(共41张PPT)
8.2 三角恒等变换
8.2.2 两角和与差的正弦、正切
探究点一 利用两角和与差的正弦、正切
公式化简与求值
探究点二 给值（式）求值
探究点三 辅助角公式的应用
【学习目标】
1.理解两角和与差的正弦、正切公式的推导过程；
2.能够运用两角和与差的正弦、正切公式解决求值、化简等问题.
知识点一 两角和与差的正弦
1.两角和与差的正弦公式
（1）两角和的正弦公式： _____________________.
（2）两角差的正弦公式： _____________________.
2.辅助角公式
_________， 不同时为0)，其中
_______， _______.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）存在 ，，使得 成立．( )
√
（2） .( )
√
（3）函数的最大值为 .( )
√
（4） .( )
√
知识点二 两角和与差的正切
1.两角和的正切公式：.
2.两角差的正切公式：.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）存在 ，，使 成立．( )
√
（2）对任意 ，， 都成立．( )
×
（3）当 ， 的取值使各项都有意义时， ,
,
, .( )
√
（4）已知，则 .( )
√
探究点一 利用两角和与差的正弦、正切公式化简与求值
［探索］ _______， _______.
例1（1） [2024·江苏盐城五校高一期中]
( )
A. B. C. D.
[解析] .
故选C.
√
（2） _______.
[解析]
.
变式（1） 已知，则 ( )
A. B. C.2 D.3
[解析] ， ，
，
.故选C.
√
（2）（多选题）[2024·山东德州二中高一期末] 下列等式正确的是
( )
A.
B.
C.
D.
√
√
√
[解析] 对于A， ，故A正确；
对于B，
，故B正确；
对于C， ，故C错误；
对于D，因为 ，所以
，
则，故D正确.
故选 .
［素养小结］
（1）对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦
（正切）公式求出具体数值，一般有以下三种途径：
①化为特殊角的三角函数值；
②化为正负相消的项，消去求值；
③化为分子、分母形式，先约分再求值．
（2）在求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，
先整体分析三角函数式的特点，若整体符合三角公式，则整体变形，
否则进行各局部的变换．
（3）公式， 是变形较多的两个公式，公式中有
， (或，
(或 ,三者中知道其中两个就可表示或求出第三个．
探究点二 给值（式）求值
例2（1） [2024·四川安宁河联盟高一期中]已知
， 是第四象限角，则 的值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为 ，
所以，则.
因为 是第四象限角，所以 ，
则．
故选D.
（2）[2024·江苏南通如皋高一期末]已知, ，
则 ( )
A.3 B. C. D.2
[解析] 因为，所以 ，
所以，又，所以 ，
所以，所以 ，
故 .故选A.
√
变式 已知,，且 ， 均为锐角.
（1）求 的值；
解：, ,
.
（2）求 的值.
解：, ，
.
, 均为锐角， ,又 ,
， , .
［素养小结］
（1）当“已知角”有两个或多个时，“所求角”一般可以表示为其中两
个“已知角”的和或差的形式．
（2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和
或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
（3）角的拆分方式不唯一，可根据题目合理选择拆分方式．
提醒：解题时要重视角的范围对三角函数值的制约，从而恰当、准
确地求出三角函数值．
探究点三 辅助角公式的应用
［探索］ _____________，
_____________， ____________.
例3 设函数 .
（1）求的最小值，并求使取得最小值的 的取值集合；
解：由题知 .
当时，，此时 ，
即，所以使取得最小值的 的取值集合为
．
（2）不画图，说明函数的图象可由函数 的图象经
过怎样的变化得到．
解：将 的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的
倍，得到 的图象.
将的图象上所有的点向左平移 个单位，得到
的图象.
变式（1） [2023·广东深圳中学高一期中]函数
的最小正周期和振幅分别是( )
A. ,1 B. ,2 C. ,1 D. ,2
[解析] ，
所以函数 的最小正周期 ，振幅为1.故选A.
√
（2）[2023·上海浦东新区高一期中] 已知函数 在
上的最大值为2，求实数 的值.
解：当时，的最大值不为2，故 ，故
，其中 ，因为,所以 ，
又函数在上的最大值为2，所以 ，解得 .
当时，， ，此时有最大值2；
当时，， ，此时最大值不为2.
综上， .
［素养小结］
辅助角公式及其应用
（1）公式形式: 或
.
（2）形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求
变形后角 的系数为正，这样更有利于研究函数的性质．
1. 的值为( )
A. B. C. D.
[解析] .故选B.
√
2.[2024·浙江宁波高一期末]若 为锐角，，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 因为 为锐角，,所以 ，
所以 ，故选A.
√
3.[2024·北京二十二中高一期中]已知, ，则
( )
A.2 B. C. D.
[解析] .故选B.
√
4.若 , 均为锐角,,,则 等于( )
A. B. C.或 D.
[解析] ， 均为锐角,且,
为钝角.
由,得,
由 ,得,
.
√
5.已知，，则 ( )
A.1 B. C. D.
[解析] ，
则 .故选A.
√
1.公式与 的联系
四个公式， 虽然形式不同、结构不同，但它们的本质是相
同的，其内在联系为
，这样我们只要牢固掌握“中心”公式 的由来及表达方式，也就掌握了其他三个公式．
（2）对于公式， ，可记为“异名相乘，符号同”．
3.两角和与差的正弦公式中 ， 的特征
， 可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常
将两角的和或差视为一个整体．
4.应用两角和与差的正弦公式求值的一般思路
（1）把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．
（2）在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和或差的正弦公
式的结构形式，然后逆用公式求值．
2.注意公式的结构特征和符号规律
（1）对于公式， ，可记为“同名相乘，符号反”．
5.形如 的三角函数式
公式 (或
将形如
， 不同时为零)的三角函数式收缩为一个角的一种三角函数式．
1.三角函数求值问题
利用两角和与差的三角函数公式求值时,不能机械地从表面去套公式,
而要变通地从本质上使用公式,即把所求的角分解成某两个角的和或
差,并且这两个角的正、余弦函数值或正切值是已知的或可求的,再代
入公式即可求解.
例1 已知，若，则 ( )
A. B. C.或 D.或
[解析] 因为，所以 ，
又，所以 ，
所以，
所以
故选A．
√
2.三角函数式的化简
化简的常用方法:①切化弦;②异角化同角,异次化同次,异名化同名;③
活用公式:正用、逆用、变形用;④巧用1的代换等.
例2 [2024·江苏海门中学高一期中]化简： ( )
D
A. B. C. D.
[解析] ，
故选D.8.2.2 两角和与差的正弦、正切
【课前预习】
知识点一
1.(1)sin αcos β+cos αsin β (2)sin αcos β-cos αsin β
2.
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)√ (4)√
知识点二
诊断分析
(1)√ (2)× (3)√ (4)√
【课中探究】
探究点一
探索
例1 (1)C (2)2- [解析] (1)sin 27°cos 18°+cos 27°sin 18°=sin(27°+18°)=sin 45°=.故选C.
(2)tan 15°=tan(45°-30°)====2-.
变式 (1)C (2)ABD [解析] (1)∵α+β=,∴tan(α+β)=1,∴tan α+tan β=1-tan α·tan β,∴(1+tan α)·(1+tan β)=1+tan α+tan β+tan α·tan β=1+1-tan α·tan β+tan α·tan β=2.故选C.
(2)对于A,cos 52°sin 82°-sin 52°sin 8°=cos 52°cos 8°-sin 52°sin 8°=cos(52°+8°)=cos 60°=,故A正确;对于B,cos 15°-sin 15°=2=2(cos 30°cos 15°-sin 30°sin 15°)=2cos 45°=,故B正确;对于C,==tan 30°=,故C错误;对于D,因为=tan 60°=,所以tan 32°+tan 28°=-tan 32°tan 28°,则tan 32°+tan 28°+tan 32°tan 28°=,故D正确.故选ABD.
探究点二
例2 (1)D (2)A [解析] (1)因为sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=,所以sin(α-β-α)=-sin β=,则sin β=-.因为β是第四象限角,所以cos β=,则sin=-sin β+cos β=×=.故选D.
(2)因为sin x+cos x=,所以sin=,所以sin=,又x∈,所以x+∈,所以cos==,所以tan=3,故tan=tan=tan=3.故选A.
变式 解:(1)∵tan α=,tan(α+β)=,∴tan β=tan[(α+β)-α]===.
(2)∵tan α=,tan(α+β)=,∴tan(2α+β)=tan[(α+β)+α]===1.
∵α,β均为锐角,∴0<α+β<π,又tan(α+β)=,∴0<α+β<,∴0<2α+β<π,∴2α+β=.
探究点三
探索 sin 2sin 2sin
例3 解:(1)由题知f(x)=sin x+sin xcos+cos xsin=sin x+sin x+cos x=sin x+cos x==sin.当sin=-1时,f(x)min=-,此时x+=+2kπ(k∈Z),即x=+2kπ(k∈Z),所以使f(x)取得最小值的x的取值集合为.
(2)将y=sin x的图象上所有点的横坐标不变,纵坐标变为原来的倍,得到y=sin x的图象.
将y=sin x的图象上所有的点向左平移个单位,得到f(x)=sin的图象.
变式 (1)A [解析] f(x)=sin 2x+cos 2x=sin,所以函数f(x)的最小正周期 T==π,振幅为1.故选A.
(2)解:当a=0时,y=cos x 的最大值不为2,故a≠0,故y=asin x+cos x=sin(x+φ),其中tan φ=,因为x∈,所以x+φ∈,
又函数y=asin x+cos x在上的最大值为2,所以=2,解得a=±.
当a=时,y=2sin,x+∈,此时有最大值2;当a=-时,y=2sin,x+∈,此时最大值不为2.综上,a=.
【课堂评价】
1.B [解析] sin 7°cos 37°-sin 83°sin 37°=sin 7°cos 37°-cos 7°sin 37°=sin(7°-37°)=sin(-30°)=-sin 30°=-.故选B.
2.A [解析] 因为α为锐角,sin α=,所以cos α=,所以sin=sin α+cos α=×+×=,故选A.
3.B [解析] tan(α-β)=tan===.故选B.
4.B [解析] ∵α,β均为锐角,且sin α=>sin(α+β)=,∴α+β为钝角.由sin(α+β)=,得cos(α+β)=-,由sin α=,得cos α=,∴sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=×+×=.
5.A [解析] tan α=tan(α-β+β)===,则tan(2α-β)=tan(α-β+α)===1.故选A.8.2.2 两角和与差的正弦、正切
【学习目标】
1.理解两角和与差的正弦、正切公式的推导过程;
2.能够运用两角和与差的正弦、正切公式解决求值、化简等问题.
◆ 知识点一 两角和与差的正弦
1.两角和与差的正弦公式
(1)两角和的正弦公式:sin(α+β)= .(Sα+β)
(2)两角差的正弦公式:sin(α-β)= .(Sα-β)
2.辅助角公式
y=asin x+bcos x= sin(x+φ)(a,b不同时为0),其中cos φ= ,sin φ= .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)存在α,β∈R,使得sin(α-β)=sin α-sin β成立. ( )
(2)sin 54°cos 24°-sin 36°sin 24°=sin 30°. ( )
(3)函数f(x)=2sin x-cos x的最大值为. ( )
(4)3sin x-cos x=2sin. ( )
◆ 知识点二 两角和与差的正切
1.两角和的正切公式:tan(α+β)=.(Tα+β)
2.两角差的正切公式:tan(α-β)=.(Tα-β)
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)存在α,β∈R,使tan(α+β)=tan α+tan β成立. ( )
(2)对任意α,β∈R,tan(α+β)=都成立. ( )
(3)当α,β的取值使各项都有意义时,=tan(α+β),1-tan αtan β=,tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),tan αtan βtan(α+β)=tan(α+β)-tan α-tan β. ( )
(4)已知tan α=2,则tan=-3. ( )
◆ 探究点一 利用两角和与差的正弦、正切公
式化简与求值
[探索] tan= ,tan= .
例1 (1)[2024·江苏盐城五校高一期中] sin 27°cos 18°+cos 27°sin 18°= ( )
A. B.-
C. D.-
(2)tan 15°= .
变式 (1)已知 α+β=,则 (1+tan α)·(1+tan β)= ( )
A. -1 B. -2
C.2 D.3
(2)(多选题)[2024·山东德州二中高一期末] 下列等式正确的是 ( )
A.cos 52°sin 82°-sin 52°sin 8°=
B.cos 15°-sin 15°=
C.=
D.tan 32°+tan 28°+tan 32°tan 28°=
[素养小结]
(1)对于非特殊角的三角函数式,要想利用两角和与差的正弦(正切)公式求出具体数值,一般有以下三种途径:
①化为特殊角的三角函数值;
②化为正负相消的项,消去求值;
③化为分子、分母形式,先约分再求值.
(2)在求值过程的变换中,一定要本着先整体后局部的基本原则,先整体分析三角函数式的特点,若整体符合三角公式,则整体变形,否则进行各局部的变换.
(3)公式Tα+β,Tα-β是变形较多的两个公式,公式中有tan αtan β,tan α+tan β(或tan α-tan β),tan(α+β)(或tan(α-β)),三者中知道其中两个就可表示或求出第三个.
◆ 探究点二 给值(式)求值
例2 (1)[2024·四川安宁河联盟高一期中] 已知sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=,β是第四象限角,则sin的值为 ( )
A.- B.- C. D.
(2)[2024·江苏南通如皋高一期末] 已知x∈,sin x+cos x=,则tan= ( )
A.3 B.-3 C.- D.2
变式 已知tan α=,tan(α+β)=,且α,β均为锐角.
(1)求tan β的值;
(2)求2α+β的值.
[素养小结]
(1)当“已知角”有两个或多个时,“所求角”一般可以表示为其中两个“已知角”的和或差的形式.
(2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
(3)角的拆分方式不唯一,可根据题目合理选择拆分方式.
提醒:解题时要重视角的范围对三角函数值的制约,从而恰当、准确地求出三角函数值.
◆ 探究点三 辅助角公式的应用
[探索] sin α±cos α= ,sin α±cos α= ,cos α±sin α= .
例3 设函数f(x)=sin x+sin.
(1)求f(x)的最小值,并求使f(x)取得最小值的x的取值集合;
(2)不画图,说明函数y=f(x)的图象可由函数y=sin x的图象经过怎样的变化得到.
变式 (1)[2023·广东深圳中学高一期中] 函数f(x)=sin 2x+cos 2x 的最小正周期和振幅分别是 ( )
A. π,1 B. π,2
C. 2π,1 D. 2π,2
(2)[2023·上海浦东新区高一期中] 已知函数y=asin x+cos x在 上的最大值为2,求实数a 的值.
[素养小结]
辅助角公式及其应用
(1)公式形式:asin α+bcos α= sin(α+φ)或asin α+bcos α= cos(α-φ).
(2)形式选择:化为正弦还是余弦,要看具体条件而定,一般要求变形后角α的系数为正,这样更有利于研究函数的性质.
1.sin 7°cos 37°-sin 83°sin 37°的值为 ( )
A.- B.- C. D.
2.[2024·浙江宁波高一期末] 若α为锐角,sin α=,则sin= ( )
A. B.
C. D.
3.[2024·北京二十二中高一期中] 已知tan α=3,β=,则tan(α-β)= ( )
A.2 B.
C.- D.-2
4.若α,β均为锐角,sin α=,sin(α+β)=,则sin β等于 ( )
A. B.
C.或 D.-
5.已知tan(α-β)=,tan β=-,则tan(2α-β)= ( )
A.1 B.-1
C. D.-8.2.2 两角和与差的正弦、正切
1.B [解析] sin 24°cos 36°+sin 66°cos 54°=sin 24°cos 36°+cos 24°sin 36°=sin(24°+36°)=sin 60°=.故选B.
2.A [解析] 依题意得,tan 60°=tan(23°+37°)==,则tan 23°+tan 37°=(1-tan 23°tan 37°),所以tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°=(1-tan 23°tan 37°)+tan 23°tan 37°=.故选A.
3.D [解析] 因为α∈,所以α+∈,又因为sin=,所以cos=-,所以sin α=sin=sincos-cossin=×-×=.故选D.
4.A [解析] 因为sin A+cos B=,cos A+sin B=1,所以(sin A+cos B)2=,(cos A+sin B)2=1,即sin2A+2sin Acos B+cos2B=,cos2A+2cos Asin B+sin2B=1,两式相加可得2+2(sin Acos B+sin Bcos A)=+1,所以sin(A+B)=-.故选A.
5.B [解析] 因为tan α,tan β是方程3x2+5x-7=0的两个实根,所以则=====.故选B.
6.D [解析] 因为α+β=,所以tan(α+β)==-1,可得tan αtan β-(tan α+tan β)=1,所以(1-tan α)(1-tan β)=tan αtan β-(tan α+tan β)+1=2.故选D.
7.B [解析] 因为0<β<α<,所以0<α-β<.因为sin(α-β)=,所以cos(α-β)==,因为2=tan α-tan β=-==,所以cos αcos β=.因为cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=+sin αsin β=,所以sin αsin β=.故选B.
8.ABC [解析] f(x)=cos ωx-sin=cos ωx-sin ωxcos-cos ωxsin=cos ωx-sin ωx=cos.若x∈[0,π],则ωx+∈,因为f(x)在[0,π]上的取值范围为,所以π≤ωπ+≤,所以≤ω≤,所以ω的取值范围为.故选ABC.
9.ACD [解析] f(x)=sin x+cos x+=sin+.令2kπ-≤x+≤2kπ+,k∈Z,可得2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z.当k=0时,函数f(x)在上单调递增.又 , ,所以C,D满足题意.当k=1时,函数f(x)在上单调递增,所以A满足题意.显然B不满足题意.故选ACD.
10.4 [解析] 因为(4tan A+1)(1-4tan B)=17,所以tan A-tan B=4(1+tan A·tan B),所以tan(A-B)==4.
11.-8-5 [解析] 由sin=2sin,得sin=2sin=2cos,所以tan=2,则tan θ=tan==-8-5.
12. [解析] ∵α,β为三角形的两个内角,且cos α=<,∴>α>,则sin α==.∵sin(α+β)=<,α+β>α>,∴π>α+β>,则cos(α+β)=-=-,∴sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=×+×=,∵α>,α+β<π,∴β=.
[点拨] 当已知某角的三角函数值时,要结合题意大致判断角的范围.
13.解:(1)因为0
因为0,所以所以cos(A+B)=-=-,cos(A-B)==,
所以sin 2A=sin[(A+B)+(A-B)]=sin(A+B)cos(A-B)+cos(A+B)sin(A-B)=×-×=.
(2)由得所以==2.
14.解:(1)原式===tan 75°=
tan(45°+30°)===2+.
(2)原式=sin(α+β)cos α-[sin(α+α+β)-sin(α+β-α)]=sin(α+β)cos α-×2sin αcos(α+β)=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=sin(α+β-α)=sin β.
15.B [解析] M=sin 100°-cos 100°==sin(100°-45°)=sin 55°>sin 45°=1,N=(cos 44°cos 78°+cos 46°cos 12°)=(cos 44°sin 12°+sin 44°cos 12°)=sin(44°+12°)=sin 56°>sin 55°=M,P===tan(45°-10°)=tan 35°M>P.故选B.
16.解:(1)由题意知A,P的坐标分别为(1,0),(cos θ,sin θ).
∵=+=(1,0)+(cos θ,sin θ)=(1+cos θ,sin θ),∴·=(1,0)·(1+cos θ,sin θ)=1+cos θ.
由题意可知S=sin θ,∴·+S=sin θ+cos θ+1=sin+1(0<θ<π),
则θ+∈,故当θ+=,
即θ=时,sin=1,
故·+S的最大值为+1,θ0=.
(2)∵B,∠AOB=α,∴tan α=-,
∴tan(α+θ0)=tan===-.8.2.2 两角和与差的正弦、正切
一、选择题
1.[2024·江苏海门中学高一月考] sin 24°cos 36°+sin 66°cos 54°=( )
A.- B.
C.- D.
2.[2024·江苏盐城五校高一期中] tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°= ( )
A. B.-
C. D.-
3.[2024·江苏连云港高级中学高一期中] 已知α∈,sin=,则sin α的值为 ( )
A. B.
C. D.
4.[2024·浙江杭州学军中学高一月考] 已知sin A+cos B=,cos A+sin B=1,则sin(A+B)= ( )
A.- B.
C.- D.
5.若tan α,tan β是方程3x2+5x-7=0的两个根,则= ( )
A. B.
C.- D.-
6.已知α+β=,则(1-tan α)(1-tan β)= ( )
A.-1 B.1
C.-2 D.2
7.[2024·江苏南通如皋中学高一月考] 已知0<β<α<,sin(α-β)=,tan α-tan β=2,则sin αsin β= ( )
A. B.
C. D.
8.(多选题)[2023·湖北襄阳四中月考] 已知函数f(x)=cos ωx-sin(ω>0),若f(x)在[0,π]上的取值范围为,则ω的值可能为 ( )
A. B.
C.1 D.2
9.(多选题)已知函数f(x)=sin x+cos x+,则f(x)在下列区间上单调递增的是 ( )
A. B.
C. D.
二、填空题
10.[2023·上海交大附中高一期末] 已知(4tan A+1)(1-4tan B)=17,则tan(A-B)= .
11.若sin=2sin,则tan θ= .
★12.已知α,β为三角形的两个内角,cos α=,sin(α+β)=,则β= .
三、解答题
13.在锐角三角形ABC中,sin(A+B)=,sin(A-B)=.
(1)计算sin 2A的值;
(2)求的值.
14.化简下列各式:
(1);
(2)sin(α+β)cos α-[sin(2α+β)-sin β].
15.已知M=sin 100°-cos 100°,N=(cos 44°cos 78°+cos 46°cos 12°),P=,则M,N,P的大小关系是 ( )
A.MC.N16.[2024·上海格致中学高一期中] 如图,点A是单位圆与x轴正半轴的交点,点P在单位圆上,∠AOP=θ(0<θ<π),=+,四边形OAQP的面积为S.
(1)当θ=θ0时,·+S取得最大值,求·+S的最大值及θ0;
(2)设点B的坐标为,∠AOB=α,求tan(α+θ0)的值.