(共41张PPT)
8.2 三角恒等变换
8.2.3 倍角公式
探究点一 利用倍角公式求值
探究点二 利用倍角公式化简与证明
探究点三 应用二倍角公式求解三角函数
性质问题
【学习目标】
1.能利用两角和的正弦、余弦、正切公式推导证明倍角公式；
2.掌握倍角公式及其变形,能利用公式解决简单三角函数式的求
值、化简和运算问题.
知识点一 二倍角公式
____________.
__________________________ ___________.
________.
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1），中的角 是任意的，但要使 有意义，需要
.( )
√
（2）存在角 ，使得 成立．( )
√
（3）对于任意的角 ， 都不成立．( )
×
（4） .
( )
√
2.倍角公式中的“倍角”仅是指 与 吗？
解：不是.倍角公式不仅可运用于 作为 的二倍的情况，
还可运用于 作为 的二倍， 作为的二倍， 作为 的二倍，
作为 的二倍等情况．
知识点二 二倍角公式的变形
1.公式的逆用
_______, ________,
_______, _______.
2.二倍角公式的重要变形
升幂公式:
________, ________,
________, ________.
降幂公式:
_____________, _____________.
探究点一 利用倍角公式求值
［探索］ 不查表求值： ___.
[解析] 原式 .
例1（1） [2024·山西长治上党区一中高一期中]已知 ，则
( )
A. B.4 C. D.2
[解析] 因为，所以 ，
所以 ．故选D.
√
（2）已知，且，则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由 可得，
即 ，又，所以，，
则 ，故，
因为 ，所以.又，
所以， ，则，
故 .故选C.
变式（1） [2024·福建福州五校高一期中]已知
，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，
所以 ，故 ，故选A.
√
（2）[2024·湖南长沙雅礼中学高一期中]已知 ，
，则 的值为( )
A. B. C.1 D.
[解析] 因为，所以.
由 ，得，
所以 ,则 ，
所以 ，故选A.
√
［素养小结］
对于给角求值问题，一般有两种解题思路：
（1）直接正用、逆用倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基
本关系式对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角的三角函数式．
（2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用倍角的
正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用倍角公式的
条件，使问题出现可以连用倍角的正弦公式的形式．
探究点二 利用倍角公式化简与证明
［探索］ 化简: .
解：原式
.
例2 求证：
（1） ；
证明：左边
右边， 原等式成立．
（2） .
解： ，
， 原等式成立．
变式（1） 化简： .
解：原式
.
（2）求证： .
证明： .
［素养小结］
证明与化简的原则及一般步骤：
（1）化繁为简，观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如
果两端都比较复杂，那么就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想．
（2）变异为同，证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、
式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”“异名化同名”“变量
集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．
拓展 已知 ,,且 ,
,求证: .
证明:由得 .
由得 .
,,,, .
由①②得,即 ,
即,又, .
探究点三 应用二倍角公式求解三角函数性质问题
例3 [2023·云南玉溪一中高一月考] 设函数
.
（1）求 的最小正周期和最小值；
解： ，
所以 的最小正周期为 ，
当 时，有最小值 .
（2）若，求 的单调递增区间.
解：方法一：
.
由 ， ，
解得 ， ，
所以的单调递增区间为 ， .
方法二：由 ， ，
解得 ， ，
所以的单调递减区间为 ， .
由 ， ，
可得 ， ，
所以的单调递增区间为 ， .
变式 [2024·山东德州高一期中] 已知 ，
， .
（1）若,求 的值；
解：因为，， ，
所以，即 ，
所以 .
（2）求 的单调递增区间；
解：因为， ，
所以 .
令 , ，
解得 , ，
所以的单调递增区间为， .
（3）当时，求 的取值范围.
解：当时，，易知在 上单调递增，
在 上单调递减.
当时， ；当时， ；
当时， .
所以当时， ，
所以 ，
故当时，的取值范围为 .
［素养小结］
利用公式研究三角函数性质的思路
要研究三角函数的性质，需将所给函数式利用和（差）角公式和二
倍角公式化为 (或
的形式，进而依据(或
的性质对所求函数进行性质研究．
1.[2024·江苏盐城响水中学高一期中]下列各式中值为 的是( )
A. B.
C. D.
[解析] ，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D错误.故选B.
√
2.[2024·四川安宁河联盟高一期中]已知,则
( )
A. B. C. D.
[解析] 因为,所以 .故选D.
√
3.[2023·北京四中高一期中]设 ，
， ，则( )
A. B. C. D.
[解析] ，
，
又 ，所以 .故选D.
√
4.[2023·河南安阳高一期中] 已知 ，则 ____．
[解析] 因为 ，所以 ，
则，所以 ，
因为 ， ，
所以 .
5.[2024·云南昆明高一期末] 已知，，则
_______．
[解析] 由，，得 ，
则，故 .
倍角公式中的“倍角”的相对性：对于两个角的比值等于2的情况都成
立，如 是 的2倍， 是 的2倍，这就是说，“倍”是相对而
言的，是描述两个数量之间的关系的．
前提：所含各三角函数有意义．
.与二倍角有关的求值问题
正确处理角的倍角关系是求三角函数值的关键,在解决这种题型时,要
正确处理角的倍半关系，如 是 的二倍角, 是 的二倍角,
是的二倍角, 是 的二倍角.同时要把已知角与所求角
对比起来,适当实施角的变换、幂的变换及结构的变换,既要结合已知
条件,又要增强目标意识,灵活运用所学的各种公式.
例1 [2024·重庆四川外国语大学附属外国语学校高一期中] 已知
，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] ，
故，则，
故 .故选D.
√
2.用倍角公式化简与证明
切化弦， 的变形)，降幂与升幂是三角变形中的
常用技巧.通分、配方、因式分解是三角变形中常用的代数变形技巧.
例2 化简： .
解： 原式
.
，，, ,
原式 .
3.求解三角函数性质问题
在解决此类问题时，通常借助二倍角公式，将原函数化为一次并只
包含某个角的正弦或余弦的形式.
例3 [2024·河北沧州高一期末]已知函数
在区间上有且仅有3个零点，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由可得 .
令，即 ，
则 ,,所以,或, ，
故函数的正零点从小到大排列为,,,,, ，
要使在区间上有且仅有3个零点，需要满足且 ，
解得 ，故选C.8.2.3 倍角公式
【课前预习】
知识点一
2sin αcos α cos2α-sin2α 2cos2α-1 1-2sin2α
诊断分析
1.(1)√ (2)√ (3)× (4)√
2.解:不是.倍角公式不仅可运用于2α作为α的二倍的情况,还可运用于4α作为2α的二倍,α作为的二倍,3α作为的二倍,α+β作为的二倍等情况.
知识点二
1.sin 2α sin 2α cos 2α tan 2α
2.2cos2α 2sin2α 2cos2 2sin2 (1+cos 2α)
(1-cos 2α)
【课中探究】
探究点一
探索 [解析] 原式====×=.
例1 (1)D (2)C [解析] (1)因为tan=,所以tan α===2,所以==tan α=2.故选D.
(2)由sin α+cos α=可得(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=,即sin αcos α=-,又α∈(0,π),所以sin α>0,cos α<0,则α∈,故(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=,因为α∈,所以sin α-cos α=.又sin α+cos α=,所以sin α=,cos α=-,则tan α=-,故tan 2α===.故选C.
变式 (1)A (2)A [解析] (1)因为tansin=××(cos α-sin α)=×(cos α-sin α)=(cos α-sin α)=(cos α+sin α)=1,所以3(cos α+sin α)2=3(1+sin 2α)=1,故sin 2α=-,故选A.
(2)因为α∈,所以cos α>0.由2sin 2α=cos 2α+1,得4sin αcos α=2cos2α-1+1,所以cos α=2sin α,则tan α=,所以tan 2α==,故选A.
探究点二
探索 解:原式====tan θ.
例2 证明:(1)左边=sin θ(1+2cos2θ-1)=2sin θcos θcos θ=sin 2θcos θ=右边,∴原等式成立.
(2)=tan(α+β-α)=tan β,
===tan β,∴原等式成立.
变式 解:(1)原式======1.
(2)证明:·=·=·==tan 2α.
拓展 证明:由3sin2α+2sin2β=1得3sin2α=1-2sin2β=cos 2β ①.由sin 2α-sin 2β=0得3sin αcos α=sin 2β②.
∵α,β∈,∴cos α≠0,sin α≠0,sin 2β≠0.
由①②得=,即cos αcos 2β-sin αsin 2β=0,
即cos(α+2β)=0,又0<α+2β<,∴α+2β=.
探究点三
例3 解:(1)f(x)=2cos2x+(sin x-cos x)2-1=2cos2x-2sin xcos x=cos 2x+-sin 2x=2cos+,所以 f(x) 的最小正周期为 =π,
当 cos=-1 时,f(x)有最小值 -2.
(2)方法一: g(x)=f=2cos+ =2cos+ =2cos+=-2sin+.
由+2kπ≤x-≤+2kπ,k∈Z,解得+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z,
所以g(x)的单调递增区间为 ,k∈Z.
方法二:由2kπ≤2x+≤π+2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以 f(x) 的单调递减区间为 ,k∈Z .
由-+kπ≤π-x≤+kπ,k∈Z,可得 -2kπ≤x≤-2kπ,k∈Z,
所以 g(x) 的单调递增区间为 ,k∈Z .
变式 解:(1)因为a=(cos x,1),b=(sin x,-1),a∥b,
所以cos x×(-1)=sin x,即tan x=-,所以cos 2x===-.
(2)因为a=(cos x,1),b=(sin x,-1),所以f(x)=(cos x+sin x,0)·(cos x,1)-=(cos x+sin x)×cos x-=3cos2x+sin xcos x-=3×+sin 2x-=sin 2x+cos 2x+1=sin+1.令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(3)当x∈时,2x+∈,易知y=sin x在上单调递增,在上单调递减.
当2x+=时,sin=-;
当2x+=时,sin=1;
当2x+=时,sin=.
所以当x∈时,sin∈,
所以sin+1∈,
故当x∈时,f(x)的取值范围为.
【课堂评价】
1.B [解析] 2sin 15°cos 15°=sin 30°=,故A错误;cos215°-sin215°=cos 30°=,故B正确;2sin215°-1=-cos 30°=-,故C错误;sin215°+cos215°=1,故D错误.故选B.
2.D [解析] 因为cos α=-,所以cos 2α=2cos2α-1=-.故选D.
3.D [解析] b=sin 59°-cos 59°=sin(59°-30°)=sin 29°,c=2cos231°-1=cos 62°=sin 28°,又 sin 28°
4.- [解析] 因为 sin=,所以 =,则sin α+cos α=,所以sin2α+cos2α+2sin αcos α=,因为 sin2α+cos2α=1,2sin αcos α=sin 2α,所以 sin 2α=-1=-.
5.-2 [解析] 由cos α=,α∈,得sin α==,则tan α==,故tan 2α===-2.8.2.3 倍角公式
【学习目标】
1.能利用两角和的正弦、余弦、正切公式推导证明倍角公式;
2.掌握倍角公式及其变形,能利用公式解决简单三角函数式的求值、化简和运算问题.
◆ 知识点一 二倍角公式
S2α:sin 2α= .
C2α:cos 2α= = = .
T2α:tan 2α= .
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)S2α,C2α中的角α是任意的,但要使T2α有意义,需要α≠+(k∈Z). ( )
(2)存在角α,使得sin 2α=2sin α成立. ( )
(3)对于任意的角α,cos 2α=2cos α都不成立.( )
(4)cos 4α=cos22α-sin22α=2cos22α-1=1-2sin22α. ( )
2.倍角公式中的“倍角”仅是指α与2α吗
◆ 知识点二 二倍角公式的变形
1.公式的逆用
2sin αcos α= ,sin αcos α= ,
cos2α-sin2α= ,= .
2.二倍角公式的重要变形
升幂公式:
1+cos 2α= ,1-cos 2α= ,
1+cos α= ,1-cos α= .
降幂公式:
cos2α= ,sin2α= .
◆ 探究点一 利用倍角公式求值
[探索] 不查表求值:= .
例1 (1)[2024·山西长治上党区一中高一期中] 已知tan=,则= ( )
A.2 B.4
C. D.2
(2)已知α∈(0,π),且sin α+cos α=,则tan 2α= ( )
A. B.-
C. D.-
变式 (1)[2024·福建福州五校高一期中] 已知tansin=1,则sin 2α= ( )
A.- B.-
C. D.
(2)[2024·湖南长沙雅礼中学高一期中] 已知α∈,2sin 2α=cos 2α+1,则tan 2α的值为 ( )
A. B. C.1 D.
[素养小结]
对于给角求值问题,一般有两种解题思路:
(1)直接正用、逆用倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系式对已知式子进行转化,一般可以化为特殊角的三角函数式.
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用倍角的正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用倍角公式的条件,使问题出现可以连用倍角的正弦公式的形式.
◆ 探究点二 利用倍角公式化简与证明
[探索] 化简:.
例2 求证:
(1)sin θ(1+cos 2θ)=sin 2θcos θ;
(2)=.
变式 (1)化简:.
(2)求证:·=tan 2α.
[素养小结]
证明与化简的原则及一般步骤:
(1)化繁为简,观察式子两端的结构形式,一般是从复杂到简单,如果两端都比较复杂,那么就将两端都化简,即采用“两头凑”的思想.
(2)变异为同,证明的一般步骤是:先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异,然后本着“复角化单角”“异名化同名”“变量集中”等原则,设法消除差异,达到证明的目的.
拓展 已知α,β∈,且3sin2α+2sin2β=1,sin 2α-sin 2β=0,求证:α+2β=.
◆ 探究点三 应用二倍角公式求解三角函数
性质问题
例3 [2023·云南玉溪一中高一月考] 设函数f(x)=2cos2x+(sin x-cos x)2-1.
(1)求 f(x) 的最小正周期和最小值;
(2)若 g(x)=f,求 g(x) 的单调递增区间.
变式 [2024·山东德州高一期中] 已知a=(cos x,1),b=(sin x,-1),f(x)=(a+b)·a-.
(1)若a∥b,求cos 2x的值;
(2)求f(x)的单调递增区间;
(3)当x∈时,求f(x)的取值范围.
[素养小结]
利用公式研究三角函数性质的思路
要研究三角函数的性质,需将所给函数式利用和(差)角公式和二倍角公式化为f(x)=Asin(ωx+φ)+B(或f(x)=Acos(ωx+φ)+B)的形式,进而依据y=sin x(或y=cos x)的性质对所求函数进行性质研究.
1.[2024·江苏盐城响水中学高一期中] 下列各式中值为的是 ( )
A.2sin 15°cos 15° B.cos215°-sin215°
C.2sin215°-1 D.sin215°+cos215°
2.[2024·四川安宁河联盟高一期中] 已知cos α=-,则cos 2α= ( )
A. B. C. D.-
3.[2023·北京四中高一期中] 设 a=sin 30°,b=sin 59°-cos 59°,c=2cos231°-1,则( )
A. cC. a4.[2023·河南安阳高一期中] 已知 sin=,则sin 2α= .
5.[2024·云南昆明高一期末] 已知cos α=,α∈,则tan 2α= . 8.2.3 倍角公式
1.B [解析] sin 105°cos 105°=sin 210°=sin(180°+30°)=-sin 30°=-.
2.C [解析] 因为f(x)=2cos x+cos 2x=2cos x+2cos2x-1=2-,所以当cos x=-时,f(x)取得最小值-.故选C.
3.A [解析] 由已知可得,tan x-===,所以=,所以tan 2x==-2×=-.故选A.
4.A [解析] cos 15°cos 60°cos 75°=cos 15°cos 75°=cos 15°sin 15°=sin 30°=.故选A.
5.B [解析] 因为==2tan α,且tan α=2,所以=4.故选B.
6.D [解析] 由sin α+2cos α=0得tan α=-2,则cos 2α-sin 2α=cos2α-sin2α-2sin αcos α==
==.故选D.
7.A [解析] 因为2sin-sin=2cos α-=cos α-sin α=cos=,所以sin=sin=cos=cos 2=2cos2-1=2×-1=-.故选A.
8.BD [解析] 由题意得,sin α=-,cos α=,故A错误;对于B,cos 2α=1-2sin2α=1-2×=-,故B正确;对于C,因为cos α=,sin α=-,所以tan α=-,所以tan 2α===,故C错误;对于D,sin 2α=2sin αcos α=2××=-,故D正确.故选BD.
9.ACD [解析] 由题得函数f(x)=sin2-cos2=-cos,将f(x)的图象向左平移个单位长度得到g(x)=-cos的图象,因为g=-1,所以g=-cos=-1,即cos=1,所以-=2kπ,k∈Z,得ω=2+16k,k∈Z,又因为0<ω<18,所以ω=2,所以f(x)=-cos,g(x)=cos.对于A,f(x)+g(x)=-cos+cos=0,故A正确;对于B,f=-cos=-sin 4x,显然y=f为奇函数,故B不正确;对于C,由g=cos=-sin,得g(x)+g=cos-sin=-=0,故C正确;对于D,因为x∈,所以4x-∈,因为函数y=cos x在上单调递增,所以g(x)在上单调递增,故D正确.故选ACD.
10.- [解析] sin=-cos=-cos=-cos 2=2sin2-1=2×-1=-.
11. [解析] ∵tan==2,∴tan α=,则sin 2α=2sin αcos α=
===.
12.π 1- [解析] f(x)=2sin x(sin x+cos x)=2sin2x+2sin xcos x=sin 2x-cos 2x+1=sin+1,所以函数f(x)的最小正周期为=π.当2x-=-+2kπ,k∈Z,即x=-+kπ,k∈Z时,函数f(x)取得最小值,最小值为1-.
13.解:(1)因为tan β=,所以tan 2β====,
所以tan====-.
(2)因为α,β∈,所以α+β∈(0,π),
因为cos(α+β)=>0,所以α+β∈,所以2α+β∈(0,π),
所以sin(α+β)=,tan(α+β)==,
tan 2(α+β)===,则tan(2α+β)=tan[2(α+β)-β]===1,
因为2α+β∈(0,π),所以2α+β=.
[技巧] 给值求角的实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值,再求角的范围,最后确定角.一般地,已知正切函数值,选正切函数;已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数.若角的范围是,选正、余弦皆可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围是,选正弦较好.
14.解:(1)f(x)=cos+cos2x-sin2x=cos 2x-sin 2x+cos 2x=cos 2x-sin 2x=cos,所以f(x)的最小正周期T==π.
令2x+=kπ,k∈Z,则x=-,k∈Z,
所以f(x)的图象的对称轴方程为x=-,k∈Z.
(2)由f(x0)=,得f(x0)=cos=,
即cos=.因为x0∈,所以2x0+∈,
则sin==,
所以cos 2x0=cos=coscos+sinsin=×+×=.
15. [解析] 以直角边AC,AB为直径的半圆的面积分别为×π×=,×π×=,所以==,即=.在Rt△ABC中,tan α=tan∠ABC==,则cos 2α====.
16.解:(1)f(x)=cos2x+sin xcos x-=cos 2x+sin 2x=sin.
(2)由(1)知f(x)=sin.
因为x∈,所以2x+∈,
则f(x)∈.
因为mf(x)<[f(x)]2-1恒成立,所以m因为函数y=t-在(0,+∞)上单调递增,所以=-=-,所以m<-,
故m的取值范围为.8.2.3 倍角公式
一、选择题
1.sin 105°cos 105°的值为 ( )
A. B.-
C. D.-
2.已知函数f(x)=2cos x+cos 2x,则f(x)的最小值为 ( )
A.-1 B.-
C.- D.-
3.[2024·江苏淮阴中学高一月考] 已知tan x-=,则tan 2x= ( )
A.- B.
C.- D.
4.cos 15°cos 60°cos 75°的值为 ( )
A. B. -
C. D.-
5.[2024·云南昆明一中高一期中] 已知tan α=2,则= ( )
A.2 B.4
C.5 D.6
6.已知sin α+2cos α=0,则cos 2α-sin 2α等于 ( )
A. B.
C. D.
7.[2023·辽宁盘锦辽东湾高中高一月考] 已知2sin-sin=,则sin= ( )
A.- B.-
C. D.
8.(多选题)[2024·江苏海门中学高一月考] 已知角α的终边经过点P(3,-4),则 ( )
A.sin α=
B.cos 2α=-
C.tan 2α=-
D.sin 2α=-
9.(多选题)[2024·山西大同二中高一月考] 已知函数f(x)=sin2-cos2(0<ω<18),将f(x)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象,且g=-1,则 ( )
A.f(x)+g(x)=0
B.y=f为偶函数
C.g(x)+g=0
D.g(x)在上单调递增
二、填空题
10.若sin=,则sin= .
11.已知tan=2,则sin 2α= .
12.函数f(x)=2sin x(sin x+cos x)(x∈R)的最小正周期为 ;该函数的最小值为 .
三、解答题
★13.[2024·江苏苏州昆山柏庐高级中学高一月考] 已知cos(α+β)=,tan β=,且α,β∈.
(1)求tan的值;
(2)求2α+β的值.
14.[2024·河北张家口成龙高级中学高一月考] 设函数f(x)=cos+cos2x-sin2x.
(1)求f(x)的最小正周期及其图象的对称轴;
(2)若x0∈且f(x0)=,求cos 2x0的值.
15.[2024·上海华东师大第一附中高一期中] 如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC、直角边AB,AC,已知以直角边AC,AB为直径的半圆的面积之比为,记∠ABC=α,则cos 2α= .
16.已知函数f(x)=cos2x+sin xcos x-.
(1)将f(x)化成f(x)=Asin(ωx+φ)+B的形式;
(2)若对于任意的x∈,mf(x)<[f(x)]2-1恒成立,求m的取值范围.