华中学、安顺一中等高一期中]已知锐角 的终边
过点，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 根据题意可得, ，则
.故选B.
√
变式 [2024·江苏扬州中学高一期中]已知
，则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以
.故选D.
［素养小结］
两角和与差的余弦公式常见题型及解法
（1）求两特殊角和与差的余弦值，利用两角和与差的余弦公式直接
展开求解．
（2）化简含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，
再利用两角和与差的余弦公式求解．
（3）求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的和
与差，然后利用两角和与差的余弦公式求解．
探究点二 给值求值
［探索］ 常见的配角变换有:___ ________
________,________ _______
___等.
例2（1） 已知,，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为, ，
所以 ，
则 .故选D.
√
（2）[2024·河南郑州高一期末]已知 ,，若 ,
，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由诱导公式得，
因为 , ，,，
所以 , ，
所以 .故选A.
√
变式 （多选题）已知 为第一象限角， 为第三象限角，且
，，则 的值可能为
( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 因为 为第一象限角，所以, ，
所以,，
又因为 ，且，所以是第二象限角，所以 .
因为 为第三象限角，所以, ，所以
,，
又因为 ，所以是第二象限角或第三象限角.
当 是第二象限角时，，此时 ；
当是第三象限角时， ，此时
.故选 .
［素养小结］
应用两角差与和的余弦公式求值的一般思路
（1）把未知角转化为已知角的差或和,用公式直接求值;
（2）在转化过程中,充分利用诱导公式,构造两角差或和的余弦公式
的形式,然后用公式求值;
（3）角的变换是给值求值问题中最重要的一种方法,求三角函数的值
时,往往把待求式中的角用已知的角进行转化.
探究点三 已知三角函数值求角
例3 [2024·江苏海门中学高一月考]已知 ，
，，，则 ( )
A. B. C. D.或
√
[解析] 因为，所以 ，
所以.
因为 ，，所以 ，所以
，
，
又 ，所以 .故选B.
变式 [2024·江西九江高一期末]已知 ,， ，
，则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为， ，
所以解得
所以，
又 , ，所以，所以 .故选A.
［素养小结］
已知三角函数值求角的关键环节有两个：
（1）求出所求角的某种三角函数值；
（2）确定角的范围.
1. 的值为( )
A.3 B. C.1 D.
[解析] .故选D.
√
2.满足 的一组值是( )
A. B. ,
C. , D. ,
[解析] 由 可得 ，
因此 ， .
对于A， ，故A错误；
对于B， ，故B错误；
对于C， ，故C正确；
对于D， ，故D错误.故选C.
√
3. 的值是( )
A. B. C. D.
[解析] .故选B.
√
4.[2024·安徽淮北高二期中]已知 ， 均为锐角，且 ，
，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为 ， 均为锐角，且， ，
所以， ，
所以 .
故选C.
√
5.[2024·陕西铜川高一期末] 已知锐角 , 满足 ，
，则 _ ___.
[解析] , 均为锐角， ，
，
故 .
1.两角和与差的余弦公式的结构特征
即公式的左边是和（差）角的余弦，右边的式子是含有同名三角函
数之积的差（和）式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式．
2.公式的适用条件
公式中的 ， 不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，
如中的“”相当于公式中的“ ”，“ ”相当于公式
中的“ ”.因此对公式的理解要注意结构形式，而不要局限于具体的角．
1.解决“给角求值”“给值求值”问题的注意点
“给角求值”“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具
有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法．
例 已知 ，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 因为 ，
，
所以 ，又，
所以 .故选B.
√
2.解决“给值求角”问题的注意点
“给值求角”的实质是转化为“给值求值”，先求角的某一三角函
数值，再求角的范围，最后确定角．遵照以下原则：
（1）已知正切函数值，选正切函数；
（2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；
（3）若角的范围是 ，选正、余弦函数皆可；若角的范围
是，选余弦函数较好；若角的范围为 ，选正弦函数较好．
3.公式的推导
公式的推导方法有很多，为了开阔视野，除了教材上的推导方
法，这里再给出另一种证明方法，试比较学习.
如图，设角 ， 为锐角，且 .角 的终边
与单位圆的交点为,点在单位圆上， ，
则 .
过点作垂直于轴，垂足为，那么 .
过点作垂直于，垂足为A.过点作垂直于 轴，垂足为 B.
过点作垂直于,垂足为C.则 ， ，
并且 . 于是 .
以上结果是在 ， , 都是锐角，
且 的情况下得到的，经验证，
角 ， ， 为任意角时上述结论也成立.
于是，对任意角 , 都有 .8.2 三角恒等变换
8.2.1 两角和与差的余弦
【课前预习】
知识点
1.cos αcos β+sin αsin β 2.cos αcos β-sin αsin β
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)√ (4)√
【课中探究】
探究点一
例1 (1)B (2)B [解析] (1)cos 24°cos 69°+sin 24°sin 111°=cos 24°cos 69°+sin 24°sin(180°-69°)=cos 24°cos 69°+sin 24°sin 69°=cos(69°-24°)=cos 45°=.故选B.
(2)根据题意可得sin θ=,cos θ=,则cos=(cos θ-sin θ)=×=.故选B.
变式 D [解析] 因为cos(θ+20°)=cos(θ+40°)+cos(θ-40°),所以cos θcos 20°-sin θsin 20°=cos θcos 40°-sin θsin 40°+cos θcos 40°+sin θsin 40°,所以cos θcos 20°-2cos θcos 40°=sin θsin 20°,所以tan θ====
===-.故选D.
探究点二
探索 β (β-α) (α-β) (α-β) (β-α)
例2 (1)D (2)A [解析] (1)因为cos α=,α∈,所以sin α=-=-,则cos=cos α+sin α=×+×=.故选D.
(2)由诱导公式得sin=cos α=,因为α,β∈,cos α=,cos β=,所以sin α==,sin β==,所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=-.故选A.
变式 CD [解析] 因为α为第一象限角,所以α∈,k∈Z,所以α+∈,k∈Z,又因为sin=,且<=sin,所以α+是第二象限角,所以cos=-.因为β为第三象限角,所以β∈,k∈Z,所以β-∈,k∈Z,又因为cos=-,所以β-是第二象限角或第三象限角.当β-是第二象限角时,sin=,此时cos(α+β)=cos=coscos-sinsin=×-×=;当β-是第三象限角时,sin=-,此时cos(α+β)=cos=coscos-sinsin=×-×=.故选CD.
探究点三
例3 B [解析] 因为α∈,所以2α∈[0,π],所以sin 2α===.因为α∈,β∈,所以α+β∈,所以cos(α+β)===,则cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β)=×+×=-,又α-β∈[0,π],所以α-β=.故选B.
变式 A [解析] 因为cos(α-β)=,tan α·tan β=,所以解得所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=,又α,β∈,所以α+β∈(0,π),所以α+β=.故选A.
【课堂评价】
1.D [解析] ====.故选D.
2.C [解析] 由 sin αsin β=-cos αcos β 可得 cos(α-β)=0,因此 α-β=k·180°+90°, k∈Z .对于A,α-β=0°,故A错误;对于B,α-β=-54°,故B错误;对于C,α-β=90°,故C正确;对于D,α-β=100°,故D错误.故选C.
3.B [解析] cos 105°=cos(60°+45°)=cos 60°cos 45°-sin 60°sin 45°=×-×=.故选B.
4.C [解析] 因为α,β均为锐角,且cos α=,sin β=,所以sin α==,cos β==,所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=-.故选C.
5. [解析] ∵α,β均为锐角,∴cos α==,sin β==,故cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=.8.2 三角恒等变换
8.2.1 两角和与差的余弦
【学习目标】
灵活掌握两角和与差的余弦公式,并有能力利用公式进行三角函数式的求值、化简和证明.
◆ 知识点 两角差与和的余弦公式
1.两角差的余弦公式:
cos(α-β)= .(简记为Cα-β)
2.两角和的余弦公式:
cos(α+β)= .(简记为Cα+β)
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两角和与差的余弦公式中角α,β是任意的. ( )
(2)存在角α,β,使cos(α-β)=cos α-cos β. ( )
(3)cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=cos α. ( )
(4)cos 22°cos 38°-sin 22°sin 38°=. ( )
◆ 探究点一 利用两角和与差的余弦公式化简与求值
例1 (1)[2024·江苏南京六校联合体高一期中] cos 24°cos 69°+sin 24°sin 111°= ( )
A.- B. C.- D.
(2)[2024·贵阳清华中学、安顺一中等高一期中] 已知锐角θ的终边过点(2,1),则 cos= ( )
A.- B.
C.- D.
变式 [2024·江苏扬州中学高一期中] 已知cos(θ+20°)=cos(θ+40°)+cos(θ-40°),则tan θ= ( )
A. B.-
C. D.-
[素养小结]
两角和与差的余弦公式常见题型及解法
(1)求两特殊角和与差的余弦值,利用两角和与差的余弦公式直接展开求解.
(2)化简含有常数的式子,先将系数转化为特殊角的三角函数值,再利用两角和与差的余弦公式求解.
(3)求非特殊角的三角函数值,把非特殊角转化为两个特殊角的和与差,然后利用两角和与差的余弦公式求解.
◆ 探究点二 给值求值
[探索] 常见的配角变换有:α=(α+β)- =β- =(2α-β)- ,2α=(α+β)+ =(β+α)- 等.
例2 (1)已知cos α=,α∈,则cos= ( )
A. B.
C. D.
(2)[2024·河南郑州高一期末] 已知α,β∈,若sin=,cos β=,则cos(α+β)=( )
A.- B.
C. D.-
变式 (多选题)已知α为第一象限角,β为第三象限角,且sin=,cos=-,则cos(α+β)的值可能为 ( )
A.- B.-
C. D.
[素养小结]
应用两角差与和的余弦公式求值的一般思路
(1)把未知角转化为已知角的差或和,用公式直接求值;
(2)在转化过程中,充分利用诱导公式,构造两角差或和的余弦公式的形式,然后用公式求值;
(3)角的变换是给值求值问题中最重要的一种方法,求三角函数的值时,往往把待求式中的角用已知的角进行转化.
◆ 探究点三 已知三角函数值求角
例3 [2024·江苏海门中学高一月考] 已知cos 2α=-,sin(α+β)=-,α∈,β∈,则α-β= ( )
A. B.
C. D.或
变式 [2024·江西九江高一期末] 已知α,β∈,cos(α-β)=,tan α·tan β=,则α+β= ( )
A. B.
C. D.
[素养小结]
已知三角函数值求角的关键环节有两个:
(1)求出所求角的某种三角函数值;
(2)确定角的范围.
1. 的值为 ( )
A. 3 B.
C. 1 D.
2.满足 sin αsin β=-cos αcos β 的一组值是 ( )
A. α=β=90°
B. α=18°,β=72°
C. α=130°,β=40°
D. α=140°,β=40°
3.cos 105°的值是 ( )
A. B.
C. D.
4.[2024·安徽淮北高二期中] 已知α,β均为锐角,且cos α=,sin β=,则cos(α+β)=( )
A. B.-
C.- D.
5.[2024·陕西铜川高一期末] 已知锐角α,β满足sin α=,cos β=,则cos(α-β)= . 8.2 三角恒等变换
8.2.1 两角和与差的余弦
1.B [解析] 原式=sin(90°+50°)cos 70°-sin 50°sin 70°=cos 50°cos 70°-sin 50°sin 70°=cos(50°+70°)=cos 120°=-.故选B.
2.C [解析] 由题得cos αcos β+sin αsin β=3cos αcos β-3sin αsin β,整理得cos αcos β=2sin αsin β.若cos αcos β=0,则cos α=0或cos β=0,此时α,β的正切值不存在,不符合题意,所以cos αcos β≠0,故tan αtan β=.故选C.
3.D [解析] 因为2sin Bsin C=1+cos A=1-cos(B+C)=1-cos Bcos C+sin Bsin C,所以sin Bsin C+cos Bcos C=cos(B-C)=1.由04.C [解析] 因为0<α<,0<β<,所以0<α+β<π,所以sin(α+β)==.又-<β-<,所以cos==,所以cos=cos=cos(α+β)cos+sin(α+β)sin=×+×=.故选C.
[点拨] 已知函数值求值问题,关键是用已知角和特殊角表示所求角,进而得到已知角和所求角之间用特殊角构建起来的联系.
5.A [解析] 由0<α<,0<β<π,得0<α+β<,因为sin(α+β)=-<0,所以π<α+β<,<β<π,则cos(α+β)=-=-,又cos α=,所以sin α==,则cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-×-×=-.
6.A [解析] 由cos(α+β)=得cos αcos β-sin αsin β=,两边同时除以cos β得,cos α-sin αtan β=,∴cos αsin α=(sin2α+2)tan β,∵α为锐角,∴tan α>0,∴tan β====
≤=,当且仅当3tan α=,即tan α=时取等号,∴tan β的最大值为.故选A.
7.A [解析] 由sin α+sin γ=sin β,cos β+cos γ=cos α,得sin α-sin β=-sin γ,cos α-cos β=cos γ,∴(sin α-sin β)2+(cos α-cos β)2=(-sin γ)2+cos2γ=1,即2-2sin αsin β-2cos αcos β=1,∴2-2cos(α-β)=1,得cos(α-β)=.又α,β,γ∈,∴sin α-sin β=-sin γ<0,∴sin α8.BC [解析] 对于A,cos 30°=,故A错误;对于B,sin 150°=sin 30°=,故B正确;对于C,cos 75°cos 15°+sin 75°sin 15°=cos(75°-15°)=cos 60°=,故C正确;对于D,cos 75°cos 15°-sin 75°sin 15°=cos(75°+15°)=cos 90°=0,故D错误.故选BC.
9.AD [解析] 令α=β=0,则cos(α+β)=1,cos αcos β+sin αsin β=1,此时cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β,故A正确;令α=β=2kπ(k∈Z),则cos(α+β)=1,cos αcos β+sin αsin β=1,此时cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β,故B错误;由两角和的余弦公式可知,对于任意的α,β,都有cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,故C错误;若存在α和β的值,使cos(α+β)≠cos αcos β-sin αsin β,则与两角和的余弦公式矛盾,故D正确.故选AD.
10. [解析] 因为α,θ为锐角,sin α=,sin θ=,所以cos α==,cos θ==,所以cos(α+θ)=cos αcos θ-sin αsin θ=×-×=.又0<α+θ<π,所以α+θ=.
11.1 [解析] ====1.
[点拨] 此类求值问题要应用转化思想,非特殊角越少越好,角越特殊越好.
12. [解析] μ===
==.
13.解:(1)cos 75°=cos(45°+30°)=cos 45°cos 30°-sin 45°sin 30°=×-×=.
(2)cos 15°=cos(45°-30°)=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°=×+×=.
(3)cos 105°=cos(45°+60°)=cos 45°cos 60°-sin 45°sin 60°=×-×=.
14.解:(1)由sin2α+cos2α=1,cos α=,α∈,可得sin α=-,
∴cos=cos αcos+sin αsin=×+×=.
(2)由α∈,β∈,可得α+β∈,
又sin2(α+β)+cos2(α+β)=1,sin(α+β)=-,
∴cos(α+β)=,∴cos β=cos(α+β-α)=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=×+×=,
又β∈,∴β=.
15.D [解析] 令f(x)=5sin=0,016.解:作QA⊥OM于点A,QB⊥ON于点B,则QA=2,QB=11,设OQ=x(x>0),如图,在Rt△AOQ中,sin ∠AOQ=,cos ∠AOQ=,在Rt△BOQ中,sin ∠BOQ=,cos ∠BOQ=.
因为Q在∠MON内,所以∠AOQ+∠BOQ=60°,
即cos(∠AOQ+∠BOQ)=cos ∠AOQcos ∠BOQ-sin ∠AOQsin ∠BOQ=,则·-·=,即=,可得x=14,所以OQ的长是14.8.2 三角恒等变换
8.2.1 两角和与差的余弦
一、选择题
1.[2024·江苏常州高一期中] sin 140°cos 70°-sin 50°sin 70°= ( )
A.- B.-
C. D.
2.[2024·湖北十四校协作体高一期中] 已知cos(α-β)=3cos(α+β),则tan α·tan β的值为 ( )
A. B. C. D.
3.[2024·四川巴中平昌中学高一月考] 在△ABC中,已知2sin Bsin C=1+cos A,则△ABC的形状是 ( )
A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形
★4.[2023·广东佛山顺德区乐从中学高一月考] 已知0<α<,0<β<,且cos(α+β)=,sin=,则cos= ( )
A. B. C. D.
5.[2024·上海向明中学高一期中] 已知0<α<,0<β<π,sin(α+β)=-,cos α=,则cos β= ( )
A.- B.
C. D.-
6.已知α,β为锐角,且cos(α+β)=,则tan β的最大值为 ( )
A. B. C. D.
7.[2024·四川百师联盟高一期中] 已知α,β,γ∈,若sin α+sin γ=sin β,cos β+cos γ=cos α,则α-β= ( )
A.- B.
C.- D.
8.(多选题)下列各式中值为的是 ( )
A.cos 30°
B.sin 150°
C.cos 75°cos 15°+sin 75°sin 15°
D.cos 75°cos 15°-sin 75°sin 15°
9.(多选题)[2023·江西南昌二中高一期中] 下列说法中正确的是 ( )
A.存在α,β的值,使cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β
B.不存在无穷多个α,β的值,使cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β
C.对于任意的α,β,都有cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β
D.不存在α,β的值,使cos(α+β)≠cos αcos β-sin αsin β
二、填空题
10.若α,θ为锐角,且sin α=,sin θ=,则cos(α+θ)= ,α+θ= .
★11.[2023·广东深圳中学高一期中] = .
12.对于角的集合{θ1,θ2,…,θn}和角α,定义μ=×[cos2(θ1-α)+cos2(θ2-α)+…+cos2(θn-α)]为集合{θ1,θ2,…,θn}相对角α的“余弦方差”,则集合相对角α的“余弦方差”为 .
三、解答题
13.求以下三角函数值:
(1)cos 75°;(2)cos 15°;(3)cos 105°.
14.[2024·江苏南京六校联合体高一期中] 已知cos α=,α∈.
(1)求cos的值;
(2)若sin(α+β)=-,β∈,求β的值.
15.[2024·广东深圳实验学校高一月考] 已知函数f(x)=5sin,若存在α,β,满足0<α<β<2π,且f(α)=f(β)=1,则cos(β-α)= ( )
A. B.-
C. D.-
16.如图所示,已知∠MON=60°,Q是∠MON内一点,它到MO,ON的距离分别为2和11,求OQ的长.
