(共39张PPT)
8.1 向量的数量积
8.1.3 向量数量积的坐标运算
探究点一 向量数量积的坐标运算
探究点二 两平面向量的夹角、模的坐标表示
探究点三 向量垂直的坐标形式的应用
【学习目标】
1.掌握向量数量积的坐标表达式,能进行平面向量数量积的坐标运算;
2.能运用数量积计算两个向量的夹角;
3.能运用数量积计算向量的长度,会判断两个平面向量的垂直关系.
知识点一 向量数量积的坐标表示
1.在平面直角坐标系中，分别给定与轴、 轴正方向相同的单位向
量,之后，如果对于平面内的向量，有__________,则
就是向量 的坐标，记作__________.
2.已知向量,,则 ____________.
知识点二 向量模的坐标表示
1.设,则________, __________.
2.设,,则 _______________________.
知识点三 两个向量的夹角公式的坐标表示
设,都是非零向量,,,,
_ ____________.
知识点四 向量垂直的坐标形式
若，，则 ____________
_________.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）的计算公式与， 两点间的距离公式是一致的．( )
√
（2）已知，，则 ( )
√
（3）已知，，则 ( )
×
（4）若,,且,为钝角,则 .
( )
×
探究点一 向量数量积的坐标运算
例1（1） 已知菱形的边长为2, ，动点在 边上
（包括端点），则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 如图，以C为原点，的方向为 轴正方向，
建立平面直角坐标系，
易知， ，.
设，则 ，所以， ，
故 ，又 ，所以
，即的取值范围为 .故选C.
√
（2）（多选题）已知向量，且，那么向量 的坐标
可以是( )
A. B. C. D.
[解析] 设,,即 ，
将四个选项代入验证，只有选项A,B满足上式.故选 .
√
√
变式（1） [2024·辽宁本溪高一期中]已知向量, ，
则在 上的投影的坐标为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为,，
所以在 上的投影的坐标为 ．故选D.
√
（2）在梯形中，，，，，点 ，
在线段上移动（包括端点），且，则 的最小值为
( )
A.1 B. C. D.
√
[解析] 如图，以B为坐标原点， 所在的直线
为轴建立平面直角坐标系.
因为梯形 中，，，，
所以 .
不妨设， ，
则，
所以当时，取得最小值 .故选D.
［素养小结］
此类题目是有关向量数量积的坐标运算，灵活应用基本公式是前提，
设向量一般有两种方法：一是直接设坐标，二是利用共线或垂直的
关系设向量.
探究点二 两平面向量的夹角、模的坐标表示
例2（1） [2024·北京房山区高一期末]已知向量 ，
，且与的夹角为，则 的值为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，, ，
所以，解得或 ，故选B.
√
（2）如图，在平面直角坐标系中， ，
，，是线段 上一点（不含端点），
若，则 ( )
A. B. C.4 D.
[解析] 由题图知点A，C在函数 的图象上.
设，则 ，
，
所以，解得 或
，所以，则，故 .故选B.
√
变式（1） [2024· 广西南宁二中高一期中]已知向量 ，
，若向量在向量上的投影，则 ( )
A. B. C. D.1
[解析] 由已知可得，在上的投影为 ，
又在上的投影，所以 ，
所以 ．故选D.
√
（2）（多选题）[2023·山东滨州一中高一期中] 已知向量
，， ，则下列说法正确的是
( )
A.与的夹角的余弦值为
B.在上的投影为
C.若与的夹角为钝角，则
D.若与的夹角为锐角，则
√
√
√
[解析] 由题知，与的夹角的余弦值为 ，
故A正确；
在上的投影为 ，故B正确；
若与的夹角为钝角，则解得 且，
故C错误；
若与 的夹角为锐角，则
解得，故D正确.故选 .
［素养小结］
利用向量的数量积求两向量夹角或模的一般步骤
（1）利用向量的坐标求出这两个向量的数量积.
（2）利用 求出两向量的模.
（3）代入夹角公式求,，并根据, 的范围确定夹角的大小.
拓展 已知点,,(其中, 为坐标
原点.若,求与 的夹角.
解：由题知 ,
,
即, .
又,, .
又,， ，
，,故与的夹角为 .
探究点三 向量垂直的坐标形式的应用
例3（1） 已知点,,，若与 垂直，
则 ( )
A. B.1 C. D.2
[解析] 由已知得， ，
所以.
因为 与垂直，所以，
解得 .故选D.
√
（2）在中,,,若为直角三角形,则
的值为_ _____________.
或或
[解析] ①当 时,,则,即 ,解得 .
②当 时, ，则,
,解得 .
③当 时,,则, ,
即,解得 .
综上可知,或或 .
变式 已知平面向量， ，
且与不共线，求证：向量与 垂直．
证明:， ，
，,
，
，
即向量与 垂直．
［素养小结］
利用坐标表示把向量垂直条件代数化,使判定方法更加简捷，运算更
直接.
1.[2023·合肥高一期中]若向量,，则向量在向量
上的投影为( )
A. B.
C. D.
[解析] 向量在向量上的投影为 .故选B.
√
2.[2024·湖北武汉高一期中]已知，向量, ，
且，则, ( )
A. B. C. D.
[解析] 由,，可得, ，
因为 ，所以
，
又，所以 ，所以,，
所以 , .故选B.
√
3.[2023·重庆育才中学高一期中]在边长为6的正方形中，点 为
的中点，点在边上且，则 ( )
A.18 B.24 C.30 D.42
[解析] 以A为原点，，所在直线分别为，
轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
易知 , ,，则, ，
所以 .故选C.
√
4.[2024·北京延庆区高一期末]向量，，若 ，
则 ( )
A. B. C.2 D.
[解析] 由题意得，解得 .故选D.
√
5.如图所示，在平面直角坐标系中，，，， 是正弦函数
图象上的四个点，且，两点为图象的最高点，， 两点
为图象的最低点，则 ______.
[解析] 由正弦函数图象可得， ,
,, ，
,, ，
，
所以， ，
所以 .
6.[2024·北京东城区高一期末] 设向量， ，且
，则 ____.
[解析] 设,的夹角为 ，则 ，
故，又，所以，即, 的方向相同，
因为，，所以，解得 .
1.关于两个向量垂直的性质
（1）已知，，若，则 ；
反之，若，则 .
（2）已知，，若，则向量 与
平行．这是由，得 推出的.
（3）对任意的实数，向量与向量 垂直．
2.不等式 的代数形式
若，，则 ，
， .
由得 ，
当且仅当，即 时取等号，
即不等式 成立．
1.解决向量数量积的运算问题的常用方法
进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题
时通常有两条途径:一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;
二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知数据计算.
2.用向量数量积的坐标表示解决垂直问题
利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质与利用定义解决垂
直问题一致,利用坐标表示把垂直条件代数化.因此判定方法更加简捷、
运算更直接,体现了向量问题代数化的思想.
例1 已知,,是坐标平面上的三点,其坐标分别为,, ,
求和的大小,并判断 的形状.
解：由题易知,, ,
,
.又， ,
是等腰直角三角形， .
3.利用数量积求两向量夹角的步骤
（1）求出两向量的坐标：， .
（2）由公式,直接求出, 的值.
（3）,,由,的值求, .
例2 已知向量，，则与 的夹角为
( )
A. B. C. D.
[解析] 设 为与的夹角，， ，
，, ,
,，
又 ，且, .故选D.
√8.1.3 向量数量积的坐标运算
【课前预习】
知识点一
1.xe1+ye2 a=(x,y) 2.x1x2+y1y2
知识点二
1.x2+y2 2.
知识点三
知识点四
x1x2+y1y2=0
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)× (4)×
【课中探究】
探究点一
例1 (1)C (2)AB [解析] (1)如图,以C为原点,的方向为x轴正方向,建立平面直角坐标系,易知C(0,0),A(1,),D(-1,).设P(x,0),则x∈[0,2],所以=(-2,0),=(x-1,-),故·=-2(x-1)=2-2x,又-2x∈[-4,0],所以2-2x∈[-2,2],即·的取值范围为[-2,2].故选C.
(2)设b=(x,y).∵a⊥b,∴a·b=3x-y=0,即y=3x,将四个选项代入验证,只有选项A,B满足上式.故选AB.
变式 (1)D (2)D [解析] (1)因为a·b=(-1,1)·(2,3)=-2+3=1,|a|2=2,所以b在a上的投影的坐标为·=(-1,1)=.故选D.
(2)如图,以B为坐标原点,BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系.因为梯形ABCD中,∠B=,AB=2,AD=1,所以D(2,).不妨设P(x,0),Q(x+1,0)(0≤x≤3),则·=(x-2,-)·(x-1,-)=(x-2)(x-1)+3=x2-3x+5=+,所以当x=时,·取得最小值.故选D.
探究点二
例2 (1)B (2)B [解析] (1)因为a·b=2m,|a|=2,|b|=,所以2m=2××,解得m=或m=-(舍去),故选B.
(2)由题图知点A,C在函数y=-x+4的图象上.设P(x,-x+4)(0
变式 (1)D (2)ABD [解析] (1)由已知可得,b在a上的投影为·=a=a=(λ,0),又b在a上的投影c=,所以λ=,所以|b|====1.故选D.
(2)由题知,a与c的夹角的余弦值为==,故A正确;a在c上的投影为·=·=c,故B正确;若a与b的夹角为钝角,则解得m>-2且m≠2,故C错误;若a与b的夹角为锐角,则解得m<-2,故D正确.故选ABD.
拓展 解:由题知+=(2+cos α,sin α),
∴(2+cos α)2+sin2α=7,即4+4cos α+cos2α+sin2α=7,∴cos α=.
又α∈(0,π),∴sin α=,∴=.
又=(0,2),∴cos<,>==,
∴<,>=,故与的夹角为.
探究点三
例3 (1)D (2)-或或 [解析] (1)由已知得=(1,-3),=(-4,2),所以λ+=λ(1,-3)+(-4,2)=(λ-4,-3λ+2).因为λ+与垂直,所以-4(λ-4)+2(-3λ+2)=0,解得λ=2.故选D.
(2)①当A=90°时,⊥,则·=0,即2+3k=0,解得k=-.
②当B=90°时,⊥,则·=0.∵=-=(-1,k-3),∴-2+3(k-3)=0,解得k=.
③当C=90°时,⊥,则·=0,∴1×(-1)+k(k-3)=0,即k2-3k-1=0,解得k=.
综上可知,k=-或k=或k=.
变式 证明:∵a=(cos α,sin α),b=,∴a+b=,a-b=,∴(a+b)·(a-b)=+=cos2α-+sin2α-=1-1=0,
∴(a+b)⊥(a-b),即向量a+b与a-b垂直.
【课堂评价】
1.B [解析] 向量a在向量b上的投影为·=·=.故选B.
2.B [解析] 由a=(x,2),b=(-2,1),可得a2=x2+4,b2=5,因为(a+b)⊥(a-b),所以(a+b)·(a-b)=a2-b2=x2+4-5=0,又x>0,所以x=1,所以a=(1,2),a-b=(3,1),所以cos===.故选B.
3.C [解析] 以A为原点,AB,AD所在直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系,如图所示,易知A(0,0),E(3,6),F(6,2),则=(3,6),=(6,2),所以·=3×6+6×2=30.故选C.
4.D [解析] 由题意得a·b=2+x=0,解得x=-2.故选D.
5.12π2 [解析] 由正弦函数图象可得,A,B,C,D,所以=,=,=,=,所以+=(2π,0),+=(6π,0),所以(+)·(+)=2π×6π=12π2.
6.- [解析] 设a,b的夹角为θ,则a·b=|a||b|cos θ=|a||b|,故cos θ=1,又θ∈[0,π],所以θ=0,即a,b的方向相同,因为a=(1,m),b=(3,-4),所以-4=3m,解得m=-.8.1.3 向量数量积的坐标运算
【学习目标】
1.掌握向量数量积的坐标表达式,能进行平面向量数量积的坐标运算;
2.能运用数量积计算两个向量的夹角;
3.能运用数量积计算向量的长度,会判断两个平面向量的垂直关系.
◆ 知识点一 向量数量积的坐标表示
1.在平面直角坐标系中,分别给定与x轴、y轴正方向相同的单位向量e1,e2之后,如果对于平面内的向量a,有a= ,则(x,y)就是向量a的坐标,记作 .
2.已知向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b= .
◆ 知识点二 向量模的坐标表示
1.设a=(x,y),则|a|2= ,|a|= .
2.设A(x1,y1),B(x2,y2),则||= .
◆ 知识点三 两个向量的夹角公式的坐标表示
设a,b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),cos= .
◆ 知识点四 向量垂直的坐标形式
若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b a·b=0 .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)||的计算公式与A,B两点间的距离公式是一致的. ( )
(2)已知a=(1,-1),b=(2,3),则a·b=-1.( )
(3)已知a=(3,x),|a|=5,则x=4. ( )
(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),且为钝角,则x1y1+x2y2<0. ( )
◆ 探究点一 向量数量积的坐标运算
例1 (1)已知菱形ABCD的边长为2,∠ABC=60°,动点P在BC边上(包括端点),则·的取值范围是 ( )
A.[0,1] B.[-1,2]
C.[-2,2] D.[-1,1]
(2)(多选题)已知向量a=(3,-1),且a⊥b,那么向量b的坐标可以是 ( )
A.(-1,-3) B.(1,3)
C.(3,1) D.(-3,1)
变式 (1)[2024·辽宁本溪高一期中] 已知向量a=(-1,1),b=(2,3),则b在a上的投影的坐标为 ( )
A. B.
C. D.
(2)在梯形ABCD中,∠B=,AB=2,BC=4,AD=1,点P,Q在线段BC上移动(包括端点),且PQ=1,则·的最小值为 ( )
A.1 B.
C. D.
[素养小结]
此类题目是有关向量数量积的坐标运算,灵活应用基本公式是前提,设向量一般有两种方法:一是直接设坐标,二是利用共线或垂直的关系设向量.
◆ 探究点二 两平面向量的夹角、模的坐标表示
例2 (1)[2024·北京房山区高一期末] 已知向量a=(2,0),b=(m,1),且a与b的夹角为,则m的值为 ( )
A.- B. C.- D.
(2)如图,在平面直角坐标系xOy中,A(0,4),B(-4,0),C(4,0),P是线段AC上一点(不含端点),若·=32,则||= ( )
A.2 B.2 C.4 D.3
变式 (1)[2024· 广西南宁二中高一期中] 已知向量a=(2,0),b=,若向量b在向量a上的投影c=,则|b|= ( )
A. B. C. D.1
(2)(多选题)[2023·山东滨州一中高一期中] 已知向量a=(1,-1),b=(-2,m),c=(4,-2),则下列说法正确的是 ( )
A.a与c的夹角的余弦值为
B.a在c上的投影为c
C.若a与b的夹角为钝角,则m>-2
D.若a与b的夹角为锐角,则m<-2
[素养小结]
利用向量的数量积求两向量夹角或模的一般步骤
(1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积.
(2)利用|a|=(a=(x,y))求出两向量的模.
(3)代入夹角公式求cos,并根据的范围确定夹角的大小.
拓展 已知点A(2,0),B(0,2),C(cos α,sin α)(其中0<α<π),O为坐标原点.若|+|=,求与的夹角.
◆ 探究点三 向量垂直的坐标形式的应用
例3 (1)已知点A(0,2),B(1,-1),C(-3,1),若λ+与垂直,则λ= ( )
A.-1 B.1 C.-2 D.2
(2)在△ABC中,=(2,3),=(1,k),若△ABC为直角三角形,则k的值为 .
变式 已知平面向量a=(cos α,sin α)(0≤α<2π),b=,且a与b不共线,求证:向量a+b与a-b垂直.
[素养小结]
利用坐标表示把向量垂直条件代数化,使判定方法更加简捷,运算更直接.
1.[2023·合肥高一期中] 若向量a=(1,0),b=(2,1),则向量a在向量b上的投影为 ( )
A. B.
C. D.(4,2)
2.[2024·湖北武汉高一期中] 已知x>0,向量a=(x,2),b=(-2,1),且(a+b)⊥(a-b),则cos= ( )
A. B.
C. D.
3.[2023·重庆育才中学高一期中] 在边长为6的正方形ABCD中,点E为DC的中点,点F在边BC上且=,则·= ( )
A.18 B.24
C.30 D.42
4.[2024·北京延庆区高一期末] 向量a=(2,1),b=(1,x),若a⊥b,则x= ( )
A. B.-C.2 D.-2
5.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,A,B,C,D是正弦函数y=sin x图象上的四个点,且A,C两点为图象的最高点,B,D两点为图象的最低点,则(+)·(+)= .
6.[2024·北京东城区高一期末] 设向量a=(1,m),b=(3,-4),且a·b=|a||b|,则m= . 8.1.3 向量数量积的坐标运算
1.C [解析] 若a∥b,则x2=4,解得x=±2.若向量a与b的夹角为锐角,则a·b>0且cos≠1,所以4x+x>0且x≠2,解得x∈(0,2)∪(2,+∞).故“x>0”是“向量a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件.故选C.
2.A [解析] 由已知得2a+b=(4,2m-1),因为(2a+b)⊥b,所以(2a+b)·b=0,即8-(2m-1)=0,解得m=.故选A.
3.B [解析] 由题意可得,|a|==3,|b|=1,设=θ,则a b=|a|2-a·b=|a|2-|a|·|b|cos θ=9-3cos θ,又θ∈[0,π],所以cos θ∈[-1,1],所以a b∈[6,12].故选B.
4.B [解析] 由a=(-1,2),b=(3,2),得a+b=(2,4),a-b=(-4,0),故a+b在a-b上的投影的数量为===-2.故选B.
5.B [解析] 因为|a+b|=|a-b|,所以(a+b)2=(a-b)2,即a2+b2+2a·b=a2+b2-2a·b,所以a·b=0,即m+6=0,解得m=-6.故选B.
6.B [解析] 因为a=(-1,1),b=(-3,4),所以a-b=(2,-3),|a|=,|a-b|=,所以cos===-.故选B.
7.C [解析] 如图所示,以B为坐标原点,以直线BC为x轴,过点B且垂直于BC的直线为y轴,建立平面直角坐标系,则B(0,0),C(2,0).由∠PBC=,得P(,1),所以=(,1),=(-2,1),所以·=×(-2)+1×1=4-2.故选C.
8.ABD [解析] 对于A,因为=(1,2),=(-2,-4),所以-2=,所以∥,故A正确;对于B,=(1,2),=(2,-1),则||=,||=,所以||=||,故B正确;对于C,=(1,2),=(-3,-6),则·=1×(-3)+2×(-6)=-15≠0,故C错误;对于D,=(2,-1),=(-3,-6),则·=2×(-3)-1×(-6)=0,所以⊥,故D正确.故选ABD.
9.ACD [解析] 对于A选项,若a∥b,则mq-np=0,所以a☉b=0,故A选项正确;对于B选项,a☉b=mq-np,b☉a=pn-qm,显然a☉b=-(b☉a),故B选项错误;对于C选项,因为(λa)☉b=(λm,λn)☉(p,q)=λmq-λnp,λ(a☉b)=λ(mq-np)=λmq-λnp,所以(λa)☉b=λ(a☉b),故C选项正确;对于D选项,(a☉b)2+(a·b)2=(mq-np)2+(mp+nq)2=(m2+n2)(p2+q2)=|a|2|b|2,故D选项正确.故选ACD.
10.或 [解析] 易知b=(3,-4)是与a垂直的向量,因为|b|=5,所以与a垂直的单位向量为b=或-b=.
11.(1,)(答案不唯一) [解析] 因为=,所以c与+共线,即c与a+b共线,故c=k(k≠0),当k=2时,c=(1,).(答案不唯一)
12.-1 -2 [解析] 连接AC,BD,设AC与BD交于点O,以O为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,-1),B(,0),C(0,1),D(-,0),=(0,2).因为=(+),所以P为AB的中点,所以P,所以=,所以·=×0+×2=-1.设Q(x,y),则=,=(-x,1-y),=(--x,-y),所以+=(--2x,1-2y),所以·(+)=(--2x)+(1-2y)=2(x2+y2)-2≥-2,当且仅当x=y=0时取等号.
13.解:(1)由a+b=(,1),得|a+b|==2,
则|a+b|2=(a+b)2=a2+b2+2a·b=4,
而|a|=1,|b|=,所以a·b=0,
所以|a-b|===2.
(2)显然(a+b)·(a-b)=a2-b2=1-3=-2,
则cos θ===-,又θ∈[0,π],所以θ=,所以a+b与a-b的夹角为.
14.解:(1)依题意得A(4,0),设B(x1,y1),C(x2,y2),
则x1=4+||cos(180°-∠OAB)=4+2cos 60°=5,
y1=||sin(180°-∠OAB)=2sin 60°=,x2=x1-||cos(∠OAB+∠ABC-180°)=5-4cos 60°=3,y2=||sin(∠OAB+∠ABC-180°)+y1=4sin 60°+=3,所以B(5,),C(3,3),
所以=(5,),=(3,3).
(2)由(1)可得=(-2,2),=(4,0).
设向量与向量的夹角为θ,
则cos θ===-,
因为0°≤θ≤180°,所以θ=120°,
所以向量与向量的夹角为120°.
(3)由(1)可得=(-2,2),=(4,0),
所以向量在向量上的投影的数量为==-2,
所以在向量上的投影的坐标为×=-2××(4,0)=(-2,0).
15.BCD [解析] 对于A,因为sA·sB=(4,3)·(-1,2)=-4+6=2≠0,所以sA与sB不垂直,故A错误;对于B,由两点间距离公式可得两个粒子的距离为=,故B正确;对于C,在该时刻,粒子B相对于A的位移s=sB-sA=(-5,-1),故C正确;对于D,sA在sB上的投影为==,故D正确.故选BCD.
16.解:(1)设=(x,y).
∵点Q在直线OP上,∴∥,
又=(2,1),∴x-2y=0,即=(2y,y).
又=-=(1-2y,7-y),=-=(5-2y,1-y),∴·=5y2-20y+12=5(y-2)2-8,
∴当y=2时,·取得最小值-8,此时的坐标为(4,2).
(2)由(1)可知=(-3,5),=(1,-1),·=-8,故cos∠AQB=cos<,>===-.8.1.3 向量数量积的坐标运算
一、选择题
1.已知向量a=(x,1),b=(4,x),则“x>0”是“向量a与b的夹角为锐角”的 ( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
2.已知向量a=(1,m),b=(2,-1),且(2a+b)⊥b,则实数m= ( )
A. B.- C.4 D.-4
3.[2024·湖南常德一中高一月考] 定义a b=|a|2-a·b.若向量a=(1,2),向量b为单位向量,则a b的取值范围是 ( )
A.[0,6] B.[6,12]
C.[0,6) D.(-1,5)
4.[2024·四川成都高一期中] 已知向量a=(-1,2),b=(3,2),则a+b在a-b上的投影的数量为 ( )
A.4 B.-2 C.2 D.-4
5.[2024·黑龙江哈尔滨三中高一期末] 若|a+b|=|a-b|,a=(1,2),b=(m,3),则实数m= ( )
A.6 B.-6 C.3 D.-3
6.已知向量a=(-1,1),b=(-3,4),则cos= ( )
A. B.-
C. D.-
7.[2023·合肥高一期中] 勒洛三角形是一种典型的定宽图形,以等边三角形每个顶点为圆心,以边长为半径,在另两个顶点间作一段圆弧,三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中,已知AB=2,P为弧AC上的一点,且∠PBC=,则·的值为 ( )
A.4- B.4+
C.4-2 D.4+2
8.(多选题)已知点A(1,-2),B(2,0),C(3,-3),D(-1,-6),则 ( )
A.∥ B.||=||
C.·=0 D.⊥
9.(多选题)定义平面向量之间的一种运算“☉”如下:对任意的a=(m,n),b=(p,q),都有a☉b=mq-np.下列说法正确的是 ( )
A.若a与b共线,则a☉b=0
B.a☉b=b☉a
C.对任意的λ∈R,都有(λa)☉b=λ(a☉b)
D.(a☉b)2+(a·b)2=|a|2|b|2
二、填空题
10.已知向量a=(4,3),则与向量a垂直的单位向量的坐标为 .
11.已知向量a=(1,0),b=(-1,).若=,则一个满足条件的c的坐标为 .
12.在菱形ABCD中,AB=2,∠ADC=60°,=(+),则·= ;点Q为平面上一点,则·(+)的最小值为 .
三、解答题
13.[2024·江苏泰州高一期中] 已知|a|=1,|b|=,a+b=(,1),求:
(1)|a-b|的值;
(2)a+b与a-b的夹角θ.
14.如图,已知O为平面直角坐标系的原点.∠OAB=∠ABC=120°,||=||=2||=4.
(1)求和的坐标;
(2)求向量与向量的夹角;
(3)求向量在向量上的投影的坐标.
15.(多选题)两个粒子A,B从同一发射源发射出来,在某一时刻,他们的位移分别为sA=(4,3),sB=(-1,2),则 ( )
A.在该时刻,sA⊥sB
B.在该时刻,两个粒子的距离为
C.在该时刻,粒子B相对于A的位移为s=(-5,-1)
D.在该时刻,sA在sB上的投影的坐标为
16.已知向量=(1,7),=(5,1),=(2,1),点Q是直线OP上的一个动点.
(1)当·取最小值时,求的坐标;
(2)当点Q满足(1)时,求cos∠AQB.